人教A版高中数学必修四模块综合测试卷
高中数学人教A版必修四模块综合检测(C) pdf版含答案
图象重合，则 ω 的最小值为( )
1
1
1
1
A.6
B.4
C.3
D.2
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知 α、β 为锐角，且 a＝(sin α，cos β)，b＝(cos α，sin β)，当 a∥b 时，
α＋β＝________.
cos2α＋
3．A [∵|a|＝
4＝ 2 ，∴cos2α＝4.∴cos 2α＝2cos2α－1＝－2.]
4．B [∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.
∴|a＋2b|＝2 3.]
5．D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°
2
π
π
14．已知 cos4α－sin4α＝3，α∈(0，2)，则 cos(2α＋3)＝________.
15．若向量A→B＝(3，－1)，n＝(2,1)，且
n·A→C＝7，那么
B→C n· ＝________.
π
4
θ
16．若 θ∈[0，2]，且 sin θ＝5，则 tan 2＝________.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
20．(12 分)已知 x∈R，向量O→A＝(acos2x,1)，O→B＝(2， 3asin 2x－a)，f(x)＝O→A·O→B，a≠0. (1)求函数 f(x)的解析式，并求当 a>0 时，f(x)的单调增区间；
π (2)当 x∈[0，2]时，f(x)的最大值为 5，求 a 的值．
2020-2021学年数学人教A版必修4模块综合测试
模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知角α的终边过点P (sin(－30°)，cos(－30°))，则角α的一个值为( D )A ．30°B ．－30°C ．－60°D ．120°解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，点P 在第二象限，sin α＝32，cos α＝－12，∴120°为角α的一个值．2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( B ) A ．－53 B ．－19 C ．19D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2解析：f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，它在(π4，π2)上是单调递减的，图象关于原点对称，最小正周期是π，最大值为1，故B 是正确的．4．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO→的坐标为( C ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5解析：由AD→＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵AD→＋AB →＝AC →.∴AC →＝(1,10)． ∴CO →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故应选C ．5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6， cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.6．设α∈(0，π)，sin α＋cos α＝13，则cos2α的值是( C ) A ．179 B ．－223 C ．－179D ．179或－179解析：∵sin α＋cos α＝13，∴1＋2sin αcos α＝19，即2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－173，∴cos2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－179.7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，为奇函数； 当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin2x ，为奇函数．故选B ．8．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π2，π)，则cos2β的值为( C )A ．1B ．－1C ．2425D ．－45解析：由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45， 所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－35)×(－45)＋45×35＝2425.9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( A ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010D ．255解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，∴sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α) ＝22sin α＝－255.10．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ，22sin x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ，2cos x ，f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将f (x )的图象( C )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位解析：f (x )＝a ·b ＝sin x cos x ＋sin x cos x ＝sin2x .而y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 于是只需将f (x )的图象向左平移π6个单位．故选C ．11．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是( C )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π－π6 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3解析：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由题图象知，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋π6ω＝3π2，所以ω＝2.所以平移后的图象所对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 12．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA→＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0； ③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0. 则点O 依次为△ABC 的( C ) A ．内心、重心、垂心 B ．重心、内心、垂心 C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在AC 和AB 上的单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA→|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心． 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把★★答案★★填在题中横线上)13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝43.解析：设BC→＝b ，BA →＝a ， 则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －A ． 代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.14．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为2 .解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2.15．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0,2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝4 030 .解析：由最大值为3知A ＝2，f (x )＝2cos 2(ωx ＋φ)＋1＝cos(2ωx ＋2φ)＋2，由交点(0,2)及0<φ<π2知φ＝π4. ∴f (x )＝2－sin2ωx . 又周期为4，∴ω＝π4.∴f (x )＝2－sin π2x ，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝503×8＋6＝4 030.16．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1.其中正确的命题是①④.解析：①由正切曲线，知点(k π，0)，(k π＋π2，0)是正切函数图象的对称中心，∴①对；②f (x )＝sin|x |不是周期函数，②错； ③∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z ， ∴θ2∈(k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z .当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.∴③错； ④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1. ∴④对．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5； (2)tan10°＋tan170°＋sin1 866°－sin(－606°)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.18．(12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求：(1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·B ．解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]， ∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间．解：(1)由题图象可知A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2， ∴T ＝π，ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点(－π8，2)代入得－π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∵|φ|<π，∴φ＝34π.