相似三角形提高培优经典题型
初三相似三角形提高拓展专题练习附答案
14．〔1〕把两个含 450 角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线
交 BE 于点 F，求证：AF⊥BE
〔2〕把两个含 300 角的直角三角板如图 2 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线交 BE
于点 F，问 AF 与 BE 是否垂直？并说明理由.
2
________________．
12. 将三角形纸片〔△ABC〕按如下图的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．AB
A
பைடு நூலகம்
B
＝AC＝3，
设以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF 的长度是．
D
F
E BC＝4，假
C
13．如图，
正方形 ABCD 的边长为 1cm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、DE，则图中阴影局部的 面积是 cm2． 三、解答题
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，
A
菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是边
M
N
B AB、AD 的中点，连接 OM、ON、MN，则以下表达正确的选
O
D
项是
C
〔〕
A．△AOM 和△AON 都是等边三角形
B．四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形
C．四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形
A．8
B．9.5
C．10
D．11.5
A
D
G
二、填空题 B
E
C
8．如图，路灯距离地面 8 米F ，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部〔点 O 〕20 米的 A 处，则小明
专题4.2.2 相似三角形的判定(能力提升)(解析版)
专题4.2.2 相似三角形的判定（能力提升）（解析版）一、选择题。
1．（2021秋•滦州市期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C．D．【答案】D。
【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选：D．2．（2021•肇源县模拟）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C。
【解答】解：设AP＝x，则有PB＝AB﹣AP＝7﹣x，当△PDA∽△CPB时，＝，即＝，解得：x＝1或x＝6，当△PDA∽△PCB时，＝，即＝，解得：x＝，则这样的点P共有3个，故选：C．3．（2022•中山市一模）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC 的长为（ ）A．4B．6C．4D．4【答案】C。
【解答】解：∵BC＝8，∴CD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴＝，∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，∴AC＝4；故选：C．4．（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE 相似，还需满足下列条件中的（ ）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】C。
【解答】解：∵∠BAC＝∠D，，∴△ABC∽△DEA．故选：C．5．（2021秋•双牌县期末）如图所示：∠CAB＝∠BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝（ ）A．B．C．3D．6【答案】B。
相似三角形培优拔高题
第一讲 相似三角形1、已知432z y x ==，且1032=+-z y x ，则z y x ++= 。
2、已知△ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°，求AB:BC 的值。
3、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，23==BQ AQ BP AP ,求线段PQ 的长。
4、若55432+==+c b a ，且2132=+-c b a ，试求a:b:c 。
5、△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC 。
若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长为 。
6、点D,E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，点G 在边BC 上，AG 交DE 于点H ，点O 是线段AG 的中点，若13=DB AD ,则=OHAO7、在正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点E ，连接DE ，取DE 的中点Q ，连接PQ ，求证：PQ=PC.8、四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，相似比为2:3，四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD 与四边形A 2B 2C 2D 2相似且相似比为 。
9、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 处。
若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=10、已知∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE11、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形（1）当AC,CD,DB 满足什么关系时，△ACP 与△PDB 相似？（2）当△ACP 与△PDB 相似时，求∠APB 的度数。
12、在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，点E 为AB 的中点（1）求证:AD AB AC •=2（2）求证：CE ∥AD（3）若AD=4，AB=6，求AF AC 的值。
相似三角形求值问题难点突破经典培优好题(供参考)
相似三角形求值问题难点突破题一：（2012•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC=2，则AD 的长是（ ）A ．B ．C ．﹣1D ．+1题二：（2012年四川省德阳市）如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）.以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP //BE （点P 、E在直线AB 的同侧），如果AB BD 41，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为（ ） A.41 B.53 C.51 D.43 PG FE D C BA题三：如图所示，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF ．题四：如图所示．△ABC 中，E ，D 是BC 边上的两个三等分点，AF=2CF ，BF=12厘米．求：FM ，MN ，BN 的长．题五：如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD ＝3AB ，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（ ）A B E FD CA. 2B. 32C. 512+D. 512-题六：（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3=EF AF ，求CD CG的值. （1）尝试探究 在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是 ，CG 和EH 的数量关系是 ，CD CG 的值是 （2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若)0( m m EF AF =则CD CG的值是 （用含m 的代数式表示），试写出解答过程.（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若,(0,0)AB BC a b a b CD BE==>>，则AF EF 的值是 （用含,a b 的代数式表示）.题七：（2010 武汉）已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD 交于P 点．（1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求PC AP 的值； （2）如图2，当OA=OB ，AO AD =41时，求tan ∠BPC ； （3）如图3，当AD ∶AO ∶OB=1∶n ∶n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．（图1） （图2） （图3）题八：（2010湖北咸宁）问题背景（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S = ，△EFC 的面积1S = ，△ADE 的面积2S = ．探究发现（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =． 拓展迁移（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积．题九：（2012•铁岭）已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为E ．（1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）求线段AE 的长．题十：（2012山东泰安）如图，E 是矩形ABCE 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H.（1）求证：△ABE ∽△ECF ；（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 中点，BC=2AB ，AB=2，求EM 的长.题十一：（2012•日照）在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FD BF 的值是( ) (A) 21 (B) 31 (C) 41 (D) 51题十二：（2012•贵港）如图，在□ABCD 中，延长CD 到E ，使DE=CD ，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．（1）求证：AF=DF ；（2）若BC=2AB ，DE=1，∠ABC=60°，求FG 的长．题十三：（第11届“希望杯”邀请赛试题）如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是____________厘米2。
