高次不等式的解法完整版
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一.方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数得系数为正。
使用方法:①在数轴上标出化简后各因式得根,使等号成立得根,标为实点,等号不成立得根要标虚点。
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2－ｘ)3<0(2) 错误!≤1解:(1) 原不等式等价于(x ＋４)(x+5)2(x —２)3＞0(2)根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< １ 3 或＼f( 1 , 2 )【例２】 解不等式:(１)2x 3－x 2—1５x 〉０;(2)(x+4)(x+5)2(2—x)3<0。
【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式得积,则一元高次不等式ｆ(x)＞0(或f(ｘ)＜0)可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根得情况、 解:(1)原不等式可化为x(２ｘ＋５)(x-3)〉0顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(５－1)得阴影部分.(2)原不等式等价于(x+4)(ｘ+5)2(ｘ-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|ｘ＜-5或－５＜ｘ〈—4或x ＞2｝、【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意．．．．．．．．．．．．．．:．①各一次项中．．．．．．x ．得．系数必为正．．．．．;．②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．(．２．)．得解法转化为不含重．．．．．．．．．根得不等式．．．．．,．也可直接用“穿根法．．．．．．．．．",．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．.．其法如图．．．．(5．．－．２．)．.． 二.数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。
(注意:一定要保证x 前得系数为正数)例如:将x^3—2x^2—x+2>0化为(x-2)(x-１)(x+1)＞０第二步:将不等号换成等号解出所有根。
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或(2) 变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2) ≥0根据穿根法如图不等式解集为{x x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}.【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的系．．数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根．．．．．．．．．．的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
一元高次不等式的解法
一元高次方程的解法
分解因式法
通过因式分解将高次方程 化为低次方程，从而求解。
公式法
利用一元高次方程的求根 公式进行求解。
迭代法
通过不断迭代逼近方程的 解。
一元高次不等式的变种
区间不等式
在给定区间内解一元高次不等式。
参数不等式
含有参数的一元高次不等式，需 要讨论参数的取值范围。
绝对值不等式
含有绝对值符号的一元高次不等 式，需要去掉绝对值符号进行求
配方法
总结词
通过配方将高次不等式化为完全平方形式，便于求解。
详细描述
配方法是另一种常用的解一元高次不等式的方法。它通过将高次多项式配成完全平方的形式，将高次 不等式转化为易于解决的一元二次不等式。在进行配方时，需要注意项的调整和符号的处理，以确保 不等式的正确性。
迭代法
总结词
通过不断迭代逼近解，适用于求解复杂 或难以因式分解的高次不等式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ决策分析
在决策分析中，一元高次不等式可 以用来描述成本、收益和风险等因 素之间的关系，帮助决策者做出最 优选择。
04 一元高次不等式的注意事 项
符号判断
符号判断是解一元高次不等式的重要步骤，需要根据不等式的性质和一元函数的单 调性来判断解集的符号。
在判断符号时，需要特别注意不等式的临界点和拐点，这些点可能会导致符号发生 变化。
特殊情况处理
特殊情况是指一些特殊形式的一 元高次不等式，如等根、重根、
不等式两边同时为0等。
在处理特殊情况时，需要根据具 体情况采用不同的方法，如因式
分解、配方法、参数方程等。
