沪科版-数学-七年级上册-教案 3.5 三元一次方程组及其解法
汤旺河区某中学七年级数学上册 第3章 一次方程与方程组3.5 三元一次方程组及其解法教案 沪科版
3.5三元一次方程组及其解法【知识与技能】1.理解三元一次方程组的含义.2.了解三元一次方程组的解法和应用.3.体会解三元一次方程组是通过消元，把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一次方程来实现的.由此感受“化归”思想的广泛应用.【过程与方法】在实际生活问题中经历三元一次方程组解决问题的过程，类比二元一次方程组理解三元一次方程组的含义及其解法，进一步体会“消元”的基本思想和“化归”思想.【情感态度】针对问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论，享受学习的乐趣和成功感，培养学生大胆发言的习惯，敢于面对挑战.【教学重点】重点是会解三元一次方程组及其应用.【教学难点】难点是灵活使用代入法、加减法等解三元一次方程.一、情境导入,初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.勇士队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分.那么这个队胜了几场？又平了几场呢？【情境2】实物投影，并呈现问题：在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中，胜、负、平的场数各是多少？这时我们可以设几个未知数解决问题？列出方程后你有什么发现，你能说出你的发现吗？如何解决你所列的方程呢？【教学说明】通过比较二元一次方程的概念与解法，使学生在解决问题的过程中，自己经过观察、归纳，总结出三元一次方程组的概念和解题思想.情境1中解：设勇士队胜了x 场，平了y 场，则29317.x y x y ++==⎩+⎧⎨，解得52.x y ==⎧⎨⎩， 所以这个队胜了5场，平了2场.情境2中设三个未知数，设勇士队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，则可得方程为：10318x y z x y x y z ++=⎧⎪⎨+=⎪=+⎩，①，②，③方程组是由三个一次方程组成且含有三个未知数，可以把三元转化为二元来解，如：把③分别代入①②得()10318y z y z y z y +++=++=⎧⎨⎩，， 整理得22104318y z y z +⎨=+=⎧⎩，④，⑤由21⨯⨯⎧⎨⎩④，⑤，得44204318y z y z +⎨=+=⎧⎩，⑥，⑦由⑥-⑦得z=2,把z=2代入④得2y+4=10,即y=3,把z=2,y=3,代入③得x=5.所以532.x y z ⎧⎪=⎩==⎪⎨，，【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知1.三元一次方程组的概念问题 什么是三元一次方程组？【教学说明】学生通过类比二元一次方程组的概念，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】由三个一次方程组成的含有3个未知数的方程组叫做三元一次方程组.2.三元一次方程组的解法问题1 如何解三元一次方程组？问题2 解三元一次方程组的基本思路是什么？【教学说明】学生通过类比二元一次方程组的解法，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 三、运用新知，深化理解1.解方程组.（1）636x y z x y y x z ⎧⎪++=+==⎨+⎪⎩，①，②；③（2）1,6,3.x y y z z x +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩①②③ 2.小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张.3.如果x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则x+y+z= .【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对三元一次方程组有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.（1）解:把③分别代入①②得63 6.x x z z x x z +++=++=⎧⎨⎩， 整理得 22646x z x z +⎨+⎩=⎧=，④，⑤由21⨯⨯⎧⎨⎩④，⑤，得44124 6.x z x z +⎨==⎧+⎩，⑥⑦由⑥-⑦得 z=2,把z=2代入④,得2x+6=10,即x=1,把z=2,y=1代入③，所以132.x y z ⎧⎪=⎩==⎪⎨，，（2）解：①+②+③，得2(x+y+z)=10,即x+y+z=5④,由④-①,得z=4,由④-②,得x=-1,由④-③,得y=2.所以方程组的解为1,2,4.x y z ⎧=-==⎪⎨⎪⎩2.解：设1元，2元，5元各x 张，y 张，z 张.根据题意得12,2522,4.x y z x y z x y ++=++==⎧⎪⎨⎪⎩解得8,2,2.x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩答：1元，2元，5元各8张，2张，2张.3.解：依题意可得 231043215.x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩，①② ①＋②得 5x+5y+5z=25,所以x+y+z=5. 四、师生互动，课堂小结1.什么是三元一次方程组？如何解三元一次方程组？2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第118页“练习”和教材第119页“习题3.5”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课从三元一次方程组的知识着手，解决了教学过程中需要解释的问题，因为数学是一门严密的学科，然后以生活实际引入，这样降低了学习的难度，所以对学生的学习兴趣的培养起到一定的作用，特别是对问题的提出及寻找解决方法的时候，学生讨论积极，自己能发现知识之间的联系，并能提出解决问题的方法和思路，由此提高了学生学习数学的自信心.学生的学习活跃度比较高，化归的思想体现的也比较好.8．3 实际问题与二元一次方程组(1)1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用．2．通过应用题教学，学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性．重点能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组．难点正确找出问题中的两个等量关系．一、创设情境，引入新课复习提问：列方程解应用题的步骤是什么？学生回答：审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答．教师讲述：前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．教师出示问题：养牛场原有30头大牛和15头小牛，一天约需用饲料675 kg ；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时一天约需用饲料940 kg .饲养员李大叔估计平均每头大牛1天约需用饲料18 kg ～20 kg ，每头小牛1天约需用饲料7 kg ～8 kg .你能否通过计算检验他的估计是否正确吗？二、探索分析，解决问题根据问题中给定的数量关系如何计算平均每头大牛和每头小牛1天各约需用的饲料量？主要思路： 实际问题――→设未知数列方程组 数学问题（二元一次方程组）学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程．问题：1．题中有哪些已知量？哪些未知量．2．题中的等量关系有哪些？3．如何解这个应用题？解：设平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料x kg 和y kg .找出相等关系列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋15y ＝ 675，42x ＋20y ＝ 940.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝5. 这就是说，平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料20 kg 和5 kg .饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确．教师请同学们好好思考：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？(个别学生可能会列出如下方程组：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋15y ＝675，12x ＋5y ＝265.但结果一致．) 思考题：《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的13；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？三、巩固练习1.某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少？2．有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？【答案】1.解：设现在的初中在校生有x 人，高中在校生有y 人．根据题意列方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4200，x （1＋8%）＋y （1＋11%）＝4200（1＋10%）.