高考数学备考复习易错题三：导数的应用

2020高考数学备考复习易错题三：导数的应用

一.单选题（共10题；共20分）

1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2.曲线在点处的切线方程为( )

A. B. C. D.

3.（2015·北京卷）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）

2015年5月1日12 35000

2015年5月15日 48 35600

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）

A. 6升

B. 8升

C. 10升

D. 12升

4.（2015·福建）若定义在R上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）

A. B. C. D.

湖南）设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则f(x)是( )

5.(2015·

A. 奇函数，且在（0,1）上是增函数

B. 奇函数，且在（0,1）上是减函数

C. 偶函数，且在（0,1）上是增函数

D. 偶函数，且在（0,1）上是减函数

6.若函数f（x）满足f′

（x）﹣f（x）=2xe x，f（0）=1，其中f′

（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，

的最大值为（）

A. B. 2 C. 2 D. 4

7.已知函数f（x）=x3﹣tx2+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（）

A. （﹣∞，3]

B. （﹣∞，5]

C. [3，+∞）

D. [5，+∞）

8.（2012?重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′

（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）

B. 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）

C. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）

D. 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）

9.（2013?安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

10.（2014?新课标II）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

二.填空题（共4题；共4分）

11.曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________．

12.已知直线与曲线切于点，则b的值为________.

新课标1卷）已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7)，则a= ________ .

13.(2015·

14.函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为________

三.综合题（共3题；共35分）

15.（2016?全国）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．

(1)讨论f（x）的单调性；

(2)若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

16.（2016?山东）设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．

(1)令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；

(2)已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．

17.已知函数，

(1)若，求函数处的切线方程

(2)设函数，求的单调区间.

(3)若存在，使得成立，求的取值范围。

答案解析部分

一.单选题

1.【答案】A

【考点】函数在某点取得极值的条件

【解析】【解答】函数的极小值点要满足，在左侧附近，右侧附近，根据图像观察得有1个.故选 A.

【分析】函数的极小（大)值点要满足，在左侧附近（>0)，右侧附近(<0).

2.【答案】C

【考点】导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的点斜式方程

【解析】【解答】因为，所以，所以切线的斜率，又切线过点，所以切线方程为，即。

【分析】注意“求在某点处的切线方程”和“求过某点的切线方程”的区别。一般的时候，求曲线的切线方程，

要是不知道切点的话，要把切点设出。

3.【答案】B

【考点】变化的快慢与变化率

【解析】【解答】因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量

升。而这段时间内行驶的里程数千米，所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B。

【分析】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题。解题时一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”，否则很容易出现错误。解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知

识进行分析和解决问题。

4.【答案】C

【考点】函数的定义域及其求法，导数的运算

【解析】【解答】由已知条件，构造函数=-Kx，则=-k,故函数在R上单调递增，且＞0，故g（）＞g（0），所以，,所以结论中一定错误

的是C，选项D无法判断；构造函数h(x)=f(x)-x,则h'(x)=f'(x)-1＞0，所以函数h(x)在R上单调递增，且，所以h()＞h(0),即f()-＞-1，选项A,B无法判断，故选C。

【分析】系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方

程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题。