哥尼斯堡七桥问题课件

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最终成果
1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥 尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了 数学新一分支---图论。 在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑 成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如 图一样的几何图形。 若我们分别用A、B、C、D四个点表 示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转 化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。 若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终 点应该是同一点，由于对称性可知由B或C为起点得到的效 果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线 和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度， 离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A 的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。即要使得 从A出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是5 为奇数，于是可知从A出发是无解的。同时若从B或D出发， 由于B、D的度数分别是3、3，都是奇数，即以之为起点都 是无解的
哥尼斯堡七桥问题
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七桥问题
1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科 学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》 的论文，在解答问题的同时，开创 了数学的一个新的分支——图论与 几何拓扑，也由此展开了数学史上 的新历程。
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莱昂哈德·欧拉
莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生 于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生 于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁 大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人 物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领 域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论 文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本， 《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成 为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在 许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公 式和定理。 此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞 士教育与研究国务秘书查尔斯·克莱伯曾表示：“没有欧拉的众 多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学 家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。 2007年，为 庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于 2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪 念活动，回顾欧拉的生平、工作以及对现代生活的影响。
的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，
就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，
必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，
奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么
没有要么在两端）
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推断方法
当欧拉在1736年访问哥尼斯堡时，他发现当地的市 民正从事一项非常有趣的消遣活动。哥尼斯堡城中 有一条名叫普雷格尔河流横经其中，这项有趣的消 遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步， 每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地 点。 欧拉把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的 桥以线表示。 后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样 的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入 一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座 桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或 线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算 两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必 为偶数。
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七桥问题和欧拉定理
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问 题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称 之为 欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经 过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做 欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。
有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，
有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与
河岸联系起来（如右上图）。有个人提出一个问题：一
个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，
最后回到出发点。后来大数学家欧拉把它转化成一个几
何问题（如左图下）——一笔画问题。他不仅解决了此
问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点
一笔画
⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起 点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时 必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。 ⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画 成。)
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
提出时间
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园
里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起
来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰
好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并
解决了此问题，他把问题归结为如右图的“一笔画”问
题，证明上述走法是不可能的。