解这个方程组，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1400，y ＝2800.答：现在的初中在校生有1400人，高中在校生有2800人．2.解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x 吨和y 吨．根据题意列方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝15.5，5x ＋6y ＝35. 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2.5. 则3x ＋5y ＝24.5.答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨．四、课堂小结通过这节课的学习，你知道了用方程组解决实际问题有哪些步骤吗？本节课从实际问题出发，通过分析实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组，通过对方程组解的检验，让学生认识到检验不仅要检查求得的解是否符合方程组中的每一个方程，而且还要考查所得的解答是否符合实际问题的要求，从而使学生初步体验用方程组解决实际问题的全过程．2．2 合并同类项理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则．正确合并同类项．一、温故知新1．下列各组式子中是同类项的是( C )A ．－2a 与a 2B ．2a 2b 与3ab 2C ．5ab 2c 与－b 2acD ．－17ab 2和4ab 2c2．思考：(1)6个人＋4个人＝________________；(2)6只羊＋4只羊＝________________；(3)6个人＋4只羊＝________________．二、自主学习1．思考：具备什么特点的多项式可以合并呢？要有同类项2．因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律，把多项式中的同类项进行合并．例如， 4x 2＋2x ＋7＋3x －8x 2－2(找出多项式中的同类项)＝4x －8x ＋2x ＋3x ＋7－2(交换律)＝(4x 2－8x 2)＋(2x ＋3x)＋(7－2)(结合律)＝(4－8)x 2＋(2＋3)x ＋(7－2)(分配律)＝－4x 2＋5x ＋5把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．3．合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？归纳：(1)合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．(2)若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，如－3ab 2＋3ab 2＝(－3＋3)ab 2＝0·ab 2＝0.多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．例1.合并下列各式的同类项：(1)xy 2－15xy 2； (2)－3x 2y ＋2x 2y ＋3xy 2－2xy 2；(3)4a 2＋3b 2＋2ab －4a 2－4b 2.解：(1)45xy 2；(2)－x 2y ＋xy 2；(3)－b 2＋2ab. 例2.(1)求多项式2x 2－5x ＋x 2＋4x －3x 2－2的值，其中x ＝12；(2)求多项式3a ＋abc －13c 2－3a ＋13c 2的值，其中a ＝－16，b ＝2，c ＝－3. 解：(1)2x 2－5x ＋x 2＋4x －3x 2－2(仔细观察，标出同类项)合并同类项，原式＝－x －2.当x ＝12时，原式＝－12－2＝－52. (2)3a ＋abc －13c 2－3a ＋13c 2. 合并同类项，原式＝abc.当a ＝－16，b ＝2，c ＝－3时，原式＝1.1．下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正．(1)2x 2＋3x 2＝5x 4；改：5x 2(2)3x ＋2y ＝5xy ；不是同类项(3)7x 2－3x 2＝4；改：4x 2(4)9a 2b －9ba 2＝0.对2．课本P 65，练习第1，2，3，4题．(教师巡视，关注中下程度的学生，适时给予指导，学生独立练习，选择中等程度的学生上黑板演算)．1．什么叫合并同类项？2．怎样合并同类项？3．合并同类项的依据是什么？。
沪科版七年级数学上册教学设计：3.5三元一次方程组及其解法(2课时)
1.通过解决三元一次方程组的问题，激发学生对数学的兴趣和好奇心，增强学生解决复杂问题的自信心。
-创设有趣的问题情境，让学生感受到数学学习的乐趣；
-对学生的进步给予及时的认可和鼓励，增强其学习动力。
2.培养学生团队合作意识，学会在集体中学习，在交流中成长。
-强化小组合作的重要性，鼓励学生在小组中发挥积极作用；
-例如：求解以下三元一次方程组：
\[
\begin{cases}
2x + 3y - z = 7 \\
x - 4y + 2z = 3 \\
5x + y + 3z = 8
\end{cases}
\]
2.实践应用题：提供2-3道与实际生活相关的题目，要求学生将实际问题抽象为三元一次方程组，并运用所学知识进行求解。这类题目旨在培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
2.操作：要求学生在规定时间内独立完成练习题，并鼓励他们展示解题过程。
3.反馈：教师对学生的解答进行点评，指出错误原因，给予正确的解题方法。
（五）总结归纳
在这一环节中，我将引导学生对所学知识进行总结归纳，帮助他们形成系统的知识体系。
1.回顾：提问学生本节课学习了哪些内容，引导他们回顾三元一次方程组的定义、解法等。
2.注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决策略，提高他们独立解题的能力；
3.加强学生团队合作与交流能力的培养，使他们能在集体中共同解决问题；
4.针对不同学生的学习特点，实施差异化教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：三元一次方程组的定义、解法及其在实际问题中的应用。
2.任务：要求学生讨论以下问题：
七级数学上册 3.5 三元一次方程组及其解法教案 (新版)沪科版
三元一次方程组及其解法教学目标知识与技能：理解三元一次方程组的含义，会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组过程与方法：掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路情感态度与价值观：灵活运用数学的化简思想教学重、难点重点：会解简单的三元一次方程组难点：灵活使用代入法、加减法等重要方法解方程组教学过程一、 导入新课前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些问题可以设出两 个未知数，列出二元一次方程组来求解，实际上，有不少问题中含有更多的未知数，大家看下面的问题，小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张？1. 题目中有几个未知数，你如何去设？2. 根据题意你能找到等量关系吗？3. 根据等量关系你能列出方程组吗？ 请大家分组讨论上述问题.学生成果展示：1． 设1元、2元、5元各x 张，y 张，z 张2． 三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍.3． 以上三种条件都要满足，因此可得到方程组12,2522,4,x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩①②③ 师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？思路：可以把③代入①②，便消去了x ，只包含y 和z 二元了，解此二元一次方程组得出y ，z ，进而代回原方程组可求x 。
二、 例题讲解例：解三元一次方程组347,239,5978,x z x y z x y z +=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩分析：让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较.解题步骤略归纳：此方正在的特点①不含y ，而②③中y 的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y 后，再与①组成关于x 和z 的二元一次方程组的解法最合理.三、 知识巩固甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数等 于丙数的32，求这三个数. 解：设甲乙丙三个数分别为x ，y ，z ，则35,25,3.2x y z x y y z ⎧⎪++=⎪-=⎨⎪⎪=⎩ 解得101610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 四、 课堂小结1. 学会三元一次方程组的基本解法.2. 掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想.五、 布置作业课本习题。
沪科版七年级数学上册3.5 三元一次方程组及其解法 教案
*3.5三元一次方程组及其解法
【教学目标】
1.学习什么是三元一次方程和三元一次方程组.
2.会解简单的三元一次方程组.
3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想.
【重点难点】
重点：
使学生会解简单的三元一次方程组，
经过本课教学进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法.
难点：针对方程组的特点，
选择最好的解法.
【教学过程设计】
师：让学生小组讨论解答教材第生：小组讨论完成.
