《复变函数》总结69339
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数的总结范文
复变函数的总结范文复变函数是复数域上的函数，它的定义域和值域都是复数域。
复变函数是在复数域上进行运算的函数，与实变函数不同，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以由一个实变量的函数通过对自变量进行复数化得到。
设f(x) 是定义在实数域上的一个函数，则定义在复数域上的函数 f(x+iy), 其中 x 和 y 是实数，称为复变函数。
1. 复变函数的加法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的和是 h(x+iy) = f(x+iy) + g(x+iy)。
2. 复变函数的乘法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的乘积是 h(x+iy) = f(x+iy) * g(x+iy)。
3. 复变函数的求导：与实变函数类似，复变函数也可以进行求导运算。
对于复变函数 f(x+iy)，它的导函数是 g(x+iy) = ∂f/∂x + i∂f/∂y。
4. 复变函数的除法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的商是 h(x+iy) = f(x+iy) / g(x+iy)。
1.复变函数的连续性：与实变函数类似，复变函数对于自变量的连续性要求也是一样的。
当复变函数在其中一点处连续时，它在该点的极限存在且等于该点的函数值。
2.复变函数的解析性：若复变函数在一个区域内处处可导，则称它在该区域内是解析的。
解析函数是复变函数中非常重要的一类函数，它在实数域上的导函数也是解析的。
3. 复变函数的奇偶性：与实变函数一样，复变函数也可以具有奇偶性。
若复变函数满足 f(x+iy) = -f(-x-iy)，则它是奇函数。
若满足f(x+iy) = f(-x-iy)，则它是偶函数。
4. 复变函数的周期性：与实变函数不同，复变函数可以具有任意周期。
若复变函数满足 f(x+iy) = f(x+iy+T)，其中 T 是一个复数，那么它就是周期函数。
1.科学与工程中的应用：复变函数在电力工程、电子工程、通信工程等领域中有广泛的应用。
【最新】《复变函数》总结
【最新】《复变函数》总结复变函数是指把一个复变量的变量表示为函数的过程，也是复变量和复函数之间的等价关系，它有着重要的数学意义和重要的实际应用。
复变函数通常由实数域和虚数域组成，用公式来描述，它是一种在复平面上根据定义域及值域定义复函数的方法。
它把定义域上的复变量转换成在值域上定义的复函数，从而可以求解复变量的取值，具体来说，复变函数由两个函数f(z) = u (z) + iv (z) 组成，其中，u(z)是定义域上的一个实函数，v(z)是定义域上的一个虚函数。
可以知道，复变函数既可以是实函数，也可以是虚函数，这要取决于其定义域以及值域中所包含的复变量的表达式。
复变函数的求法有三种：一是复变量方法，二是参数方法，三是Laplace变换方法。
1. 复变量方法就是把复变量z表示为对应的复数f(z)=p (x, y)+qi(x, y)，其中x, y表示实数部分和虚数部分，p(x, y)是实函数，q(x, y)是虚函数，并求出复变函数f(z)的极值；2. 参数方法则是把复变量z表示成参数形式z=a+bi，其中a, b均为实数，把f(z)用a, b来表示，用参数求极值，求得f(z)；3. Laplace变换方法就是把复变函数f(z)用局部Laplace变换求解，利用计算机软件计算出来。
复变函数在数学思维中具有广泛的应用，它不仅常用于线性系统，还应用在微分方程、概率论、信号处理、最优控制、网络控制等领域。
例如，在机器学习中，复变函数可以用来描述模型的行为，对系统的性能进行优化和分析；在仿生学中，复变函数也可以用来模拟动物思维；在信号处理中，复变函数可以用来求解幅度、相位、频率等特性；在最优控制中，复变函数可以把控制问题转换成数学形式，来求解最优全局策略；在网络控制中，复变函数可以把网络的复杂性转换为可求解的数学问题，用以搜索网络中的最佳状态。
总之，复变函数是一种独特的函数，在数学思考和实际应用中都具有重要的意义。
复变函数总结
若函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点 z x yi 处 可导,则其导数公式:
定理2 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
又
w1 z
1 x iy
x iy x2 y2
1 ( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
26
(2) x 2. 解 因为 z x iy 2 iy
1 (1 2
3i ),
z2
sin
3
i
cos
, 3
求
z1
z2
和
z1 z2
.