特殊情况处理需要综合考虑不等 式的形式和性质，以及解的取值 范围和实际意义，采用合适的方
不等式高次不等式和分式不等式的解法ppt
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分式不等式的解法
可以通过对分子或分母进行分离，然后将分离后的部分转化为一 次不等式或高次不等式进行求解。
不等式组的解法
可以先对各个不等式进行求解，然后取其公共部分作为不等式组 的解。
实例分析
• 高次不等式的例子：对于$x^3 - x^2 - 6x > 0$这个高次不等式，可以将其转化为$(x - 3)(x + 2)(x - 1) > 0$这个一次不等式的组合，通过求解一次不等式得到其解为$x < - 2$或$1 < x < 3$。
注意
在转化过程中要注意符号和不等号 的方向。
分式不等式的应用
解决实际问题
分式不等式可以用来解决一些实际问题，如求解最大值、最小值等。
数学竞赛
在数学竞赛中，分式不等式的求解也是重要的考点之一。
05
高次不等式的解法
高次不等式的概念
定义
高次不等式是指形如$ax^{n} + bx^{n1} + cx^{n-2} + ... + dy + e > 0$或$< 0$的不等式，其中$a,b,c,d,e$是常数， $a \neq 0$。
一元一次不等式的概念
定义
一元一次不等式是指形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a、b为实数， 且a不为0
类型
标准型、一般型、严格型
一元一次不等式的解法
步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
注意事项
不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向要改变的解集后，可以解决各种实际问题，如 不等关系、最值问题、几何问题等
高中数学第三章不等式3.3高次不等式和分式不等式的解法课件新人教B版必修5
2）∪（1，+∞)
> 0 2. （07全国文）不等式 x- 2 x+ 3
பைடு நூலகம்
的解集为（ C ）
A.(-3,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-3)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(3,+∞)
≤ 0 x- 2
3.（湖南理）不等式 x+ 1
的解集是 （D ）
A．（-∞，-1）∪（-1，2] B.[-1,2] C. (-∞,-1)∪[2,+∞) D. (-1,2]
4.不等式 （3x- 4)( 2x+ 1) <0的解集为(-___1,_1_)_∪_(_1_,___)4______________
( x- 1)2
2
3
> 1 5.(08年北京）不等式 x- 1 x+ 2
的解集是_(_-∞__,-_2_)____________________
6.若对于x∈R, 恒有 3x2+ 2x+ 2 > n(n∈N)，试求n的值。 x2+ x+ 1
全的人，主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.，这样不仅失去了做笔记的意义，也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录， 便无暇紧跟老师的思路﹚。 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容，那你的笔记就可能显得有些凌乱。 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记，故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上，理解正是做好提纲式笔记的关键。 课堂笔记要注意这五种方法：一是简明扼要，纲目清楚，首先要记下所讲章节的标题、副标题，按要点进行分段；二是要选择笔记语句，利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记；三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边，这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上，前提是你 能听懂﹚；四是数理化生等，主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题；五是政治、历史等，着重记下老师对问题的综合阐述。
解高次不等式
解高次不等式
解高次不等式
一、解高次不等式的方法：
1、先化简：
首先先将不等式本身化简，如果能化简得到一个二次以内的不等式，就可以进行求解，如果不能，就需要进一步化简。
2、先分解：
如果不能进行化简，可以尝试用方程求解的方法做分解，将整个不等式分成多个不等式来求解，这样比较容易求解。
3、合并：
有时候，如果不等式的右边有多个项，可以将多个项合并，这样可以把高次不等式简化为低次不等式，从而较容易求解。
4、变形求解：
