非等差等比数列

数列求和

Ⅰ、『回忆』求和公式求和

1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=

+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

Ⅱ、非等差、等比数列求和

（1）倒序相加法：将一个数列倒过来排列（反序），当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加的方法求和。

【例1】已知函数1

(),()42x

f x x R =

∈+，111222(,),(,)P x y P x y 点是函数f （x ）的图像上的两点，且线段

12

1

2P P 的中点P 的横坐标是， （1）求证：点P 的纵坐标是定值。

（2）若数列}a {n 的通项公式是)m n (f a n =(,,m N n m +

∈=n=1，2，…，m ），求数列{}n a 的

前m 项的和。

【思路分析】（1）由中点坐标公式得：121x x +=，再12y +计算y 的值可证。

（2）利用倒序相加的方法求和。 解：（1）121x x +=由题意知：，下面12y +计算y 的值

12121212

12

12121211444444

()()4242(42)(42)42(44)4

x x x x x x x x x x x x y y f x f x ++++++=+=+==+++++++把121x x +=代入上式得：

，为定值。 （2）由（1）可知：对任意的非零自然数m ，n ，1()()2n m n f f m m -+=恒成立。

由于：

1221()()()())

m m m m

f f f f f m m m m m --=+++++S （，故采用倒序相加的方法求和。

)

m m

(f )m 1m (f )m 2(f )m 1(f S m +-+++=

①

①+②得：

（2）错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要求数列

{}n n a b ⋅（其中数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列）的前n 项的和。

【例2】求和：

23123,(0)n n n

S a a a a

a =

++++

≠

【思路分析】在上述求和的式子中，可知：数列的通项公式是

1

,n n

C n a =⋅

显然，数列{C n }

是由等比数列}

a 1{n 和等差数列{n}组成的，故采用错位相减法。

解：（i ）当a=1时。(1)S 2n n n +=1+2+3+

+n=

（ii ）当1a ≠时，23123n n

n S a a a a =++++…………（1），在（1）的两边同乘以1a

得：

a 1

1

n n 432n a n a 1n a 3a 2a 1S ++-++++= （2）

（1）－（2）得：1

n n 2n a n a n a 1a 1S )a 11(+-+++=-

【例3】求和：1

32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x

n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的

通项之积：设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②（设制错位）

①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--

（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：

n

n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----⋅+=--。∴

2

1)

1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ （3

{}n a 的前n 项和时，若能将n a 拆分为：1n n n a b b +=-的形式

则

，常见的裂项公式有： （i ）数列

{}n a 是公差为d 的等差数列，

则12121231

111

()(1)k

k k a a a k d a a a a a a -=

-

⨯⨯

⨯-⨯⨯⨯⨯⨯

⨯

如1111

[]

(1)(2)2

(1)(1)(2)

n n n n n n

n =-+++++

（ii 1

a b =

-

【例4】（1）已知不等的正数12,,

,,n a a a 成等比数列，且1,(1,2,3,,)i a i n ≠=

求证：

12231111

11

lg lg lg lg lg lg lg lg n n n n a a a a a a a a --++

+

=

⋅⋅⋅⋅

（2）在平面直角坐标系中，有一点列111222(,),(,),,(,),,n n n P

a b P a b P a b

对于每一个任意的自然数n ，点列12,,,,

n P

P P 都在曲线2

y x =上，且点

(,0),(1,0)n n n n P A n B n P +与构成以为顶点的等腰三角形，若

1

2n n n C b a n =

-+

{}n C n 求数列的前项和n S 。

【思路分析】（1）由已知数列{}n a 成等比数列，则1,(1)

n

n a q q a -=≠，故等式的左边数列中

的通项

111111

()

lg lg lg lg lg n n n

n n b a a q a a --=

=

-，可用裂项法求左边的和即可得证

（2）由已知求出,n n n a b 代入C ，然后利用裂项法求之。 解：（1）由{}n a 是等比数列

1n n a q a -⇒

=，故

11lg lg n n n b a a -=1111

()lg lg lg n n q a a -=- 1223

111111

11

[()()(

)]lg q lg lg lg lg lg lg a n n a a a a a -∴-+-+

+-原等式左边=

11lg

1

lg lg lg n n a a q a a =⋅

11lg lg n n a a -==右边，即结论成立。

（2）

222

(,),(,)n n n n n n n n P a b y x a a a =⇒=由在曲线上b 即P ，又||||n n n n P A P B = 2

n 2n 2n 2n b )]1n (a [b )n a (++-=+-∴

化简得：2

22121,()22n n n n n a b a ++=

== 211

21212(1)2()22

n C n n n n n

==

+++-+111()21n n =-+ 2(1)

n

n =

+。

（4）并项法：已知数列{}n a 的相邻两项的和是相等的，可以采用并项法。

【例5】求和：1357(1)(21)n n

S n =-+-+-+--

【思路分析】观察数列中的项：(13)(57)2-+=-+=

=故可用并项法求和。但要讨论

数列中的项数n ，项数n 有奇数和偶数两种情形。 解：（i ）当n=2k （k 是正整数）时。

22n

=⨯

=n