∴函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)． (2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(2x ＋3π4)的单调递增区间为 [k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )．20．(12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数， 又θ∈(0，π)，得θ＝π2， 所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0.即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25.即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.21．(12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB→＝2AD →，AC →＝5AE →，(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点． (2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值． 解：(1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →， 所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →， 又AB→＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以AF →＝12AD →＋12A E →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB→＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以EF →＝14AB →－110AC →， 所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC → ＝－14AB →2＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos60°＝－25.22.(12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(53x －π6)≤1， 得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
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高中数学必修4模块测试(期末复习)题号 一二 三 总分1－10 11－16 17 18 19 20 21 得分说明：1. 本试卷共8页，共有21题，满分共100分，考试时间为90分钟. 2. 答题前请将密封线内的项目填写清楚.一、选择题 ：(本大题共10小题 ，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选择项中,只有一项是符合题目要求的. 请将选择题答案填入下答题栏内)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1.下列能与︒20sin 的值相等的是( ).A ．︒20cosB ．)20sin(︒-C ．︒70sinD ．︒160sin2．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD （ ）.A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+3．半径为10 cm ，面积为100cm2的扇形中，弧所对的圆心角为（ ）. A ．2弧度 B ．︒2 C ．π2弧度 D ．10弧度4．已知,2||=a ρ,5||=b ρ3-=⋅b a ρρ，则a b +r r 等于（ ）.A. 23B. 35C. 23D. 355．为了得到函数Rx x y ∈+=),32cos(π的图象，只需把函数x y 2cos =的图象（ ）.A ．向左平行移动3π个单位长度B ．向左平行移动6π个单位长度21世纪教育网 C ．向右平行移动3π个单位长度 D ．向右平行移动6π个单位长度得分 评卷人 6．平行四边形ABCD 中，AD=3，AB ＝5，则22||||BD AC +的值是（ ）.A ．16B ．34C ．68D ．327. 已知1tan 2α=，则cos sin cos sin αααα+=-（ ）.A ．2B ．2-C ．3D ．3- 21世纪教育网8．如图所示：某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数：b x A x f ++=)sin()(ϕω，]14,6[∈x ，则这段曲线的解析式为（ ）。
高中数学 模块综合检测卷 新人教A版必修4
模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是(C ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，(a －b )·b ＝0，所以a －b 与b 垂直．故选C.2．点P 从()1，0出发，沿单位圆逆时针方向运动4π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：由三角函数的定义知，Q 点的坐标为⎝⎛cos 4π3，⎭⎪⎫sin 4π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.故选C.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω＞0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (0)＝(D )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2，把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，∴f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝sin π3＝32.故选D. 4．将函数y ＝sin( 2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(B )A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4解析：利用平移规律求得解析式，验证得出答案．y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位Y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数； 当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.5．已知sin(π＋α)＝45且α是第三象限的角，则cos(2π－α)的值是(B )A ．－45B ．－35C ．±45 D.35解析：sin(π＋α)＝45⇒sin α＝－45，又∵α是第三象限的角，∴cos(2π－α)＝cosα＝－35.故选B.6．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2sin 3x 的图象(D ) A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析：y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，故只需将y ＝2sin 3x 向左平移π12个单位．7．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于(C ) A ．30° B ．60°C ．120°D ．90°解析：c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cosa ，b ＝a ·b ||a ||b ＝－12⇒a ，b ＝120°.故选C. 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3 解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.故选B.9．(2015·新课标全国高考Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点BC →＝3CD →，则(A ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：由题知AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A.10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于(B )A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，所以sin α<0，即sin α＝－35，tan α＝34. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17，故选B.11．函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是(D )A ．0 B.π2 C ．π D.3π212．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是(D )A ．2 2B ．2 3C ．2D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：因为a 2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝9＋1－2×3×1×13＝8，a ·b ＝9＋2－9×1×1×13＝8，所以cos β＝83×22＝223.考点：向量数量积及夹角 答案：223.14．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤f (x )≤2， ∴f (x )的最小值为1. 答案：115．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析：由题意f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图象向右平移φ个单位，得2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －2φ＋π4，要使图象关于y 轴对称，则π4－2φ＝π2＋kπ，解得φ＝－π8－k π2，当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.答案：3π816．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题： ①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝si n 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确．②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，∴当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点．(1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标． 