【教学小结】
【板书设计】
3.5三元一次方程组及其解法
定义：由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组.。
七年级数学上册 3.5 三元一次方程组及其解法学案 (新版)沪科版
三元一次方程组及其解法学前温故1．由两个一次方程组成的，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2．解二元一次方程组的基本思想是消元．3．解二元一次方程组的消元方法有：代入法和加减法．新课早知1．由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组．2．解三元一次方程组的办法，类似解二元一次方程组，一般是通过逐步减少未知数的个数(即消元)，先转化为二元一次方程组再转化为一元一次方程解．3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b ＋c ＝1，a ＋c ＝1的解是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝13，c ＝23B ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝1C ．⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13，b ＝23，c ＝13D ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，c ＝12答案：D1．解三元一次方程组【例1】 解三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝7，5x ＋3y －2z ＝2，3x ＋4z ＝4.①②③分析：解三元一次方程组时，要观察方程含有未知数的特点及未知数系数的特点，来确定选用代入法或加减法．本题方程①能用x 表示出y ，所以适宜采用代入法．解：由方程①，得y ＝2x －7.④由方程③，得z ＝4－3x4.⑤将④⑤分别代入到②中，得5x ＋3(2x －7)－2×4－3x4＝2，解得x ＝2.将x ＝2分别代入到④⑤中，得y ＝－3，z ＝－12.所以三元一次方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，z ＝－12.点拨：解三元一次方程组的基本思想是消元．方法同二元一次方程组，利用代入法或加减法，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程．2．巧解三元一次方程组【例2】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，①y ＋z ＝5，②x ＋z ＝6.③分析：该方程组中未知项的系数都为1，消哪一个未知数都可以，关键是目标要始终如一．解：方法一：(消z )因定的目标是消z ，方程①不含z ，已经符合要求，再由②，③结合消去z ，得不含z 的另一方程即可．③－②，得x －y ＝1.④①和④组成方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把x ＝2代入③，得z ＝4.所以三元一次方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，z ＝4.方法二：①＋②＋③，得2x ＋2y ＋2z ＝14，即x ＋y ＋z ＝7.④④－②，得x ＝2.由④－③，得y ＝1.④－①，得z ＝4.所以三元一次方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，z ＝4.点拨：此方程组中x ，y ，z 的次数相同，系数也相同，地位相似．根据这个特点，将方程的两边分别相加解决较简便．1．下列方程中，是三元一次方程组的是( )． A ．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，y ＋4x ＝3B ．⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝7z ，2x －yz ＝4 C ．⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，y －3z ＝2，4x －z ＝0D ．⎩⎪⎨⎪⎧3x －yz ＝6，x －y ＝1，xz －3y ＝8答案：C2．三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋z ＝7，2x －y ＋3z ＝12，3x ＋y ＋2z ＝13的解是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，z ＝1C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝2D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，z ＝3答案：D3．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，y ＋z ＝－2，z ＋x ＝3，则x ＋y ＋z ＝__________.答案：34．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋z ＝13，x ＋y ＋2z ＝7，2x ＋3y －z ＝12.①②③解：①＋③，得5x ＋5y ＝25，即x ＋y ＝5.④①×2－②，得5x ＋3y ＝19.⑤由④⑤组成二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，5x ＋3y ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.将x ＝2，y ＝3代入到①中，得z ＝1.所以三元一次方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，z ＝1.5．解三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝26，x －y ＝1，2x －y ＋z ＝18.①②③解：由①－③，得－x ＋2y ＝8.④联立②④得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，－x ＋2y ＝8.②④由②＋④，得y ＝9.把y ＝9代入②，得x ＝10.把x ＝10，y ＝9代入①，得z ＝7.所以三元一次方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝9，z ＝7.。
沪科版七年级上册 数学 教案 3.5 三元一次方程组及其解法
沪科版义务教育教科书初中数学七上3.5 三元一次方程组及其解法一、教材内容“三元一次方程组及其解法”是沪科版七年级数学上册第三章第五节的教学内容（选学），《义务教育教学课程标准（2011年版）》中明确要求“能解简单的三元一次方程组”，因为这对后续用待定系数法求解二次函数解析式、圆的一般方程等带来方便，同时进一步熟悉解方程组时“消元”方法的运用，体会解方程组的基本思想是转化与化归.二、教学目标1．了解三元一次方程组的概念，面对一个方程组能甄别出是否是三元一次方程组；2. 会用消元法解简单三元一次方程组，在消元过程中进一步体会化归思想，感受运用转化思想的必要性；3．让学生通过自己的探索、比较、分析、归纳等活动去发现一些规律，体会一些数学学习的思想方法，从而激发学生的求知欲望和学习兴趣.三、教学重难点重点：会用消元法解简单的三元一次方程组.难点：能针对方程组的特点，确定选择消哪个元，选择用什么方法消元.四、教学准备多媒体课件实物投影仪五、教学方法精讲点拨、小组合作、启发式教学六、教学过程环节一：复习生长问题1：快速解方程组：{x+5y=3 x−6y=−8再现思路：二元一次方程组一元一次方程【设计意图】二元一次方程组学完后，如果再次用实际问题启动三元一次方程组的学习有重复之嫌，不能很好地体现二元与三元的内在关联，使得解三元一次方程组方法的出现有点突兀、不自然.因此通过复习二元一次方程组，在不断的调适中，把新的知识固着在呈稳定状态的“四基”之上，使得新知的学习自然而然，顺乎内在关联与学生的认知消元环节二：概念引入问题2：若以上方程组的解也是方程x+2y+z=3的解，求z的值. 预设：代入求解.问题3：请同学们思考，第3个方程能否和前两个方程放在一起，即变成{x+5y=3 x−6y=−8 x+2y+z=3呢？预设：能，因为前两个方程的解和第3个方程的解是相同的，它们是同解方程，故可联立在一起构成新的方程组.追问1：这是二元一次方程组吗？追问2：是什么方程组？预设：三元一次方程组.（板书课题）追问3：哪什么样的方程组是三元一次方程组？预设：由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.及时练习：判断下列方程组哪些是三元一次方程组：（1）{ x+2y+z=32x+y−z=34x−3y−z=5（2）{2x=10x2−y+z=82x+3y−4z=4（3）{ x+y=1y+z=3x+z=6（4）{xy=3x−6y=8x+2y+z=3【设计意图】一方面让学生体会三元与二元之间的关联，为下一步探究三元一次方程组的解法做好准备，另一方面引入课题，完成预设的教学目标1.环节三：解法探究问题4：下面我们的主要任务就是学习如何去解一个三元一次方程组.先来看刚才得到的这个三元一次方程组，大家知道如何去求它的解吗？{ x+5y=3 ①x−6y=−8 ②x+2y+z=3 ③预设:先由方程①和②组成的二元一次方程组求出x，y的值，再代入方程③中，求出z变式1：解方程组：{ x+5y=3 ①2x−4y+z=−5 ②x+2y+z=3 ③预设：由于第①个方程没有未知数z，故可通过第②，③个方程把z消去，即可转化成关于x，y的二元一次方程组，先求出x，y，再代入②或③求出z.变式2：解方程组：{ −x+y−2z=−3 ①2x−4y+z=−5 ②x+2y+z=3 ③预设：通过观察系数，消去x比较合适.由+得3y-z=0；得，这样就先通过两次消去同一个未知数得到一个二元一次方程组，转化为与前面相同.问题5：通过以上探究，你能说说解三元一次方程组的基本思路吗？预设：三元二元一元（思维路径）定元消元代入（具体手段）【设计意图】通过渐次增加未知数个数逐步提升求解难度的方式落实解法的教学，二个变式基于原始方程组，三元与二元的内部关联，一脉相承，学生在步步推进中顺乎自然地学会了解法，进一步领悟了转化与化归的功用，初步达成教学目标2、3.环节四：巩固练习1.解方程组：{x+y+z=6 2x+3y−z=4 3x−y+z=82.应用拓展在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.预设：考虑到学情，如果学生有困难，可以在课堂上适当启发引导.【设计意图】通过练习进一步达成教学目标2，并从教学整体考虑，为待定系数法求二次函数解析式打下基础.环节五：课堂小结预设提问：1.解三元一次方程组的基本思想是什么？用的是什么方法？2.解三元一次方程组前要认真观察各方程系数的特点，选择恰当的消元解法.通过本节课的学习，你对于选择消元的方法有什么心得？预设：（1）当方程组中某个方程只含有二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，另两个方程就用加减法消哪个元；（2）当方程组中各个方程的同一个元的系数的绝对值相同或成倍数关系，就用加减法消去这个元；（3）若方程组中三个方程均含有三个未知数，通常要进行两次消元才能转化为二元一次方程组，但要注意两次必须消去同一个元。
沪科版七年级上册数学课件：三元一次方程组及其解法
④
③与④组成方程组
x 4 y， 4x 3y
38．
解这个方程组，得
x
y
8， 2．
解决问题
把 x=8，y=2代入①，得
8 2 z 12
所以 z=2.
