高等数学 第二节 对面积的曲面积分

2
6 1d x d y
将Σ在xOy面上投影区域记为Dxy, 如图9-5
z
( 0 ,0 , 4 )
y
3
x y 3 1
( 0 ,3, 0 )
2
o
y
o
D xy
x
( 2 ,0 ,0 )
2
x
图9-5
原式

D xy
x y 4 y 4 1 2 x 2 3 3
于xOy面上方的部分, 则有


f
x, y, z dS
2
1
f
x, y, z dS
若f ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) , 则有


f
x, y, z dS
0
例1 求
x 2 y 3
解

z 4
4 z 2 x 3 y d S
2 2
a

0
4 3
0a
4
作业 P89 1、2、5、6


f
x, y, z dS


f
D xy
x, y, z x, y
1 z x z y dxdy
2 2
(1)
如果曲面Σ投影到yOz或 zOx面, 则有下述计算曲面积
分的公式


f
x, y, z dS



f
D yz
x y, z , y, z
x y z


xf
x, y, z dS , x, y, z dS , x, y, z dS ,
1 m 1 m

yf

zf
转动惯量
Ix Iy Iz Io


y z
2 2
2
f x, y, z dS , f x, y, z dS , f x, y, z dS ,
一、对面积的曲面积分的定义
设有一曲面形构件, 它所占位置的空间曲面Σ见图 9-4, 面密度为连续函数u=f(x, y, z),
利用分割、作和、取极限的方法
求该构件的质量. 把曲面Σ分成n片小曲面,
z
( k ,k , k )
这 些 小 曲 面 为 S1,S2, …,Sn,
Si也表示Si的面积(i=1,2,…,n). 在Si上取点 Mi(i, i, i), 称 Si 任意取两点间距离的最大值
mA


f
x , y , z ds
M A.
其中A表示Σ的面积. 性质7 当 f ( x, y, z )在光滑曲面Σ上连续时, 必有 (,
, )在Σ上, 使得


f
x , y , z ds
f , , A.
三、对面积的曲面积分的计算
定理2 设曲面Σ: 在z = z ( x, y ), 它在xOy面上的 投影区域为Dxy, z = z ( x, y ) 在Dxy上具有连续偏导数, f ( x, y, z ) 在Σ上连续, 则有公式
2


z x x y
2 2
2
2

x

y z
2
f x, y, z dS ,
式中Ix, Iy, Iz, Io, 分别表示曲面对x轴, y轴, z轴以
及原点的转动惯量.
例3 求抛物面壳的质量
此壳面密度为μ = z.
解 z 1 2
z
1 2
x
2
y
dS 1 z y z z dydz
2 2
R R y
2 2
dydz


z d S 2
2 h
z
2 D yz R 0
R R y
2 2
dydz R 2 3
2 z dz
2 0
dy
2
Rh
3
R y
2
解法2 面积的微分dS = 2Rdz,故


z d S 2 z 2 R d z
2
0
z 1 ,
x y
2
2
,
zx x,
zy y,
D xy : x y 2
2 2
所求质量为
m


zdS
2 0
x
D xy
2
y
2

1 x y dxdy
2 2


2 0
d

1 2
r
2
r 1r d r
2
2 15
6 3 1

1 x y x z dydz
2 2
(2)


f
x, y, z dS

f
D zx
x, y z , x , z 1 y z y x dzdx
2 2
(3 )
定理3
设 f ( x, y, z )与Σ满足定理 2 的条件, 若 f
( x, y, z ) = f ( x, y, - z ), Σ关于xOy对称, Σ1表示Σ的位
2 2 0
h
2 3
Rh
3
四、 对面积的曲面积分的应用
设有一分布着质量的光滑曲面Σ, 在点 ( x, y, z )处
的面密度为连续函数f ( x, y, z ), 利用微元分析法不难 推得下面各公式. 质量
m

1 m

f
x , y , z dS
设重心为 x , y , z , 则
其中Σ为平面
1 在第一卦限中的部分.
x 2 y 3 z 4 1
从
中解出
z x 2, zy 4 3
1 x y z 1 , 4 2 3
代 入 dS
1 z x z y d xd y
2 2
2
得 dS
1 2
1 4 dxdy 3 3
o x
Si

y
图9-4,
为Si的直径,
则曲面形构件的质量为
m lim
x 0

i 1
n
f i , i , i s i ,
式中λ为n片小曲面直径中的最大值.
z
( k ,k , k )
Si

o x
y
图9-4,
定义2 设Σ是光滑曲面, 函数u = f ( x, y, z ), 在Σ上 有界,分Σ为n片小曲面, 这些小曲面为S1, S2, …, Sn, Si 也表示Si 的面积 ( i =1, 2, …, n ). 在Si上取 点Mi(i, i, i), 记λ为n片小曲面直径的最大值. 如果

2
f ( x , y , z ) dS
性质4


kd s kA ,
k为常数, A为Σ的面积.
性质5 若在Σ上 f ( x, y, z ) g ( x, y, z ), 则


f
x , y , z ds g x , y , z ds .
性质6 在Σ上若没m f ( x, y, z ) M, 则


f ( x , y , z ) dS ,
定理1 当f ( x, y, z )在光滑或分段光滑曲面Σ上连续 时,


f
x , y , z ds 存在.
二、 对面积的曲面积分的性质
设下面所涉及的曲面积分是存在的, 则有下述性 质 性质1 设k为常数, 则


kf
x , y , z ds k kf x , y , z ds

例4 求面密度为常数 0的半球壳 x2 + y2 + z2 = a2 (0 z)对于z 轴的转动惯量.
解 z a x y ,
2 2 2
dS
2
a a x y
2 2
dxdy ,
D xy : x y
2
2
a
2
故所求转动惯量为
Iz
x

2
y
2

a
0
dS
lim
0
n

i 1
f i , i , i s i
存在, 则称该值f ( x, y, z )在Σ上的对面积的曲面积分,
也称为第一型的曲面积分, 记成


f
x , y , z ds
其中f ( x, y, z ) 称为被积分函数, Σ称为积分曲面.
如果是闭合曲面Σ上的积分, 又可记成
性质2


f
x , y , z g x , y , z ds



f
x , y , z ds g x , y , z ds
性质3 将Σ分成Σ1 与Σ2, 则


f ( x , y , z ) dS

1
f ( x , y , z ) dS
x
D xy
2
y
2

a
0
dxdy
2 2
2
a x y
2
a 0
a0
2 0
d

r
0
2
r 2
3
a r
2
2
dr a 0
a
2
r
2
a
2
2
a r
d a r
2
2

2 2 2 2 a0 a r 2 2a 3
a r
4 61 3 dxdHale Waihona Puke Baidu 4
61 3
dxdy


D xy
61 1 2 3 4 3 2
61
例2 求
z dS ,
2
其中 : x2 + y2 = R2, 0 z h (R >0)
解法1 把Σ分成前后两部分Σ1与Σ2, 则Dyz: - R y R, 0 z h
第二节 对面积的曲面积分
定义1 对于空间曲面Σ, 如果Σ上任意一点
都有切平面, 当切点连续变动时, 切平面也连续
转动, 此曲面Σ称为光滑曲面. 本节下面所研讨的一系列问题皆与本章第一 节所述问题完全类似.
一、对面积的曲面积分的定义 二、 对面积的曲面积分的性质 三、对面积的曲面积分的计算
四、对面积的曲面积分的应用