解析：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，∵P 在AB 上，∴BA →与PA →共线． BA →＝(4，2)，PA →＝(1－m ，－2－n )，∴4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.① 又∵OP →⊥AB →，∴(m ，n )·(－4，－2)＝0. ∴2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，∴OP →＝(1，－2)． 18．(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13. (1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x .(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)若f (x )＝65，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解析：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ＝2sin x cos π6＋2cos x sin π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π ，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调增区间为[－π3＋2k π，23π＋2k π](k ∈Z)．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝725.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (a )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解析：(1)由0＜α＜π2，且sin α＝22，求出角α的余弦值，再根据函数f (x )＝cosx (sin x ＋cos x )－12，即可求得结论．(2)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，由正弦与余弦的二倍角公式，以及三角函数的化一公式，将函数f (x )化简，根据三角函数周期的公式即可得结论，根据函数的单调递增区间，通过解不等式即可得到所求的结论．(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22，所以f (a )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝[f (x )]2－2，求函数g (x )的最小正周期与单调递增区间．解析：(1)∵函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0.即－32＋a2＝0.解得a ＝ 3. (2)g (x )＝4sin 2(x ＋π3)－2＝2(1－cos(2x ＋2π3)－2＝－2cos(2x ＋2π3)∴g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.令－ π＋2k π≤2x ＋2π3≤2k π，k ∈Z－5π6＋k π≤x ≤k π－π3，k ∈Z ∴g (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6＋k π，－π3＋k π，k ∈Z.22．(本小题满分10分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A .解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝sin(x ＋θ)，又∵函数f (x )在x ＝π处取最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.又0<θ<π，∴θ＝π2.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .∵f (C )＝12，∴cos C ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A ，代入sin B ＝2sin A 中，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝2sin A ，∴tan A ＝33， ∵0<A <π，∴A ＝π6.。
高中数学人教A版必修四模块综合检测(A) Word版含答案.docx
模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于( )A.1213B.513C ．－513D ．－12132．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k 等于( ) A.12B ．－2C ．－7D ．3 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16B ．－8C ．8D ．164．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A.25B ．－25 C.25或－25D ．－155．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 6．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b 等于( )A.32B.3C ．23D.127．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－239．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－510．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于( )A ．－34B ．－14C.34D.1411．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．1212．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎣⎡⎦⎤π4，5π12C.⎣⎡⎦⎤π12，5π12D.⎣⎡⎦⎤5π12，π2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．sin2010°＝________.14．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________.15．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________．16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值．18．(12分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .19．(12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．20．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－1112π)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.模块综合检测(A)答案1．D [∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A )2＝1且cos A <0，解得cos A ＝－1213.]2．D [∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3.]3．D [AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16.]4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25.] 5．A [由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎨⎧ω＝π8φ＝－34π.∴y ＝4sin(π8x －3π4)＝－4sin(π8x ＋π4)．]6．B [由cos30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos15°·4sin15°＝a ·b 4sin30° ∴a ·b ＝3，故选B.]7．C [y ＝cos(x ＋π3)＝sin(x ＋π3＋π2)＝sin(x ＋5π6)，∴只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个长度单位，即可得函数y ＝cos(x ＋π3)的图象．]8．A [由于AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.]9．D [∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α ＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎫sin α－322－112当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7.]10．B [a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14，故选B.]11．B [将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若与原图象重合，则π2为函数f (x )的周期的整数倍，不妨设π2＝k ·2πω(k ∈Z )，得ω＝4k ，即ω为4的倍数，故选项B 不可能．]12．C [建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12.]13．－12解析 sin2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.14．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22，∴θ＝π4，∴tan θ＝1.15.2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的投影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×(－1)＋2×3(－1)2＋32＝410＝2105. 16．sin(πx 2＋π6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得(T2)2＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图象过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx 2＋π6)． 17．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013.(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)．∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12，∴f (x )max ＝12.18．(1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .19．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.20．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1. 21．解 (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.22．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。
