套利定价理论假设Arbitrage
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COV（Fi,Fj）=0 Cov(εi, εj) = 0 Cov(Fi, εi) = 0 且 εi～n（0, σ2）
2020/12/11
Fra Baidu bibliotek
8
4.重要APT 條件
• Σwi＝0 在沒有套利的機會下，增加某一證券比重，就要 減少其他證券持有的比例。套利不會增加投資者財富。
Rp＝Σwi E（Ri ）＋Σwibi1Fi＋…＋ ΣwibikFk + Σwi εi
• Ri = E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+ bikFk ＋εi
2020/12/11
12
Fama and MacBeth (1973)兩階段步驟
• 第二種方式，一樣先算出因素分析 • 再利用因素負荷組成風險價格（ the price's ('s) of each risk ） • 在均衡時，找出期望報酬在各個因素負荷下的最適組合
• Ri = 第i個資產隨機報酬率 • E（Ri）=第i個資產期望隨機報酬率 • bik = 第i個資產報酬率對第k個共同因素的敏感程度 • Fk =所有資產所面對的第k個共同因素 • εi = 第i個資產報酬率函數式的殘差
2020/12/11
6
• Ri＝ E（Ri） ＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…＋εi
• wi≒1/n ，n →∞，Σwibik＝0 在多個不同共同因素結構中， 在沒有套利的﹌ 機會下，不會因為操弄不同的因素，利用不 同因素權重的比值，可以獲得額外的報酬。
Rp＝Σwi E（Ri ）＋Σwibi1Fi＋…＋ ΣwibikFk ＝ Σwi E（Ri）
• ΣwiE（R ik ）＝0 表示在沒有套利的機會下，任何風險資 產的組合，不會獲得額外的財富。
D = A + B + C.
• 使用前述報酬率公式， E(RD) = 13%. • 組合D計算公式如下：
1
1
1
bD1 = 3 (1.0) 3 (0.5) 3 (0.3) 0.6
bD2
=
1 3
(0.6)
1 3
(1.0)
1 3
(0.2)
0.6
• 將 b‘s 帶入公式
E(RD) = 7.75 5(0.6) 3.75(0.6) 13%
2020/12/11
9
5.APT多指數實證研究
• Chen, Roll and Ross (1986,JoB) use macroeconomic variables such as. the growth rate in industrial production, unexpected inflation, the term structure of interest rates, and risk premia
same cannot sell at different prices.）
• 原來平均值變異數的架構替換成證券報酬產生的過程
（the process generating security returns.）
• APT模式，報酬產生過程是多指數模式（ multi-index model
）也就是說報酬率是由很多變數所影響， β只是其中一項，還有很多 因素會影響報酬率的形成的。
• 套利定價模式Arbitrage pricing model
• 實證與測試Proof and test APT
• APT 與 CAPM比較
2020/12/11
2
1. 前 言
• 標準 CAPM 模式是基於平均值-變異數組合理論分析。投 資者最好投資是基於選擇期望報酬與變異數
E(Ri) = Rf + β（ E(Rm) - E(Rf) ）
2020/12/11
20
套利特殊狀況說明
• 假設若存在下列三種情形組合 A. bp1=0 bp2=0 B. bp1=1 bp2=0 C. bp1=0 bp2=1
• 在組合A中， E(RA)=0 which is the return on a zero-b portfolio which we call RF （無風險利率）if a riskless asset exists.
• Rp＝ΣwiE（Ri）＋Σwiβi1Fi＋…＋Σwiεi＝ Σwi E（Ri）
2020/12/11
7
• 理論上，當殘差項為0，報酬可以為所有因子所解釋，截 距 E（Ri）為預期平均報酬
• 共同因子F的係數b，稱為因素負荷量factor weight or factor loading.
• 共同因子F有下列關係存在，
• i are called factor prices（因素風險價格） • and bij are called factor risks（因素風險）.
• This is the equilibrium model produced by the APT when returns are generated by the two-index model.