相似三角形的性质专项提升训练(重难点培优)-九年级数学下册尖子生培优题典(原卷版)【人教版】
九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】相似三角形的性质专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共22题，选择10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•南安市期中）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，若AD＝5，A′D′＝3，则△ABC与A'B'C′的面积比是（）A．25：9B．9：25C．5：3D．3：52．（2022秋•苏州期中）如图，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，则AB的长度为（）A．1B．2C．8D．163．（2022秋•济南期中）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（）A．B．C．D．64．（2022秋•长安区校级月考）如图，在ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（）甲：若CP＝4，则有3种不同的剪法；乙：若CP＝2，则有4种不同的剪法；丙：若CP＝1，则有3种不同的剪法．A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．6．（2022•泗阳县一模）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（）A．x2+h2＝c²B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+7．（2022•兴庆区校级一模）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（）A．3B．4C．2D．38．（2021秋•锦江区期末）如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（）A．B．C．3或5D．或9．（2021秋•渭滨区期末）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P 为AB边上一动点，连接PC、PE，若△P AE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（2022•石家庄三模）如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y，则y与x之间的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•鄞州区校级月考）D、E分别是△ABC中AB、AC边上两点，且AD＝4，BD＝2，AC＝8，若△ABC与△AED相似，则AE的长为．12．（2022春•惠山区期末）如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝．13．（2022•乳山市模拟）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，若△AQD与△BCP相似，则AQ的长是．14．（2022春•普陀区校级期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为．15．（2022秋•西湖区校级月考）如图Rt△AOB∽△DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA ＝6，OB＝8，直线AD，CB交于P点，连接MP，△AOB保持不动，将△COD绕O点旋转，则MP的最大值是．16．（2022•郫都区模拟）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的华丽分割线．如图，AC是△OAB的华丽分割线，OA＝2AB且OC＝AC，若点C的坐标为（2，0），则点A的坐标为．三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•成武县期末）如图在△ABC中，D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．（1）求∠ADC度数；（2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．18．（2022春•肇源县期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB ＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．19．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD 并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）若∠ADP＝32°，求∠FPB；（2）若AP＝，求BE；（3）若△PFD∽△BFP，求．20．（2021秋•南安市月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与直线AB交于点E，我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．（1）当∠CPD＝30°时，求AE的长．（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．21．（2021秋•砀山县月考）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，AB＝AD，AD∥BC，求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BAD+∠BCD＝180°，求证：对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．22．（2022秋•灞桥区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD＝2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，其中一部分与△ABC相似，设运动时间为t．（1）当P在线段BC上运动时，BP＝，当P在线段AB上运动时，BP＝（请用含t的代数式表示）；（2）求出满足条件的所有t值．。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28-2相似三角形》同步培优提升训练题(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2相似三角形》同步培优提升训练题（附答案）一．选择题1．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC ＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，不能判定△APC与△ACB相似的是（）A．①B．②C．③D．④2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD 的长为（）A．2B．C．3D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD•BDC．AC•BC＝AB•CD D．BC2＝AD•AB4．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A．16B．17C．24D．255．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm26．如图：在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝5，AD⊥AB于点A，过点D 作DE⊥AD，DE交AC于点E，若DE＝2，则△ADC的面积为（）A．B．4C．D．7．在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB 绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2021的坐标为（）A．（﹣22020，﹣×22020）B．（22021，﹣×22021）C．（22020，﹣×22020）D．（﹣22021，﹣×22021）二．填空题8．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则AD＝．9．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝18，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC边上取一点E，便以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于．10．如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP 的长为．11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D 在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．12．如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为．三．解答题13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．15．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．（1）求CD的长；（2）求证：△CDE∽△BDC．16．如图：在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．求证：BD•CD＝BE•CF．17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在AD上（不与点A，D重合），EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）连接BF，设AE的长为x，DF的长为y，求y与x之间的函数表达式，并求函数y 的最大值．18．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）连接BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．19．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG＝4，求BE的长．20．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP2＝PE•PF．21．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F．求证：AC•CF＝BC•DF．