高中数学 模块综合质量检测卷 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
模块综合质量检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知，θ2为第二象限角．故选B.2．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( )A ．53 B ．－53C ．±53D ．－23解析：选B ∵sin(π－α)＝sin α＝log 22－23＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－ 1－sin 2α＝ －1－49＝－53.故选B. 3．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值是( ) A ．34 B ．537 C ．2537D ．53737解析：选D ∵|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋24e 1·e 2＋16e 22＝9＋24×12＋16＝37，∴|3e 1＋4e 2|＝37.又∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3＋4×12＝5，∴cos θ＝537＝53737.故选D.4．(2018·某某太和中学期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．－2或1D ．－1或2解析：选D 由于A ，B ，C 三点共线，故AB →∥AC →，因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，所以λ(λ－1)－2×1＝0，解得λ＝－1或λ＝2.故选D.5．(2019·某某诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →＝( ) A ．14AB →－34AC → B ．14AB →＋34AC →C ．34AB →－14AC → D ．34AB →＋14AC → 解析：选 B 解法一：设AD →＝xAB →＋yAC →，由BC →＝－4CD →可得，BA →＋AC →＝－4CA →－4AD →，即－AB →－3AC →＝－4xAB →－4yAC →，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝34，即AD →＝14AB →＋34AC →，故选B.解法二：在△ABC 中，BC →＝－4CD →，即－14BC →＝CD →，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →－14BC →＝AC →－14(BA →＋AC →)＝14AB →＋34AC →，故选B.6．(2019·某某定州中学调研)函数f (x )＝12(1＋cos2x )·sin 2x (x ∈R )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选D 由题意，得f (x )＝14(1＋cos2x )(1－cos2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )．又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，故选D.7．(2018·永州二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2π4－α＝( )A ．725 B ．925 C ．1625D ．2425解析：选B ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34， ∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝925.故选B.8．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选B 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12.所以，所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.故选B.9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos2xB ．y ＝cos2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝2πω＝π，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C ．10.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118解析：选B如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝DE →＋EF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.11．(2019·某某百校联盟联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝( )A ．4－2 3B ．23－4C ．4－4 3D ．43－4解析：选B 由题意可得－sin α＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·cos π12－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12＝3sin α＋π12cos π12＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sinπ12，整理可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－2×tan π4－tanπ61＋tan π4tanπ6＝23－4.故选B.12．(2019·某某部分市学校联考)如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中AB ＝2，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC →·PB →的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选B 连接BC ，则∠ACB ＝90°.∵AP ⊥PC ，∴AC →·PB →＝AC →·(PC →＋CB →)＝AC →·PC →＝(AP →＋PC →)·PC →＝PC →2.依题意可证Rt △APC ∽Rt △ACB ，∴|PC →||CB →|＝|AC →||AB→|，即|PC →|＝|AC →||CB →|2.∵|AC →|2＋|CB →|2＝|AB →|2，∴|AC →|2＋|CB →|2＝4≥2|AC→||CB →|，即|AC →||CB →|≤2，当且仅当|AC →|＝|CB →|时取等号，∴|PC →|≤1，∴AC →·PB →＝PC →2≤1，AC →·PB →的最大值为1，故选B. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________． 解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )14．(2019·某某师大附中一模)已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋2b |＝3，则a ，b 的夹角为________．解析：因为|a ＋2b |＝3，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(3)2.又a ，b 是两个单位向量，所以|a |＝1，|b |＝1，所以a ·b ＝－12.因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，则a ，b 的夹角为2π3. 答案：2π315．(2019·某某四校协作体联考)化简：1cos 80°－3sin 80°＝________.解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin (80°－60°)12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.答案：416．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．解析：设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )，则由题意得(2－x )(－3－x )＋(2－y )(3－y )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝132，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52为圆心，262为半径的圆，所以|c |的最大值为26.答案：26三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b ·c ＝－4，|a |＝22，某某数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4.∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0. ∵b ·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4， ∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c . ∴16＝n ×(－4)．∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ， 得0＝8m －4a ·b ，即a ·b ＝2m ，①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a ·b ＝12.② 由①②，得m ＝± 6. ∴a ·b ＝±2 6.∴cos θ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或5π6.18．(12分)(2019·某某日照五中期中)已知角α的终边过点P (－4,3)． (1)求tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)若β为第三象限角，且tan β＝43，求cos(α－β)的值．解：(1)因为角α的终边过点P (－4,3)， 所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin αcos αsin α＋sin α＝12cos α＝－58.(2)因为β为第三象限角，且tan β＝43，所以sin β＝－45，cos β＝－35.由(1)知，sin α＝35，cos α＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝0.19．(12分)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的． 解：(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6.综上，所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．20．(12分)已知向量a ，b 不共线．