复杂网络上动力系统同步的研究
复杂网络的演化动力学及网络上的动力学过程研究
复杂网络演化动力学
复杂网络演化动力学
复杂网络的演化是一个包含多种相互作用和动态过程的系统工程。在网络演 化的过程中，节点和边的动态变化会导致网络结构和功能的改变。典型的网络演 化动力学包括自组织、相变和混沌等现象。
复杂网络演化动力学
自组织是指网络在演化过程中，通过局部相互作用和自适应机制，形成具有 特定结构和功能整体的过程。在复杂网络中，自组织往往导致网络出现层次结构 和模块化等特征。相变则是指网络在演化过程中，由于外部环境变化或内部相互 作用改变，网络结构和功能突然发生剧变的现象。而混沌则是指网络演化过程中 的不可预测性和敏感依赖性。
内容摘要
复杂网络，由许多节点和连接这些节点的边构成，在各种科学领域中都有广 泛的应用。从生物学中的神经网络到社交网络，从互联网到电力网络，复杂网络 的身影无处不在。而在这些网络中，各种动力学过程也在悄然进行。本次演示将 探讨几种复杂网络上的动力学过程的研究进展。
一、传播动力学
一、传播动力学
在复杂网络中，信息的传播是一个重要的动力学过程。从疾病病毒的传播到 谣言的扩散，从知识的学习到观点的形成，信息的传播都是在网络中进行的。研 究这种传播过程，需要对网络的拓扑结构和传播机制有深入的理解。一种常用的 方法是使用传染病模型，如 SIR模型，通过模拟疾病在人群中的传播，来预测和 控制疾病的扩散。
未来研究方向
此外，随着大数据和计算能力的不断提升，未来的研究也可以更加深入地探 讨复杂网络结构和动态演化过程对合作演化和博弈动力学的影响。
结论
结论
复杂网络上的合作演化和博弈动力学研究在理解自然、社会和技术系统中的 合作行为方面具有重要的理论和实践价值。本次演示介绍了该领域的研究现状、 主要方法、实验结果以及未来研究方向。通过深入探讨复杂网络背景下的合作演 化和博弈动力学问题，我们可以更好地理解系统中各要素之间的相互作用和演化 过程，并为解决现实问题提供有益的启示。
复杂网络中的动力学与控制研究
复杂网络中的动力学与控制研究复杂网络是指由大量复杂交互系统构成的一类网络结构。
它的研究范畴通常包括生物学、社会学、计算机科学等领域。
复杂网络的研究最初是从描述网络上的任务转变为探索网络内部结构、动态性、演化规律以及控制问题。
其中，动力学和控制问题是研究的重点和难点之一。
网络中的动力学研究是指研究在复杂网络内部系统间的相互作用，产生的动态行为。
主要研究任务包括：探测网络的同步、耦合、聚类、自组织、崩溃等动态行为。
在这些研究中，探究网络中的同步问题是一项重要工作。
同步现象在自然界和社会生活中随处可见。
例如，雷雨时的闪电与雷声、人类呼吸与心跳、不同脑区的神经元活动等均可呈现出同步的现象。
在复杂网络中，同步现象也具有广泛的应用价值。
例如，在通讯、交通控制、电力系统等领域，同步现象能够保证网络稳定，提高通讯效率，减少能量的浪费。
控制问题是指在复杂网络中确定一种控制方法，使得网络能够达到某种预定的优化效果。
目前，针对网络控制问题主要有以下几个研究方向：第一，目标控制。
这一方法基于将网络考虑为一个容纳目标的系统，通过控制网络内部节点的行为，使网络中特定节点达到预定的目标。
第二，拓扑结构控制。
这种方法主要通过控制网络的拓扑结构，使得网络的性能在预定条件下得到优化。
第三，动力学控制。
这种方法针对动力学和耦合关系建立控制模型，通过控制节点间的行为，来协调网络内部的动力学。
第四，基于复杂网络的分布式控制。
这种方法利用分布式网络中的信息交换特性，通过在网络节点间进行信息传递、交互，来实现网络中全局性的控制。
以上控制方法均处于不同的阶段，并尚需进一步深入、细致的研究与实践。
同时，复杂网络中的动力学与控制问题是一个 multi-scale 的复杂问题，研究过程中不免会出现无序性、随机性和不可预测的现象。
因此，在研究过程中需要耐心、坚持，并不断地探索和创新。
总之，复杂网络中的动力学与控制问题是复杂网络研究领域中的热点问题。
它不仅是实现网络优化和改进网络稳定性的重要手段和方法，也能给我们带来更多的科学、技术和经济效益。
复杂系统的网络动力学研究
复杂系统的网络动力学研究在当今科技飞速发展的时代，复杂系统的研究成为了众多学科领域的焦点。
其中，复杂系统的网络动力学更是吸引了众多科学家的目光。
那么，什么是复杂系统的网络动力学呢？简单来说，它是研究由多个相互作用的元素组成的系统，如何随着时间的推移而演变和发展的科学。
复杂系统广泛存在于我们的生活中。
从生物体内的细胞网络，到社会中的人际关系网络，再到互联网中的信息传播网络，无一不是复杂系统的典型例子。
这些系统中的元素通过各种相互作用和连接形成了复杂的网络结构，而网络动力学则致力于揭示这些网络结构如何影响系统的行为和功能。
以生态系统为例，其中的各种生物物种之间存在着复杂的捕食、竞争和共生关系。
这些关系构成了一个庞大的生态网络。
在这个网络中，一个物种数量的变化可能会通过食物链和生态链的传递，对其他物种产生连锁反应，进而影响整个生态系统的稳定性和动态平衡。
网络动力学的研究可以帮助我们理解这种动态变化的规律，预测生态系统可能面临的问题，并为保护生态环境提供科学依据。
在社会系统中，人际关系网络的动力学研究也具有重要意义。
比如，信息、观念和行为在社交网络中的传播过程。
一个新的观念或行为模式可能在某个小群体中产生，然后通过人与人之间的交流和影响迅速传播到更大的范围。
网络动力学可以帮助我们分析这种传播的模式和速度，以及影响传播效果的关键因素。
这对于制定有效的社会政策、推广有益的社会行为以及控制不良信息的传播都具有重要的指导作用。
复杂系统的网络动力学研究并非一蹴而就，它面临着诸多挑战。
首先，复杂系统中的元素众多，相互作用关系复杂且多样化，这使得准确描述和建模变得极为困难。
其次，系统的动态变化往往是非线性的，这意味着微小的初始条件差异可能会导致截然不同的结果，增加了预测和分析的难度。
此外，实验研究复杂系统的网络动力学也面临着诸多限制，因为在现实中很难对大规模的复杂系统进行精确控制和观测。
为了应对这些挑战，科学家们采用了多种研究方法和技术。
复杂网络中的动力学模型与机理分析
复杂网络中的动力学模型与机理分析一、引言复杂网络是近年来引起广泛关注的研究领域，它可以用来模拟和分析各种复杂系统，如社交网络、生物网络和交通网络等。
动力学模型是研究复杂网络行为的重要工具，通过对网络节点之间的相互作用进行建模，我们可以深入了解复杂网络中的动态演化过程与机理。