解
因为
z1
cos
3
i sin
3
,
z2
cos
6
i
sin
6
,
所以
z1
z2
cos
3
6
i sin
3
6
i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
19
例 计算 3 1 i 的值.
解 因为 n 1 所以 1 2 n1 1 n 0. 1
8
例
设
z1
5 5i,
z2
3 4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
复变函数简单总结
复变函数简单总结复变函数简单总结对于某些专业的工科学生，学习复变函数是非常有意义的。
复变函数的记号是w＝f（z）。
从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。
在直角坐标系复平面上，自变量记作z＝x＋iy，函数值记作w＝u＋iv。
那么复变函数w＝f（z）就等价于两个二元函数u=u（x，y）,v=v（x，y），即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。
在物理学或力学中，可以用复变函数来建立“平面场”的数学模型，例如在流体力学中，平面流速场的速度分布可用复函数V＝V（z）＝Vx（x，y）＋iVy（x，y）来表示，其中，Vx（x，y）和Vy （x，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号），V（z）则称为复速度。
在静电学中，平面静电场也可以用复函数E（z）＝Ex（x，y）＋iEy（x，y）来表示，Ex（x，y）和Ey（x，y）是坐标轴方向的场强分量，E（z）称为复场强。
对于理科的物理专业，以及工科与流体力学、电工电子学有关的各类专业，“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两门的，甚至三门的，即积分变换）都是很基础的一门课程。
复变函数泛谈首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。
复数的集合复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。
可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。
而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。
结论为：数学不是科学。
数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。
哪怕是假命题如地心说，也是科学。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中的一个重要分支，它主要研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究不仅在理论上有着重要的意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
本文将对复变函数的一些重要知识点进行总结，以便读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
首先，我们来看一下复数的定义和性质。
复数是由实数和虚数单位i组成的数，通常表示为z = x + yi，其中x和y分别是实部和虚部。
复数可以进行加减乘除等基本运算，并且满足交换律、结合律和分配律。
此外，复数还可以表示为极坐标形式z = r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
接下来，我们介绍复变函数的概念和性质。
复变函数是将复数域上的一个集合映射到另一个复数域上的函数，通常表示为f(z)。
复变函数可以进行加减乘除、求导、积分等运算，并且满足柯西—黎曼方程等一些重要的性质。
复变函数的导数也具有柯西—黎曼方程的性质，这是复变函数理论中的一个重要定理。
在复变函数中，解析函数是一个重要的概念。
解析函数是指在某个区域内可导的函数，并且在该区域内具有泰勒级数展开式。
解析函数具有许多重要的性质，比如在其定义域内是无穷次可微的，且导数也是解析函数。
解析函数在物理学、工程学、金融学等领域都有着广泛的应用。
复变函数中的积分也是一个重要的概念。
复变函数的积分可以分为定积分和不定积分两种。
定积分在复变函数中的计算通常采用路径积分的方法，而不定积分则可以通过换元法、分部积分法等方法进行计算。
复变函数的积分在物理学中有着重要的应用，比如在电磁学中的麦克斯韦方程中就包含了路径积分的概念。
最后，我们来看一下复变函数在实际应用中的一些例子。
复变函数在电路分析、信号处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。
比如在电路分析中，复变函数可以用来描述电路中的电压、电流等信号，从而进行电路的分析和设计。
在信号处理中，复变函数可以用来描述信号的频谱、相位等特性，从而进行信号的处理和分析。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
复变函数总结
复变函数总结复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。
它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。
