若干q-差分方程的形式解及其应用
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经 相 当成熟 了．
自ｑ － 微 分 算子 被定 义 以来 ， 众 多学 者深 入研 究 了 算 子 问题 ， 获 得 了许 多有 意义 的研 究 结果 ］ ． 其
中Ｃ ｈ ｅ ｎ ， Ｌ ｉ ｕ ｌ ４ 得 到 的结果 是 在算 子
Ｔ （ ｂ Ｄ 。 ） ｛
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第四、 五、 六部 分论 述 了它们 的对经 典公 式 的拓 展 与推 广．
ＶｏＩ ． １ ６ ＮＯ ． ２
Ｍ ａ ｒ ．２ Ｏ １ ７
若干 ｑ 一 差 分 方 程 的 形 式 解 及 其 应 用
刘 富裕 ，许
敏 ，曹 健
（ 杭州 师范大学理学院， 浙江 杭州 ３ １ ０ ０ ３ ６ ）
摘
要 ：随 着 非 线 性 数 学 和量 子数 学 的 快 速 发 展 ， 组 合 数 学 中复 杂 的积 分 运 算 与 有 限 的 求 和 公 式 是 制 约 研
中 图分 类 号 ：Ｏ１ ７ ７ ． ９ １ ＭＳ Ｃ ２ ０ １ ０ ： ４ ７ Ｈ１ ０ ， ５ ４ Ｈ２ ５ 文 献标 志 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：１ ６ ７ ４ ～ ２ ３ ２ Ｘ（ ２ ０ １ ７ ） ０ ２ — ０ １ ８ ７ — ０ ８
０ 引 言
ｑ － 算 子 对应 的 ｑ 一 差 分方 程 ， 以及 它形 式解 的应 用 ， 是 当今计 算 数 学 研究 的重 要 课题 之 一 ， 经典 Ｔ（ ａ ， ｂ Ｄ ） 算 子与 Ｅ（ ａ ， ） 算子， 对 应含 ３ 个参 数 ｆ（ ａ ， ｂ ， ｃ ）的 ｑ ＿ 差 分方 程形 式解 以及 包括 他们 推广 的研 究 ， 已
式 的 函数 ． 这 导致 它们 的拓 展 与推 广很 受 限制 ． 鉴 于此 ， 本 文将 进 一 步拓 展 ， 在 文 章 的第 三 部 分 ， 给 出 了几 个 关 于指 数算 子 的定 理 ， 并 得 到 了相应 的两 个 含 ３ 个 参 数 ｇ（ ａ ， ｂ ， ｃ ）的 ｑ ＿ 差 分方 程形 式解 （ 工）ｇ （ ａ， ｂ ， ｃ ）是一 个 含 ３ 个 参 数 的函数 ， 且 ｇ （ ａ ， ｂ ， ｃ ）一 （ Ｏ ， ０ ， Ｏ ）∈ Ｃ ． 若 ｇ（ ａ ， ｂ ， ｃ ） 满 足差 分方 程
ａ ｑ ～ｇ（ ａ， ｂ ， ｃ ）一 （ ａ ｑ 一６ ） ｇ（ ａ， ６ ｑ ， ｆ ） ＋ｂ ｇ（ ａ ｑ ＿ 。 ， ｔ ， ｑ， ｆ ）＋ ａ ｂ ｇ（ ａ ｑ 一， ６ ｑ ， ｃ ） ＋ａ ｈｇ（ “， ｔ ， ｑ ， ｆ ） ．
Leabharlann Baidu
那么 ， 可 以 得 到
ｇ （ ａ， ｂ ， ｃ ）一 Ｅ（ ａ ， ｂ Ｄ ） ｛ ｇ （ ａ ， ０ ， ｆ ） ｝ ．
（ ｃ 一６ ） ｇ（ ａ， ｂ， ｃ ）一 ａ ｂ ｇ（ ｎ， ｂ ｑ， ｃ ｑ ）一 ｂ ｇ（ 口， ｂ ， ｃ ｑ）＋ （ ｃ— ａ ｂ ） ｇ（ ａ， 幻， ｃ ） ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ － ０ ５ — １ ６
通信作者 ： 曹健 （ １ ９ ８ ２ ） ， 男， 副教 授 ， 博 士， 主要 从 事 ｑ 一 级数 、 生 成 函数 研 究 ． Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ２ １ ｃ ａ ｏ ｊ ｉ ａ ｎ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ
究 进 展 的重 要 因 素． 本文构造 以 ｑ 一 指 数 算 子 作 为形 式解 的 ｑ 一 差分方程 ， 并 利 用 差分 方 程 形 式 解 方 法 推 广 Ｓ ｅ ａ ｒ ｓ 公式、 Ａ１ 一 Ｓ ａ ｜ ａ ｍ— Ｃ ａ ｒ ｌ ｉ ｔ ｚ 多项 式 生 成 函 数 、 Ａ ｎ ｄ ｒ ｅ ｗｓ — Ａｓ ｋ ｅ ｙ积 分 、 ｑ － Ｃ ｈ ｕ － Ｖａ ｎ ｄ ｅ ｒ ｍｏ ｎ ｄ ｅ 公式等． 关键词 ： ｑ － 指 数 算 子 ；ｑ － 差分方程 ； Ａｎ ｄ ｒ ｅ ｗｓ — Ａｓ ｋ ｅ ｙ积 分 ； ｑ － Ｃ ｈ ｕ － Ｖａ ｎ ｄ ｅ ｒ ｍ ｏ ｎ ｄ ｅ 公式 ； Ｓ ｅ ａ ｒ ｓ 公 式
结合 ， 并 利用 这种 关 系给 出许 多推 广 和应用 ． ２ ０ １ ３年 Ｃ ａ ｏ ¨ ９ 把 差分 方程 的形 式解 ， 由原来 含 有 ３个 参 数 的
ｆ（ ａ ， ６ ， ｃ ） ， 推 广 到 ５个 参 数 ｆ （ ａ ， ｂ ， Ｃ ， ｄ， Ｐ ） ．
然而 ， 在 这些 研究 中 Ｔ（ ａ ， ｂ Ｄ。 ） 算 子 较多 用于 含有 分式 的函数 ， 而 Ｅ（ ａ ， ｂ Ｏ ）算 子相 对较 少作 用 于含 分
１ ８ ８
那么， 可 以 得 到
杭 州师 范大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
２ Ｏ １ ７年
ｇ（ ａ， ｂ ， ｃ ）一 Ｔ（ ａ， ｂ Ｄ ） ｛ ｇ（ Ⅱ， ０， ｆ ） ｝ ．
（ １ Ｉ ）ｇ （ ａ ， ｂ ， ｃ ） 是 一个 含 ３个 参数 的 函数 ， 且 ｇ （ ａ ， ｂ ， ｃ ）一 （ ０ ， ０ ， Ｏ ）∈ Ｃ ．若 ｇ（ “ ， ｂ ， ｃ ） 满 足 差分 方 程
第 １ ６卷 第 ２期 ２ ０ １ ７年 ０ ３月
杭 州师 范大 学学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
） ．
等 等方 面． ２ ０ ０ ９ 年 Ｌ ｕ ： 在前 人 的基 础上 ， 又 进一 步推 广成
丁 ｃ ｎ ， ， ｛ 百 ） ｎ ， ， （ 百 未 ） ．
对 于 差分 方程 与 ｑ 一 算 子关 系 ， Ｌ ｕ 和Ｌ ｉ ｕ 嘲 分别把 Ｔ（ ａ ， ｂ Ｄ ） 、 Ｔ（ ｂ Ｄ ）算子 与 ｑ ＿ 差 分 方程 巧妙 的
自ｑ － 微 分 算子 被定 义 以来 ， 众 多学 者深 入研 究 了 算 子 问题 ， 获 得 了许 多有 意义 的研 究 结果 ］ ． 其
中Ｃ ｈ ｅ ｎ ， Ｌ ｉ ｕ ｌ ４ 得 到 的结果 是 在算 子
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第四、 五、 六部 分论 述 了它们 的对经 典公 式 的拓 展 与推 广．
ＶｏＩ ． １ ６ ＮＯ ． ２
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若干 ｑ 一 差 分 方 程 的 形 式 解 及 其 应 用
刘 富裕 ，许
敏 ，曹 健
（ 杭州 师范大学理学院， 浙江 杭州 ３ １ ０ ０ ３ ６ ）
摘
要 ：随 着 非 线 性 数 学 和量 子数 学 的 快 速 发 展 ， 组 合 数 学 中复 杂 的积 分 运 算 与 有 限 的 求 和 公 式 是 制 约 研
中 图分 类 号 ：Ｏ１ ７ ７ ． ９ １ ＭＳ Ｃ ２ ０ １ ０ ： ４ ７ Ｈ１ ０ ， ５ ４ Ｈ２ ５ 文 献标 志 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：１ ６ ７ ４ ～ ２ ３ ２ Ｘ（ ２ ０ １ ７ ） ０ ２ — ０ １ ８ ７ — ０ ８
０ 引 言
ｑ － 算 子 对应 的 ｑ 一 差 分方 程 ， 以及 它形 式解 的应 用 ， 是 当今计 算 数 学 研究 的重 要 课题 之 一 ， 经典 Ｔ（ ａ ， ｂ Ｄ ） 算 子与 Ｅ（ ａ ， ） 算子， 对 应含 ３ 个参 数 ｆ（ ａ ， ｂ ， ｃ ）的 ｑ ＿ 差 分方 程形 式解 以及 包括 他们 推广 的研 究 ， 已