因此，这个三元一次方程组的解为
x 8，
y
2，
z 2．
答：1元、2元和5元纸币分别为8张、2张、2张．
总结提炼
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代 入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“ 二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次 方程组，进而再转化为解一元一次方程．
3.5 三元一次方程组及其解法
复习提问
（1）二元一次方程组的概念是什么？ （2）解二元一次方程组的基本方法有哪几种 ？它们的实质是什么？
基本方法：代入法和加减法；实质：消元． 二元一次方程组 消元 一元一次方程
解下列方程组：
2x+3y=7 x-3y=-1
解得： Ｘ＝2 Ｙ＝１
提出问题
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5 元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是 2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币 各多少张？
分析： （1）题目中有几个未知量？ （2）题目中有哪些等量关系？ （3）如何用方程表示这些等量关系？
明确概念
设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张 和z张．
x y z 12， x 2 y 5z 22， 把三个方程合在一起
x 4 y．
含有三个未知数，每个方程中含未知数 的项的次数都是1，并且一共有三个方程， 像这样的方程组叫做三元一次方程组．
消元
消元
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
2018年秋七年级数学上册 3.5 三元一次方程组及其解法教案1 (新版)沪科版
*3.5 三元一次方程组及其解法1．理解三元一次方程(组)的概念；2．能解简单的三元一次方程组．(重点、难点)一、情境导入《九章算术》里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．问上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？二、合作探究探究点一：三元一次方程组的有关概念下列方程组中，是三元一次方程组的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0解析：A 选项中，方程x 2－y ＝1与xz ＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中方程组含有四个未知数，故C 选项不是；D 选项符合三元一次方程组的定义，故答案为D. 方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．探究点二：三元一次方程组的解法解下列三元一次方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y ＋x ，①2x －3y ＋2z ＝5，② x ＋2y ＋z ＝13；③(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝11，①x ＋y ＋z ＝0，②3x －y －z ＝－2.③解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z 可得到关于x 、y 的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z ，用①加上③也可消去z ，进而得到关于x 、y 的二元一次方程组．解：(1)将①代入②、③，消去x ，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，2x ＋3y ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.把x ＝2，y ＝3代入①，得z ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，z ＝5；(2)①－②，得x ＋2y ＝11.④①＋③，得5x ＋2y ＝9.⑤④与⑤组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝11，5x ＋2y ＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝234. 把x ＝－12，y ＝234代入②，得z ＝－214. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝234，z ＝－214. 方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中未知数的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一未知数的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法．探究点三：三元一次方程组的应用一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的34，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x ，y ，z ，则原三位数可表示为100x ＋10y ＋z .解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x 、y 、z .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34z ，x ＋y ＝z ＋1，100z ＋10y ＋x ＝100x ＋10y ＋z ＋495， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，z ＝8.答：原三位数是368.方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a ，个位上的数字为b ，那么这个两位数可表示为10a ＋b ；如果一个三位数的百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，那么这个三位数可表示为100a ＋10b ＋c ，依此类推．三、板书设计 三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧三元一次方程组的概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，感受数学知识之间的密切联系；增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯．本文档仅供文库使用。
沪科版-数学-七年级上册-3.5 三元一次方程组及其解法 教案
3.5 三元一次方程组及其解法教学目标1．会解简单的三元一次方程组．2．进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法． 教学重难点1．掌握三元一次方程组的解法．2．针对方程组的特点，选择最好的解法．教学过程导入新课(1)解二元一次方程组的基本方法有哪几种？(2)解二元一次方程组的基本思想是什么？(3)甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝26，①x －y ＝1，②2x ＋z －y ＝18. ③这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学习的三元一次方程组．推进新课问题1：怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？学生活动：思考、讨论后说出消元方案．教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得x ＝y ＋1④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去x ，得到只含y ，z 的二元一次方程组．解：由②，得x ＝y ＋1.④把④代入①，得2y ＋z ＝25.⑤把④代入③，得y ＋z ＝16.⑥⑤与⑥组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＋z ＝25，y ＋z ＝16. 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝9，z ＝7. 把y ＝9代入④，得x ＝9＋1，x ＝10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝9，z ＝7.注意：a.得二元一次方程组后，解二元一次方程组的过程在练习本上完成．b ．求得y ＝9，z ＝7后，求x ，要代入前面最简单的方程④.c ．检验．这道题也可以用加减法解，②中不含z ，那么可以考虑将①与③结合消去z ，与②组成二元一次方程组．问题2：例题分析例1 解方程组： 23,(1)2 3.(2)245,(3)⎧=⎪--=-⎨⎪-=-⎩x +y +z x y +z x +y z解：先用加减消元法消去x ：（2）+（1）×2，得y+5z=3. （4）（3）-（1），得y-6z=-8. （5）下面解由（4）（5）联立成的二元一次方程组：（4）-（5），得11z=11，（6）所以z=1 （7）将（7）代入（4），得y=-2.将y ，z 的值代入到（1），得x=3.所以321⎧=⎪=-⎨⎪⎩x y z =代入原方程组检验，知道这的确是原方程组的解.上面是先通过消元，消去（2）和（3）中x ，将原方程组化成23,(1)53,(4)68,(5)⎧=⎪=⎨⎪-=-⎩x +y +z y +z y z再通过消元，消去（5）中y ，化成23,(1)53,(4)1111,(6)⎧=⎪=⎨⎪=⎩x +y +z y +z z然后，由（6）化简得z=11.再将z 值回代（4），解得y=-2，最后将y ，z 值回代（1），解得x=3.通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组化为简单易解的形如由（1）（4）（6）联立成的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程就称为用消元法解三元一次方程组.例2 解方程组：3239,(1)2334.(2)2326,(3)⎧=⎪=⎨⎪=⎩x +y +z x +y +z x +y +z解：将方程（3）前移为第1个方程，将方程（1）和（2）分别后移为第2个和第3个方程，得2326,(4)3239,(5)2334.(6)⎧=⎪=⎨⎪=⎩x +y +z x +y +z x +y +z（5）-（4）×3，（6）-（4）×2，得2326,(4)4839,(7)518.(8)⎧=⎪--=-⎨⎪--=-⎩x +y +z y z y z（8）+（7）例3. 幼儿营养标准中要求一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A,B,C 三种食物，下表给出的是每份（50 g ）食物A,B,C 分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）.（1）如果设食谱中A,B,C 三种食物各为x ，y ，z 份，请列出方程组，使得A,B,C 三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A,B,C 的份数.