在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数的运算规则相似。
二、复平面与复函数复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。
复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。
复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。
三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。
2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。
3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部相同，虚部取相反数。
4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。
5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。
四、复变函数的应用1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。
2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。
3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。
4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。
5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。
《复变函数》总结
《复变函数》总结《复变函数》总结复变小结1.幅角（不赞成死记，学会分析）yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.对于P12例题1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C）共线所满足的公式:(向量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBAc.对于P15例题1.14中可直接转换成X和Y的表达式后判断正负号来确定其图像。
d.判断函数f(z)在区域D内是否连续可借助课本P17定义1.84.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程a.在某个区域内可导与解析是等价的。
但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。
b.柯西黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）c.指数函数:复数转换成三角的定义。
d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k)e.幂函数：底数为e时直接运算（一般转换成三角形式）当底数不为e时，w=za=eaLnz(幂指数为Ln而非ln)ieeii,,e能够区分：,i的计算。
f.三角函数和双曲函数：eizeizeizeizcos只需记住：z,sinz.22i其他可自己试着去推导一下。
eyeycosiychy2(2.15)及eyeysiniyishy2i反三角中前三个最好自己记住，特别ArctgziLn1iz21iz因为下一章求积分会用到5.复变函数的积分(arctanz),1z21(如第三章的习题9)a.注：只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。
（勿乱用）例如:zdz与路径无关。
而zdz与路径有关。
ccb.柯西-古萨基本定理：当函数f(z)在以简单闭曲线C为边界的有界区域D 内解析且在闭区域上连续时：重要公式f(z)dz0C2πi,n0,dzn1(zz0)0,n0.|zz0|rc.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：1f(z)dz.(3.17)2πizzf(z0)0C0!f(f(n)(z)nz)dz(3.20)d.调和函数：22n12πi(zz)0Cn1,2,。
复变函数重要知识点总结
03 复变函数的级数与幂级数展开
幂级数展开
幂级数展开是复变函数的一种表示方法，它将一个复数函数表示为一个无 穷级数。
幂级数展开在复变函数中具有广泛的应用，例如在求解微分方程、积分方 程以及研究函数的性质等方面。
幂级数展开的收敛性是一个重要的问题，它涉及到级数的收敛范围和条件 。
洛朗兹级数展开
01
勒让德函数
01
勒让德函数是一种在复数域上的特殊函数， 它经常用于解决物理和工程问题。
03
02
勒让德函数分为两种类型：P型和Q型，每 种类型都有其特定的定义和性质。
勒让德函数的定义基于勒让德方程，该方程 是一个二阶线性常微分方程。
04
勒让德函数具有一些重要的性质，如正交性 、积分表示、零点和无穷大行为等。
洛朗兹级数展开是复变函数的一种特殊形式的幂级数展 开，它在研究函数的奇异点和分支点等方面具有重要作 用。
02
洛朗兹级数展开可以用来求解某些具有特定性质的复数 函数的积分和微分方程。
03
洛朗兹级数展开的收敛性和奇异性是一个重要的研究课 题，它涉及到级数的收敛范围和条件以及函数的奇异性 。
欧拉公式与双曲函数
复变函数在物理中的应用
波动方程