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少．（2）当t为多少时，PQ的长度等于4？（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？23．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA 向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为（，）（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）设四边形OMPC的面积为S1，四边形ABNP的面积为S2，请你就x的取值范围讨论S1与S2的大小关系并说明理由；（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？参考答案一．选择题1．解：①、当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴①不符合题意；②、当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴②不符合题意；③、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A∴△APC∽△ACB，∴③不符合题意；④、∵当AB•CP＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB，而∠P AC＝∠CAB，∴不能判断△APC和△ACB相似，∴④符合题意；故选：D．2．解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∵BC＝3，BD＝2，∴＝，∴BA＝，∴AD＝BA﹣BD＝﹣2＝．故选：B．3．解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD•BD，B正确，不符合题意；由三角形的面积公式得，•AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，C正确，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴BC2＝BD•AB，D错误，符合题意；故选：D．4．解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．故选：A．5．解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB＝＝3x，∴3x＝30，解得x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．故选：D．6．解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，∵AD＝AB＝5，AD⊥AB，∴∠B＝∠ADB＝45°，∵∠ADB＝∠CDF，CF⊥AD，∴∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴∠DCF＝∠CDF＝45°，∴CF＝DF，∵AD⊥DE，AF⊥FC，∴DE∥FC，∴△ADE∽△AFC，∴，∵AD＝5，DE＝2，DF＝CF，∴，∴，解得，CF＝，∴△ADC的面积是：＝＝，故选：D．7．解：由已知可得：第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3＝23，第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24，第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：OH＝OA2021＝22020，A2021H＝OH＝×22020，∴A2021（22020，﹣×22020），故选：C．二．填空题8．解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△DCB∽△CAB，∴，∴＝，∴BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝，故答案为：．9．解：∵△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴＝或＝，∵AD＝AB，AB＝15，∴AD＝10，∵AC＝18，∴＝或＝，解得：AE＝12或．故答案为：12或．10．解：设AP＝x．∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，①当时，，解得x＝3．②当时，，解得x＝1或8，∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，故答案为1或3或8．11．解：过D作DH⊥AC于H，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴∠DHA＝∠DF A＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴＝，∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴＝，∴DH＝9，∴AD＝9，故答案为：9．12．解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，∴OB＝OA•cos∠AOB＝，由题意得，OB1＝2OB＝×2，OB2＝2OB1＝×22，……OB n＝2OB1＝×2n＝×2n﹣1，∵2021÷12＝168……5，∴点B2021的纵坐标为：﹣×22020×cos30°＝﹣×22020×＝﹣3×22019，故答案为：﹣3×22019．三．解答题13．（1）证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠AED＝∠ADC＝90°，∴△AED∽△ADC．（2）解：∵AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC＝5，∵在Rt△ADB中∴AD＝＝12，由（1）得△AED∽△ADC，∴＝，∴＝，∴DE＝．14．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝90°，∵EF⊥BE，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF+∠AEB＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠AEB，∴△ABE∽△DEF．（2）在Rt△AEB中，BE＝＝10，∵AD＝12，AE＝8，∴DE＝4，∵△ABE∽△DEF，∴＝∴＝，∴EF＝．15．（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6，BC＝6，∴AC＝＝12；∴AE＝AC﹣CE＝9，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE；∴，∴CD＝＝＝2，（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，∴BE＝＝3，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴DE＝，∴BD＝4，∵，，∴，∵∠D＝∠D，∴△CDE∽△BDC．16．证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠B+∠BDE+∠DEB＝180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴＝，即BD•CD＝BE•CF．17．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵EF⊥BC，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，又∵∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；（2）∵△ABE∽△DEF，∴，∴，∴y＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，y有最大值为1．18．（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°．∴∠AEB+∠ABE＝90°．∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF＝90°．∴∠ABE＝∠DEF．在△ABE和△DEF中，∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；（2）解：点E为AD的中点时，△ABE∽△EBF，理由如下：∵△ABE∽△DEF，∴．∵△ABE∽△EBF，∴．∴．∴DE＝AE．∴点E为AD的中点．19．（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG．（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC＝22.5°＝∠FDC，∴∠BEC＝67.5°＝∠DEG，∴∠DGE＝180°﹣22.5°﹣67.5°＝90°，即BG⊥DF，∵∠BDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠F＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BDF＝∠F，∴BD＝BF，∴DF＝2DG，∵△BDG∽△DEG，BG×EG＝4，∴＝，∴BG×EG＝DG×DG＝4，∴DG2＝4，∴DG＝2，∴BE＝DF＝2DG＝4．20．证明：连接PC，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD是△ABC的对称轴．∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP（两直线平行，内错角相等），∴∠PCE＝∠PFC．又∵∠CPE＝∠EPC，∴△EPC∽△CPF．∴（相似三角形的对应边成比例）．∴PC2＝PE•PF．∵PC＝BP∴BP2＝PE•PF．21．证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠DAC+∠B＝∠B+∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，且∠ACD＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，∵E为BC中点，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE＝∠DAC，∴∠FDC＝∠F AD，且∠F＝∠F，∴△FDC∽△F AD，∴＝，∴＝，∴AC•CF＝BC•DF．22．