电磁场的动量解读

E 0 ( E ) E ( B 0 0 ) B 0 t 1
考虑对称性，利用
构成一个恒等式：
1
B B 0 , E t
B ( B) B 0 ( E ) E 0 0 t
把此式与f 的表达式相加，则有 1 f 0 ( E ) E ( B ) B 0 1 E ( B 0 0 ) B 0 t B 0 ( E ) E t
中的张力一样， n T 代表面外的场对面内的场在
量或张力张量。
Maxwell应力张量的分量物理含义：
z C
△S
O
A
x
B
y
设ABC为一面元ΔS，这面元的三个分量为三角形 OBC、 OCA和OAB的面积，OABC是一个体积元△V，
通过界面OBC单位面积流入 体内的动量三个分量为： T11、 T12 、 T13 ； 通过界面OCA单位面积流入 体内的动量三个分量为： T21、 T22 、 T23 ；E ) E
1 ( E ) E ( E E ) ( E ) E 2 1 1 2 ( EE ) ( E E ) ( EE ) ( E I ) 2 2 1 2 ( EE E I ) 2
所以
1 2 1 1 2 1 S f 0 EE E I BB B I 2 2 2 0 c t
或者化为 其中
1 S f T 2 c t
1 1 1 2 2 T 0 EE BB ( 0 E B ) I 0 2 0
2 0 4 2
1 2 4 1 2 4 1 2 4 2 2 E cos 0 E cos 0 E cos 0 E 2 2 4 1 2 4 0 E 4 1 2 P E 所以 0 电磁 2
其方向可这样来确定：
1 P电磁 E 0 E 2 n E 2 结论： P 电磁 与 E 的夹角等于 n 与 E 的夹角。当 n 与 E 平行时， P电磁 也与E平行，这时 P与 n平行；当 n 垂直于E时， P电磁也垂直于E，这时P与n平行或 反平行；
即介质表面受到电磁波作用产生的压强。若电磁波 在各方向都以同样强度辐射（例如空腔内的黑体辐 射），它的总平均辐射能量密度为 w ，那么投影到 方向在θ到θ+dθ之间的能量密度为： w w dw 2 sin d sin d 4 2
于是介质表面受到各个方向射来的电磁波作用产生 的总压力为：
§5.7 电磁场的动量
电磁场和带电体之间有相互作用力。场对
带电粒子施以作用力，粒子受力后，它的动量 发生变化，同时电磁场本身的状态亦发生相应 的改变。因此，电磁场也和其他物体一样具有 动量。辐射压力是电磁场具有动量的实验证据。 本节从电磁场与带电物质的相互作用规律 出发导出电磁场动量密度表达式。
一、电磁场的动量密度和动量流密度
此式左边第一项代表带电体与电磁场的作用力，右边的项 代表体积V内的电磁场动量的时间变化率。
如果把该式看成是场的运动方程，它表示场的动量 变化率等于外力作用于体积V内的场的合力，那么
等式左边第二项就表示作用在V内的场的作用力，
由于是面积分，所以它只能表示体积V的界面外的 场对体积内V的场的作用力，这样，正如弹性力学 单位面积上的作用应力，亦称之为Maxwell应力张
w P (1 R) 2


2 0
1 R cos sin d w 6
2
在理想导体表面，电磁波发生全反射，这时反射系 数R=1，此时即有：
1 P w 3
地球表面由于太阳光辐射而受到的总辐射压力约为 7×108N，而受到太阳的万有引力为3 ×1022N，
因此一般可以忽略辐射压力。
这就是通过面元Δ S流出的动量。因此，通过闭合曲 面流出的总动量为 T ds
S 张量 T 的分量Tij 的意义是通过垂直于i 轴的单位面
积 流过的动量 j 分量。
二、Maxwell stress tensor进一步讨论
为了对 Maxwell 应力张量的进一步了解，下面讨论电场 中的几个特殊面上的力。
θ
导体单位表面对空间电磁波所施加的作用力， 等于单位表面上电磁动量在单位时间内所发生的变 化。由于作用力与反作用力大小相等，它的量值就 等于电磁波对物体单位表面所施加的压力。由于电 磁波的传播速度为c，在单位时间内射到单位横截 面的电磁动量为： S
g (c 1)
c
w
设电磁波的入射角为θ，则单位时间内射到单位表面 积上的电磁动量为
至此，可以把机械动量的变化率写成
讨论：
dP d 1 TdV 2 SdV dt dt V c V d 1 T ds SdV 2 S dt V c
a) 若积分区域V 为全空间，则面积分项为零，而
根据动量守恒定律，带电体的机械动量的增加等于电磁场 的动量的减少，因此称
同理，磁场存在时的问题讨论，与上述完全 一样。
三、辐射压力
电磁场作为物质在流动（辐射）时，一旦遇 到其他物体，就会发生相互作用力，由电磁场引 起的对其他物体的压力称为辐射压力。如果是可 见光引起的辐射压力，通常称之为光的压力。
由电磁场动量密度式和动量守恒定律可以算出 辐射压力。