复变函数用于描述波动现象，如 电磁波、声波等。波动方程的解 是复变函数，描述了波的传播和
变化。
电路分析
在电路分析中，电压和电流可以用 复变函数表示，从而简化计算和分 析。
量子力学
在量子力学中，波函数通常可以表 示为复变函数，描述微观粒子的状 态和行为。
复变函数在工程中的应用
欧拉公式是复变函数中的一个基本公 式，它将三角函数与复数运算联系起 来，从而将实数域上的三角函数扩展 到复数域上。
复变函数总结
复变函数总结复变函数，即复数域上的函数，是数学中重要的研究领域之一。
在复变函数的研究过程中，人们发现了许多有趣且重要的性质和定理。
本文将对复变函数的一些基本概念、性质以及常见定理进行总结，并探讨它们的应用。
一、复数的基本概念复数是由实部和虚部构成的，以形如a + bi的形式表示，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数域上的运算包括加法、减法、乘法和除法。
二、复变函数的定义与性质复变函数可看作是以复数为定义域和值域的函数。
复变函数的导数概念在复数域上进行推广，被称为复导数。
复导数的定义如下：设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是定义在某区域上的复变函数，若当点z在该区域内变动时，极限f'(z_0)=lim(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)在极限存在时，则称f(z)在z_0处可导。
复变函数的可导性与解析性密切相关。
如果一个函数在某区域上处处可导，则称该函数在该区域内解析。
解析函数具有许多重要的性质，如可导函数的连续性和可微性。
三、柯西-黎曼方程与调和函数柯西-黎曼方程是解析函数的一个重要条件，其表达式为：∂u/∂x = ∂v/∂y 和∂u/∂y = -∂v/∂x其中u(x, y)为解析函数的实部，v(x, y)为解析函数的虚部。
柯西-黎曼方程表明，解析函数的实部与虚部之间存在一定的关系。
调和函数是满足柯西-黎曼方程的实函数，它在物理学和工程学中应用广泛。
调和函数具有许多有趣的性质，如最大值原理和平均值性质。
四、复变函数的积分与实变函数类似，复变函数也存在积分的概念。
复积分常用路径积分表示，即沿着某条曲线对函数进行积分。
路径积分与路径有关，沿不同路径积分的结果可能不同。
当沿闭合路径进行积分时，根据柯西积分定理可知，对于解析函数来说，积分结果为0。
这是柯西积分定理的基本形式。
另外，在某些情况下，复积分可通过取局部极值来求解，这一方法称为留数法。
留数法是复变函数积分的一个重要工具，在计算复积分中发挥着重要的作用。
复变函数-总结
18
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f (z +∆z) − f (z) 解：这里 lim ∆z→0 ∆z ( x + ∆x) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi ∆x + 2∆yi = lim = lim ∆z → 0 ∆x + ∆yi ∆z → 0 ∆x + ∆yi
∂u ∂v ∂v ∂u = , =− ∂x ∂y ∂x ∂y
解析 ( 可导) ⇔ u , v 可微且满足C-R方程
若 推论 ： u, v在( x, y )处一阶偏导数连续且满足C − R
方程,则f ( z ) = u + iv在 z = x + iy 处可导.
22
§2.2 解析函数与调和函数的关系
y
由 C − R 方程知：
u x = v y = − 2 y u y = − v x = −2 x
u( x 1 y ) =
0
( x, y )
(x,0)
x
∫
( x, y)
∆x + 2∆yi ∆x = lim =1. 取∆z = ∆x → 0 , lim ∆z→0 ∆ +∆ x yi ∆z→0 ∆x ∆x + 2∆yi 2∆y 取∆z = i∆y → 0, lim = lim = 2. ∆z→0 ∆ +∆ x yi ∆z→0 ∆y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则
lim u(x, y) = u0 x→x0 y→y0 lim f (z) = A ⇔ . z→z0 lim x→x0 v(x, y) = v0 y→y0 运算性质：
复变函数重点知识点总结
复变函数重点知识点总结复变函数是数学分析中的一门重要课程，主要研究复数域上的函数。
复变函数具有许多特殊性质和重要应用，在数学、物理学等领域有广泛的运用。
以下是复变函数的一些重点知识点总结。
1.复变函数的定义及运算法则：-复变函数是定义在复数域上的函数，可以表示为f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)，其中z=x+i*y为复数，u(x,y)和v(x,y)为实函数，分别称为f的实部和虚部。
-复变函数的加法、减法、乘法和除法运算法则与实数类似，可以进行复数的加减乘除运算。
-复变函数可以表示为级数形式，如幂级数、三角级数等。
2.复变函数的解析性：- 解析函数是指在其定义域内可导的函数，复变函数的解析性与其实部和虚部的连续性及Cauchy-Riemann条件密切相关。
- Cauchy-Riemann条件是解析函数必须满足的条件，即函数的实部和虚部的偏导数满足一定的关系。
-如果一个复变函数在其定义域内解析，则其在该域内无穷次可导，并且导数处处存在。
3.高阶导数及全纯函数：-复变函数的高阶导数可以通过对复变函数的导数进行重复求导得到。