有时，不等式右边有多项时，可以利用变量变换，将不等式右边的多项变换成一个式子，就可以较容易求解。
二、实例演示
例题：已知a>0，求解不等式：
a^3-3a^2+2a≤0
解：将不等式化简，令f(a)=a^3-3a^2+2a，
f'(a)=3a^2-6a+2=3(a-1)(a-2)，
可以得出f(a)在a=1处取得最小值，f(1)=0，
即a^3-3a^2+2a=0，
所以a≤1时，不等式a^3-3a^2+2a≤0成立。
高次不等式解法
解得 - 3 < x < 1 或 x > 2 方法改进：
符号分配方法原理
原不等式化为 简洁，但缺陷明显！ 祆 (x - 1)(x - 2) > 0 (x - 1)(x - 2) < 0 镲 镲 或 眄 镲 x + 3> 0 x + 3< 0 镲 铑
不需表现函数 f (x ) 单调区间、极大(小)值......, 只需表现图像何时在 x 轴上方，图像何时在 x 轴下方。
穿根法
1. f (x ) 的图像与 x 轴的交点情况？ f (x ) 的图像与 x 轴有且仅有交点 (- 3,0),(1,0),(2,0)
2. (- 3,0)、 (1,0) 、 (2,0) 将 x 轴分成的 4 个独立区间 2. 交点 考察交点将 x 轴分成的各个独立区间上 f (x ) 的值的正负状态 (- ? , 3)、 (- 3,1)、 (1, 2)、 (2, + )，f (x ) 在各个区间的正负状态？
问题引入
解不等式 (x - 1)(x - 2)(x + 3) > 0
分析： 符号分配，转化为一次不等式组
原不等式化为 ì x - 1< 0 ì ï x - 1> 0 ï ï ï ï ï 或 í x - 2< 0 í x - 2> 0 ï ï ï ï ï ï ï î x + 3> 0 ï î x + 3> 0
f (x ) < 0
高次不等式的解法
高次不等式的解法高次不等式的解法听起来是不是挺复杂的？一提到高次方程啊，不等式啥的，大家脑袋里就开始冒烟了，觉得这些东西好像离自己有点远，平时就算是做题也没觉得有多大兴趣。
别着急，咱们先把这些难题分解开，一步步来。
其实啊，高次不等式，简而言之，就是你在面对一些带有未知数、包含高次幂的数学式子时，如何解决它的大小关系问题。
比如说，啥是高次？就是像x^4、x^5这样，比普通的二次方程要高出一层楼的东西。
至于不等式嘛，大家一定不会陌生吧？就是那种“大于”、“小于”这些东西，比如说x^2 4 > 0，或者是x^3 + 2x < 5，咱们要做的，就是求出满足这些关系的x值。
这看起来是不是挺头疼的？不过，放轻松，我们一步步捋开它。
不要觉得高次不等式好像就天书一样拿着看，搞不懂。
你其实做过类似的题，只是你还没意识到它的本质。
举个例子，我们常见的二次不等式大家都接触过。
比如说x^2 4 > 0。
你是不是习惯性地把它转化成x > 2或x < 2这两种情况？同理，这种解法其实也适用于高次不等式，虽然高次不等式要比二次复杂，但原理是一样的。
你可以先把不等式变成“=0”的形式，再去分析它的解集。
这个时候，你要把它看成一个整体，抓住其中的规律，不要让那些复杂的指数迷了眼睛。
好了，大家都知道，二次不等式解法时需要分解因式对吧？那么高次不等式解法也是差不多的，咱们同样可以分解。
比如说x^4 5x^2 + 4 > 0，乍一看是不是有点晕？但是咱们不慌，化繁为简，把x^4当作(x^2)^2来处理。
这个时候就变成了一个关于x^2的二次不等式，理解了吗？这时候你只需要像解普通二次不等式一样，把它因式分解开来，就能解决了。
还有一种情况很常见，就是当不等式的两边都是多项式时，比如x^4 3x^2 + 2 < 0，你也别慌，先检查有没有公共因式。
如果有，先把它们提取出来，再进行分解。
这和我们做日常生活中的一些工作差不多，遇到难事，先看看有没有简化的空间。
可分解的高次不等式的解法
可分解的高次不等式的解法浙江省诸暨市学勉中学（311811） 郭天平解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，通常解法是化为不等式组或者用列表法或者用数轴标根法求解。
本文通过不同解法的比较，来说明“数轴标根法”在求解一类可分解的高次不等式独特之处。
例1 解不等式()()()0423>--+x x x解法一：原不等式可化为()()⎩⎨⎧>-->+04203x x x 或()()⎩⎨⎧<--<+04203x x x即⎩⎨⎧><->423x x x 或或⎩⎨⎧<<-<423x x ，即23<<-x 或4>x∴原不等式的解集为{}423|><<-x x x 或【评注】 此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法。
解法二：不等式（或方程）有三个零点，-3，2，4，先在数轴上标出零点，这些零点把数轴分成了若干个区间。
针对这些区间，逐一讨论各因式的符号，情况列表如下：从上表可看出()()()0423>--+x x x 的解集为{}423|><<-x x x 或 解法三：先在数轴上标出零点（标出根）。
根标出来后，不是分区间进行验证讨论，而是直接标出综合因式()()()423--+x x x 的正负号（如上图），再根据题目要求，直接写出解集为{}423|><<-x x x 或【评注】这种方法常称为是“数轴标根法”，有些书上称为是“串针引线法”。