式 的 函数 ． 这 导致 它们 的拓 展 与推 广很 受 限制 ． 鉴 于此 ， 本 文将 进 一 步拓 展 ， 在 文 章 的第 三 部 分 ， 给 出 了几 个 关 于指 数算 子 的定 理 ， 并 得 到 了相应 的两 个 含 ３ 个 参 数 ｇ（ ａ ， ｂ ， ｃ ）的 ｑ ＿ 差 分方 程形 式解 （ 工）ｇ （ ａ， ｂ ， ｃ ）是一 个 含 ３ 个 参 数 的函数 ， 且 ｇ （ ａ ， ｂ ， ｃ ）一 （ Ｏ ， ０ ， Ｏ ）∈ Ｃ ． 若 ｇ（ ａ ， ｂ ， ｃ ） 满 足差 分方 程
ａ ｑ ～ｇ（ ａ， ｂ ， ｃ ）一 （ ａ ｑ 一６ ） ｇ（ ａ， ６ ｑ ， ｆ ） ＋ｂ ｇ（ ａ ｑ ＿ 。 ， ｔ ， ｑ， ｆ ）＋ ａ ｂ ｇ（ ａ ｑ 一， ６ ｑ ， ｃ ） ＋ａ ｈｇ（ “， ｔ ， ｑ ， ｆ ） ．
Leabharlann Baidu
那么 ， 可 以 得 到
ｇ （ ａ， ｂ ， ｃ ）一 Ｅ（ ａ ， ｂ Ｄ ） ｛ ｇ （ ａ ， ０ ， ｆ ） ｝ ．
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收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ － ０ ５ — １ ６
通信作者 ： 曹健 （ １ ９ ８ ２ ） ， 男， 副教 授 ， 博 士， 主要 从 事 ｑ 一 级数 、 生 成 函数 研 究 ． Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ２ １ ｃ ａ ｏ ｊ ｉ ａ ｎ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ
究 进 展 的重 要 因 素． 本文构造 以 ｑ 一 指 数 算 子 作 为形 式解 的 ｑ 一 差分方程 ， 并 利 用 差分 方 程 形 式 解 方 法 推 广 Ｓ ｅ ａ ｒ ｓ 公式、 Ａ１ 一 Ｓ ａ ｜ ａ ｍ— Ｃ ａ ｒ ｌ ｉ ｔ ｚ 多项 式 生 成 函 数 、 Ａ ｎ ｄ ｒ ｅ ｗｓ — Ａｓ ｋ ｅ ｙ积 分 、 ｑ － Ｃ ｈ ｕ － Ｖａ ｎ ｄ ｅ ｒ ｍｏ ｎ ｄ ｅ 公式等． 关键词 ： ｑ － 指 数 算 子 ；ｑ － 差分方程 ； Ａｎ ｄ ｒ ｅ ｗｓ — Ａｓ ｋ ｅ ｙ积 分 ； ｑ － Ｃ ｈ ｕ － Ｖａ ｎ ｄ ｅ ｒ ｍ ｏ ｎ ｄ ｅ 公式 ； Ｓ ｅ ａ ｒ ｓ 公 式
结合 ， 并 利用 这种 关 系给 出许 多推 广 和应用 ． ２ ０ １ ３年 Ｃ ａ ｏ ¨ ９ 把 差分 方程 的形 式解 ， 由原来 含 有 ３个 参 数 的
ｆ（ ａ ， ６ ， ｃ ） ， 推 广 到 ５个 参 数 ｆ （ ａ ， ｂ ， Ｃ ， ｄ， Ｐ ） ．
然而 ， 在 这些 研究 中 Ｔ（ ａ ， ｂ Ｄ。 ） 算 子 较多 用于 含有 分式 的函数 ， 而 Ｅ（ ａ ， ｂ Ｏ ）算 子相 对较 少作 用 于含 分
１ ８ ８
那么， 可 以 得 到
杭 州师 范大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
２ Ｏ １ ７年
ｇ（ ａ， ｂ ， ｃ ）一 Ｔ（ ａ， ｂ Ｄ ） ｛ ｇ（ Ⅱ， ０， ｆ ） ｝ ．
（ １ Ｉ ）ｇ （ ａ ， ｂ ， ｃ ） 是 一个 含 ３个 参数 的 函数 ， 且 ｇ （ ａ ， ｂ ， ｃ ）一 （ ０ ， ０ ， Ｏ ）∈ Ｃ ．若 ｇ（ “ ， ｂ ， ｃ ） 满 足 差分 方 程
第 １ ６卷 第 ２期 ２ ０ １ ７年 ０ ３月
杭 州师 范大 学学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
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对 于 差分 方程 与 ｑ 一 算 子关 系 ， Ｌ ｕ 和Ｌ ｉ ｕ 嘲 分别把 Ｔ（ ａ ， ｂ Ｄ ） 、 Ｔ（ ｂ Ｄ ）算子 与 ｑ ＿ 差 分 方程 巧妙 的