-如果一个复变函数在其定义域内高阶导数均存在，则称该函数为全纯函数。
-全纯函数具有许多优良性质，如解析、无奇点等。
4. 路径积分及Cauchy定理：-路径积分是指沿着一条曲线对复变函数进行积分的操作，复变函数的路径积分与路径无关。
- Cauchy定理是复分析中的重要定理之一，它指出如果一个函数在一个简单连通区域内解析，那么它在该区域中的曲线积分等于零。
5.解析延拓及解析函数的唯一性定理：-解析延拓是指将一个函数的定义域扩展到更大的区域上，使得该函数在扩展后的区域内解析。
-解析函数的唯一性定理是指如果两个解析函数在一些区域内相等，那么它们在该区域内处处相等。
-解析函数的唯一性定理是复分析中的一个重要定理，它可以用于证明解析函数的存在性、奇点的性质等。
6.高阶亚纯函数及留数计算：-亚纯函数是指解析函数和有限阶极点函数的叠加，亚纯函数可以表示为f(z)=P(z)+Q(z)，其中P(z)为解析函数，Q(z)为有限阶极点函数。
复变函数总结可修改文字
tan z sin z , cot z cos z ,
cos z
sin z
sec z 1 , csc z 1 ,
cos z
sin z
4. 双曲函数
ez ez
ez ez
sinhz
, cosh z
,
2
2
tanh z sinh z , coth z cosh z ,
k 0
称为以 b 为展开中心的幂级数。其中 ak 为复常数。
幂级数的收敛圆及其收敛半径
k
对于幂级数 ak (z b)k ，必定存在一以 b 为圆心，R 为
k 0
半径的圆，在圆内该级数绝对收敛（而且在较小的圆内 一致收敛），而在圆外发散。这个圆称为该幂级数的收敛 圆，R 称为它的收敛半径。
确定幂级数的收敛半径
z rei
(1.2.14)
复数的乘幂与方根
zn z z z
zn rn (cos n i sin n )
wk
n
i 2kπ
re n
n
r [cos(
2kπ ) i sin(
n
2kπ )], n
(k 0,1, 2,, n 1)
区域
z0的去心邻域 : 点集 z 0 z z0
复变函数总结
复数的表示
1.2.1 复数的几何表示
y
P y
r
x
o
图 1.1
x
y
0
x
2kπ 0
图 1.2
复数的指数表示
定义 1.2.6 复数的指数表示 利用欧拉(Euler)公式
ei cos i sin
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复变小结
1.幅角（不赞成死记，学会分析）
.2
argtg 2
0,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg πππππ<<-⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏<arg z ≤∏
Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2 2. 求根：
由z=θi e =r(cos θ+isin θ)得
z n =e in θ=r n (cosn θ+isinn θ) 当r=1时，
)sin (cos θθi n +=)sin (cos θθn i n + （*1） 当z w n =
w=
（*2） z arg =θ 例： 可直接利用（*1）式求解 可令z=1+i,利用（*2）式求解 3.复函数：
a. 一般情况下：w=f(z),直接将z=x+iy 代换求解
但遇到特殊情况时：如课本P12例1.13（3）可考虑： z=θi e =r(cos θ+isin θ)代换。
()
2
22cos sin 0,1,2,,1k k n n k i n n n n z re r i k n θπθπθπ
+++==+=-求方根公式(牢记!):
其中。
10
(sin cos )55i ππ+41i
+
b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式:
(向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBA
c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。
d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8
4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程
a.在某个区域内可导与解析是等价的。
但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。
b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）
c.指数函数:复数转换成三角的定义。
d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k π)
e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e 时，w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln)
能够区分： 的计算。
f.三角函数和双曲函数：
只需记住：
及 其他可自己试着去推导一下。
反三角中前三个最好自己记住，特别 iz
iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到
11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9)