这种方x法的本质是“列表讨论法”的简化及提炼。
这样的“线”也可看成是函数()()()423--+=x x x y 的图象草图。
(y 轴未画)通过上述三种方法的比较，我们不难看出，用“数轴标根法”来解可分解的高次不等式直观又简单。
具体方法步骤如下：①将不等式等价化为()()21x x x x --…())0(0<>-n x x 形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求出对应方程()()21x x x x --…()0=-n x x 的根（或称零点），并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意“奇穿偶不穿”（“奇穿偶不穿”是指当左侧()x f 有相同因式()nx x 1-时，n 为奇数时，曲线在1x 点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在1x 点处不穿过数轴）④若不等式（x 的系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间.例2 解不等式()()()013232<+--x x x解析 ①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④∴原不等式的解集为()()3,22,1 -【评注】∵3是三重根，∴在C 处来回穿三次，∵2是二重根，∴在B 处穿两次，结果相当于没穿. 若些不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿2点，但2=x 满足“=”的条件，不能漏掉.例3 解不等式()()032432≤+---x x x x x解析 先将原不等式等价化为不等式()()()032432<+---x x x x x 且2,0,3≠≠-≠x x x ，即()()()()04132<-++-x x x x x 且2,0,3≠≠-≠x x x ，用“数轴标根法”∴原不等式的解是()[)(]4,20,13, --∞-【评注】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解.例4 解关于x 的不等式：()()0122<++-a x x x .解析 此不等式是含参数a 的高次不等式，a x -=是不等式对应方程的其中一根，但对它的位置我们无法确定，因此要对a 的所处位置进行讨论①将二次项系数化“+”并分解为：()()()034>++-a x x x ； ②相应方程的根为：a --,4,3； ③讨论：ⅰ）当4>-a ，即4-<a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为()()+∞--,4,3a .ⅱ）当43<-<-a ，即34<<-a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为()()+∞--,4,3 aⅲ）当3-<-a ，即3>a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为()()+∞--,43, aⅳ0）当4=-a ，即4=a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为()+∞-,3ⅴ）当3-=-a ，即3=a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为()+∞,4。
高次不等式解法(经典)
x30
x30
解（1）得x 3,解（2）得1 x 2.
原不等式的解集是以上两个不等式组解集的并集，故原
不等式的解集为{x 1 x 2或x 3}.
点评：可知，高次不等式利用商或积的符号法则转化为一元一 次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解。这种方法叫同 解转化法。
探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
xx<－3或－1≤x≤12或x>1
.
(也可将2x2x＋2＋2xx－ －13≥0 转化为不等式组得
2x2＋x－1≥0 x2＋2x－3>0
或2x2x－2＋2xx－ －13≤<00
来解．)
2．数轴标根法解不等式的步骤是
(1)等价变形后的不等式一边是零，一边是各 因式的积．(未知系数一定为正数)
解：约分得
( x 2) 0 ( x 3)
x 1 0
即
(x 2)(x 3) 0 x 1 0
所以原不等式解集为
x 3 x 2且x 1
解法小结3：
对于分子、分母可约分的分式不等式，先 约去公因式，(但要注意到公因式不为零) 再把它等价转化为前面讨论过的形式。
②
不等式组①的解集为{x|x≥4 或 1≤x≤2 或 x≤－1}．
不等式组②的解集为∅，
∴原不等式的解集为{x|x≤－1 或 1≤x≤2 或 x≥4}．
方法二：将原不等式化为(x＋1)(x－1)(x－ 2)(x－4)≥0.