本文将介绍一些常用的动力学模型，并对其机理进行分析。
二、随机图模型随机图模型是最早被引入到复杂网络研究中的模型之一，它假设网络中节点之间的连接是随机生成的。
其中最经典的是随机图模型中的ER模型，它假设每一对节点间的连接概率都是相等的。
通过该模型，我们可以研究网络中的群聚现象和相变行为等，揭示了复杂网络中的一些基本特性。
三、小世界网络模型小世界网络模型克服了随机图模型中的不足，它通过引入局部连接和随机重连机制，能够同时兼顾网络的聚类特性和短路径特性。
其中比较有代表性的是Watts-Strogatz模型，它将网络的随机重连程度作为参数，可以控制网络的小世界性质。
这种模型揭示了许多实际网络中普遍存在的“六度分隔”现象。
四、无标度网络模型无标度网络模型是另一类常用的动力学模型，它假设网络中部分节点的度数比其他节点更高。
这种模型能够较好地描述现实中一些特殊的网络，如互联网和社交网络等。
其中著名的模型是BA 模型，它通过优先连接机制，使得度数较高的节点更容易获得新节点的连接。
这一模型的提出揭示了复杂网络中的“rich get richer”原则。
五、动力学机理分析除了建立动力学模型，我们还需要分析模型中的动力学机理。
常用的方法包括稳定性分析和数值模拟等。
稳定性分析可以通过线性化系统方程来推导系统的稳定性条件，从而预测网络的稳定状态。
数值模拟则利用计算机模拟的方法，通过迭代网络的动力学方程，模拟网络的演化过程并得到网络的行为特性。
六、复杂网络中的动力学现象在复杂网络中，各种有趣的动力学现象被发现并研究。
例如，网络同步现象是指网络中的节点在相互作用下，逐渐趋于统一的状态。
复杂网络上动力学系统的同步研究的开题报告
复杂网络上动力学系统的同步研究的开题报告题目：复杂网络上动力学系统的同步研究一、研究背景随着信息技术和通信技术的发展，复杂网络已经成为包括社交网络、生物网络、物流网络等在内的各种实际系统的重要组成部分。
在复杂网络上引入动力学系统后，同步问题成为一个重要的研究方向。
同步是指在一定条件下，一些系统之间的状态会发生相同的变化，例如震荡系统的同步现象就表现为其振幅和频率发生了相同的变化。
而复杂网络上的同步研究，不仅可以帮助我们更深入地理解网络系统的运行机制，还可以应用于实际问题解决中。
二、研究内容本研究将探讨复杂网络上的动力学系统同步现象，主要包括以下内容：1. 复杂网络和动力学系统基础理论的介绍：对复杂网络和动力学系统的基础概念、理论和数学方法进行介绍，为后续研究打下基础。
2. 复杂网络上同步研究的现状分析：回顾国内外关于复杂网络同步问题的研究进展及研究热点，归纳同步研究中存在的问题和挑战。
3. 复杂网络上不同类型的同步：系统对称同步、反对称同步、异步模式等不同类型的同步现象的定义、特征分析、稳定性分析和应用探讨。
4. 复杂网络上同步的控制：控制复杂网络同步过程的控制器设计，改变耦合结构的方式、时间延迟的情况等对同步控制的影响，解决节点故障和干扰等实际问题。
5. 复杂网络上同步的应用研究：将同步研究应用到各种实际问题中，如通讯技术、生物科学、社会科学等领域，为解决现实问题提供参考。
三、研究意义1. 可深入理解复杂网络与动力学系统的内在机制。
2. 对动力学系统的调控, 风险控制, 智能化分析等具有重大意义。
3. 对促进人类社会的智能化, 发挥其具有的优势, 具有指导作用。
四、研究方法本研究将采用实验研究和数学建模相结合的方式进行。
首先通过复杂网络构建实验平台，然后引入不同类型的动力学系统进行同步实验，测量同步现象的特征，分析同步稳定性和影响因素。
同时，对实验结果进行理论分析和数学建模，给出同步控制方案和稳定性分析。
复杂网络上的动力学研究
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将(2．2) 代入( 2．1) 可以得到：
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茬( 2．3 ) 中我们考虑一个染病节点恢复健康的几率Y- - 1。同时，我们
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信息 科拳
复 杂 网 络 上 的动 力 学 研 究
张嘉龄 李茂青 ( 厦门大学信息科学与技术学院自动化系福建厦门36 1∞5 )
【摘要】 通过对复杂网络 动力学性质的研 究，一方面可以 使我们更好地了 解和解释现实 世界中复杂网络 所呈现出来的各 种动力学现象； 另一方面我们可 以将对
复杂网络 动力学性质研 究的理论成果应 用到具体问题 当中去，使得网 络理论可以为 我们所用。介 绍网络上的几个 动力学过程， 包括网络中的疾 病传播，网络 的同步
象一Bi s+Ti , 象=p¨w’ ( 2．1)
上式中p i 代表了一个处于易感状态的节点被其邻居传染的几率。对 于一个度为k 的节点，Past oSat or r a s等用B i 一0(^) ．侧 幻代替 ，其 中 ^ 是通过与～个已染病的节点相连而被感染的几率，0( x) 是随机一条
连线指向一个染 病节点的几率：
和网络的鲁棒性。
[ 关键词】复杂网络动力研究
一
中图分类号：0 19 文献标识码：^ 文章编号：1672
一、 引膏 复杂 网络 的研 究从大 量的 实证 数据 的统计 分析 出发 ，然后 构建 相应 的 网络 演化 模型 ，最 终目 的是 为了 通过 复杂网 络的 拓扑 结构 来认 识网 络上 的 动力 学 行为。 复杂 网络 的结 构及 功能 之间 的相 互关 系已 经成 为物 理学 ，生 物学 ，信 息学以 及社 会学的 一个 重要的 研究 课题。 如人 们希望 了解 www网 络 的拓 扑结构 如何 影响web冲浪 和搜索 引擎； 社会 网络中 ，国家 问地 理关系 和 人口 结 构如何 影响 流行 病或 信息 的传 播， 食物 链网 络结 构如 何影 响种 群的 动力 学行 为； 销售 网络 的拓 扑结 构如 何影响 企业 收益 与利 润等 。不 同的 网 络拓 扑 结构对 网络 上的 动力 学行 为产 生不 同的 影响 。以 疾病 或病 毒在 网络 上的 传 播为例 ，在 规则 网络 和随 机网 络上 的研 究表 明， 疾病 的传 染强 度存 在一 个 阈值。 只有 当传 染强 度大 于这 个阈 值时 ，疾 病才 能在 网络 中长 期存 在． 