解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm，∵AC＝20cm，∴CP＝（20﹣4t）cm，∵点P在AC上运动，∴4t≤20，∴t≤5，∵点Q在BC运动，∴2t≤15，∴t≤7.5，∴0≤t≤5，（1）当t＝3时，CP＝8cm，CQ＝6cm，在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ＝＝10（cm）；（2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝CP2+CQ2，∵PQ＝4，∴（4）2＝（20﹣4t）2+（2t）2，解得，t＝2或t＝6（舍去），即当t为2时，PQ的长度等于4；（3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，且∠C＝∠C＝90°，∴①△CPQ∽△CAB，∴，∴，∴t＝3，②△CPQ∽△CBA，∴，∴，∴t＝，即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似．23．解：（1）由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），∴点P坐标为（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC＝4﹣x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4，∴S＝（4﹣x）×＝﹣（x﹣2）2+，∴S的最大值为，此时x＝2（3）由图形知，S1＝S2＝S△ABC﹣S△PCN＝；当0＜x＜2时，S1＜S2；当x＝2时，S1＝S2；当2＜x＜4时，S1＞S2；（4）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．①若NP＝CP，∵PQ⊥BC，∴NQ＝CQ＝x．∴3x＝4，∴x＝．②若CP＝CN，则，CN＝4﹣x，PQ＝x，CP＝x，4﹣x＝x∴x＝．③若CN＝NP，则CN＝4﹣x．∵PQ＝x，NQ＝4﹣2x，在Rt△PNQ中，PN2＝NQ2+PQ2∴（4﹣x）2＝（4﹣2x）2+（x）2，∴x＝．综上所述，x＝，或x＝，或x＝．。
苏科版九年级数学下册6-5相似三角形的性质 专题培优训练【含答案】
6.5 相似三角形的性质一、选择题1.若△ABC∽△DEF,它们的相似比为4∶1,则△ABC与△DEF的周长比为()A.2∶1B.4∶1C.8∶1D.16∶12.若矩形ABCD∽矩形EFGH,相似比为2∶3,已知AB=3 cm,BC=5 cm,则矩形EFGH的周长是()A.16 cmB.12 cmC.24 cmD.36 cm3.已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为()A.3B.2C.4D.54.若两个相似三角形的周长比为1∶3,则它们的面积比为()A.1∶9B.1∶6C.1∶3D.6∶15.若两个相似六边形一组对应边的长分别为3 cm,4 cm,且它们面积的差为28 cm2,则较大的六边形的面积为()A.44.8 cm2B.45 cm2C.64 cm2D.54 cm26 若△ABC∽△DEF,且对应高线的比为4∶9,则△ABC与△DEF的相似比为()A.2∶3B.3∶2C.4∶9D.16∶817 已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.若AD=10,A'D'=6,则△ABC 与△A'B'C'的周长比是()A.3∶5B.9∶25C.5∶3D.25∶98.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,DE∥BC,四边形DECB与△ABC的面积的比为1∶4,则AD的值等于()ABA.1∶2B.1∶4C.√3∶2D.3∶49 如图,在△ABC中,E,G分别是AB,AC上的点,∠AEG=∠C,∠BAC的平分线AD交BC于点D,交EG于点F.若AFDF =32,则()A.=AEBE 35B.=EFFG23C.=EFCD35D.=EGBC2310.如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影三角形的面积为9.若AA'=1,则A'D的长为()A.2B.3C.4D.32二、填空题11 如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为.12 如图,已知点F是△ABC的重心,连接BF并延长,交AC于点E,过点F作FG∥BC,交AC于点G.设△EFG,四边形FBCG的面积分别为S1,S2,则S1∶S2=.三、解答题13.如图,D,E分别在AB,AC上,∠AED=∠B,AB=6,BC=5,AE=4.(1)求DE的长;(2)若四边形BCED的面积为6,求△ABC的面积.14 如图,△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.求证:AD∶A'D'=AB∶A'B'.15.如图,已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的点P 处.已知折痕与边BC交于点O.(1)求证:△OCP∽△PDA;(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4,求边AB的长.16.已知锐角三角形ABC中,边BC的长为12,高AD的长为8.(1)如图6-5-9,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E,F分别在AB,AC边上,EF交AD于点K.的值;①求EFAK②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求S的最大值.(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点M,N在△ABC的一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.答案1.B2.C3.A4.A5.C6.C6.C7.C8.C9.C 10.B 11.3a 12. 1∶8 .13.解:(1)∵∠AED=∠B ,∠A=∠A , ∴△AED ∽△ABC ,∴AE AB =DEBC,∴46=DE 5,∴DE=103. (2)∵△AED ∽△ABC ,∴S △AEDS △ABC=S △ABC -S 四边形BCEDS △ABC=AE AB2, 即S △ABC -6S △ABC=462,解得S △ABC =545,即△ABC 的面积为545.14.证明:∵AD ,A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线, ∴BD=12BC ,B'D'=12B'C'. ∵△ABC ∽△A'B'C',∴∠B=∠B',ABA 'B '=BCB 'C '=2BD2B 'D '=BDB 'D ', ∴△ABD ∽△A'B'D', ∴AD ∶A'D'=AB ∶A'B'.15.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠B=∠C=∠D=90°, ∴∠CPO+∠COP=90°.由折叠的性质可得∠APO=∠B=90°, ∴∠CPO+∠DP A=90°,∴∠COP=∠DP A , ∴△OCP ∽△PDA.(2)∵△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4,△OCP ∽△PDA , ∴OP PA =PCAD=√14=12,∴P A=2OP ,AD=2PC. ∵AD=8,∴PC=4.由折叠的性质可得OP=OB ,P A=AB. 设OP=x ,则OB=x ,CO=8-x. 在△PCO 中,∵∠C=90°,PC=4,OP=x ,CO=8-x , ∴OP 2=CO 2+PC 2,即x 2=(8-x )2+42, 解得x=5,则OP=5, ∴AB=P A=2OP=10.16.解:(1)①∵四边形EFGH 为矩形,∴EF ∥BC ,∴△AEF ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ,EF ∥BC ,∴AK ⊥EF , ∴AK AD =EFBC,∴EFAK =BCAD=128=32.②∵EH=x ,∴KD=x , ∴AK=AD -KD=8-x. 由(1)知EF=32AK=32(8-x ),∴S=EH ·EF=-32x 2+12x=-32(x -4)2+24(0<x<8),∴当x=4时,S 最大值=24.(2)①当正方形PQMN 的两个顶点M ,N 在BC 边上,点P 在AB 边上,点Q 在AC 边上时,设PQ 交AD 于点K ,如图①. 设正方形PQMN 的边长为m , 则KD=PN=m ,AK=AD -KD=8-m. ∵PQ ∥BC ,∴△APQ ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ,PQ ∥BC ,∴AK ⊥PQ , ∴AK AD =PQBC ,即8-m 8=m 12,解得m=245.②当正方形PQMN 的两个顶点M ,N 在AB 边上,点P 在AC 边上,点Q 在BC 边上时,过点C 作AB 边上的高CI 交PQ 于点E ,如图②. ∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=CD=12BC=6.由勾股定理,得AB=√BD 2+AD 2=√62+82=10. ∵S △ABC =12AD ·BC=12CI ·AB , ∴CI=AD ·BC AB =9.6.设正方形PQMN 的边长为n , 则EI=PN=n ,CE=CI -EI=9.6-n. ∵PQ ∥AB ,∴△PQC ∽△ABC. ∵CI ⊥AB ,PQ ∥AB ,∴CE ⊥PQ , ∴CE CI =PQAB ,即9.6-n 9.6=n 10,解得n=24049.综上所述,正方形PQMN 的边长为245或24049.。
相似三角形专题练习(培优)附答案
相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
相似三角形培优训练(含答案)
相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
相似三角形培优精彩试题
1.2 2.5
37
y
6 30 30 ， 7 35 37
A
C
GH F
x2 y2，
图２
甲同学设计的方案较好
7、答案：（1）用边角边证明△AOE’和△BOF’全等，即可证得 AE’=BF’ (2)取 OE’的中点 G,得到等边△AOG，等到∠AGO=60°，又由 AG=E’G 得到
∠AE’O＝30°，从而得到∠OAE’是 90°，即为直角三角形。
∴ AE⊥AD
在 Rt△ADE 中，DE= AD2 AE 2 (3 3)2 32 6
∵△ADF∽△DEC
∴ AD AF DE CD
3
∴
3 AF
64
AF= 2 3
4、
（1）证明： ABCD为正方形，
AD AB DC BC，A D 90°． 1 分
AE ED， AE 1．
3分
留分数）
Ｃ
D
E
Ｂ
D
Ｅ
A
Ｂ
Ａ F
G
F
C
图１
图２
第 6 题图
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7、如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA、OD 到点 F、E，使 OF=2OA， OE=2OD，连接 EF．将△EOF 绕点 O 逆时针旋转α 角得到△E1OF1（如图 2）． （1）探究 AE1 与 BF1 的数量关系，并给予证明； （2）当α =30°时，求证：△AOE1 为直角三角形．
(2) 若 AB＝4,AD＝3 3 ,AE＝3,求 AF 的长.
4 、 如 图 （ 4 ）， 在 正 方 形 ABCD 中 ， E、F 分 别 是 边 A D、 C D上 的 点 ，