2020/12/11
14
6.APT例題講解
• 投資 人可用 APT多指數模型說明均衡狀況。
• 為求簡化，設兩個指數模型。如下
Rit = aibi1I1t bi2 I2t eit
• 如果能夠完全多角化，僅會存在系統風險。 • 影響系統風險，用b‘s因子負荷量表達.
2020/12/11
15
Portfolio A B C
2020/12/11
3
2. APT假設
• Ross (1976,JET) 發展套利定價理論 Arbitrage Pricing Theory (APT) 。從套利的觀點來看資產價值訂定。
• APT 模式主要是基於套利單一價格法則（ the law of one price ） : 一種資產不會有兩種價格（two items that are the
rates）：正常情況下，長期債券利率大於短期利率。石油危 機，發生高通膨，兩者利率差加大，若沒有通膨壓力，與 報酬率正相關
• 不同預期的通貨膨脹率（Unexpected inflation）
2020/12/11
11
6.APT驗證
• 基本上有兩種方法驗證 APT. • 第一種方法是使用因素分析法 • 第二種方法是採用Fama and MacBeth (1973,JPE)兩階段步驟 • 使用第一種方法如本章前所述。 APT是一個報酬產生的多指數模式
2020/12/11
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APT多指數影響因素
• 工業生產指數成長率（IP, growth rate of industrial
production）
• 不同等級債券殖利率之差（risk premium）：等級較差
債券負擔較高風險溢酬，隱含市況不佳，投資人悲觀，對報酬率為負 面影響。
• 不同到期日債券利率之差（Term structure of interest
2020/12/11
21
7.APT與CAPM比較研究
• Chen, Roll and Ross (1986,JoB), Burmeister and McElroy (1988,JoF) and Sharpe (1982,JPM) all find that various factors are significant and their results suggest that CAPM can be rejected in favour of APT.
E(Ri ) = 0 1bi12bi2 ... jbij
2020/12/11
13
APT第二種方法說明
• 使用 APT ，將所有投資組合構成一個平面
E(Ri ) = 0 1bi12bi2
(8)
• 1 and 2 are the returns for bearing risks associated with indices (or factors).
Finance management
Arbitrage Pricing Theory, APT
2020/12/11
Lecture by Hua-Ching, Cheng, PhD
May,03,2004
1
Arbitrage Pricing Theory
• 前言Forward
• 套利定價理論假設Arbitrage Pricing Theory Assumptions
2020/12/11
4
APT假設
• 同 CAPM 中所設定的均衡模式條件
• 消費者也是相同的預期（ homogenous expectations ）。不同的是不必對投資者的效用函 數作假設。
2020/12/11
5
3.APT模式說明
基本型式（Factor analysis）
• Ri = E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+ bikFk ＋εi
• 在組合B中， E(RB)=RF+1 which implies that 1 =E(RB)-RF.
• 在組合C中， E(RC)=RF+2 which implies that 2 =E(RC)-RF.
• 上述這些特殊情形表示， j 是異常報酬，異常報酬高低會受風險資產的 影響。(only subject to risk j)
2020/12/11
(6)
19
證明套利的過程
• 經由這樣的組合，投資者在組合 D 與 E ，兩組風險是一樣 的，都是b=0.6。
• 風險一樣，但兩組的報酬率不同，組合E是15%,組合D卻只 有13%，會產生套利機會。根據單一價格法則，兩個組合應 該會有相同報酬，只有一個報酬。
• 這時候，期初，套利者可以賣空組合D，比如說賣空 (+ €100) ，同時買入組合 E，支出 (- €100).
E(Ri ) = 7.75 5bi13.75bi2
2020/12/11
17
• 如前述，期望報酬與風險因子的關係下。
N
E(Rp ) = XiE(Ri )
i1
(5)
N
bpj Xibij j 1,2.
i1
2020/12/11
18
比較市場上組合D與E
• 假設另有一組合 E ，期望報酬 E(RE)=15%, bE1=0.6 與 bE2=0.6. • 另一組合 D，其組合是由前面ABC三種證券所組合，各三分之一
• Sharpe (1982,JPM) uses finance/accounting type variables such as the return on the market (S&P 500), dividend yield, return on longterm bonds, firm size, etc.