解：（1）设食谱中A,B,C 三种食物各为x ，y ，z 份，由食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组551035,(1)20101070.(2)515535,(3)⎧=⎪=⎨⎪=⎩x +y +z x +y +z x +y +z（2）（2）-（1）×4，（3）-（1），得551035,(1)103070.(4)1050,(5)⎧=⎪--=-⎨⎪-=⎩x +y +z y z y z（5）+（4），得551035,(1)103070.(4)3570,(6)⎧=⎪--=-⎨⎪-=-⎩x +y +z y z z再通过回代，解得z=2，y=1，x=2.答：该食谱中包含A 种食物2份，B 种食物1份，C 种食物2份.巩固训练1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4z ＝7，①2x ＋3y ＋z ＝9，②5x －9y ＋7z ＝8.③解：②×3＋③，得11x ＋10z ＝35.④①与④组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4z ＝7，11x ＋10z ＝35. 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，z ＝－2. 把x ＝5，z ＝－2代入②，得2×5＋3y －2＝9，y ＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝13，z ＝－2.归纳：这个方程组的特点是方程①不含y ，而②，③中y 的系数的绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②，③中消去y 后，再与①组成只含x ，z 的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③较繁琐．本课小结通过这节课的学习，我们学会了什么？还有什么困惑？1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般地，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．3．注意检验．。
2017_2018学年七年级数学上册3.5三元一次方程组及其解法教案新版沪科版20171031246
*3.5三元一次方程组及其解法1．会解简单的三元一次方程组．2．进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．重点三元一次方程组的解法．难点三元一次方程组的解法过程中的方法选择．一、复习旧知，导入新知(1)解二元一次方程组的基本方法有哪几种？(2)解二元一次方程组的基本思想是什么？(3)甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．教师：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？学生活动：回答问题、设未知数、列方程．这个问题必须三个条件都满足，因此，我们设甲、乙、丙分别为x，y，z，列方程，再把三个方程合在一起，写成下面的形式：x＋y＋z＝26，①x－y＝1，②{2x＋z－y＝18. ③)这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学习的三元一次方程组(板书课题)．二、自主合作，感受新知回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．三、师生互动，理解新知探究点：三元一次方程组及其解法问题1：怎样解上面的三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？学生活动：思考、讨论后说出消元方案．教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得x＝y＋1④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去x，得到只含y，z的二元一次方程组．解：由②，得x＝y＋1.④把④代入①，得2y＋z＝25.⑤把④代入③，得y＋z＝16.⑥2y＋z＝25，⑤与⑥组成方程组{y＋z＝16. )1y ＝9，解这个方程组，得{z ＝7. )把 y ＝9代入④，得 x ＝10.x ＝10，所以{z ＝7. )y ＝9，注意：a.得二元一次方程组后，解二元一次方程组的过程在练习本上完成．b ．求得 y ＝9，z ＝7后，求 x ，要代入前面最简单的方程④.c ．检验．这道题也可以用加减法解，②中不含 z ，那么可以考虑将①与③结合消去 z ，与②组成二 元一次方程组．学生活动：在练习本上用加减法解方程组．3x ＋4z ＝7， ①问题 2：解方程组{5x －9y ＋7z ＝8. ③)2x ＋3y ＋z ＝9， ② 学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减 法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．解：②×3＋③，得 11x ＋10z ＝35.④3x ＋4z ＝7，①与④组成方程组{11x ＋10z ＝35.)x ＝5，解这个方程组，得{z ＝－2.)把 x ＝5，z ＝－2代入②，得 2×5＋3y －2＝9，x ＝5， 1 13{z ＝－2.)3 y ＝ .所以 y ＝ ，这个方程组的特点是方程①不含 y ，而②，③中 y 的系数的绝对值成整数倍关系，显然用 加减法从②，③中消去 y 后，再与①组成只含 x ，z 的二元一次方程组的解法最为合理．而用 代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③较繁琐．归纳：通过消元，将一个较复杂的三元一次方程组化为简单易解的阶梯型方程组，从而通 过回代得出其解，整个求解过程就称为用消元法解三元一次方程组．四、应用迁移，运用新知1．三元一次方程组的有关概念例 1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )1 ＋1＝1，xx 2－y ＝1，1{＋x＝6 ) A.{x＋z＝xz＝2)0，B.＋z＝2，y1za＋b＋c＋d＝1，m＋n＝18，C.{a b－c d＝23，)D.{n t＋t m＝102，)2解 析：A 选项中，方程 x 2－y ＝1与 xz ＝2中含未知数的项的次数为 2，不符合三元一次方1 1 1 程组的定义，故 A 选项不是；B 选项中 ，， 不是整式，故 B 选项不是；C 选项中方程组含有x y z四个未知数，故 C 选项不是；D 选项符合三元一次方程组的定义．方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程 中含未知数的次数都是 1；(3)方程组中共有三个整式方程．2．三元一次方程组的解法例 2 解下列三元一次方程组：z ＝y ＋x ， ① 2x ＋3y ＋z ＝11，①(1){2x x ＋－23y y ＋＋z2＝z ＝135；， ③②)(2){x ＋y ＋z ＝0， ② 3x －y －z ＝－2. ③)解 析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去 z 可得到关于 x 、y 的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用① 减去②可消去 z ，用①加上③也可消去 z ，进而得到关于 x 、y 的二元一次方程组．解：(1)将①代入②、③，消去 z ，得4x －y ＝5，x ＝2， {2x ＋3y ＝13.) {y ＝3. )解得 把 x ＝2，y ＝3代入①，得 z ＝5.x ＝2，y ＝3，所以原方程组的解为{z ＝5；)(2)①－②，得 x ＋2y ＝11.④ ①＋③，得 5x ＋2y ＝9.⑤ 1 x ＝－ ， x ＋2y ＝11， 25x ＋2y ＝9. ){. )④与⑤组成方程组{ 解得 234y ＝ 1 23 21 把 x ＝－ ，y ＝ 代入②，得 z ＝－ . 2 4 41 x ＝－ ， 223所以原方程组的解是{.)y ＝ ， 421 z ＝－ 4方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中未知数的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一未知数的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法．3．三元一次方程组的应用3例3一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之4和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100x3＋10y ＋z.解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为 x 、y 、z.由题意，3 y ＝ z ， 4得{100z ＋10y ＋x ＝100x ＋10y ＋z ＋495.) x ＋y ＝z ＋1，x ＝3，解得{z ＝8. )y ＝6，答：原三位数是 368.方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字 为 a ，个位上的数字为 b ，那么这个两位数可表示为 10a ＋b ；如果一个三位数的百位上的数字 为 a ，十位上的数字为 b ，个位上的数字为 c ，那么这个三位数可表示为 100a ＋10b ＋c ，依此 类推．五、尝试练习，掌握新知课本 P 116练习、P 118练习第 1、2题．《·》“随堂演练”部分．六、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？本节课学习了(1)解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？消元 消元三元 ― ― →二元 ― ― →一元方法：代入法、加减法(2)解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二 元时，一般地，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方 程系数较简单，也可以用代入法求解．(3)注意检验．七、深化练习，巩固新知4。
2020年秋七年级数学上册 3.5 三元一次方程组及其解法教案1 (新版)沪科版