假有一平面电磁波的以 θ角入射于理想导体表 面上而被全部反射，试求此导体表面所受到的辐 射压力。
1 0 E 2n 2
2) 若面法线方向的单位矢量n垂直于电场E，则单位面积上的 电磁力为
1 2 P电磁 n T n [ 0 ( EE E I )] 2 1 2 n 0 EE 0 n E I 2 1 2 0E n 2 其中用到 n E 0 , n I n
因为等式左边项表示机械动量，右边第二项代表了电磁
动量，因此右边第一项也必然具有动量的意义，而它是面积 分，所以把它解释为穿过区域V 的边界面S 流入体内的动量
流。故称 T 为电磁场动量流密度。
下面再看动量流密度 T 的物理意义：因为
d d P机械 T ds gdV dt dt V S
场对带电体的作用为Lorentz force，在Lorentz force
作用下带电体的机械动量变化为
下面利用真空中的场方程把等式中的电荷 和电 流 J 消去，把 Lorentz force density 改写为：
dP fdV ( E J B)dV V dt V
f E J B
P机+P电磁 = constant
这说明，若把带电体和电磁场看作一个封闭的力学体
系，则体系的机械动量和电磁动量之和是守恒的。
注意：
1 对于平面电磁波， B n E c 根据电磁动量密度公式
g 0 ( E B)
即可得到一定频率的电磁波的平均动量密度.
0 1 1 * 2 g 0 Re( E B) | E | n wn 2 2c c
式中 I 是单位张量，在直角坐标系中
ˆx e ˆx e ˆy e ˆy e ˆz e ˆz I e
同理得到：
1 2 ( B) B ( B) B ( BB B I ) 2
又因为
1 S S 0 0 0 0 ( E H ) 2 c t t t E B 0 ( E B) 0 ( B E ) t t t
f 1 gc cos w cos
同样，在单位时间内被物体单位表面反射的电磁动 量为
f 2 Rgc cos Rw cos
这里的R为反射系数。因此，单位时间内动量在法向 的变化为：
P f1 cos f 2 cos
(1 R) gc cos 2 (1 R)w cos 2
1) 若面法线方向单位矢量n平行于电场E，则单位面积上的 电磁力为
P电磁
1 2 n T n[ 0 ( EE E I )] 2 1 1 2 2 n 0 EE 0 n E I 0 E n 0 E 2 n
2 2
这说明单位面积上的电磁力P电磁沿电场方向，正号说明是 张力，它代表单位面积外侧（与n同侧）的电场对内侧电 场的作用。故沿电场线方向电场之间有张力。
dP d 1 2 SdV dt dt c
P电磁
为电磁动量。
1 2 SdV 0 ( E B )dV c
而把 g 1 S ( E B ) 0 2
c
称为电磁场动量密度，从而得到
d d P机 P电磁 dt dt
或者 即
d ( P机 P电磁 ) 0 dt
这个关系式在量子化后的电磁场也是成立的，量子化后的电 磁场由光子组成，每个光子的能量为 ，其中 h / 2
ω是角频率。 从而可以看出：每个光子所带的动量
g光子
1 1 w光子 n n kn k c c
b) 若积分区域V 为有限空间，则面积分项不为零，即
dP机
d T ds gdV dt dt V S
z C
△S
A
B
y
通过界面OAB单位面积流入体内的动量三个分量为： T31、 T32 、 T33 ； 当 V 0 时，通过这三个面流入体内的动量等于 从面元ABC流出的动量。
因此，通过ABC面流出的动量各分量为：
p1 S1T11 S2T21 S3T31
p2 S1T12 S2T22 S3T32 p3 S1T13 S2T23 S3T33 写成矢量式： P S T
考虑空间某一区域，内部有一定电荷分布， 区域内的场和电荷之间由于相互作用而发生动量 转移。另一方面，区域内的场和区域外的场也通 过界面发生动量转移，由于动量守恒，单位时间
从区域外通过界面S 传入区域V内的动量应等于V 内电荷的动量变化率加上V 内电磁场的动量变化 率。故由Maxwell’s equations 和 Lorentz force 公式可导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。
结果表明单位面积上的电磁力P电磁沿单位面积的法线方向， 与电场方向垂直，负号说明是压力，故垂直于电场线方向 电场之间有排斥力。
3) 若面法线方向的单位矢量n与电场夹角为θ，则单位面积上
的电磁力为
1 2 P电磁 n T n [ 0 ( EE E I )] 2 1 2 n 0 EE 0 n E I 2 计算大小： 1 1 2 2 P电磁 P电磁 (n 0 EE 0 n E I ) (n 0 EE 0 n E I ) 2 2