A E E，D DF1 ，D连结C EF 并延长交 BC 的延长线于点 G． 4
相似三角形培优题
相似三⾓形培优题相似三⾓形培优题1、如图，在正⽅形ABCD 中，点P 是AB 上⼀动点（不与A ，B 重合），对⾓线AC ，BD 相交于点O ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N ．下列结论：①△APE ≌△AME ；②PM+PN=AC ；③PE 2+PF 2=PO 2；④△POF ∽△BNF ；⑤当△PMN ∽△AMP 时，点P 是AB 的中点．其中正确的结论有（）A.5 B.4 C.3 D.22、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的⽅向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直⾓三⾓形时，t 的值为（）3、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE=1，AD=2，DB=3，则BC 的长是（）4、如图，在?ABCD 中，E 为CD 上⼀点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（） A ． 2：5 B ． 2：3C ． 3：5D ．3：2 5、如图，在平⾏四边形ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 于G ，BG=，则△EFC 的周长为（） A ． 11 B ． 10 C ． 9 D ． 86、如图，在?ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF= ..7、如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE ⾄F 使EF=DE ，连接CF ，则S △CEF ：S 四边形BCED 的值为（）A ． 1：3B ．2：3 C ．1：4 D ．2：58、如图，D 是△ABC 的边BC 上⼀点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B ，若△ABD 的⾯积为a ，则△ACD 的⾯积为（）A ．aB ．C ．D ．9、如图，边长为6的⼤正⽅形中有两个⼩正⽅形，若两个⼩正⽅形的⾯积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（）A ．16 B ．17 C ．18 D ．1910如图，在△ABC 中，AB=AC=a ，BC=b （a ＞b ）．在△ABC 内依次作∠CBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠EDF=∠DCE ．则EF 等于（）11、如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C ，D ，E 为顶点的三⾓形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（）A ．（6，0）B ．（6，3）C ．（6，5）D ．（4，2）12、如图，正⽅形ABCD 是⼀块绿化带，其中阴影部分EOFB ，GHMN 都是正⽅形的花圃．已知⾃由飞翔的⼩鸟，将随机落在这块绿化带上，则⼩鸟在花圃上的概率为（）A ．B ． 12C ． D．13、如图所⽰，在平⾏四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（）14.如果⼀个直⾓三⾓形的两条边长分别是6和8，另⼀个与它相似的直⾓三⾓形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（）A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有⽆数个A ．2B ． 2.5或3.5C ．3.5或4.5 D ． 2或3.5或4.5 A ．B ．C ．D ．15、如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三⾓形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）16、如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的⾯积与四边形MBCN的⾯积⽐为( )．(A)12(B)13(C)14(D)2317、如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =A．3 B．4C．5 D．618、如图，路灯距离地⾯8⽶，⾝⾼1.6⽶的⼩明站在距离灯的底部（点O）20⽶的A处，则⼩明的影⼦AM长为⽶．19、（2013?牡丹江）如图，在△ABC中，D是AB边上的⼀点，连接CD，请添加⼀个适当的条件，使△ABC∽△ACD．（只填⼀个即可）20、（2013?巴中）如图，⼩明在打⽹球时，使球恰好能打过⽹，⽽且落在离⽹4⽶的位置上，则球拍击球的⾼度h为．21、（2013?黔东南州）将⼀副三⾓尺如图所⽰叠放在⼀起，则的值是．22、如图，将⼀张三⾓形纸⽚沿虚线剪成甲、⼄、丙三块，其中甲、丙为梯形，⼄为三⾓形．根据图中标⽰的边长数据，⽐较甲、⼄、丙的⾯积⼤⼩，下列判断何者正确？（）A．甲＞⼄，⼄＞丙B．甲＞⼄，⼄＜丙C．甲＜⼄，⼄＞丙D．甲＜⼄，⼄＜丙23、如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定⼀个⽬标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同⼀条直线上。
相似三角形精编培优专题
专题一：相似三角形第一部分：相似探究说明：相似的判定分为①两角等相似；②两边对应成比例且夹角等相似；③三边对应成比例相似．其中对“两角等得相似”的考察最为普遍．相似探究一般地有：①面积探究；②线段关系探究；③角的关系探究等．通法：当你发现问题中出现以下情况时，基本是借助相似解决问题：①比或比例；②线段积；③边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等．这种意识太重要了！一、已有相似图形：找相似、证相似、用相似图中有相似图形的，关键是找出相似的条件．（一）“平行出相似”（即“A”字型相似与“8”字型相似，说明略）例10-1-1 如图10-1-1，D、E分别是△ABC的CB边、CA边的中点，请你写出两对相似三角形，并指出其对应的面积比．图10-1-1例10-1-2 问题背景：（1）如图10-1-2 ①，△ABC中，DE//BC分别交AB、AC于D、E两点，过点E作EF//AB交BC于点F．请按图示数据填空：S，△ADE的面四边形DBFE的面积S= ，△EFC的面积=1S．积=2图10-1-2 ①探究发现：（2）在（1）中，若BF =a ，FC =b ，DE 与BC 间的距离为h ．请证明：2124S S S =． 拓展迁移：（3）如图10-1-2 ②，平行四边形DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC 的面积．图10-1-2 ②体验与感悟 10-1-11、如图10-1-3，已知：点E 是平行四边形ABCD 的AD 边长一点，BE 的延长线交CD 的延长线于F ，请写出图中的相似三角形．图10-1-32、已知等边△ABC 的边长为33+． （1）如图10-1-4①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上，在正三角形ABC 及其内部，以点A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形''''N P F E ，且使正方形''''N P F E 的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形''''N P F E 的边长；（3）如图10-1-4②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．图10-1-4 ①图10-1-4②3、已知△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2．（1）要在这张纸中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图10-1-5①），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．图10-1-5①S．按（2）在图10-1-5①中，甲种剪法成为第一次剪取，所得正方形面积记为1照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正S（如图10-1-5②），则方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为22S = ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为3S （如图10-1-5③),继续操作下去……；则第10次剪取时，10S = ；（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．图10-1-5②） 如图10-1-5③（二）“等角公共角”相似说明：有一个公共角、一对等角的两个三角形相似．例10-1-3 如图10-1-6，已知等腰直角三角形ABC 中，°=90∠BAC ，AB =AC ，D 、E 是斜边AB 上的两点，且°=45∠DAE ，请你直接写出两对相似三角形．例10-1-4 如图10-1-7，已知：A 为POQ ∠的边OQ 上的一点，OA =2,以A 为顶点的MAN ∠的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且°==60∠∠POQ MAN ．当M A N ∠以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（MAN ∠保持不变）时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平行移动，设）（，0≥x y y ON x OM >==，△AOM 的面积为S ．（1）当MAN ∠旋转30°时，求点N 移动的距离；（2）求证：MN ON AN •=2；（3）求y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（4）试写出S 随x 变化的函数关系式．图10-1-7体验与感悟 10-1-21、如图10-1-8，在△ABC 中，AB =5，AC =4，点D 在边AB 上，=ACD ∠B ∠，求AD 的长．图10-1-82、如图10-1-9①，将两个全等的等腰Rt△ABC和Rt△AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．（1）写出图10-1-9①中的两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（图10-1-9②）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图10-1-9①图10-1-9②3、在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别用a 、b 、c 表示．