*3.5 三元一次方程组及其解法1．理解三元一次方程(组)的概念；2．能解简单的三元一次方程组．(重点、难点)一、情境导入《九章算术》里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．问上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？二、合作探究探究点一：三元一次方程组的有关概念下列方程组中，是三元一次方程组的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3 D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0解析：A 选项中，方程x 2－y ＝1与xz ＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中方程组含有四个未知数，故C 选项不是；D 选项符合三元一次方程组的定义，故答案为D.方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．探究点二：三元一次方程组的解法解下列三元一次方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y ＋x ，①2x －3y ＋2z ＝5，② x ＋2y ＋z ＝13；③(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝11，①x ＋y ＋z ＝0，②3x －y －z ＝－2.③解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z 可得到关于x 、y 的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z ，用①加上③也可消去z ，进而得到关于x 、y 的二元一次方程组．解：(1)将①代入②、③，消去x ，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，2x ＋3y ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.把x ＝2，y ＝3代入①，得z ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，z ＝5；(2)①－②，得x ＋2y ＝11.④①＋③，得5x ＋2y ＝9.⑤④与⑤组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝11，5x ＋2y ＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝234.把x ＝－12，y ＝234代入②，得z ＝－214. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝234，z ＝－214. 方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中未知数的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一未知数的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法．探究点三：三元一次方程组的应用一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的34，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x ，y ，z ，则原三位数可表示为100x ＋10y ＋z .解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x 、y 、z .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34z ，x ＋y ＝z ＋1，100z ＋10y ＋x ＝100x ＋10y ＋z ＋495，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，z ＝8.答：原三位数是368.方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a ，个位上的数字为b ，那么这个两位数可表示为10a ＋b ；如果一个三位数的百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，那么这个三位数可表示为100a ＋10b ＋c ，依此类推．三、板书设计三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧三元一次方程组的概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，感受数学知识之间的密切联系；增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯．。
沪科版数学七年级上册《3.5 三元一次方程组及其解法》教学设计1
沪科版数学七年级上册《3.5 三元一次方程组及其解法》教学设计1一. 教材分析《3.5 三元一次方程组及其解法》是沪科版数学七年级上册的一个重要内容。
此章节主要介绍了三元一次方程组的定义、解法和应用。
学生通过学习此章节，能够掌握三元一次方程组的基本概念和解法，并为后续学习更复杂的方程组打下基础。
二. 学情分析学生在学习此章节前，已经掌握了二元一次方程组的知识，具备了一定的解方程组的能力。
然而，三元一次方程组相较于二元一次方程组更加复杂，需要学生能够灵活运用已知知识进行解决问题。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生对已知知识的掌握情况，以及他们解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解三元一次方程组的定义和特点，理解其解法的原理。
2.能够运用加减消元法和代入消元法解决简单的三元一次方程组。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：三元一次方程组的定义、解法的原理和应用。
2.教学难点：三元一次方程组的解法及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解三元一次方程组的定义、解法的原理和应用，帮助学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：教师通过举例讲解和引导学生分析实际问题，培养学生的解决问题的能力。
3.小组合作法：学生分组讨论和合作解决问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT：教师准备相关的教学PPT，内容包括三元一次方程组的定义、解法的原理和应用等。
2.实际问题：教师准备一些实际问题，用于引导学生应用所学知识解决实际问题。
3.练习题：教师准备一些练习题，用于巩固学生对三元一次方程组的理解和应用能力。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，引发学生对三元一次方程组的兴趣，并提出问题引导学生思考。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现三元一次方程组的定义、解法的原理和应用的相关内容，并进行讲解和解释。
3.操练（15分钟）教师给出一些简单的三元一次方程组，引导学生运用加减消元法和代入消元法进行求解，并引导学生总结解题思路和方法。
沪科初中数学七上《3.5 三元一次方程组及其解法》word教案
7.3三元一次方程组及其解法教案许宝川教学目标：（1）了解三元一次方程组的概念.（2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组． （3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路． （4）通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本 思路. 教学重难点： 教学重点：（1）使学生会解简单的三元一次方程组．（2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想． 教学难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法． 教学过程：一、回顾旧知，引入新课在7.2节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在我们的小世界杯足球赛第一轮比赛中胜与平的场数。
问题回顾 暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛。
比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。
勇士队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分。
那么这个队胜了几场？又平了几场呢？ 解：设勇士队胜了x 场，平了y 场，则胜 平 负 合计 每场得分 3 1 0 场数 x y 2 9 总得分3xy17⎩⎨⎧=+=++17392y x y x 解得⎩⎨⎧==25y x 提出问题：在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分。
已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中，胜、负、平的场数各是多少？解：设勇士队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，则胜 平 负 合计 每场得分 3 1 0 场数 x y z 10 总得分3xy18⎪⎩⎪⎨⎧+==+=++z y x y x z y x 18310 引出定义：像这种含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程组。
一般情况下，三元一次方程组有三个方程，但不一定每个方程都出现三个未知数。
二、探究三元一次方程组的解法怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(展开思路，畅所欲言)解方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+=++③②①z y x y x z y x 18310解:把③分别带入①②得⎩⎨⎧=++=+++18)(310y z y z y z y 整理得⎩⎨⎧=+=+⑤④18341022z y z y由⎩⎨⎧⨯⨯12⑤④得⎩⎨⎧=+=+⑦⑥18342044z y z y由⑦⑥-得2=z把2=z 代入④得1042=+y ， 即 3=y 把2=z ，3=y 代入③ 得5=x所以⎪⎩⎪⎨⎧===235z y x试一试:你能用其他的方法来解上面的三元一次方程吗？学生练习：解方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧==++=++yx z y x z y x 4225212（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=+-1327233432z y x z y x z y x三、课堂小结1.解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．即三元一次方程组 u u u u u u u u u u r 消元二元一次方程组u u u u u u u u u u r 消元一元一次方程四、布置作业1. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+211920z x z y y x ，你能有多少种方法求解它？本题方法灵活多样，有利于学生广开思路进行解法探究。
沪科版七年级上册数学全册精品学案设计3.5三元一次方程组及其解法
例3、一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三位数。
导航：1、想一想：消去哪个未知数最简便。
2、是代入还是加减。
导航：1、代入后得a、b、c的方程。
2、三个方程组成方程组。
导航：根据题意设出三个未知数，根据三句话列出三个方程。
三、
反
馈
10
分
钟
自主测评：
1、三个数x、y、z的和是35，列方程得.