但是对于 无标度网 络，并 不存在这 样的阈值 ，只要 传染病发 生，就将 长 期存 在。 类似 的， 不同 的网 络结 构对 随机错 误的 鲁棒 性和 对蓄 意攻 击的 脆 弱性 、网 络上 的级 联效 应、 网络 上的 同步、 网络 上的 交通 动力 学等 都产 生 不同 的影响． 正确理解 网络结 构和网络 上的动力 学行为 之间的关 系，对于 网 络上 的疾 病传 播控 制、 网络 的安 全设 计具有 重要 的理 论意 义和 现实 的指 导 7意义 。 对于 复杂 网络 中的病 毒及 流言 传播 问题， 我们 主要 关注网 络上 的传 播 动力 学 问题， 对于 传染 病的 流行 问题 ，计 算机 病毒 在计 算机 网络 上的 蔓延 问题 以及 谣言 在社 会网 中的 扩散 等都 可以看 作服 从某 种规 律的 网络 传播 行 为。目前研究最为彻底，应用最为广泛的经典传染病模型是SI S模型和 SIR模型 。 现实生活中存在大量的同步现象( s ync hr on i za t i on ) ，如萤火虫发光 的 同步、 大脑 神经 元细 胞的 同步 和剧 场中 观众 鼓掌 频率 的同 步等 。早 期对 同步 的研 究主 要是 基于 规则 网络 或随 机网络 。近 来， 一些 学者 基于 复杂 网 络结 构 研究不 同的 网络 结构 如小 世界 网络 、无 标度 网络 对同 步的 影响 。研 究表 明 。与规 则网 络相 比， 小世 界网 络和 无标 度更 容易 发生 同步 。这 一现 象被 解 释为由 于小 世界 网络 和无 标度 网络 的平 均最 短距 离较 小， 使得 振子 间 的信息 交流 更为 有效 。如 果在 网络 的每 个节 点上 加一 个动 力学 系统 ，让 有边 相 连的两 个节 点的 动力 学系 统之 间存 在相 互的 耦合 作用 ，就 形成 了一 个动 力 学网络 。人 们比 较关 心的 一个 问题 是网 络的 拓扑 结构 如何 影响 网络 的同 步 能力。 大量 的研 究表 明网 络的 平均 最短 距离 L是 一个 重要 因素 ，L越 小，网络的同步性能越好，Ni sh i kawa 等学者研究了同步区域有界时无标度 网络的平均最短距离D、平均度、度分布的标准差。Hong等学者在研究WS，，J , 世界 网 络的特 征量 对网 络同 步稳 定性 的影 响时 ，发 现最 大介 数越 小， 网络 的同步能力越好，这个结论与Ni shi ka wa的结论一致。还有人做了网络的度 度相 关 性对同 步的 影响 ，发 现节 点之 间异 类混 的网 络更 容易 同步 ，即 度大 的节点 与度小的节点 连接将增强 网络的同步能 力。 =、复杂网络中的囊毒以曩魔膏传播 ( 一) SI S模型 对于 像感冒 、淋病 这类治 愈后患 者也没 有办法 获得免 疫能力 的疾病 。 往往采用SI S模型。在SI S模型中，人群被划分为两类：第一类是易感人群 ( s) ：他们不会感染他人，但有可能被传染：第二类是染病人群( I ) ：他们 已经 患病 ，具 有传 染性 。假 设单 位时 间内每 个染 病个 体独 立传 染一 个易 感 个体的概率为B，用i ，s 分别标记群体中易染人群和染病人群所占的比 例，且患者被治愈后自动恢复为易感状态的几率为y。因此，对于SI S模 型，疾病 传播可以用下 列微分 程组 描述：
复杂动力网络结构的同步稳定性研究
结 论 与耦 合结 构矩 阵 的 特 征 值 分 析 相 一 致 ．
关键 词 ： 杂 动 力 网络 ； 步稳 定性 ； 世 界 网络 模 型 复 同 小 中图分类号 ： ２ １ ０ ６ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： ０ ７６ ７ （ ０ ７０ —０ ７０ １ ０ —５ ３ ２ ０ ） １０ ３ —４
同步 是一种 非 常普遍 而重 要 的非线 性现 象 ， 多 实 际 网络往 往 都表 现 出很 强 的 同步倾 向性 ， Ｉ － 许 如 ｎ ｔｎ ｔ ｅ ｅ 上不 同的路 由器 最终 会 以同 步的方 式发 送路 由信 息． 期关 于 网络 同步 的研究 工作 大 多集 中在具 早
有 规则 拓 扑 形 状 的 网 络 结 构 上 ， 中 两 个 典 型 的 例 子 是 耦 合 映 象 格 子 （ ＭＬ ［ 和 细 胞 神 经 网络 其 Ｃ ）２
（ ＮＮ）３ 研 究这 些具 有简 单结 构 的网络 ， Ｃ ［． ］ 人们 将研究 重 点放 在 非线 性 动力 学 所产 生 的 复杂行 为 上 ， 忽 略 了网络结 构 的复杂性 对 网络行 为 的影 响． 而 ， 然 由于 复杂 网络小 世 界 和无 标 度 特性 的发 现 ， 研究 人 员 开始关 注 网络的 拓扑结 构 与 网络 同步行 为之 间的关 系 ． 们相 继 研究 了连续 系统 的 复杂 网络 的 同步 稳 人
Ｖｏ ． ５， ． １ ２ Ｎｏ １
Ｍ ａ ．． ０ ｒ ２ ０７
复杂 动 力 网络 结 构 的 同步 稳 定 性 研 究
复杂网络动力学分析
复杂网络动力学分析一、引言复杂网络动力学分析是一种用于研究复杂网络结构和网络动力学特征的分析方法。
随着信息技术的发展和应用场景的不断扩大，复杂网络动力学分析逐渐成为网络科学领域的热门研究方向。
本文将从基础概念、网络结构分析、网络动力学分析等方面进行探讨，旨在深入了解复杂网络动力学分析的相关知识。
二、基础概念1. 复杂网络复杂网络是指由大量节点和相互连接的边构成的网络，具有随机性、动态性、节点异构性和拓扑结构复杂性等特点。
常见的复杂网络包括社交网络、生物网络、交通网络、互联网等。
2. 节点度节点度是指节点在网络中的相邻节点数，与节点相连的边数称为节点的度。
节点度越大，代表节点在网络中的重要程度越高。
3. 小世界效应小世界效应是指在大规模的随机网络中，任意两个节点之间的距离很短，具有“六度分隔理论”的特点。
即任意两个节点之间的距离最多只需要经过六个中间节点。
4. 群体聚类系数群体聚类系数是指网络中任意一个节点的邻居节点之间存在联系的概率。
群体聚类系数越高，代表网络中存在更多的紧密联系的节点群体。
三、网络结构分析1. 度分布度分布描述网络中各个节点的度数分布情况，可以用横坐标表示节点的度，纵坐标表示该度出现的节点数目。
通过度分布可以发现网络的度分布是否呈现幂律分布的特点。
2. 网络中心性网络中心性是指节点在复杂网络中的重要性程度，包括介数中心性、接近中心性和度中心性等。