(1)若OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，求当实数t 为何值时，A ，B ，C 三点共线；(2)若|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为120°，实数x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，求|a －x b |的取值X 围．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， 即13(a ＋b )＝λa ＋(1－λ)t b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，(1－λ)t ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，t ＝12.故t ＝12时，A ，B ，C 三点共线．(2)因为a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－12，则|a －x b |2＝a 2＋x 2b 2－2x a ·b ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以当x ＝－12时，|a －x b |取得最小值，最小值为32；当x ＝12时，|a －x b |取得最大值，最大值为72，所以|a －x b |的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72. 21．(12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.22．(12分)(2019·襄阳四校期中)设函数f (x )＝cos π2－x cos x －sin 2(π－x )－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π8的值．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin 2x ＋cos2x )－1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)∵f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4－1＝3210－1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝35.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8知，2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－45. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π8＋π4－1word11 / 11 ＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4－1 ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4sin π4－1 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×22＋45×22－1＝－310.。
高中数学 模块综合测试卷 新人教A版必修4 (2)
模块综合测试卷班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310° ∵310°是第四象限角 ∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( ) A.23π B.34π C.56π D．π 答案：A解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，∴sin α2＝AB2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝23π.3．下列函数中周期为π2的偶函数是( )A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22x C ．y ＝tan2x D ．y ＝cos2x 答案：B解析：A 中函数的周期T ＝2π4＝π2，是奇函数．B 可化为y ＝cos4x ，其周期为T ＝2π4＝π2，是偶函数．C 中T ＝π2，是奇函数，D 中T ＝2π2＝π，是偶函数．故选B. 4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2 答案：A解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3.5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 是( ) A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形 答案：D解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， 且|AD →|≠|BC →|∴四边形ABCD 是梯形．6．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[2，2] 答案：D解析：|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos θ，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以2＋2cos θ∈[2,4]，所以|a ＋b |的取值范围是[2，2]．7．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A ．－17 B ．7C.17D ．－7 答案：B解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7. 8．函数f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2的部分图象是( )答案：C解析：∵f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2， ∴f (π－x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π－x －π2＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－x ＝f (x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．排除A 、B 、D.9．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 答案：A解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z ) 得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4单调递减．故选A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案：A解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T2，即T 2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π4是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π4也为对称轴．故选A.11．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a ＋b |的最小值为( ) A.2－1 B ．2－2 C. 2 D ．2 答案：C解析：|a ＋b |＝2x 2＋2x ＋2≥ 2.12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33C.539 D ．－69 答案：C 解析：∵α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2＝13×33＋223×63＝3＋439＝539.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π6，则a 在b 方向上的投影为__________．答案：2 3解析：由投影公式计算：|a |cos π6＝2 3.14．函数y ＝2sin x cos x －1，x ∈R 的值域是______． 答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ，∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]．15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析：由f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，则f (x )的最小值为3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)①若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是43②函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) ③函数f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x 是奇函数④函数y ＝tan x 2－1sin x的最小正周期是π答案：①④解析：①sin y －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，∴sin x ＝－1时，最大值为43.②2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8.③定义域不关于原点对称．④y ＝tan x 2－1sin x ＝－1tan x，∴T ＝π.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.18．(12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0. (1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋tan A ·sin x (x ∈R )的值域． 解：(1)∵m ·n ＝0， ∴sin A －2cos A ＝0.∴tan A ＝sin Acos A＝2.(2)f (x )＝cos2x ＋tan A sin x ＝cos2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.∵－1≤sin x ≤1∴sin x ＝12时，f (x )取最大值32，sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝2 5，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )．∵|c |＝2 5，∴x 2＋y 2＝2 5，即x 2＋y 2＝20.① ∵c ∥a ，a ＝(1,2)∵2x －y ＝0，即y ＝2x ，② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入上式得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－525×52＝－1.又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π.20．