2020/12/11
例題討論
市場上三個基本組合
Expected
bi1
Return
15%
1.0
14%
0.5
10%
0.3
bi2 0.6 1.0 0.2
16
• 從上述三個組合，可以產生一個均衡平面的資訊 • 可以用bi1, bi2因素負荷，作成一個平面
E(Ri ) = 0 1bi12bi2
• 將例題數據bi1, bi2帶入，求聯立方程式，可以得到下列公式與's. • 這一條就是APT模式下，均衡報酬率公式
• 假設套利者的套利組合，符合前述零投資（ zero investment ）， 零系統風險（ zero systematic risk ），因此這個買進賣出，沒有 增加投資額，期末，卻可以增加每€100.有期望獲利€2 。
• 套利者會持續套利到組合E 降到 A, B and C (and D)的組合 平面上。也就是說組合E應該會降到13%報酬率 。
• Roll’s critique（1977） CAPM中，市場投資組合（ Market portfolio, E(Rm) ） 是所有證券平均值與變異數效率組合。 這種組合是事後效率（ Ex post efficient ）,所以應該沒有證券 可以得到任何異常報酬（ no securities have abnormal performance ），但事實上證券組合存在異常報酬。 因此所有證券所組成的市場投資組合不會是有效率組合 （Any Ex post inefficient index is possible）
• Burmeister and McElroy (1988,JoF) also use macroeconomic variables such as a default risk, time premium, unexpected inflation, change in expected sales, etc.
• R1＝ E（R1） ＋b11F1＋b12F2＋b13F3＋…＋ε1 • R2＝ E（R2） ＋b21F1＋b22F2＋b23F3＋…＋ε2 • R3＝ E（R3） ＋b31F1＋b32F2＋b33F3＋…＋ε3 • R4＝ E（R4） ＋b41F1＋b42F2＋b43F3＋…＋ε4 • R5＝ E（R5） ＋b51F1＋b52F2＋b53F3＋…＋ε5
2020/12/11
Fra Baidu bibliotek
8
4.重要APT 條件
• Σwi＝0 在沒有套利的機會下，增加某一證券比重，就要 減少其他證券持有的比例。套利不會增加投資者財富。
Rp＝Σwi E（Ri ）＋Σwibi1Fi＋…＋ ΣwibikFk + Σwi εi
• Ri = E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+ bikFk ＋εi
2020/12/11
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Fama and MacBeth (1973)兩階段步驟
• 第二種方式，一樣先算出因素分析 • 再利用因素負荷組成風險價格（ the price's ('s) of each risk ） • 在均衡時，找出期望報酬在各個因素負荷下的最適組合
• Ri = 第i個資產隨機報酬率 • E（Ri）=第i個資產期望隨機報酬率 • bik = 第i個資產報酬率對第k個共同因素的敏感程度 • Fk =所有資產所面對的第k個共同因素 • εi = 第i個資產報酬率函數式的殘差
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• Ri＝ E（Ri） ＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…＋εi
• wi≒1/n ，n →∞，Σwibik＝0 在多個不同共同因素結構中， 在沒有套利的﹌ 機會下，不會因為操弄不同的因素，利用不 同因素權重的比值，可以獲得額外的報酬。
Rp＝Σwi E（Ri ）＋Σwibi1Fi＋…＋ ΣwibikFk ＝ Σwi E（Ri）
• ΣwiE（R ik ）＝0 表示在沒有套利的機會下，任何風險資 產的組合，不會獲得額外的財富。
D = A + B + C.