（1）如图①，在△ABC 中，A ∠=2B ∠，且A ∠=60°，求证：)(2c b b a +=； （2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC ，如图②，其中A ∠=2B ∠，关系式)(2c b b a +=是否仍然成立？并证明你的结论．图① 图②（3）是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角两倍的△ABC ．证明你的结论．（4）若A ∠=3B ∠，你能求出三边a 、b 、c 之间的关系吗？（三）“垂直出相似” 说明:①三角形的两高相交，必有相似；②过Rt △ABC 所在平面上任意一点向AB 、BC 、AC 所在直线中任意一条作垂线，这条垂线与另两边所在直线所交成的三角形与原三角形相似．例 10-1-5 如图10-1-10，在△ABC 中，°=90∠C ，MD ⊥AB 于D ，交AC 于F ，MG ⊥AC 于G ，交AB 于点E ．写出图中的两对相似三角形．图10-1-10例10-1-6 如图10-1-11，直角梯形OABC 中，OA =6，CB =3，OA //BC ，OC ⊥OA ．点M 、N 分别是OA 边、AB 边上的动点，速度都是每秒1个单位长度，运动方向如图．两个动点同时出发，当其中一个点达到终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t （秒）．（1）求线段AB 的长；（2）当t 为何值时MN ⊥AC ？图10-1-11提示：根据垂直找相似．体验与感悟 10-1-31、如图10-1-12，BD、CE是△ABC的两条高．（1）写出图中的相似三角形；（2）写出连接DE后新增加的相似三角形．图10-1-12∠相等2、如图10-1-13，AB是圆O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个图10-1-133、如图10-1-14，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥A B，交折线BC-CA于点G．点P，Q同时出发，当点P 绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（2）连结PG，当PG//AB时，请直接写出t的值．图10-1-14（四）“导边比”得相似说明：与“两角相等得相似”相比，另外两种判定相似的方法对学生而言较难了些．本部分只探究“两边对应成比例且夹角相等”得到相似．例10-1-7 如图10-1-15，已知D 是△ABC 的BC 边中点，CD AC 2=，△ACD 与△ABC 相似吗？说明理由．图10-1-15例10-1-8 （1）如图10-1-16①，矩形ABCD 及Rt △AEF 有公共顶点A ，∠EAF =90°，且kAB AD =，kAE AF =，连接BE 、DF ，将Rt △AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中BE 、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？请给予证明；图10-1-16①（2）如图10-1-16②，将（1）中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且α∠∠==EAF BAD ，其它条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，直接写出结论；如果变化，用α表示出直线BE 、DF 形成的锐角β．图10-1-16②体验与感悟 10-1-41、（1）如图10-1-17①，正方形ABCD 与正方形CEFG 具有公共的顶点C ，连结BG 、DE ．猜想图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系，并证明你的判断．图10-1-17①（2）如图10-1-17②，将原题中正方形改为矩形，且a AB =，b BC =，ka CE =,kb CG =)0,(>≠k b a ，（1）中得到的结论哪些成立，哪些不成立？简要说明理由．图10-1-17②（3）在（2）图10-1-17②中，连结DG 、BE ，且3=a ，2=b ，21=k ，求22BG BE +的值．2、填空或解答：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB =AC ，EC =ED ，CED BAC ∠∠=，直线AE 、BD 交于点F ．（1）如图10-1-18①，°=90∠BAC ，则=AFB ∠ ；（2）如图10-1-18②，α=BAC ∠，则=AFB ∠ ；（用含α的式子表示）（3）将图10-1-18②中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A 、B 重合），得图10-1-18③，AFB ∠与α∠的数量关系是 ．请证明结论．（五）“一线三角”相似说明：如下图，如果∠1=∠2=∠3，必有△ABE ∽△CDB ．这是一个应用广泛的基本模型，这里我们不妨称之为“一线三角”，而三个直角是特殊的“一线三角”．例10-1-9 在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作B MDN ∠∠=．（1）如图10-1-20①当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形；（2）如图10-1-20②，将MDN ∠绕点D 沿逆时针方向旋转，DM 、DN 分别交线段AC 、AB于E 、F 点（点E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；（3）在图10-1-20②中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的四分之一时，求线段EF 的长．图10-1-20① 图10-1-20②提示：第三问利用已知的相似三角形导边的比，利用两边对应成比例且夹角相等．体验与感悟 10-1-51、将边长为2的正方形纸片ABCD 如图10-1-21折叠，使顶点A 落在边CD 上的点P 处（点P 与C 、D 不重合），折痕为EF ，折叠后AB 边落在PQ 的位置，PQ 与BC 交于点G ．（1）写出一个与△DEP 相似三角形；（2）当点P 位于CD 中点时，你找到的三角形与△DEP 周长的比是多少？图10-1-212、如图10-1-22，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，°=90∠BAC ，若点D 在线段BC 上运动，DE交AC 于E ，作°=45∠ADE （A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．3、如图10-1-23，在等腰△ABC 中，AB=AC=8，°=120∠BAC ，P 为BC 的中点，小慧把含30°角的透明三角板的30°角的顶点放在点P ，绕P 点旋转，三角板的两边分别交BA 的延长线和边AC 于点E 、F ．（1）探究1：△BPE 与△CFP 相似吗？为什么？（2）探究2：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？为什么？（3）设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．图10-1-23“一线三等角”专练：1、如图，已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有．2、如图，已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有．3、如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC ． 已知BD=1，BE=31，求CF 的长．4、已知，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C ． 已知BD=6、BE=4，求CF 的长．5、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°（1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =23，FC =1时，求BE6、在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ7、在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F ．(1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =(2)、当m DBAD =，求DF DE 的值8、已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B ，求证：△BDE ∽△DFE ．9、在边长为4的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 上（点D 不与点C 、点B 重合），且保持ABC EDF ∠=∠,连接EF ．(1)已知BE=1,DF=2．求DE 的值；(2)求∠BED=∠DEF ．10、如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；11、 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．12、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足过点D 作DG ⊥EF 于点G ，∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC②求AP 的长．13、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．14、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积．15、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．16、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP D MF S S ∆∆=49时，求BP 的长第二部分：因动点产生的相似三角形问题解题策略 策略分级细述一、求相似三角形存在性问题要分类讨论．举例说明，如图，在△ABC 中，AC 边长有一点F ，要在AB 边上确定一点E ，使△AEF 与△ABC 相似．因为∠A 是公共角，所以分两种情况：①∠AFE=∠C ，△AEF ∽△ABC ；或AC AF AB AE =，△AEF ∽△ABC ；②∠AFE=∠B ，△AFE ∽△ABC ；或AB AF AC AE =，△AFE ∽△ABC ．典型例题：例1、如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A=90°，BD ⊥DC ，BC=10cm ，CD=6cm ．在线段BC 、CD 上有动点F 、E ，点F 以每秒2cm 的速度，在线段BC 上从点B 向点C 匀速运动；同时点E 以每秒1cm 的速度，在线段CD 上从点C 向点D 匀速运动．当点F 到达点C 时，点E 同时停止运动．设点F 运动的时间为t （秒）．（1）求AD 的长；（2）点E 、F 在运动过程中，如△CEF 与△BDC 相似，求线段BF 的长．