对应方程各根依次为－1,1,2,4，
由数轴标根法(如下图所示)得原不等式的解 集为{x|x≤－1或1≤x≤2或x≥4}．
x5
解:移项通分得 3x 4 0 x5
讲义—一元高次不等式的解法
一元高次不等式的解法一、可解的一元高次不等式的标准形式（1）左边是关于x 的一次因式的积；（2）右边是0；（3）各因式最高次项系数为正。
二、一元高次不等式的解法数轴标根法：1、将高次不等式变形为标准形式；2、求根12,,,n x x x ，画数轴，标出根；3、从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“奇穿偶回”4、写出所求的解集。
三、典型例题例1、0)3)(2)(1(<---x x x解：方程0)3)(2)(1(=---x x x 为1，2，3标根穿根解集为(,1)(2,3)-∞例2、2(1)(2)(1)0x x x x --+≥解：方程2(1)(2)(1)0x x x x --+=的根为0，1，2，—3 标根穿根解集为[1,0]{1}(2,)-+∞例3、(1)(2)(3)0x x x -+->例4、2(2)(3)(21)0x x x x -+--≥例5、2(1)(2)(45)0x x x x ---+≥注意：∵2245(2)10x x x -+=-+>∴原不等式变形为标准形式(1)(2)0x x --≥例6、322210x x x --+≤【练习】1、2(1)(3)(68)0x x x x +--+≥ 注意： 1、奇穿偶回。
2、得解集不要忘了1. 将二次三项式尽量因式分解为一次式 二次三项式不能因式分解且二次项系数为正，则此式一定为正数不等式左边尽量因式分解为一次式将一次项系数化为正数。
2、22(328)(12)0x x x x +-+-≤3、22(23)(67)0x x x x ----≥4、22(45)(1)0x x x x --++≤5、23(2)(3)(6)(8)0x x x x -+-+≥6、43220x x x +-->7、32330x x x +-->。
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解，再使用穿根法。
注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正。
使用方法：①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根，标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿）.③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立。
例1:解不等式(1)（x+4）(x+5）2(2-x)3<0(2)错误!≤1解:(1)原不等式等价于（x+4）（x+5）2(x-2)3>0根据穿根法如图Array不等式解集为｛x∣x>2或(2)变形为错误!≥0根据穿根法如图不等式解集为{x x<错误!或错误!≤x≤1或x〉2}.【例2】 解不等式：(1）2x 3—x 2—15x ＞0;(2）(x+4)（x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x ）＞0(或f(x ）＜0）可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根的情况．解:(1)原不等式可化为x(2x+5）(x —3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图（5－1)的阴影部分．(2）原不等式等价于（x+4）（x+5)2（x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或—5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的．系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2．．）．的解法转化为不含重．．．．．．．．．根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法．．．如图．．(5．．－．2．）．．．二．数轴标根法"又称“数轴穿根法”第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
(word完整版)高次不等式的解法
高次不等式的解法 ---穿根法一．方法 :先因式分解 ,再使用穿根法 .注意 :因式分解后 ,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法 :①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号建立的根 ,标为实点 ,等号不建立的根要标虚点 .②自右向左自上而下穿线 ,遇偶次重根不穿透 ,遇奇次重根要穿透 (叫奇穿偶不穿 ).③数轴上方曲线对应地区使“>”建立 , 下方曲线对应地区使“ <”建立 .例 1:解不等式(1)(x+4)(x+5) 2(2-x)3<0(2)x2-4x+1≤ 1 3x2-7x+2解:(1)原不等式等价于 (x+4)(x+5) 2(x-2)3>0 依据穿根法如图不等式解集为 {x ∣ x>2 或 x<-4 且 x≠5}. -5 -42(2)变形为(2x-1)(x-1)≥0 (3x-1)(x-2)依据穿根法如图不等式解集为11{x x< 3或2≤x≤1 或 x>2}.1112 32【例 2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x) 3＜ 0．【剖析】假如多项式 f(x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f(x) ＞0( 或 f(x) ＜0) 可用“穿根法”求解，但要注意办理好有重根的状况．解： (1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．而后从右上开始画曲线按序经过三个根，其解集如图 (5 － 1) 的暗影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2) 3＞0∴原不等式解集为｛ x|x ＜-5 或-5 ＜ x＜ -4 或 x＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的x．．系数必为正；②关于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2) 的解法转变为不含重．．．．．．．．．．．．根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿” ．其法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(5 2)如图．．．．．．．－．．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：经过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右边为0。