• 使用前述報酬率公式， E(RD) = 13%. • 組合D計算公式如下：
1
1
1
bD1 = 3 (1.0) 3 (0.5) 3 (0.3) 0.6
bD2
=
1 3
(0.6)
1 3
(1.0)
1 3
(0.2)
0.6
• 將 b‘s 帶入公式
E(RD) = 7.75 5(0.6) 3.75(0.6) 13%
2020/12/11
9
5.APT多指數實證研究
• Chen, Roll and Ross (1986,JoB) use macroeconomic variables such as. the growth rate in industrial production, unexpected inflation, the term structure of interest rates, and risk premia
same cannot sell at different prices.）
• 原來平均值變異數的架構替換成證券報酬產生的過程
（the process generating security returns.）
• APT模式，報酬產生過程是多指數模式（ multi-index model
）也就是說報酬率是由很多變數所影響， β只是其中一項，還有很多 因素會影響報酬率的形成的。
• 套利定價模式Arbitrage pricing model
• 實證與測試Proof and test APT
• APT 與 CAPM比較
2020/12/11
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1. 前 言
• 標準 CAPM 模式是基於平均值-變異數組合理論分析。投 資者最好投資是基於選擇期望報酬與變異數
E(Ri) = Rf + β（ E(Rm) - E(Rf) ）
2020/12/11
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套利特殊狀況說明
• 假設若存在下列三種情形組合 A. bp1=0 bp2=0 B. bp1=1 bp2=0 C. bp1=0 bp2=1
• 在組合A中， E(RA)=0 which is the return on a zero-b portfolio which we call RF （無風險利率）if a riskless asset exists.
• Rp＝ΣwiE（Ri）＋Σwiβi1Fi＋…＋Σwiεi＝ Σwi E（Ri）
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• 理論上，當殘差項為0，報酬可以為所有因子所解釋，截 距 E（Ri）為預期平均報酬
• 共同因子F的係數b，稱為因素負荷量factor weight or factor loading.
• 共同因子F有下列關係存在，
• i are called factor prices（因素風險價格） • and bij are called factor risks（因素風險）.
• This is the equilibrium model produced by the APT when returns are generated by the two-index model.
2020/12/11
14
6.APT例題講解
• 投資 人可用 APT多指數模型說明均衡狀況。
• 為求簡化，設兩個指數模型。如下
Rit = aibi1I1t bi2 I2t eit
• 如果能夠完全多角化，僅會存在系統風險。 • 影響系統風險，用b‘s因子負荷量表達.
2020/12/11
15
Portfolio A B C
2020/12/11
3
2. APT假設
• Ross (1976,JET) 發展套利定價理論 Arbitrage Pricing Theory (APT) 。從套利的觀點來看資產價值訂定。
• APT 模式主要是基於套利單一價格法則（ the law of one price ） : 一種資產不會有兩種價格（two items that are the
rates）：正常情況下，長期債券利率大於短期利率。石油危 機，發生高通膨，兩者利率差加大，若沒有通膨壓力，與 報酬率正相關
• 不同預期的通貨膨脹率（Unexpected inflation）
2020/12/11
11
6.APT驗證
• 基本上有兩種方法驗證 APT. • 第一種方法是使用因素分析法 • 第二種方法是採用Fama and MacBeth (1973,JPE)兩階段步驟 • 使用第一種方法如本章前所述。 APT是一個報酬產生的多指數模式
2020/12/11
10
APT多指數影響因素
• 工業生產指數成長率（IP, growth rate of industrial
production）
• 不同等級債券殖利率之差（risk premium）：等級較差
債券負擔較高風險溢酬，隱含市況不佳，投資人悲觀，對報酬率為負 面影響。
• 不同到期日債券利率之差（Term structure of interest
2020/12/11
21
7.APT與CAPM比較研究
• Chen, Roll and Ross (1986,JoB), Burmeister and McElroy (1988,JoF) and Sharpe (1982,JPM) all find that various factors are significant and their results suggest that CAPM can be rejected in favour of APT.
E(Ri ) = 0 1bi12bi2 ... jbij
2020/12/11
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APT第二種方法說明
• 使用 APT ，將所有投資組合構成一個平面
E(Ri ) = 0 1bi12bi2
(8)
• 1 and 2 are the returns for bearing risks associated with indices (or factors).