(12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－sin 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值； (2)若对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，都有f (x )≤c ，求实数c 的取值范围．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－sin 2π12＝cos π6＝32.(2)f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－12(1－cos2x ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋32cos2x ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值32.所以对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 等价于32≤c .故当对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 时，c 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.21．(12分)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45， 于是sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin2β＝725，又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝25，∴sin α＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.22．(12分)如图，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2是函数y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋φ(其中A >0，φ∈[0，π))的图象与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．解：(1)∵函数经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴sin φ＝12， 又∵φ∈[0，π)，且点P 在递增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6.令y ＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π，(k ∈Z )，∴可得x ＝－14，54， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0. 又∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－A 2，PR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－A 2. ∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，解得A ＝52.。
高中数学 模块综合测评 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)3.(2016•某某阿克苏高一期末)函数y=cos 2x+sin2x,x∈R的值域是()A.[0,1]B.C.[-1,2]D.[0,2]解析:因为函数y=cos 2x+sin2x=cos 2x+cos 2x=cos 2x,且x∈R,所以cos 2x∈[-1,1],所以cos 2x∈[0,1].故选A.答案:A4.已知两向量a=(2,sin θ),b=(1,cos θ),若a∥b,则的值为()A.2B.3C.4D.5解析:∵a∥b,∴2cos θ=sin θ,∴tan θ=2,∴=2+tan θ=4.答案:C5.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为()A. B. C.π D.2π解析:∵f(x)=2sin=1,∴sin,∴ωx1++2k1π(k1∈Z)或ωx2++2k2π(k2∈Z),则ω(x2-x1)=+2(k2-k1)π.又相邻交点距离的最小值为,∴ω=2,∴T=π.答案:C7.函数y=在一个周期内的图象是()解析:y=cos x·=-2sin x cos x=-sin 2x,故选B.答案:B9.(2016·某某某某二中期中)设函数f(x)=cos (2x+φ)+sin (2x+φ),且其图象关于直线x=0对称,则()A.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数B.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数C.y=f(x)的最小正周期为,且在上为增函数D.y=f(x)的最小正周期为,且在上为减函数解析:f(x)=cos(2x+φ)+sin(2x+φ)=2=2cos.∵ω=2,∴T==π.又函数图象关于直线x=0对称,∴φ-=kπ(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z).又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2cos 2x.令2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数的递减区间为(k∈Z).又(k∈Z),∴函数在上为减函数,则y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数.故选B.答案:B10.函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin 3x的图象,只需将f(x)的图象() A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析:由题中图象可知,A=1,,即T=,∴ω=3,∴f(x)=sin(3x+φ).又f=sin=sin=-1,∴+φ=+2kπ,k ∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=,即f(x)=sin.∵g(x)=sin 3x=sin=sin,∴只需将f(x)的图象向右平移个单位长度,即可得到g(x)=sin 3x的图象,故选C.答案:C11.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b夹角的取值X围是()A. B. C. D.解析:设a与b的夹角为θ,∵Δ=|a|2-4a·b≥0,∴a·b≤,∴cos θ=.∵θ∈[0,π],∴θ∈.答案:B12α,β为锐角,cos(α+β)=,cos(2α+β)=,则cos α的值为()A. B.C. D.以上都不对解析:∵0<α+β<π,cos(α+β)=>0,∴0<α+β<,sin(α+β)=.∵0<2α+β<π,cos(2α+β)=>0,∴0<2α+β<,sin(2α+β)=.∴cos α=cos [(2α+β)-(α+β)]=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)=.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知sin α=(2π<α<3π),则sin+cos=.解析:∵2π<α<3π,∴π<,∴sin<0,cos<0.由=1+2sincos=1+,知sin+cos=-.答案:-14.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为. 解析:=()·()=()·|·||·|2+1=1.得||=|=,则AB的长为.答案:15.设f(x)=2cos2x+sin 2x+a,当x∈时,f(x)有最大值4,则a=.解析:f(x)=2cos2x+sin 2x+a=cos 2x+sin 2x+a+1=2sin+a+1.由x∈,∴f(x)max=3+a=4,∴a=1.答案:116.关于函数f(x)=cos+cos,则下列命题:①y=f(x)的最大值为;②y=f(x)最小正周期是π;③y=f(x)在区间上是减函数;④将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位后,将与已知函数的图象重合.其中正确命题的序号是.解析:f(x)=cos+cos=cos+sin=cos-sin==coscos,∴y=f(x)的最大值为,最小正周期为π,故①,②正确.又当x∈时,2x-∈[0,π],∴y=f(x)在上是减函数,故③正确.由④得y=cos 2cos,故④正确.答案:①②③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中点P是图象的一个最高点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知α∈,且sin α=,求f.解:(1)由函数最大值为2,得A=2.由题图可得周期T=4=π,由=π,得ω=2.又ω·+φ=2kπ+,k∈Z,及φ∈,得φ=.∴f(x)=2sin.(2)由α∈,且sin α=,得cos α=-=-,∴f=2sin=2.18.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A的一条直径.(1)请用表示,用表示;(2)记∠BAP=θ,求的最大值.解:(1)=-.(2)∵∠BAC=60°,∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cos θ=3sin θ+13cos θ+8=14sin(θ+φ)+8,∴当sin(θ+φ)=1时,的最大值为22.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin (ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f,求cos 的值.解:(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….由-≤φ<,得k=0,所以φ==-.(2)由(1)得f sin ,所以sin.由<α<,得0<α-,所以cos=.因此cos=sin α=sin=sincos +cos sin=.20.(本小题满分12分)(2016·某某某某高一期末)已知向量a=(1,cos 2x),b=(sin 2x,-),函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若f,求f的值.解:(1)由题意得f(x)=a·b=sin 2x-cos 2x=2sin.因为函数y=sin x的单调递减区间为,k∈Z,∴由+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(2)∵f(x)=2sin,∴f=2sin=2sin (α+π)=-2sin α=,∴sin α=-,∴f=2sin=2sin=2cos 2α=2(1-2sin2α)=2.21.(本小题满分12分)在如图所示的直角坐标系xOy中,点A,B是单位圆上的点,且A(1,0),∠AOB=.现有一动点C在单位圆的劣弧上运动,设∠AOC=α.(1)求点B的坐标;(2)若tan α=,求的值;(3)若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值.解:(1)由任意角的三角函数定义,可得点B的坐标为.(2)∵=(1,0),=(cos α,sin α),∴=cos α.又tan α=,且0≤α≤,∴cos α=,即.(3)方法一:由=x+y,得(cos α,sin α)=x(1,0)+y,∴∴x+y=cos α+sin α=cos α+sin α)=sin,又0≤α≤,∴当α=时,x+y有最大值.方法二:即∴x+y=[cos α+cos(60°-α)]==cos α+sin α=sin.又0≤α≤,∴当α=时,x+y有最大值.22本小题满分12分)(2016•某某揭阳惠来一中检测)已知点A(sin 2x,1),B,设函数f(x)=(x∈R),其中O为坐标原点.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值与最小值;(3)求函数f(x)的单调减区间.解:(1)∵A(sin 2x,1),B,∴=(sin 2x,1),,∴f(x)==sin 2x+cos=sin 2x+cos 2x cos -sin 2x cos=sin 2x+cos 2x=sin 2x cos +cos 2x sin=sin.故f(x)的最小正周期T==π.(2)∵0≤x≤,∴≤2x+,∴-≤sin≤1,∴f(x)的最大值和最小值分别为1和-.(3)由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴f(x)的单调减区间是,k∈Z.。
