材料力学第十章杆件计算的能量法

力F0，然后与其他广义力一起计算弹性体的应变能，求得
偏导数后，令F0=0，即可求得该点的广义位移：
Δ Vε
F0
F0 0
例 求图示支架中A点的铅垂位移。
解：
FNAB F / sin FNAC F / tan
Vε
F l 2 NAB
Vε
l FN2 (x) dx 0 2EA
l M 2 (x) dx 0 2EI
l
FQ2 (x)
dx
0 2GA
l M x2 (x) dx 0 2GIP
三、应变能的一般计算式
Vε
W
1 2
F1Δ1
1 2
F2Δ2
1 2
FiΔi
1 2
FnΔn
1 2
n i 1
FiΔi
——克拉贝依隆
（B.P.E.Clapeyron）原理。
余功
WC
F1ΔdF
0
W WC F1Δ1
F F1 Wc dF
△
F
W
△
F
o△
△1
d△
余应变能
VC WC
F1ΔdF
0
二、虚力原理
处于平衡状态的弹性体，若在外力作用下产生变形， 则在各外力作用点沿外力作用方向有相应的位移。若保持 位移不变，使力有一微小的改变余功，dWC。
WM
WFM
1（F 2l3 EI 96
M 2l 6
MFl 2 ） 16
M
F
3.标准式
M（2 x）
Vε l
2EI
dx
A θA
l/2
C
△C
l
B
M
x
M
F 2
M l
x
F 2
M l
l
x
（0 x l / 2） （l / 2 x l）
例 计算图示杆中的应变能(EA已知)。
解：线性问题，不必积分。
§10-2 杆件的弹性应变能
一、杆在基本变形下的应变能
1.杆在轴向拉伸（压缩）时的应变能
F
F
A
l l1
Vε
1 2
FN
l
FN2l 2EA
dF F1 F
o
d(△l) △l1
B △l
2.圆杆扭转时的应变能
W 1 T
2
Mx T
M xl
GIP
Vε
W
1 2
M
x
M x2l 2GIP
T
T
A
T
l
o
B
3.梁弯曲时的应变能
F1 F2
Vε
W
n i 1
1 2
FiΔi
1 2
F1Δ1
1 2
F2Δ2
l
l
1 2
F1
F1
F2 EA
l
1 2
F2
F1
F2 EA
l
F2l EA
F2 1
2F1F2
2
F2 2
l
2EA
应变能的大小，由各外力的最终值决定，与各外力
作用的先后次序无关。 不同的加载路径，结果应该相同。
F 2 1
余应变能的增量为
dVC
VC F1
dF1
VC F2
dF2
VC Fi
dFi
VC Fn
dFn
因为dF1= dF2…= dFn=0，只有dFi≠0，所以有
dVC
VC Fi
dFi
外虚余功增量在数值上等于弹性体余应变能的增量，即
dWeC dVC
又 dWeC ΔidFi
i
VC Fi
余应变能等于应变能，即
Δ i
弹性体保持变形协调的充分必要条件是外虚余功等 于内虚余功，即
dWec = dWic ——虚力原理
dWec为虚力在相应的真实位移上所做的外虚余功；
dWic为虚力引起的内力分量在相应的位移上所做的内虚余功。
虚力原理和虚位移原理都是虚功原理。 虚力可以是任意的，但必须满足平衡条件；虚力可以与
真实力无关，也可以是作用在弹性体上真实力的增量。
Fi称为广义力；△i称为广义位移。
应变能的大小，由各外力的最 终值决定，与各外力作用的先后 次序无关。
例 计算图示梁中的应变能(EI已知)
解：1.所有力按比例加载
到最后
M
F
Δ C
Fl 3 48EI
Ml 2 16EI
A θA
C
△C
B
l/2
l
A
Fl 2 16EI
Ml 3EI
Vε
1 2
FΔC
1 2
M
A
2F1F2
2
F2 2
l
2EA
F1 F2
l
l
先加F2，然后加F1
F2
Vε1
1 2
F2Δ2*
1 2
F2
F2 2l EA
Vε2
1 2
F1Δ1*
F2Δ2
1 2 F1
F1l EA
F2
F1l EA
l
l
F1
l
l
Vε Vε 1 Vε 2
§10-3 虚力原理
一、余功和余应变能
外力功 W Δ1 FdΔ 0
0
h
2 h
2
18FQ2 (x) Gb2h6
h2 4
y2
2
bdy
弯矩+剪力： Vε Vε M Vε Q
l6
FQ2 (x)dx
l
FQ2 (x)dx
010 Gbh 0 2GA
为剪切形状因数
二、杆在组合变形下的应变能
组合变形杆件的截面上存在轴力、弯矩、剪力和 扭矩多种内力。每种内力只在与其本身相应的位移上 做功，在其它内力引起的位移上不做功。所以，组合 变形杆的应变能等于与各种内力相应的应变能之和。
Vε Fi
——卡氏第二定理
受力弹性体的Δi应变VF能εi 对作—用—于卡其氏上第的二某定一理广义力的
偏导数,即为与该广义力相应的广义位移。
受力弹性体的F应i 变ΔV能εi 对作—用—于卡其氏上第的一某定一理广义位移的
偏导数,即为与该广义位移相应的广义力。
若所求广义位移处无广义力作用，可在该点加一广义
当虚力为作用在弹性体上真实力的增量时，外虚余功 的增量等于弹性体余应变能的增量，即
dWec = dVc 虚力原理的应用，与材料的性能无关，可适用于线形材料 和非线形材料，以及几何非线形情况。但必须为小变形。
§10-4 卡氏第二定理
F1 F2 Fi
Fn
……
△1
△2 △i
△n
Fi有一增量dFi
外虚余功增量 dWeC ΔidFi
3.1 纯弯曲梁
l Ml
M
EI
W
1 2
M e
Vε
W
1 2
M
e
M 2l 2EI
M
l
3.2 剪切弯曲梁
弯矩M：
M (x)2 dx dVε M 2EI
M (x)2 dx
Vε M l 2EI
剪力FQ：
6FQ
h2 (
y2)
bh3 4
1 2
dVε Q 2 G bdxdy Vε Q
l
dx
1（ F 2l3 EI 96
M 2l 6
MFl 2 ） 16
2.先加F，再加M
M
F
WF
1 2
FΔCF
A θA
C
△C
B
1 Fl3 F 2l 3
F
l/2 l
2 48EI 96EI
WM
1 2
M AM
1 2
M
Ml 3EI
M 2l 6EI
WF (M )
FΔCM
Ml 2 F
16EI
MFl 2 16EI
Vε
WF
第十章 杆件计算的能量法
§10-1 概 述
能量法（energy method）：在应变能和功的概念基础 上建立起来的一种普遍方法，可用于计算变形固体的位移、 变形和内力等。
缓慢加载，无热耗，弹性阶段（不必线弹性） ——外力功全部转化为应变能（变形能）
用途：组合变形杆件以及桁架、刚架、拱等结构 的变形计算。