不等式高次不等式和分式不等式的解法ppt
例子1
解析1
例子2
解析2
分式不等式的例子及解析
01
02
03
04
04
特殊类型不等式的解法
绝对值不等式具有一些特殊的性质，例如，如果$|a| > |b|$，那么$a^2 > b^2$。利用这些性质可以简化绝对值不等式的证明过程。
绝对值不等式的性质
绝对值不等式的解法一般采用零点分段法，即根据绝对值的定义将不等式转化为若干个不等式组，然后分别求解。
优化问题
热力学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述热力学中的某些不等关系，例如在热力学第二定律中，热量总是自发地从高温物体传导到低温物体。
力学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述两个物体之间的作用力和反作用力，例如在牛顿第三定律中，作用力和反作用力总是相等且方向相反。
电学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述电路中的电压和电流之间的关系，例如在欧姆定律中，电流与电压成正比，与电阻成反比。
高次不等式的例子及解析
例子1
解不等式x^2 - 4x + 4 > 0
解析
原不等式转化为(x-2)^2 > 0，利用平方差公式可得解集为{x|x≠2}。
例子2
解不等式x^3 - x^2 - 2x + 2> 0
03
分式不等式的解法
定义
分式不等式是一种含有未知数的不等式，其分子是一个多项式，分母是一个多项式或一个一次式。
分解因式
将高次不等式转化为几个一次不等式的积的形式，便于求解。
高次不等式的定义
高次不等式的解法公式
利用平方差公式或者完全平方公式将高次不等式转化为几个一次不等式的积的形式。
简单高次不等式的解法：数轴穿根法、猜根、多项式的竖式除法
简单高次不等式的解法：数轴穿根法、猜根、多项式的竖式除法在高中数学的学习过程中有时候会接触到简单高次（一般为3次）不等式问题，本文就和大家一起来探讨一下，如何解简单高次不等式一、该不等式所对应的多项式已经因式分解，能轻易知道其零点，如下题此种情况可以直接利用数轴穿根法步骤1：先画数轴步骤2：在数轴上标出零点步骤3：开始穿根，若最高次项系数为正，则从右上方开始穿根，若最高次项系数为负，则从右下方开始穿根，画波浪线如下图所示【本题最高次项系数为正，所以从右上方开始】步骤4：读取解集，上正下负，所以本题的解为为了让大家能更直观的理解，请看下图【用作图软件画出的精确图形】，手绘的草图虽然不够精确，但是对该不等式最终的解是没有影响的下面我们再看一个例题此例与上面那个题类似，但是该四次多项式的4个根中有两个相等的根“0”，那么是不是有所不一样呢？我们先看看用作图软件画出的精准图形，看看它所对应的四次函数图像长什么样吧！我们发现数轴穿根时，在“0”这个地方并没有穿过去，而是与数轴相切了，那么这是不是偶然现象呢！我们可以自己动手多做几个“实验”就知道了【常见的函数画图软件有：几何画板（Windows版），goodgrapher（ios版），desmos（ios版），mathlab图形计算器（安卓版）等等，有兴趣的同学可以自己动手试试看】相信聪明的你在自己操作之后应该找出了其中的规律：奇穿偶切如果某个根的个数为奇数，则画波浪线时要在该根处穿过数轴如果某个根的个数为偶数，则画波浪线时在该根处不穿过数轴，即与数轴相切在掌握此规律后我们再做此类题就应该很轻松了，比如你能在草稿纸上画出它的大致图像吗？写出它的解集时需要注意“=”哟你写对了吗？二：如果所给的高次不等式没有因式分解，而是像下面这个题似的，我们又该怎么办呢？那么在这种时候我们需要冷静，需要知道如果在高中阶段出现这种三次不等式，它的解一定不会太复杂【如果太复杂的话，就不是高中阶段能解决的了】，我们只需猜根即可，一般猜1，-1，2，-2等整数值，比如本题我们将1代入，发现左边等于0，说明有一个根是1，进而得出该多项式有x-1这个因式，当我们猜出一个根，是否还需要继续猜呢？一般不需要，因为很多的时候我们无法猜出所有的根，就算猜出所有的根，也无法判断每个根具体的个数。
穿根法解高次不等式
For personal use only in study andresearch; not for commercial useFor personal use only in study andresearch; not for commercial use穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)x2-4x+13x2-7x+2 ≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.(2) 变形为 (2x-1)(x-1)≥0 根据穿根法如图不等式解集为{x x< 1 3 或 1 2≤x ≤1或x>2}.【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．的解法转化为不含重根的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)不．等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．其法如图．．．．．(5．．－．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”2)．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
高考数学 高次分式不等式解法