2、观察方程组 ，你认为先消去字母最简单，消元后的二元一次方程组为
3、由方程组 可得x+y+z=
4、要把一张面值为5元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元、5角的人民币，那么共有种换法。
5、若|x－3y+5|+（3x+y－5 +|x+y－3z|=0，则（）
A B C D
6、已知 ax+y-zb5cx+z-y与－ a11by+z-xc的和是单项式，求x、y、z.
7、某农场300名职工耕种51公顷土地，分别种植水稻、蔬菜和棉花，种这些农作物每公顷所需职工数与每公顷的预计产值如下表：
农作物
（2）水稻公顷数+蔬菜公顷数+棉花公顷数=51
（3）水稻产值+蔬菜产值+棉花产值=③消去x得到关y、z的二元一次方程为；同时将①、②代入③得，则y=。将y=代入①得x=，代入②得z=，所以方程组的解为。
3、解三元一次方程组的基本思路是：通过或进行消元，把化为，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解。
七年级上册数学第3章3.5三元一次方程组及其解法沪科版 (共29张PPT)
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( D )
x2 y 1
A.
y
z
0
xz
2
a b c d 1 C. a c 2
b d 3
1 x
y
1
B.
1 y
z
2
1
x
6
z
m n 18 D. n t 12
x y 2z 3, ① 例2 解方程组：2x y z 3, ②
x 2 y 4z 5. ③
解：先用加减消元法消去x: ② +①×2,得y+5z =3. ④ ③-①，得y -6z = -8. ⑤ 下面解由④ ⑤联立成的二元一次方程组： ④-⑤，得11z=11. ⑥
所以z=1. ⑦ 将⑦代入④，得y=-2.
3.解三元一次方程组的一般步骤： (1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未
知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数
比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．
15
C
10
10
5
(1)如果设食谱中A,B, C三种食物各为x, y, z份, 请列出 方程组，使得A, B,C三种食物中所含的营养量刚 好满足幼儿营养标准中的要求.
(2)解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，C 的份数.
x y z 2. ③
经过步骤①－③和③×4＋②消去未知数z后，得 到的二元一次方程组是( )
沪科版七年级数学上册说课稿：3.5三元一次方程组及其解法(2课时)
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我会按照以下步骤逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.首先介绍三元一次方程组的定义和表示方法，通过具体例子让学生直观感知三元一次方程组的形式。
2.接着讲解三元一次方程组的解的概念，通过示例演示如何找到方程组的解。
3.然后分步骤讲解代入法和消元法解三元一次方程组的步骤，每一步都配合例题进行详细讲解。
4.在讲解过程中，我会通过提问、板书、互动等方式，确保学生能够跟上教学进度，并及时纠正学生的误解。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.设计一系列三元一次方程组的练习题，包括基础题和提升题，让学生在课堂上完成。
沪科版七年级数学上册说课稿：3.5三元一次方程组及其解法（2课时）
一、教材分析
（一）内容概述
本节课是沪科版七年级数学上册第三章第五节“三元一次方程组及其解法”，共计2课时。本节课的教学内容在整个课程体系中属于代数部分，是二元一次方程组解法的延伸和拓展。主要知识点包括：
1.三元一次方程组的定义和表示方法。
3.数学软件或在线工具：用于演示三元一次方程组的解法，提供动态的视觉体验，帮助学生理解抽象概念。
这些媒体资源在教学中的作用是，提高教学效率，增强学生的学习兴趣，以及帮助学生更好地理解和掌握复杂概念。
（三）互动方式
我计划以下设计师生互动和生生互动的环节：
1.师生互动：在教学过程中，我会提问学生，鼓励他们表达自己的思考和疑问，并对他们的回答给予即时反馈，以促进知识的理解和深化。
2.三元一次方程组的解的概念。
3.解三元一次方程组的基本方法：代入法和消元法。
沪科版七年级数学上册优秀教学案例：3.5三元一次方程组及其解法(2课时)
3.通过展示实际案例，让学生了解三元一次方程组在生活中的应用，激发学生的学习兴趣和求知欲。
（二）问题导向
1.引导学生回顾已学的二元一次方程组知识，提问：“如何将二元一次方程组扩展为三元一次方程组？”激发学生的思考。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一个实际问题：某停车场有两种收费方式，第一种是每小时收费3元，第二种是每半小时收费2元，试问：如果一辆车在停车场停车了2小时10分钟，应该如何计算其停车费用？
2.引导学生思考并讨论这个问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
3.提出问题：“这个问题涉及到几个未知数？如何用方程来表示这个问题？”引出三元一次方程组的概念。
在本节课的教学过程中，我将注重引导学生主动探究，激发学生的思维活力，使学生在实践中掌握知识，提高能力。同时，通过富有启发性的问题和实际案例，让学生感受到数学的趣味性和实用性，培养学生的数学情感和价值观。在整个教学过程中，我将关注学生的个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，让每个学生都能在课堂上得到有效的学习。
在本节课的教学过程中，我将注重引导学生主动探究，激发学生的思维活力，使学生在实践中掌握知识，提高能力。同时，通过富有启发性的问题和实际案例，让学生感受到数学的趣味性和实用性，培养学生的数学情感和价值观。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体展示一个实际问题，如停车场车辆收费问题，引出三元一次方程组的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。
3.教师巡回指导，针对不同小组的问题，给予适当的提示和帮助，促进学生的思考和发展。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己在学习过程中的思考、探索和解答进行反思，培养学生自我评价和反思的能力。
沪科版七年级数学上册教案：3.5 三元一次方程组及其解法
*3.5 三元一次方程组及其解法【学习目标】1．理解三元一次方程组的含义．2．掌握三元一次方程组的解法和应用．通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程来解．【学习重点】会解三元一次方程组及其应用．【学习难点】灵活运用代入法、加减法等解三元一次方程组．行为提示：创设情境，引导学生探究新知．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．说明：典例中A 、C 两项中含有四个未知数，D 项中含有三个未知数但第二个方程不是一次方程．方法指导：方程②不含有未知数z ，可通过③－①，消去未知数z ，然后把所得到的方程与方程②组合成二元一次方程组，通过解这个二元一次方程组可求得x 、y 的值，进而求得原方程组的解．情景导入 生成问题 旧知回顾：1．什么是二元一次方程？答：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．2．足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队参加了10场比赛，共得18分．已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队胜、平、负各几场？解：设胜x 场，平y 场，负z 场，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝10，x ＝y ＋z ，3x ＋y ＝18.自学互研 生成能力知识模块一 三元一次方程组阅读教材P 114～P 118的内容，回答下列问题：问题：什么是三元一次方程组？答：由三个一次方程组成的含有3个未知数的方程组叫做三元一次方程组．典例：下列方程组是三元一次方程组的是( B )A .⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＋z ＝－8，x ＋y ＋m ＝3，x －2y ＋z ＝21B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，z ＝3C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＋z ＝－1，z ＋w ＝8D .⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9，2d －ab ＝2，a －b ＋d ＝0仿例：下列方程组是三元一次方程组的是( A )A .⎩⎨⎧x ＋2y ＋z ＝1，x ＋y ＝0，y ＝2 B .⎩⎨⎧1x ＋1y ＋1z ＝3，2x ＋2y ＋3z C .⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝3，xz ＝4，yz ＝6 D .⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y ＝2，y ＋z ＝3知识模块二 三元一次方程组的解法问题：解三元一次方程组基本思路是什么？答：解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．