最新精编高中人教A版必修四高中数学模块综合检测(一)和答案
模块综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．－1 120°角所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D －1 120°＝－360°×4＋320°，－1 120°角所在象限与320°角所在象限相同．又320°角为第四象限角，故选D.2．(江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( )A．－23B．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫332＝13.3．(陕西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2), 若a∥b, 则实数m等于( ) A．－ 2 B. 2C．－2或 2 D．0解析：选C a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，∴m＝±2，选C.4.1－sin 20°＝( )A．cos 10°B．sin 10°－cos 10°C.2sin 35°D．±(sin 10°－cos 10°)解析：选C ∵1－sin 20°＝1－cos 70°＝2sin235°，∴1－sin 20°＝2sin 35°.5．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝( ) A ．－10 B ．10C ．－ 5 D. 5解析：选D 因为a· b ＝10，所以x ＋8＝10，x ＝2，所以a －b ＝(－1，－2)，故|a －b |＝ 5.6．(2013·浙江高考)函数f (x )＝sin x cos x ＋32·cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2 解析：选A 由f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x ＝1sin 2x ＋3·cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1，故选A.7．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin π4＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z.取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.9．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )A ．－34B ．－14C.34D.14解析：选B a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π＝14.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14，故选B.10．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( ) A ．k π，(k ∈Z) B ．k π＋π6，(k ∈Z)C ．k π＋π3，(k ∈Z)D ．－k π－π3，(k ∈Z)解析：选D f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6.由函数为奇函数得－θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得θ＝－k π－π3(k ∈Z)，故选D.11．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( ) A ．12P P ·13P P B ．12P P ·14P P C ．12P P ·15P P D ．12P P ·16P P解析：选A 由于12P P ⊥15P P ，故其数量积是0，可排除C ；12P P 与16P P 的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则12P P ·13P P ＝|12P P |·|13P P |·cos 30°＝32a 2，12P P ·14P P ＝|12P P |·|14P P |·cos 60°＝a 2.12．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b (a <0)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a 、b 的值分别为( )A ．a ＝2，b ＝－5B ．a ＝－2，b ＝2C ．a ＝－2，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－2解析：选C f (x )＝－a (cos 2x ＋3sin 2x )＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b .又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.∵－5≤f (x )≤1，a <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝－5，－2a ＋2a ＋b ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝cos π＝1.答案：1214．(四川高考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＋AD ＝λAO ，则λ＝________.解析：AB ＋AD ＝AC ＝2AO ，故λ＝2. 答案：215．(重庆高考)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA ＝(－3,1)，OB ＝(－2，k )，则实数k ＝________.解析：因为AB ＝OB －OA ＝(1，k －1)，且OA ⊥AB ，所以OA ·AB ＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.答案：416．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则y 的表达式为________．解析：由图象，知A ＝2，由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b|＝2，a 与b 的夹角为120°.求：(1)|a ＋b |及|a －b |； (2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a·b ＝|a||b |cos θ＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin(2ωx ＋π6)＋a2＋b (x ∈R ，a >0，ω>0)的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω、a 、b 的值； (2)指出f (x )的单调递增区间．解：(1)由函数最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ω＝1，又f (x )的最大值是74，最小值是34，则⎩⎨⎧a ＋a2＋b ＝74，－a ＋a 2＋b ＝34，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝12sin(2x ＋π6)＋54，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)时，f (x )单调递增，∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)．19．(本小题满分12分)(福建高考)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4 的值；(2)求函数f (x ) 的最小正周期及单调递增区间． 解：法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π＋1.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π＝π.由2k π－π≤2x ＋π≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，求d . 解：(1)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，且a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， ∴k ＝－1613.(2)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋55，y ＝1＋25或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－55，y ＝1－25.∴d ＝20＋55，5＋255或d ＝20－55，5－255.21．(本小题满分12分)如图所示，是一个半径为10个长度单位的水轮，水轮的圆心离水面5 2 个长度单位．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面距离d 与时间t 满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为d －k b ＝sin(t －ha)．(1)求正弦曲线的振幅和周期；(2)如果从P 点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关d 与t 的关系式； (3)在(2)的条件下，求P 首次到达最高点所用的时间． 解：(1)A ＝r ＝10.T ＝604＝15(s)．(2)由d －k b ＝sin t －h a ，得d ＝b sin t －h a ＋k .b ＝A ＝10，T ＝2π1a＝2πa ＝15，∴a ＝152π.由于圆心离水面52个长度单位， ∴k ＝5 2. ∴d ＝10sin2πt －h 15＋5 2.将t ＝0，d ＝0代入上式，得sin(2π15h )＝22，2π15h ＝π4，∴d ＝10sin(2π15t －π4)＋5 2.(3)P 到达最高点时d ＝10＋5 2.∴sin(2π15t －π4)＝1，得2π15t －π4＝π2，t ＝458(s)．即P 首次到达最高点所用时间为458s.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ， 所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。