介数中心性表示一个节点与其他节点之间的最短路径数目之和，接近中心性表示一个节点到其他节点的平均路径长度，度中心性表示节点的度。
3. 网络聚类系数网络聚类系数是指复杂网络中群体聚集性的量化指标，反映了网络中节点间联系的紧密程度。
常见的网络聚类系数包括全局聚类系数和局部聚类系数，全局聚类系数是指网络中所有节点的聚类系数均值，局部聚类系数是指每个节点的聚类系数均值。
4. 强连通分量强连通分量是指在有向图中，所有节点之间均可相互到达的最大节点集合。
复杂网络中的同步问题研究
复杂网络中的同步问题研究随着科学技术的不断发展，网络已经广泛应用于生活、科学和工业等各个领域。
在这种情况下，网络研究变得越来越重要，同步问题就是网络研究中的热点之一。
网络同步的定义同步是指网络上节点的状态随时间变化而趋于一致。
网络的同步状态是这个网络的全局特征，是所有节点之间相互作用的结果。
网络同步的类型一般来说，同步分为两种类型：完全同步和不完全同步。
完全同步是指网络上所有节点的状态都相同，而不完全同步则是指网络上的一些节点的状态不完全相同。
网络同步的问题网络同步问题的研究涉及到多个方面，这里列举其中几个常见问题。
1. 怎样才能实现网络同步？实现网络同步需要许多条件。
比如，网络节点的动力系统需要设计合理，节点之间的耦合方式需要合适等。
此外，网络同步还需要选择相应的算法，比如基于分布式控制、自适应控制等算法。
2. 同步的稳定性问题同步是指节点的状态同时收敛到某一位置，但收敛到该位置是否最终稳定的水平仍存在疑虑。
这个稳定就涉及到同步的稳定性问题。
检查同步稳定性的方法包括Lyapunov函数法、Krasovskii-LaSalle定理等。
3. 同步实现的可行性问题可行性分析是同步问题的另一个重要方面。
在实际系统中，实现同步需要满足一定的条件，因此需要进行可行性分析。
4. 同步机制的选择不同的同步机制在不同场景下的效果不同。
在选择同步机制时，需要根据具体环境的需求做出选择比如分布式控制、自适应控制等。
网络同步实例网络同步的实例有很多。
以心脏同步为例。
人类心脏由许多单独的细胞组成。
这些细胞用于控制心脏的跳动。
心脏的同步是一个复杂的问题，它需要大量的生理学方面的知识。
通过学习心脏同步的机制，改善心脏同步的质量，可以帮助人类保持健康和延长寿命。
联想到灯泡的同步，我们可以考虑一个灯泡网络。
在这个网络中，每个灯泡的状态随机变化。
我们希望灯泡网络中的状态趋于同步。
我们尝试使用分布式控制算法来控制这些灯泡的行为。
这个算法可以根据给定的同步条件让每个节点都尽可能接近同步状态，最终实现灯泡网络的同步。
复杂网络与动力学系统的相互作用分析
复杂网络与动力学系统的相互作用分析复杂网络和动力学系统是现代科学研究中的两个重要领域，它们之间的相互作用引起了学术界的广泛关注。
复杂网络是由大量节点和边连接而成的结构复杂的网络系统，如社交网络、互联网等；而动力学系统研究的是随时间演化的物理、生物、社会等系统。
本文将从网络结构与系统动力学两个方面，分别介绍复杂网络与动力学系统之间的相互作用分析。
一、复杂网络结构与动力学系统复杂网络的结构特性对动力学系统的行为产生重要影响。
首先，网络中节点的连接模式决定了信息传播的路径和速度。
例如，在社交网络中，人际关系的网络结构决定了信息的传播和影响力的扩散。
其次，网络的拓扑特性如度分布、聚集系数和小世界性等，会影响到动力学系统的同步、稳定性和异质性等方面。
例如，度分布趋向幂律分布的复杂网络更容易出现小世界现象，其异质性会导致动力学系统的行为更加复杂多样。
二、动力学系统对复杂网络的影响动力学系统的演化行为与网络结构紧密相关。
一方面，动力学系统的状态更新规则会影响到网络的连接权重和结构演化。
例如，在生物网络中，蛋白质相互作用网络的演化与基因调控网络的动力学系统之间存在着相互影响。
另一方面，动力学系统的演化与网络的拓扑特性相互作用，决定了系统的稳定性和动态行为。
例如，环境系统中的演化模型会导致系统中出现周期性、混沌或稳定的行为态，而网络的小世界结构则能够增强系统的同步性和稳定性。
三、复杂网络与动力学系统的相互演化模型为了更好地研究复杂网络与动力学系统的相互作用，学者们提出了许多相互演化模型。
其中一类常见的模型是基于节点状态和连接权重之间的相互调整。
例如，节点的状态更新规则可以根据节点的邻居节点的状态和连接权重进行调整，而连接权重则会根据节点的状态来进行更新。
另一类模型则是将动力学系统的状态更新规则建立在网络结构的基础上，通过网络的拓扑特性来决定节点和连接之间的相互作用规则。
四、应用领域与前景复杂网络与动力学系统的相互作用分析不仅在科学研究中有重要意义，也在多个领域具有广泛应用。
复杂网络上动力系统同步的研究进展
复杂网络上动力系统同步的研究进展在现实世界中，许多动力系统都存在着相互作用和耦合的关系，因此研究动力系统的同步问题具有重要的理论和实际意义。
复杂网络上的动力系统同步研究是近年来网络科学和动力系统理论领域的热点之一、本文将就复杂网络上动力系统同步的研究进展进行综述。
1.同步现象的定义与分类动力系统的同步现象是指系统中的多个元素（如节点）在一定条件下通过相互作用使得它们的状态迅速趋于一致的情况。
同步现象可分为完全同步、相位同步、自由度同步等多种类型。
完全同步是指系统中所有节点的状态变量完全一致；相位同步是指系统中的节点具有相似的震荡频率和相位；自由度同步是指系统中的节点在部分状态变量上同步而在其他状态变量上可能存在差异。
2.复杂网络上动力系统同步的基本模型和方法研究复杂网络上动力系统同步的基本模型有传统的耦合映射模型和耦合微分方程模型。
耦合映射模型将网络节点的相互作用描述为一组非线性映射关系，而耦合微分方程模型则将网络节点的相互作用描述为一组微分方程。
研究复杂网络上动力系统同步的方法主要包括稳定性理论方法、反馈控制方法、自适应方法和参数调节方法等。
稳定性理论方法是指通过线性稳定性分析和非线性稳定性分析来研究复杂网络上动力系统同步的稳定性和遗传机制；反馈控制方法是指通过设计适当的反馈控制器来实现复杂网络上动力系统的同步；自适应方法是指通过调节耦合强度和动力系统参数以适应外界扰动和变化来实现同步；参数调节方法是指通过调节耦合强度和节点动力系统的参数来实现同步。
3.复杂网络上动力系统同步的理论研究复杂网络上动力系统同步的理论研究主要包括同步的稳定性分析、同步的判据和同步的控制理论。