课 题：分式不等式 高次不等式的解法⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|⎩⎨⎧<+>-0401x x }∪⎩⎨⎧>+<-0401|{x x x }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按下列格式：解二：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨⎧<+>-0401x x 或⎩⎨⎧>+<-0401x x⇔x ∈φ或-4<x<1⇔-4<x<1，∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}.解三：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）； ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下：④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3}在没有技术的情况下：可大致画出函数图形求解，称之为根轴法（零点分段法）①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.注意：奇过偶不过例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.说明：∵3是三重根，∴在C处过三次，2是二重根，∴在B处过两次，结果相当于没过.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇过偶不过”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 2．分式不等式的解法 例4 解不等式：073<+-x x . 错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3|<x x . 解法1：化为两个不等式组来解： ∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-07030703x x x x 或⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x . 解法2：化为二次不等式来解：∵073<+-x x ⇔⎩⎨⎧≠+<+-070)7)(3(x x x ⇔37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x ≠-7的条件，解集应是{x| -7<x ≤3}.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为)()(x g x f 的形式. 例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁.解法2：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≠+-≤+---0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ， ∴原不等式的解集为{x| -1<x ≤1或2≤x<3}.练习：1.课本P21练习：3⑴⑵；2.解不等式253>+-x x . 答案：1.⑴{x|-5<x<8}；⑵{x|x<-4,或x>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.2解不等式：123422+≥+--x x x x.（答：{x|x ≤0或1<x<2}） 三、小结：1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)的形式，转化为：)0)(0)()((0)(0)()(⎩⎨⎧≠<⎩⎨⎧≠>x g x g x f x g x g x f 或，即转化 为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 也可以直接用根轴法（零点分段法）求解3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式. 4．注意必要的讨论.5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 四、、布置作业 五、思考题：1． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0.解：①将二次项系数化“+”为：(x 2-x-12)(x+a)>0，②相应方程的根为：-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}.ⅱ当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a 或x>4}.ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.ⅳ当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>-3}.ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为{x| x>4}.2．若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.(提示：4x 2+6x+3恒正)（答：1<k<3）解：∵13642222<++++x x k kx x ⇔013642222<-++++x x k kx x ⇔03643)3(2222>++-+--x x kx k x⇔ 03)3(222>-+--k x k x (∵4x2+6x+3恒正)，∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k>0对x 取任何实数均成立. ∴∆=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0⇔k2-4k+3<0⇔1<k<3. ∴k 的取值范围是（1，3）.小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分。
高次不等式的解法与绝对值不等式
0
• 1．基本关系式 • 利用|x|表示数轴上一点到原点o的距离，很容 易看出 • （1）当a＞0时，|x|＜a －a＜x＜a • （2）当a＞0时，|x|＞a x＜－a或x＞a • （3）当b＞a＞0时， • a＜|x|＜b －b＜x＜－a或 a＜x＜b. • 2．转化中的整体思想 • 对于不等式 |ax＋b|＜c (c＞0)，乃基本不等式 的推广，应用整体思想，视ax＋b为一个整体， 可迅速地将原不等式转化为－c＜ax＋b＜c．
X
恒成立问题
问题：函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8） 的 值域为R , 求k的取值范围。 练习1： 若(m 1) x 2 (m 1) x 1 0恒成立，
求m的范围
m 1 m 1 或 0 5 m 1
恒成立问题
例. 函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8） 的定义域 为R , 求k的取值范围
总结:此法为数轴标根法.在解高次不等式与分式 不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.