策略：（1）△ABD 和△DCB 都是直角三角形，且保持三条边的比值为3:4:5，利用相似求AC 的长；（2）在两个三角形相似的前提下，先找一对相等的角，再使夹这个角的两边对应成比例，分两种情况讨论即可二、在两个三角形相似的情况下求线段的长度，一般地，先找到一对相等的角，再分两次使夹这个角的两边对应成比例，求得线段的长度．那么，在反比例函数和一次函数中求点的坐标是否也适用呢？请看例2．典型例题：例2、如图，直线b x y +=与双曲线)0(<=x xm y 交于点A （-1，-5），并分别于x 轴、y 轴交于点C 、B ．（1）求b 、m 的值；（2）连接OA ，求∠OAB 的正切值；（3）点D 在x 轴的正半轴上，若以点D 、C 、B 组成的三角形与△OAB 相似，试求点D 的坐标．策略：（1）待定系数法；（2）构造直角三角形；（3）确定一组相等的角，分两种情况进行讨论．（4）因为当两边对应成比例，夹角相等时，两个三角形相似．所以只要按夹钝角的两条边对应成比例，分两种情况讨论，便可得到点D 的坐标．三、在两个三角形相似的情况下求线段的长度，和在两个三角形相似的情况下求点的坐标，有相同的地方：方法相同．也有不同的地方：点的坐标一定要考虑它所处的位置，分清楚它的正、负号．例2中求出来的点D 都在x 轴的正半轴上，如果这些点在负半轴上又应该怎样处理呢？经典例题：例3、已知一次函数m x y +=43的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，且与反比例函数xy 24=的图象在第一象限交于点C （4，n ），CD ⊥x 轴于D ． （1）求m 、n 的值；（2）如果点P 在x 轴上，并在点A 与点D 之间，点Q 在线段AC 上，且AP=CQ ，那么当△APQ与△ADC 相似时，求点Q 的坐标．策略：（1）分别写出A 、B 、C 、D 坐标，设动点P 坐标，计算AD 、CD 、AC 、AQ 的长度；（2）当△APQ 与△ADC 相似时，分两种情况进行讨论．特别要注意点在负半轴上时坐标的符号．四、相似三角形对应高的比等于相似比，在抛物线中，探究符合条件的相似三角形中的点，可以作这两个相似三角形的高，而已知点的纵坐标的绝对值，就是高的长度，可以在直角三角形中找到一些角的关系，利用角的关系求解．经典例题：例4、如图，设抛物线2-2bx ax y +=与x 轴交于两个不同的点A （-1,0）、B （m,0），与y 轴交于点C ．已知∠ACB=90°．（1）求m 的值和抛物线的解析式；（2）已知点D （1，n ）在抛物线上，过点A 的直线1+=x y 交抛物线于另一点E ．若点P在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．策略：（1）由两个三角形相似，得到OB 的长度，确定m 的值；（2）写出A 、B 点坐标，利用待定系数法确定抛物线解析式；（3）由点D 在抛物线上，确定点D 坐标；联立方程组求交点E ；（4）由点D 和E 点坐标，得到∠EAB=∠DBO=45°，固定了一组角，然后分两种情况讨论即可．五、二次函数顶点式)0()(2≠++=a k m x a y 的平移规律：上加下减，左加右减．经典例题：例5、如图，已知点A （-2,4）和点B （1,0）都在抛物线n mx mx y ++=22上．（1）求m ，n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ，若四边形B B AA ''为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线'AB 的交点为点C ，试在x 轴上找点D ，使得以点'B、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．策略：（1）对于第（3）问，弦找到一对相等的角，再分两次讨论．六、除以上探求相似三角形中点的存在性规律以外，还有一些多次相似的问题，要根据题目的要求灵活运用．阶梯题组训练：1、已知：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为)0,(1x ，点B 的坐标为)0,(2x ，且210x x <<，A 、B 两点的距离等于13，点C 在y 轴的负半轴上，32∠tan =BAC ，图象经过A 、B 、C 三点的二次函数解析式为：n m x x y +=-612． （1）用1x 的代数式表示点C 的坐标；（2）试猜想△ABC 的形状，并证明你的猜想；（3）如果点P 在线段AO 上，点Q 在线段OC 上，AP=OQ ，且△POQ 与△ABC 相似，求点P 的坐标．2、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，点A 、C 的坐标分别为A （-3,0），C （1,0），∠BAC 的正切值是43． （1）求过点A 、B 的直线的函数解析式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果P 、Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP=DQ=m ，问是否存在这样的m ，使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．3、在平面直角坐标系中，将抛物线22x y =沿y 轴向上平移1个单位，再沿x 轴向右平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3=x 与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ．（1）求△ABC 的面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．4、Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数)0(≠=k xk y 在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m),与AB 边交于点E(2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当21∠tan =A 时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP相似，求点P 的坐标．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=221-经过点A （1,3）、B （0,1）． （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，①求△ABC 的面积；②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标．6、（2009年临沂第26题）如图，抛物线经过点A （4,0）、B （1,0）、C （0，-2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在直线AC 的上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．7、(2011年常德第26题）如图，已知抛物线经过点A （0,6）、B （2,0）、)25,7(C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：∠CFE=∠AFE ．（3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第三部分：比例式和等积式的证明比例式和等积式的证明是初中平面几何题型中一类重要题型．其中等积式可以转化成比例式，因此主要是比例式的证明．一、口诀：“一现二找三代四辅”，既是方法又是步骤．1．“一现”：现成的等积式分两种：①．直接用等积式来证明．如射影定理、相交弦定理、切割线定理及推论、面积法．②把等积式转变成比例式．2．“二找”：①．利用“三点定位法”找三角形相似．②．利用平行线分线段成比例．3．“三代”：（分四种）①等线段代换，②等比代换，③等积代换，④综合性代换．4．“四辅”：利用辅助线，构造出“一现二找三代”，其中辅助线以平行线居多．二、例题：1、如图，在△ABC 中，作直线DN 平行于中线AM ，设这条直线交边AB 于点D ，交边CA的延长线于点E ，交边BC 于点N ，求证：ACAE AB AD =．图1分析：本题是比例式， 其中口诀“一现”不是，用“二找”：需证明△ADE ∽△ABC ，而两个三角形一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，很明显不相似．那只有用“三代”，如何代换？我们来反思：（1）、本题有中点，那么可能有等量代换或中位线可以讨论；（2）、本题有平行线，那么可能有平行线的性质、有三角形相似或平行线分线段成比例问题；（3）、本题证明比例式，那么很有可能是考查相似和平行线分线段成比例．打草稿：（基础好的可以打腹稿，一般的同学应写在草稿上） ACAE AB AD −→−? || || 只需证BM=MC ，而这是已知，此题得证．MC MN BM MN −→−? ND//AM练后反思归纳：在等比代换中，如何快速罗列比例式，然后从中代换？本题的线段少，容易想到．如果线段多了呢？证明比例式有口诀，那么找比例式有没有什么特殊的方法？经过反思和探究，找比例式有如下图形作为比例式的基本图形：1．A 型：条件DE//BC ．（图2）⑴．DE//BC ⇒△ADE ∽△ABC ⇒BCDE AC AE AB AD ===大三角形小三角形 ⑵．平行线分线段成比例（口诀）：EC AE DB AD ===下上下上；AEDE AD DB ===上下上下； AC AE AB AD ===全上全上；AEAC AD AB ===上全上全； AC EC AB DB ===全下全下；ECAC DB AB ===下全下全； ；全全下下；全全上上== 等等． 2．X 型（或者叫叉叉型）：条件是DE//BC ．（图3） ⑴．同1．⑴ ⑵．同 1．⑵图2 图3上题如果用这两种类型的图形，很容易找到比例式．求证的左边AB AD 属于A 型（图4），右边也属于A 型（图5）．图4 图5ACAE AB AD −→−?全下全下= ⇒|| ||⇐上下上下= MCMN BM MN −→−?把归纳总结出的一般性结论加以演绎应用，由一般到个别，从而解决一系列的数学题．这种找比例式所用的A 型和X 型，能否作为一种思路和解法或规律？举一反三，多题一解？下面我们用这种寻找比例式的方法来证明其他题．例2、如图，BD=CE ，求证：DF AB EF AC •=•（提示：过点D 作DG//AC ，交BC 于G ）（图6）．图6 分析：已经提示了，因此很简单．但是没有提示那么又怎么办？我们用A 型和X 型来找比例式，看能否较快地解决问题？①．用“一现”行不通，再化成比例式EFDFAB AC = ，用“二找”也行不通． ②．用“三代”就要找左右两边的比例式．③．这里没有平行线，因此不可能有A 型和X 型．那么，我们不可以构造吗？但构造又要尽量与已知所求证的线段相联系．④．从左边的ABAC不好构造，因为AC 和AB 不在同一条线上，而DF 和EF 在同一条线上，所以从右边构造．线段EC 是已知“BD=EC ”中的，而EC 又和右边EFDF中的线段DF 和EF 直接相联接，所以我们作线段EC 的平行线DG 交BC 于点G ，构造出A 型（图8）： 得到ECDGEF DF ==小三角形大三角形．同时得到另一个A 型（图7）：得到BDABDG AC ==小三角形大三角形⇒BD DG AB AC =图8 图7⑤．要证EF DF AB AC =只需证BDDGEC DG =，只需再证明BD=EC 了．而BD=EC 是已知，所以可以得证．此题能否举一反三，一题多解？