同步的稳定性分析是指通过线性稳定性分析和非线性稳定性分析来研究复杂网络上动力系统同步的稳定性和遗传机制。
同步的判据是指通过研究网络结构和动力系统特性之间的关系来得到判断复杂网络上动力系统同步的准则和条件。
同步的控制理论是指通过设计适当的反馈控制器来实现复杂网络上动力系统的同步。
复杂网络上动力系统同步的研究进展
Effects of external link number
Take two random networks as communities and rewire the internal link to the other community, after the first external link emerges, the community network has the largest modularity, with the increasing of rewiring probability, the modularity will decrease by and by.
Individual community: fewer external links do not always mean better
synchronization performance of community.
Dynamical modularity VS. coupling strength
0.03 0.06
0.7
NL =196 E
0.00 0.03 0.06
I: random selected nodes II: nodes selected with probability proportional to k^4 III: hub node and random selected nodes IV: nodes with larger degree V: nodes with middle degree VI: nodes with smaller degree
0.0 0.2 0.4
(b) 0.10 =30
0.05
0.00 0.2 0.4
基于不连续间歇耦合的复杂动力网络的同步
注４ ．定理 １中的条件 均是 充分 的 ， 而非必要 的。 也 就
２ 动 力学模 型
考虑 由 Ｎ个 具有相同动力 学行为 节点构成 的耗散 耦合
的动态 网络 系统模型 ， 第 Ｎ个节点 的状态方程可用如下可 其
测微分方程表示 ：
Ⅳ
是说 ， 即使其 中的某个 条件不成立 ，网络 （ ）也有可能全 局 １
０， 并且其行和为零 ， 主对角 线元 素皆为 负数 。可 见 ， ０是 矩 阵 的单重特征根 ， 对应 的特 征 向量 为 （ ． ． １ ， 且 １ １ …，） 并 其它特征根均小于零 ， 满足 ： ＝Ａ ０ ＞Ａ Ａ … Ａ 。 ２ ３ Ⅳ
６ （）为狄拉克 （ ｉ ｃ 函数 ， Ｄｒ ） ａ 表示一种瞬时突变行为 ； ｔ表示 节点间耦合 的时刻 ， ＞ｔ ， ｆ 并且ｌ ＝＋∞ 本文 中， ｉ ｍｔ ． 为简
入一个控制参数 来调节浮动动力 网络 的指数收敛率 Ａ 。这
一
个简单而又一般 的 同步化判据 。进一 步将所 得到 的结果
应用于 由混沌 Ｄ ｆｎ 振子为动力节 点所构 成的一个具 有近 ｕｆ ｇ ｉ 邻耦合结构 的复杂动力 网络 ， 数值模过后面的数值仿 真来说 明。
这 里 ， （） ＝（ （）， ， （）） ∈Ｒ 为节点 ｉ １ … ｔ 的状 态 变量 ； 向量值函数 ： ， ｔ ｔ）＝（ ￡ ｔ）， （， ） （ （ ， ） … （，（） ∈ ． （ ｔ ｔ））
子为动力学节点组成的一个最近环状邻耦合 的动力 网络 ， 采
第２卷 第７ ８ 期
文章编号 ： ０ — ３ ８ ２ １ ） ７ ０４ — ３ １ ６ ９ ４ （０ １ ０ — ０ ３ ０ ０
计
算
复杂网络中的动力学模型研究
复杂网络中的动力学模型研究一、引言随着计算机技术、互联网技术与通信技术的快速发展，网络科学迅速崛起。
网络科学研究的核心是研究网络结构和动力学行为之间的关系，即网络动力学。
网络动力学的研究成果已经在许多领域得到了广泛应用，如社交网络、生物网络、交通网络等。
复杂网络作为网络科学中的一个重要分支领域，其研究重点是研究由大量元素相互连接所形成的网络结构及其在不同系统中表现出来的复杂性。
本文将介绍复杂网络中的动力学模型研究。
二、复杂网络简介复杂网络是由大量元素相互连接所形成的网络结构，其网络结构是由节点和边构成的。
节点代表网络中的元素，边代表节点间的相互作用关系。
在复杂网络中，节点数量众多、相互关联复杂、结构多样、动态变化等特点显著，具有不可预测、不稳定、过渡性和非线性等特性。
复杂网络通常被分为静态网络和动态网络。
静态网络指网络拓扑结构保持不变时的网络，动态网络则是网络拓扑结构会随时间变化而变化的网络。
研究动态网络的动力学模型，可以更好地理解复杂网络的演化及其在不同系统中表现出来的复杂性。
三、动力学模型动力学模型是表述系统时空变化规律及其背后因果机制的一种数学模型。
3.1 传染病模型传染病模型在研究复杂网络中的动力学模型中得到广泛的应用。
传染病模型分为SIR模型、SI模型、SIS模型等。
SIR模型中，假设人群分为易感人群（S）、感染人群（I）和康复人群（R）。
疾病传播主要通过S和I之间的交互。
当S个体与I个体相遇时，易感个体会被感染，成为感染个体。
同时，感染个体在一段时间后会愈合，成为康复个体。
这一模型能够模拟传染病在人群中的传播过程。
3.2 博弈论模型博弈论是对策略和利益相关者之间决策行为进行分析和研究的一种数学模型。
在复杂网络中的动力学模型研究中，博弈论常被应用于网络中节点之间的互动行为研究中。
博弈论模型分为纳什均衡模型、演化博弈模型、动态博弈模型等。
在复杂网络中的动力学模型研究中，演化博弈模型是最常用的模型之一。
复杂网络中的群体动力学模型及其应用研究
复杂网络中的群体动力学模型及其应用研究复杂网络是指由大量节点和边组成的复杂系统，其结构及动态特性的复杂性使得其研究成为当今科学领域的热点之一。
随着计算机科学和数学理论的不断发展，群体动力学模型成为了研究复杂网络的重要工具之一。
本文将讨论复杂网络中的群体动力学模型及其应用研究。
一、群体动力学模型群体动力学模型是一种描述群体行为的数学模型，它主要关注群体的局部交互和全局演化。