典例：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝26，①x －y ＝1，②2x －y ＋z ＝18.③解：③－①，得x －2y ＝－8.④联立②④组成方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x －2y ＝－8.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝9. 把x ＝10，y ＝9代入①，得z ＝7，所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝9，z ＝7.提示：解三元一次方程组的方法：1．把方程组中的一个方程与另两个方程分别相结合消去同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；2．解这个二元一次方程组，将求得的两个未知数的值代入原方程组某一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到原方程组的解．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学——帮扶学——组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间． 仿例：已知关于x 的代数式ax 2＋bx ＋c ，且x ＝－1时，代数式的值为－1；x ＝0时，代数式的值为2；x ＝1时，代数式的值为3.则a 、b 、c 的值为( C )A ．a ＝1，b ＝2，c ＝2B ．a ＝1，b ＝－2，c ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2，c ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2，c ＝2变例：(1)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有( C )A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种(2)若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝k －3，x －2y ＝2k ＋1的解互为相反数，则k ＝85,.) 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 三元一次方程组知识模块二 三元一次方程组的解法检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________。
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3.5 三元一次方程组及其解法
教学目标
1．会解简单的三元一次方程组．
2．进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法． 教学重难点
1．掌握三元一次方程组的解法．
2．针对方程组的特点，选择最好的解法．
教学过程
导入新课
(1)解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
(2)解二元一次方程组的基本思想是什么？
(3)甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
教师：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？
学生活动：回答问题、设未知数、列方程．
这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝26，①x －y ＝1，②
2x ＋z －y ＝18. ③
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学习的三元一次方程组(板书课题)．
推进新课
问题1：教师：怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？
学生活动：思考、讨论后说出消元方案．
教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得x ＝y ＋1④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去x ，得到只含y ，z 的二元一次方程组．
解：由②，得
x ＝y ＋1.④
把④代入①，得
2y ＋z ＝25.⑤
把④代入③，得
y ＋z ＝16.⑥
⑤与⑥组成方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
2y ＋z ＝25，
y ＋z ＝16.
解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝9，z ＝7.
把y ＝9代入④，得
x ＝9＋1，x ＝10.
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10，y ＝9，
z ＝7.
注意：a .得二元一次方程组后，解二元一次方程组的过程在练习本上完成．
b ．求得y ＝9，z ＝7后，求x ，要代入前面最简单的方程④.
c ．检验．
这道题也可以用加减法解，②中不含z ，那么可以考虑将①与③结合消去z ，与②组成二元一次方程组．
学生活动：在练习本上用加减法解方程组．
问题2：例题分析
【例题】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4z ＝7，①2x ＋3y ＋z ＝9，②
5x －9y ＋7z ＝8.③
学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．
解：②×3＋③，得
11x ＋10z ＝35.④
①与④组成方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4z ＝7，
11x ＋10z ＝35. 解这个方程组，得⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝5，z ＝－2. 把x ＝5，z ＝－2代入②，得
2×5＋3y －2＝9，
y ＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝13，z ＝－2.
即时归纳：这个方程组的特点是方程①不含y ，而②，③中y 的系数的绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②，③中消去y 后，再与①组成只含x ，z 的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③较繁琐．
问题3：巩固训练
1．解方程组：
⎩⎪⎨⎪⎧ x －z ＝4， ①z －2y ＝－1， ②
x ＋y －z ＝－1. ③
2．课本练习．
本课小结
通过这节课的学习，我们学会了什么？还有什么困惑？
1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？
2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含
二元时，一般地，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
3．注意检验．
一次方程组的古今表示及解法
我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中．《九章算术》的“方程”章，有许多关于一次方程组的内容．这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：
上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共有39斗；
上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共有34斗；
上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共有26斗；
求上、中、下三等谷每束各是几斗？
注：斗是过去的容积计量单位．
下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？
《九章算术》中的算筹图是竖排的．为看图方便，上图改为横排，使三个横行表示三句
话的含义．
不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有3个未知数的问题．设上等谷每束x 斗，中等谷每束y 斗，下等谷每束z 斗．
根据题意，得三元一次方程组
3239,2334,2326.x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=*⎨⎪++=⎩
①②()③
通过消元，可以求出各未知数．
上图实际上就是用算筹列出的方程组(*)，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项． 我国古代解方程组时，也用算筹做计算工具，具体解法是：从一个方程累减(或累加)另一个方程．例如，解方程组(*)，将①－②可以消去z ，将③累减②三次也可以消去z ，从而得到二元一次方程组5,5776.
x y x y -=⎧⎨--=-⎩ 这里将③连续三次减去②，与③－②×3的结果一样．
用现代高等代数的符号可以将方程组(*)的系数排成一个表
3 2 1 392 3 1 341 2 3 26⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
这种由数排成的表叫做矩阵．容易看出，这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉伯数字替代了算筹．利用矩阵解一次方程组的方法，与前面说的算筹方法也是一致的．我们祖先掌握上述解法，比起欧洲人来，要早一千多年．这是我国古代数学的一个光辉成就．。