难道本题只有构造A 型了吗？能构造X 型吗？我们来试一试．先化成比例式EFDFAB AC =，同样从左边不好构造，那么我们从右边试一试．同样DF 和EF 在同一线上，又与已知中的EC 直接相联接，因此，我们作CF 的平行线交AC 于点H ，构造出X 型（图10），下面请同学们自己完成证明．图10因此，在比例式和等积式的证明中，利用口诀“一现二找三代四辅”来分析就有了切入点．其中，要代换的比例式的寻找，用A 型和X 型（现成的和构造的）去寻找，非常简单．用科学的思维方法对课本的习题和练习加以反思和探究、归纳总结、演绎应用，才能提高解题能力．三、针对性练习：1、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ，AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）AE=CG ； （2）MN CN DN AN •=•．2、如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，连接BC 、AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交圆O 于点F ，连接BF ，与直线CD 交于点G ，求证：BF BG BC •=2．3、如图所示，在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，过点D 作斜边的垂线交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接DC ，求证：DF DE DC •=2．4、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DC 交BE 于F ，且AB AD 31=，EC AE 21=． 求证：（1）△DEF ∽△CBF ；（2）CF EF BF DF •=•．5、如图，已知：在平行四边形ABCD 中，P 为DC 延长线上一点，AP 分别交BD 、BC 于点M 、N ．求证：.2MP MN AM •=第四部分：射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
相似三角形培优训练(含答案)
相似三角形培优（含答案）1、如图;等腰△ABC 中，CA=CB, ∠EPF=∠ECB.证明：PBPAPF PE2. △ABC 中，∠ACB=900,CD ⊥AB 于D,CD=2BD,点E 在AC 上，BE 交CD 于点G, EF ⊥BE 交AB 于F.(2) 如图2: AE=3EC,试探究EG 与EF 的数量关系，并证明你的结论。
3、 △ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,F 为ED 的中点。
证明：AF ⊥EC图2G F E DCB A FEDCBA4、 如图1正方形ABCD,E 为CD 的中点，F 在AE 上，CB=CF. (1) 证明：BF ⊥AE(2) 如图2：M 在BF 的延长线上，CM 交AD 于K 。
且KF=KD 证明：AM ⊥CM（相似SAS ）2作CG ⊥BM, △KCF ≌△KCD, 则∠KCF=∠KCD. 证明∠KCM=45度， 证明△CGB ∽△CMA5.如图1已知菱形ABCD 中，∠ADC=1200,N 为DB 延长线上，且DE=BN .(1)证明：∠ENC=600（2）如图2：延长CA 交NE 的延长线于G.过O 作OM ⊥AB 于F 交GN 于M. 证明：EM=MN图2图1ANN图2图2E F B D CA AD B F E6、如图，△ABC 为等边三角形，D 点为BC 边上一动点，DE ⊥BA 于E ，连CE 交AD 于F ，已知BC =nBD（1）若n =3时，则BE AC = （2）若n =4时，求EFFC的值 （3）当n = 时，EF =FC （直接写出答案，不证明）答案；（1）1126n = （2）解：∵△ABC 为等边△ ∠B = 60° DE ⊥ AB ∴EDB = 30°设BD = x AB = AC = BC = nx 过E 作EM ∥BC 交AD 于M 1sin 2EDB ∠=12E B x = 12A E n xx =- EM ∥BD ∠AEM = ∠B ∠AMF = ∠ADB△AEM ∽△CDFAE EM AB BD=1()2n xEM nx x -= (1)三角形CDE 与CBN 全等N图2图1C E F G BD AA EFD 12n EM x n-=EM ∥CD ∴△EMF ∽△CDF112()2(1)(1)n xn EF EM n CF CD n x n n --===-- 把n = 4代入 7724324EF CF ==⨯ （3）22n =7、如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点P 为AB 上一动点，连接DB 、DP ， AE ⊥DP 于E .(1) 如图①，若P 为AB 的中点，则DF BF = ；=ACBF； (2)如图②，若21=BP AP 时，证明AC ＝4BF ；(3)如图③，若P 在BA 的延长线上，当ACBF= 时，31=AB AP .答案；（1）21，31；（2）延长AF 交BC 于M ，证△ABM ≌△DAP 得BM=AP ，又△MBF ∽△ADF 得31===AD AP AD BM FD BF ，∴FD ＝3BF ∴AC ＝BD ＝4BF.（3）21.8、矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，BF ⊥CE 于点F ，过点F 作DF 的垂线交直线BC 于点G ，若AD =n AB .（1）如图1，当n=1时，BGCG= ；（2）如图2，当n=2时，求证：CG =7BG ；②ABCDEFP③ABCDEFP①PFED C BA图3F AD GE C B 图2FEDCBA图1FAB CD E（3）如图3，当G 点落在BC 的延长线上时，当n= 时，C 为BG 的中点.（直接写出结果）9.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝k ·AC,CD ⊥AB 于D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F.（1）若k=2时，则=BFCE . （2）若k=3时，连EF 、DF ，求DFEF的值（3）当k= 时，332=DF EF . 10、点D 为Rt △ABC 的斜边AB 上一点，点E 在AC ⊥CD 交DE 的延长线于点F ，连结AF (1)如图1，若AC=BC,求证：AF ⊥AB;(2) 如图2，若AC ≠BC ，当点D 在AB 上运动时，求证：AF ⊥AB.答案. (1)∵∠ADE=∠BCD ∴∠FDC=∠B=45°∴CD=CF ∴△CDB ≌△CAF ∴∠CAF=45°∴AF ⊥AB(2) ∵∠ADE=∠BCD ∴∠FDC=∠B ∴△ACB ∽△FDC ∴BC ACCD CF=∴△BCD ∽△ACF ∴∠B=∠CAF ∴AF ⊥AB;11.如图： 等腰Rt △ABC 中，∠ACB=900,P 在直线AB 上，以CP 为腰作等腰Rt △CPE. （1）证明：BE //AC （2）若AB=5AP,求BEAC的值。
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相似三角形判定提高
相似三角形中几个基本图形
（平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.
如图，若∥∥，则
定理2 平行于三角形一边的直线截得的对应线段成比例或截得的三角形与原三角形形似.
如图，若∥,则,还有：
.
如图，分别是的边上的点，过点的直线交于,若∥,则
定理4（角平分线性质定理）如图，分别是
的内角平分线与外角平分线，
则.
定理5 射影定理
直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角
形与原三角形相似.
练习1．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则
的值是 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 ．
3、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
4、如图，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点
E，若AC=8，BC=6，AE=4，则AD的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
5、如图，△中，、分别为、边上的点，∥，为边上的中线，若
=5，=3，=4，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6、（2011•河池）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中
点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（ ）
A．9cm B．14cm C．15cm D．18cm
7．（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= . 8．2013年河北）如图4，
菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，
NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =（）
A．3 B．4 C．5 D．6
9.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角
三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（） A. 只有1个 B.
可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个
10如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的
长为 ．
11、如图8，ABC中，BD、CE是高，且BD、CE交于F点，则图
中与AEC相似（不包括其本身）的三角形个数是 ( )
A、1
B、2
C、3
D、4
12.直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，
FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG
例1：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点
E，交BA的延长线于点D。
求证：（1）MA2=MDME；（2）
例2：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。
3.如图，已知等边三角形ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。
求证：
DE2=EG•EH
4、如图M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中两对相似三角形；
（2）连接FG，如果α=45°，AB=4，AF=3，求FG的长．
5.（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x=6时，求线段FG的长．。