针对复杂网络中的群体动力学问题，目前主要有以下三种典型的模型：Watts-Strogatz小世界模型、Barabási-Albert无标度网络模型、以及Erdős-Rényi随机网络模型。
Watts-Strogatz小世界模型是一种介于完全规则网络与纯随机网络之间的网络结构。
在该模型中，初始状态下所有节点按照一定的规则连边（如每个节点与其相邻节点相连）。
然后，以一定的概率随机重连一些节点的边，使得网络的结构更接近于随机网络。
该模型适用于研究网络中的传播过程和同步现象等问题。
Barabási-Albert无标度网络模型是一种用于描述复杂网络中度分布的随机网络模型。
该模型假定网络中节点的度数服从幂律分布，即少量节点具有较高的度数，而大部分节点的度数相对较低。
这种分布特性使得该模型适用于研究网络的拓扑结构与动态演化过程之间的关系。
Erdős-Rényi随机网络模型是一种最简单的随机网络模型，其中N个节点随机连成M条边，可用于研究网络的结构性质和动态演化特征。
二、群体动力学模型在社交网络中的应用随着互联网的发展，社交网络成为了人们交流和信息传播的重要平台。
研究基于社交网络的信息传播过程和社交行为规律，对于理解现代社会的行为模式和人际关系具有重要的意义。
下面将分别从两个方面探讨群体动力学模型在社交网络中的应用。
1.信息传播模型信息传播是社交网络中的重要过程，它不仅涉及传统媒体、政治宣传和商业广告等领域，也涉及个人之间的信息分享和交流。
复杂网络结构与动力学分析研究
复杂网络结构与动力学分析研究随着科技的不断发展，人们对复杂网络结构和动力学的研究变得越来越深入。
复杂网络是一类由许多相互作用的元素组成的网络结构，这些元素可以是人、物、电子等等。
它们的相互作用可以是物理上的连通，也可以是信息上的交互。
复杂网络结构和动力学分析可以揭示出网络内部的规律和特点，对于研究社会现象、生物系统、物理现象等方面有着广泛的应用。
一、复杂网络结构的分类根据复杂网络结构的拓扑结构与交互机制，可以将复杂网络结构分为几种不同类型。
其中最基本的是随机网络。
在随机网络中，任何两个节点都有可能相连，且连接的概率是一定的。
这种随机性使得随机网络而具有一些独特的特性，例如具有较短的路径长度、可观的聚集性和较强的鲁棒性等。
而另一种具有特殊性质的网络结构则是小世界网络。
在小世界网络中，节点之间的较远距离的连接通常由跨越较长的随机边所实现，而较近距离的连接则由严格的小世界道路所构成。
这种网络具有较短的平均路径长度和高度的聚集性，同时又具备随机网络的鲁棒性和可重构性。
另一类复杂网络中叫做尺度自相似网络，它们的拓扑结构存在一个自然的刻度律，即在不同的尺度上结构近似相同，这可以用来精细地描述物理、生物和社会现象。
而在社会网络和生物网络等领域中，大规模的网络往往表现出一种高度的聚集性和网络的无标度特性。
这类网络中存在一些高度连通的中心节点，同时大部分节点连接的较少，这就是所谓的“拥挤节点”现象。
二、复杂网络动力学分析不同的复杂网络结构会带来不同的动力学特性。
例如在小世界网络中，具有小世界边的联系会在网络中产生许多环路，因此小世界网络中的扰动会导致整个网络的迅速崩溃。
而在无标度网络中，一些富节点的崩溃会导致整个网络的崩溃，并且这类网络的灵敏度非常高。
因此，复杂网络动力学分析是研究复杂网络的重要方向之一。
它通过分析网络节点之间的信息传递和节点之间的相互作用，研究网络整体的不稳定性，特别是在外界扰动下的响应能力。
同时，利用复杂网络动力学分析，可以研究网络内的同步、反馈、耦合、振荡、失稳等动力学现象，揭示网络动力学的规律和特点，从而为人们设计网络控制方案和预测网络未来发展趋势提供科学依据。
复杂网络结构及其动力学特征研究
复杂网络结构及其动力学特征研究随着互联网的普及和信息技术的发展，复杂网络已成为研究的热点领域之一。
复杂网络是由大量节点和边组成的网络结构，它可以用来描述社交网络、生物网络、交通网络等各种复杂系统，是人们对自然和人类社会现象的表征方式之一。
复杂网络的结构特征复杂网络的结构特征很多，但是最常见的是度分布、聚类系数、平均路径长度和模块度。
- 度分布：度是指一个节点有多少个邻居。
度分布描述了每个度值出现的频率，它是网络中重要的统计量之一。
在社交网络中，节点的度代表了该节点的影响力。
- 聚类系数：聚类系数描述了节点周围的邻居之间相互连接的强度。
在社交网络中，聚类系数越高，意味着一个人的朋友圈子更为紧密。
- 平均路径长度：平均路径长度是指网络中任意两个节点之间最短路径的平均长度。
在社交网络中，平均路径长度越短，表示人与人之间更为紧密联系。
- 模块度：模块度指网络中节点分布的不均匀性。
在社交网络中，模块度代表了社群结构的分布情况。
以上这些结构特征可以量化地表征复杂网络的结构，它们是研究网络动力学特征的重要前提。
复杂网络的动力学特征复杂网络的动力学特征包括同步、吸引子、震荡等。
- 同步：同步指网络中节点之间输出的数据达到一致，是复杂网络中最为重要的动力学特征之一。
同步现象在生物学、物理学以及社会科学等领域都有应用。
- 吸引子：吸引子指网络中的节点在演化过程中的稳定状态，是研究网络演化过程的重要方法。
吸引子一般是一组满足某些条件的节点状态。
- 震荡：震荡指网络中节点的输出数据在时间上存在周期性变化。
年轻人之间的交友网络常常表现出周期性的震荡，比如流行单曲的口碑传播现象。
复杂网络的应用复杂网络的研究涉及到生物学、物理学、数学、社会学等多个领域，应用广泛。
例如在生物学领域，研究神经元组成的复杂网络结构，可以模拟出人脑的信息传输过程，从而帮助研究人类智力的产生和发挥。
在物理学领域，研究微小颗粒之间的网络结构，可以模拟出粒子之间的碰撞过程，从而帮助人们更好地了解物理学中的基本粒子。
复杂网络中的同步与控制研究
复杂网络中的同步与控制研究随着信息时代的发展，复杂网络在各个领域得到了广泛的应用与研究。
复杂网络由大量节点相互联系而组成，具有高度复杂的结构和丰富的动力学行为。
在这样的网络中，同步是一个重要的现象，而控制同步是研究的重点之一。
1. 同步的定义与分类同步是指网络中的节点在一定条件下同时变化或发生相似的变化。
根据节点间的同步方式，可以将同步分为完全同步和部分同步。
完全同步是指网络中的所有节点都达到相同的状态，而部分同步则指网络中的节点在某种意义上相似，但并非完全相同。
2. 物理模型中的同步研究复杂网络的同步研究最早源自物理学领域，其中最经典的研究是针对具有局域耦合的振荡子网络，如Kuramoto模型。