数轴标根法的关键:
奇穿偶回
⑴最高次数的系数为正； ⑵把不等式看作方程，并解出此方程的根； ⑶在一根数轴上标出这几个根； ⑷规定从数轴右上方开始一一穿过这些点， 含等号时穿过点为实点，不含等号穿过点 为空圈； ⑸满足大于（等于）要数轴上方的部 分，小于（等于）要数轴下方部分。
高次不等式的解法 与绝对值不等式
例1、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝 试1： 由 积 的 符 号 法 则 ， 不 本等 式 可 化 成 两 个 不式 等组 ： （x 1)(x 2) 0 （x 1)(x 2) 0 (1)或{ (2) {x 3 0 x30
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高次不等式的解法---穿根法
一．方法:先因式分解,再使用穿根法.
注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
使用方法:
①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).
③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.
例1:解不等式
(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0
(2)
x2-4x+1
3x2-7x+2
≤1
解:
(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图
不等式解集为{x∣x>2或x<-4
(2)变形为 (2x-1)(x-1)
(3x-1)(x-2)
≥0
根据穿根法如图不等式解集为
{xx< 1
3
或
1
2
≤x≤1或x>2}.
【例2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．
【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
解：(1)原不等式可化为
x(2x+5)(x-3)＞0
顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．
(2)原不等式等价于
(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0
∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．
【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数必为正；②对于
．．．．．．．．．．
偶次或奇次重根可参照
．．．．．．．．．．(2)
．．．的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
注意
．．“奇穿偶不穿”
．．．．．．．．其法如图
．．．．．(5．．－．2)．．．．
数轴标根法”又称“数轴穿根法”
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
【典型例题】
例1、解不等式
(1)2x 3-x 2-15x ＞0；
(2)(x+4)(x+5)2(2-x)4＜0．
例2、解下列不等式：
⑴ (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0； ⑵ (x+2)(x 2+x+1)>0； ⑶ (x+2)2(x+1)<0； （4）(x+2)2(x+1)≥0；
（5） (x 2-1)(x 2-5x-6)> 0
例3、解下列不等式：
⑴(x 2-1)(x-1)(x 2-x-2)<0； ⑵(x+1)2(x-2)2(x-1)≥0； ⑶(x-1)2(x 2-x-2)≤0；
例4、解不等式：22320712
x x x x -+≤-+- 例5、解不等式：22911721
x x x x -+≥-+ 例6、解不等式：2256032
x x x x +-≥-+ 例7、解不等式：2121332
x x x x ++>-- 例8、解不等式：
22331x x x ->++（不能十字相乘分解因式；无法分解因式）
例9、解下列不等式。
⑴x+2+
101-x >7+101-x ； ⑵2328+--x x x ≥1； ⑷6543
2)5()4()3()2()1)(1(-----+x x x x x x ≤0。
【巩固练习】
1、解下列不等式：
⑴(x+1)2(x-1)(x-4)>0；
⑵(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0 ；
⑶(x+2)(x+1)2(x-1)3(3-x))≥0
⑷(x 2-1)(x-1)(x 2-x-2)≤0；
⑸x+1≤14
+x ⑻)4)(3()
2()1(2--+-x x x x ≤0；
2：解不等式：
1、3
02x x -≥- 2、2113x x ->+ 3、2
232
023x x x x -+≤-- 4、22102x x x --<-
5、()()
()
32
2
16
3
x x x
x
-++
≤
+
6、
()
2
3
9
x x
x
-
≤
-。