Finance management
Arbitrage Pricing Theory, APT
2020/12/11
Lecture by Hua-Ching, Cheng, PhD
May,03,2004
1
Arbitrage Pricing Theory
• 前言Forward
• 套利定價理論假設Arbitrage Pricing Theory Assumptions
2020/12/11
4
APT假設
• 同 CAPM 中所設定的均衡模式條件
• 消費者也是相同的預期（ homogenous expectations ）。不同的是不必對投資者的效用函 數作假設。
2020/12/11
5
3.APT模式說明
基本型式（Factor analysis）
• Ri = E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+ bikFk ＋εi
• 在組合B中， E(RB)=RF+1 which implies that 1 =E(RB)-RF.
• 在組合C中， E(RC)=RF+2 which implies that 2 =E(RC)-RF.
• 上述這些特殊情形表示， j 是異常報酬，異常報酬高低會受風險資產的 影響。(only subject to risk j)
2020/12/11
(6)
19
證明套利的過程
• 經由這樣的組合，投資者在組合 D 與 E ，兩組風險是一樣 的，都是b=0.6。
• 風險一樣，但兩組的報酬率不同，組合E是15%,組合D卻只 有13%，會產生套利機會。根據單一價格法則，兩個組合應 該會有相同報酬，只有一個報酬。
• 這時候，期初，套利者可以賣空組合D，比如說賣空 (+ €100) ，同時買入組合 E，支出 (- €100).
E(Ri ) = 7.75 5bi13.75bi2
2020/12/11
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• 如前述，期望報酬與風險因子的關係下。
N
E(Rp ) = XiE(Ri )
i1
(5)
N
bpj Xibij j 1,2.
i1
2020/12/11
18
比較市場上組合D與E
• 假設另有一組合 E ，期望報酬 E(RE)=15%, bE1=0.6 與 bE2=0.6. • 另一組合 D，其組合是由前面ABC三種證券所組合，各三分之一
• Sharpe (1982,JPM) uses finance/accounting type variables such as the return on the market (S&P 500), dividend yield, return on longterm bonds, firm size, etc.
2020/12/11
例題討論
市場上三個基本組合
Expected
bi1
Return
15%
1.0
14%
0.5
10%
0.3
bi2 0.6 1.0 0.2
16
• 從上述三個組合，可以產生一個均衡平面的資訊 • 可以用bi1, bi2因素負荷，作成一個平面
E(Ri ) = 0 1bi12bi2
• 將例題數據bi1, bi2帶入，求聯立方程式，可以得到下列公式與's. • 這一條就是APT模式下，均衡報酬率公式
• 假設套利者的套利組合，符合前述零投資（ zero investment ）， 零系統風險（ zero systematic risk ），因此這個買進賣出，沒有 增加投資額，期末，卻可以增加每€100.有期望獲利€2 。
• 套利者會持續套利到組合E 降到 A, B and C (and D)的組合 平面上。也就是說組合E應該會降到13%報酬率 。
• Roll’s critique（1977） CAPM中，市場投資組合（ Market portfolio, E(Rm) ） 是所有證券平均值與變異數效率組合。 這種組合是事後效率（ Ex post efficient ）,所以應該沒有證券 可以得到任何異常報酬（ no securities have abnormal performance ），但事實上證券組合存在異常報酬。 因此所有證券所組成的市場投資組合不會是有效率組合 （Any Ex post inefficient index is possible）
• Burmeister and McElroy (1988,JoF) also use macroeconomic variables such as a default risk, time premium, unexpected inflation, change in expected sales, etc.
• R1＝ E（R1） ＋b11F1＋b12F2＋b13F3＋…＋ε1 • R2＝ E（R2） ＋b21F1＋b22F2＋b23F3＋…＋ε2 • R3＝ E（R3） ＋b31F1＋b32F2＋b33F3＋…＋ε3 • R4＝ E（R4） ＋b41F1＋b42F2＋b43F3＋…＋ε4 • R5＝ E（R5） ＋b51F1＋b52F2＋b53F3＋…＋ε5