该模型认为每个振荡子在与其他振荡子的相互作用下逐渐调整自身的频率，并最终实现网络的同步。
3. 生物网络中的同步研究生物网络是自然界中常见的复杂网络，研究生物网络的同步有助于揭示生物系统的运作原理。
在神经系统中，脑区之间的同步与节律性活动密切相关，而心脏中存在的心房与心室的同步现象则与正常的心脏功能息息相关。
4. 社会网络中的同步研究社会网络是由人与人之间的相互关系构成的网络，研究社会网络中的同步可以揭示个体之间的互动行为规律。
社交媒体平台上的信息传播与热点话题的迅速扩散，以及团队合作中的意见统一等现象，都需要社会网络中的同步来支撑与解释。
5. 控制同步的方法为了实现对复杂网络中的同步和控制的研究，研究者们提出了多种方法与策略。
常见的控制方法包括传统的反馈控制、开环控制以及最优控制等。
此外，还出现了一些新的控制理论与技术，如基于复杂网络的控制方法、基于自适应技术的控制方法等。
综上所述，复杂网络中的同步与控制研究是一个多学科交叉的研究领域，涉及物理学、生物学、社会学等多个学科。
随着技术的发展，对于控制复杂网络同步的研究将会有更加广阔的应用前景，对于揭示网络的行为规律也将起到重要的作用。
几类复杂网络的同步及一致性研究
二、复杂网络同步控制
复杂网络的同步控制是另一个重要的研究方向。同步是指多个个体在一定的耦 合条件下，它们的动态行为能够达到完全一致的状态。在复杂网络中，同步现 象普遍存在，如神经网络的同步放电、电力网络的同步振荡等。
对于复杂网络的同步控制，研究者们提出了多种方法。其中，基于Lyapunov 函数的方法是最常用的方法之一。该方法通过构造一个合适的Lyapunov函数， 并利用其对时间的导数来衡量系统的同步状态。此外，基于图论的方法、基于 优化理论的方法等也被广泛应用于复杂网络同步控制的研究。
3、社交网络
社交网络是指由人与人之间的社交关系构成的复杂网络。这类网络的同步和一 致性研究需要考虑个体行为和群体行为对网络整体的影响。社交网络的优点是 具有较强的社会性和人类行为特点，但同时也可能因为个体行为的多样性导致 系统难以预测。
4、时间序列网络
Байду номын сангаас
时间序列网络是指由时间序列数据构建的网络。这类网络的同步和一致性研究 需要借助数据分析和复杂网络理论，识别网络中的时序数据和拓扑结构。时间 序列网络的优点是具有较强的时序性和动态性，但同时也可能因为数据质量和 分析方法的选择对结果产生影响。
第一部分：复杂网络同步及一致 性原理
同步是指网络中所有节点在时间上达到一致的状态，即节点状态随时间变化的 过程相互重合。一致性则是指网络中所有节点最终达到相同的状态，但不一定 要求时间上的一致性。复杂网络同步和一致性的研究主要涉及网络拓扑结构、 节点动力学和耦合函数等方面。根据网络拓扑结构和节点动力学特点，可以将 复杂网络同步和一致性分为线性一致性和非线性一致性。
我们的研究将为复杂多智能体网络的同步一致性提供一种新的控制方法。我们 相信，通过我们的研究，人们将更好地理解多智能体网络的动态行为，从而为 未来的研究和应用提供有价值的参考。
复杂网络中的同步现象研究
复杂网络中的同步现象研究复杂网络是由大量相互连接的节点组成的网络结构，具有复杂的拓扑结构和动态的节点行为。
同步现象是复杂网络领域中一个重要的研究课题，涉及到不同节点之间的信息传递和协同行为。
本文将对复杂网络中的同步现象进行研究，探讨其原理和应用。
一、同步现象的定义同步现象是指在复杂网络中的节点之间，存在一种相互协调的动态演化关系，使得它们的状态在时间上趋于一致。
这种一致可以表现为节点之间的状态变量相等，或者是它们之间的差异保持在一个较小的范围内。
二、同步现象的原理在复杂网络中，同步现象的产生是由节点之间的相互作用和信号传递所引起的。
节点之间通过相互连接的边进行信息传递和交换，从而实现状态的同步。
同步现象的原理可以通过以下几个方面进行解释：1. 自适应耦合复杂网络中的节点之间通过耦合函数进行相互作用。
耦合函数可以根据节点自身的状态和邻居节点的状态进行调整，从而实现节点之间的同步。
2. 时滞效应复杂网络中，节点之间的信息传递常常存在一定的时滞。
这种时滞效应可以导致节点之间的同步行为，使得节点的状态在某个时间段内趋于一致。
3. 多样性和异质性复杂网络中的节点通常具有不同的属性和行为。
这种多样性和异质性可以促进同步现象的产生，通过节点之间的相互影响和适应性耦合来实现同步。
三、同步现象的应用复杂网络中的同步现象在许多领域都具有重要的应用价值。
以下是几个同步现象应用的例子：1. 通信系统同步现象可以用于改进通信系统的性能和稳定性。
通过实现节点之间的同步，可以减小通信系统中的误码率和传输延迟，提高系统的抗干扰能力。
2. 生物学同步现象在生物学中的研究也非常重要。
生物体内很多生理过程都依赖于分子和细胞之间的同步行为，例如神经传导和心脏跳动等。
3. 社交网络社交网络中的同步现象可以帮助我们理解和预测用户之间的行为模式和信息传播。
通过研究节点之间的同步行为，可以优化社交网络中的信息传播策略和社交关系的建立。
四、同步现象的挑战与研究方向虽然同步现象在复杂网络研究中取得了许多进展，但仍然存在多方面的挑战。
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i j j i otherwise
（6）
其中ki是第i个节点的度，Λi是与节点i相连的节点 的集合。耦合矩阵G包含了网络结构的全部信息。
几种规则网络的邻接矩阵
0 1 2 1 1 2 1 0 G1 0 1 2 0 1 0 1 2
复杂网络同步的稳定性分析
Pecora和Carroll 的主稳定性函数(master stability function )方法 汪小帆和陈关荣的结论 Chen等人的结合主稳定性函数与Gershgö rin 圆盘理 论(Gershgö rin disk theory) 方法
Pecora和Carroll 的主稳定性函数方法
根据约丹规范型(Jordan canonical forms)理论，上式
的稳定性是由G的特征值γ决定的，设其对应的特征 向量为e，并且令u＝z· e，将e右乘上式，得到
u DF(s) DH(s) u
（9）
这样原来要讨论的m×N维空间的稳定性问题 被简化到m×m维空间，并且通常情况下m<<N。 以上是利用连续系统进行讨论，离散系统可给 出类似(9)式的结论。
复杂网络上动力系统同步 的研究进展
报告人：赵明 2005.5.