5.复变函数的积分
,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz
iz iz iz ---=+=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos
a.注：只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。
（勿乱用）
例如: ⎰c zdz 与路径无关。
而dz z c
⎰与路径有关。
b.柯西-古萨基本定理：当函数f(z)在以简单闭曲线C 为边界的有界区域D 内解析且在闭区域上连续时：
重要公式
c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：
d.调和函数：
一般与柯西-黎曼公式一起用:熟知课本P52中的例3.11中三种解法即可。
6.级数
⎩⎨⎧≠==-⎰=-+.0,0,0,π2)(d ||100
n n i z z z r z z n ()d 0C f z z =⎰)17.3(.d )(π21)(00⎰-=
C z z z z f i z f ()010!()()d (3.20)2π()1,2,n n C n f z f z z i z z n +=-=⎰。
22(,)0
x y x y ϕϕϕ∂∂+=∂∂22调和:
a.熟知课本P59定理4.2及其推导（其中1最重要）性质。
b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。
c. 幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。
（方法同于高数级数）
d.泰勒级数： 五个重要初等函数展开式：
其余可由式：
.1||,)1(1112<+-+-+-=+z z z z z
n n 直接推导。
（注意各展开式的[z]取值范围）
e.洛朗展开式:与泰勒展开式的主要区别在于其包含Z 的负次数方幂。
泰勒展开式是洛朗展开式的特殊形式。
（即当洛朗展开式中奇点为可去奇点时展开式为泰勒形式）
f.零点，奇点，极点
零点:即使得函数f(z)=0的点。
.,2,1,0),(!1,)()(0)(00 ==-=∑∞
=n z f n c z z c z f n n n n n 其中成立)8.4(.!!21e 2 +++++=n z z z n z )11.4()!
2()1(!4!21cos )10.4()!12()1(!5!3sin 2421253 +-+-+-=++-+-+-=+n z z z z n z z z z z n n n n
奇点：即使得函数f(z)无意义的点。
（P82定理4.18的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征）
奇点又分为：可去奇点，本性奇点，一般奇点。
可去奇点：即洛朗展开式中不存在Z 的负次数方幂。
本性奇点：即展开式中存在Z 的负无穷次方幂。
一般奇点：即展开式中存在Z 的有限次负次数方幂。
极点：即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。
极点一定是奇点，但奇点不一定是奇点。
（奇点容易判断，极点可借助P83定理4.19判断同时可以学会判断是几阶极点，对于第五章中求留数有用）
P84定理4.22：极点和零点的关系。
7.留数
a.留数定理： 利用课本P93-94三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数 （没什么特殊方法，希望大家通过多练来掌握）
b.利用留数定理求积分： 有些情况下利用留数和定理：
更便于求解
特殊转换：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Res ]),(Res[2z z f z f c.用留数计算实积分：
01
Res[(),]()d (5.3)
2C f z z f z z i π=⎰)7.5(.]),(Res[π2d )(
1∑⎰==n
k k C z z f i z z f .0d )(π21d )(π21
]),(Res[]),(Res[1=+=+∞⎰⎰∑-=C C n
k k z z f i z z f i z z f z f π
2
形如：的积分，一般令z=θi e
使用条件：R(x,y)变量x，y的有理函数，并且在单位圆上分母不为零。
形如⎰+∞∞
-
x
x
R d)
(
的积分
使用条件：函数R(x)是x的有理函数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.
形如：
dx
x
f
e ix)(
⎰+∞
∞
-
的积分
使用条件:其中f(z)在Imz≥0内除可能有有限各孤立奇点外处处解析，并且当z在Imz≥0上时P104引理5.3中（5.15）式成立。
（具体理解大家可参考课本中的例题）
老师所给划题目：P22-例、P26-例、P33-3
P26-例、P33-1 P55-7（1、2）、相关例子P46-例、P47例、P55-8
P88-11（1-6）P79-80例、P89-16（2、5）P90-18（1、2、3）
P113-5、相关例子P97例、P113-6（1-5）P114-8、相关例子
以上基本上是理论的东西。
有些东西仅为个人理解，如有问题可提出来。
例题大家可参考吴林峰发到群邮箱内的试卷。
里面全部附有答案（如果找不到的可找我要）。
复变看书是作用不是很大，大家还是多做做题练习一下，效果会更好。