人教A版高中数学必修四模块综合测试卷

模块综合测试卷

班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．－3290°角是( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角 答案：D

解析：－3290°＝－360°×10＋310° ∵310°是第四象限角 ∴－3290°是第四象限角

2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( ) A.23πB.34π C.5

6

πD ．π 答案：A

解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，

∴sin α2＝AB

2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝23

π.

3．下列函数中周期为π

2

的偶函数是( )

A ．y ＝sin4x

B ．y ＝cos 22x －sin 2

2x C ．y ＝tan2x D ．y ＝cos2x 答案：B

解析：A 中函数的周期T ＝2π4＝π2，是奇函数．B 可化为y ＝cos4x ，其周期为T ＝2π

4

＝

π2，是偶函数．C 中T ＝π2，是奇函数，D 中T ＝2π

2

＝π，是偶函数．故选B. 4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )

A ．3

B ．－3

C ．0

D ．2 答案：A

解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝6，

y ＝3.∴x －y ＝3.

5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →

＝－5a －3b ，则四边形ABCD 是( ) A ．长方形B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形 答案：D

解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， 且|AD →|≠|BC →|

∴四边形ABCD 是梯形．

6．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( )

A ．[0，2]

B ．[0,2]

C ．[1,2]

D ．[2，2] 答案：D

解析：|a ＋b |2＝a 2＋b 2

＋2a ·b ＝2＋2cos θ，因为θ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π2，π2，所以2＋2cos θ∈

[2,4]，所以|a ＋b |的取值范围是[2，2]．

7．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4－α＝( ) A ．－1

7B ．7

C.1

7

D ．－7 答案：B

解析：∵α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7. 8．函数f (x )＝2sin ⎪

⎪⎪⎪⎪⎪x －π2的部分图象是( )

答案：C

解析：∵f (x )＝2sin ⎪

⎪⎪⎪⎪⎪x －π2，

∴f (π－x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π－x －π2＝2sin ⎪⎪⎪⎪

⎪⎪π2－x ＝f (x )，

∴f (x )的图象关于直线x ＝π

2

对称．排除A 、B 、D.

9．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间是( ) A.⎣

⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 答案：A

解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z ) 得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4单调递减．故选A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π

4

是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条

相邻的对称轴，则φ的值为( )

A.π4

B.π3

C.π2

D.3π4 答案：A

解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T

2

，即

T

2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π

4

是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π

4

＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，

所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π

4

也为对称轴．故选A.

11．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a ＋b |的最小值为( ) A.2－1B ．2－ 2 C.2D ．2 答案：C

解析：|a ＋b |＝2(x 2

＋2x ＋2)≥ 2.

12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )

A.33B ．－33

C.

539D ．－69 答案：C 解析：∵α＋β2＝⎝

⎛

⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，

∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2＝1

3×33

＋223×63＝3＋439＝539.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π

6

，则a 在b 方向上的投影为__________．

答案：2 3

解析：由投影公式计算：|a |cos π

6

＝2 3.

14．函数y ＝2sin x cos x －1，x ∈R 的值域是______． 答案：[－2,0]

解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ， ∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]．

15．已知函数f (x )＝3sin ⎝

⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．

答案：⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－32，3 解析：由f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所

以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，则f (x )的最小值为3sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，

所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－32，3.