多种多样的同步现象
夏日夜晚青蛙的齐鸣、萤火虫的同步发 光； 心肌细胞和大脑神经网络的同步； 剧场中观众鼓掌频率的逐渐同步； ……
同步的基本概念
两个或多个动力学系统，除了自身的 演化外其间还有相互作用(耦合)，这种作 用既可以是单向的，也可以是双向的。当 满足一定条件时，在耦合的作用下，这些 系统的状态输出就会逐渐趋同进而完全相 等，称为同步(精确同步)。广义的同步还 包括相同步和频率同步等等。
差信号z1表示系统状态变量与同步流形的距离， 如果随时间的演化，差信号趋近于零，就说明系 统的同步状态是稳定的。反之，同步状态失稳。
描述同步稳定性的另一种方法
李雅普诺夫指数是用来描述系统稳定与否的数 学量，它的符号描述了系统的稳定性：若为负， 系统稳定；为正，不稳定。 我们也可以用它来研究同步系统的稳定性问 题：计算差信号方程（3）的李雅普诺夫指数(此时 若其值为负，则同步状态稳定。
完全网络
在耦合的作用下，经过一段时间的演化，使得 x1 ＝ x2 ＝ … ＝xN ＝ s ，网络就进入了同步状态。 当然并不是所有的网络在任意耦合强度或耦合方 式下都能实现同步。
报告的内容：
1.复杂网络同步的稳定性分析 ； 2.复杂网络上动力学系统同步的特点 ； 3.网络的几何特征量对同步稳定性的影响 ； 4.提高网络同步能力的一种方法 。
我们可以利用(9)式计算单个系统的李雅普诺夫 指数(Lyapunov exponents)，设这些指数分别为
1 max 2 m
注意到由于 N G 0 ，γ=0总是G的一个特征值， j 1 ij 相应的特征向量是(1 1 … 1)T，它对应同步流形模 式。其它N－1个特征向量所张成的子空间横截于同 步流形，如果所有这些横截李雅普诺夫指数都小于 零，系统稳定。设σγ=α+iβ并代入(9)中， （10） u DF(s) ( i )DH(s) u 计算最大李雅普诺夫指数λmax随α和β的变化关系， 这就是Pecora和Carroll定义的主稳定性函数。
同步概念的数学表述
1 F(x1 ) (H(x 2 ) H(x1 )) x
（1）
2 F(x 2 ) (H(x1 ) H(x 2 )) x （2） 当这两个系统同步时满足： x1＝x2 ＝s。设差信 号 z1 ＝ x1 - s，对系统（1）在同步流形s附近做 线性化，得到 1 DF(s)z1 DH(s)(z 2 z1 ) z （3）
复杂网络同步的定义
如果在网络的每个节点上加上一个动力学系统， 这个动力学系统既可以是极限环也可以是混沌的； 如果两个节点之间有边相连，就表示其间存在相互 的耦合作用，就形成了一个动力学网络。 具体地，设网络有N个节点，第i个节点在n时 刻的m维状态变量为xi(n) ，单个节点(不存在耦合作 用)所满足的状态方程是：xi(n+1)＝ F(xi(n+1))。设： H:Rm → Rm是每个节点状态变量的函数，用于对其 它节点进行耦合。
首先对动力学网络的同步流形进行线性稳定 性分析。已知连续系统的状态方程
i F(x i ) j Gij H (x j ) x
在同步状态s附近对其进行线性化，得到
z i DF(s)z i j Gij DH (s)z j
（7）
其中DF(∙)和DH(∙)分别是函数F和H的m×m阶雅可 比(Jacobian)矩阵。利用m×N阶矩阵z＝(z1, z2 , …, zN )重写(7)式，得 （8） z DF(s)z DH(s) z GT
1 1 N 1 1 1 1 0 0 G2 1 0 1 0 1 0 0 1
最近邻耦合网络
星型网络
1 1 1 N 1 1 N 1 1 1 G3 1 1 N 1 1 1 1 1 N 1
这样，在存在耦合作用下第i个节点所满足的状态 方程是：
x i (n 1) F(x i (n)) j Gij H (x j (n))
（4）
（5）
对于连续系统
i F(x i ) j Gij H (x j ) x
其中σ是耦合强度，Gij表示耦合矩阵G的矩阵元。
耦合矩阵定义如下：
复杂网络上的动力学：
研究网络结构和动力系统之间的相互影响，相 互作用。同步是其中的一个重要的现象。
Pecora和Carroll 给出的同步的基本假设：
(1)所有的耦合振子都是完全相同的，
(2)从每个振子提取的用于耦合其它振子的函数也是 完全相同的， (3)同步流形是不变流形， (4)节点的耦合方式使在同步流形附近可以线性化。