高中数学 模块综合检测(C)(含解析)新人教A版必修4(2021年整理)
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模块综合检测（C)（时间：120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是（）A．4错误! B．－4错误!C。
错误! D．－错误!2．若向量a＝（3,m），b＝（2，－1)，a·b＝0,则实数m的值为（)A．－32B。
错误! C．2 D．63．设向量a＝（cos α，错误!)，若a的模长为错误!，则cos 2α等于( )A．－错误! B．－错误! C.错误! D。
错误!4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2,0)，|b｜＝1，则|a＋2b|等于( )A.错误! B．2错误! C．4 D．125．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于（)A．－错误! B.错误! C．－1 D．16．若向量a＝(1，1），b＝（2,5），c＝(3，x）,满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于（）A．6 B．5 C．4 D．37．要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos(x－错误!）的图象（）A．向右平移错误!个单位B．向右平移错误!个单位C．向左平移π3个单位D．向左平移错误!个单位8．设函数f(x）＝sin(2x＋π3），则下列结论正确的是( ）A．f（x)的图象关于直线x＝错误!对称B．f(x)的图象关于点（错误!，0）对称C．把f（x)的图象向左平移错误!个单位，得到一个偶函数的图象D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，错误!]上为增函数9．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝（sin A,1)，q＝(1，－cos B），则p与q 的夹角是（)A．锐角 B．钝角C．直角 D．不确定10．已知函数f(x)＝（1＋cos 2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为错误!的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为错误!的偶函数11．设0≤θ≤2π，向量错误!＝（cos θ，sin θ），错误!＝(2＋sin θ，2－cos θ），则向量错误!的模长的最大值为( )A。
高中数学 模块综合测评 新人教A版必修4
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6【解析】 ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3. 【答案】 B2．如果一扇形的弧长为2π cm ，半径等于2 cm ，则扇形所对圆心角为( ) A ．2π B ．π C ．π2D ．3π2【解析】 θ＝l r ＝2π2＝π.【答案】 B3．设α是第二象限的角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x5，则tan α＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43【解析】 ∵点P (x,4)在角α终边上，则有 cos α＝x 16＋x 2＝x5. 又x ≠0，∴16＋x 2＝5，∴x ＝3或－3. 又α是第二象限角，∴x ＝－3，∴tan α＝y x ＝4－3＝－43.【答案】 D4．已知1－tan α1＋tan α＝2＋3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．2＋ 3 B ．1 C ．2－ 3D ． 3【解析】 ∵1－tan α1＋tan α＝2＋3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝12＋3＝2－ 3. 【答案】 C5．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2【解析】 由题意易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.【答案】 D6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝m ，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．2mB ．±2mC ．3mD ．±3m【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝m ，∴cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝3m . 【答案】 C7．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )【导学号：00680081】 A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【解析】 由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 【答案】 A8．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4【解析】 将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．【答案】 A9．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A ．22B ．33C ． 2D ． 3【解析】 因为sin 2α＋cos 2α＝14，所以sin 2 α＋cos 2 α－sin 2 α＝cos 2α＝14.又0<α<π2，所以cos α＝12，则有α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3.【答案】 D10．已知A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A ．74π B ．π4C ．3π4D ．－7π4【解析】 ∵A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，∴cos A ＝－255，cos B ＝－31010，tan A ＝－12，tan B ＝－13.∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π. ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B＝－12－131－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.∴A ＋B ＝74π.【答案】 A11．曲线y ＝A sin ωx ＋a (A >0，ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2πω上截直线y ＝2及y ＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是( )A ．a ＝12，A >32B ．a ＝12，A ≤32C ．a ＝1，A ≥1D ．a ＝1，A ≤1【解析】 由题意可知：a ＝2－12＝12， A ＝y max －y min 2>2－－2＝32，故选A ． 【答案】 A12．在△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋3cos 2B －2cos B ，若f (B )＝2，则角B 为( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解析】 由已知f (B )＝4cos B ×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B 2＋3cos 2B －2cos B ＝2cos B (1＋sinB )＋3cos 2B －2cos B ＝2cos B sin B ＋3cos 2B ＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3.∵f (B )＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝2，π3<2B ＋π3<73π，∴2B ＋π3＝π2，∴B ＝π12. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.【解析】 由题意知T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54π－π4＝2π，∴ω＝2πT＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵0<φ<π，∴π4<π4＋φ<54π.又x ＝π4是f (x )＝sin(x ＋φ)图象的对称轴，∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝π4＋k π，∵0<φ<π，∴φ＝π4.【答案】π414．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－1)，若向量a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为________．【解析】 当a∥b 时，有1×(－1)－2x ＝0，即x ＝－12，此时b ＝－12a ，即a 与b 反向，若向量a 与b 夹角为钝角，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a·b <0，x ≠－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，x ≠－12，∴x <2且x ≠－12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 15．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin 2x 的最小正周期是________． 【解析】 法一：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin 2x＝2sin π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴T ＝2π2＝π.法二：y ＝sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＋sin 2x＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴其最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π16．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．【解析】 取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712B A →＋BC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712BA →＋BC →＝712|BA →|2－2518BA →·BC →＋23|BC →|2＝712×4－2518×2×1×12＋23 ＝2918. 【答案】2918三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中，i ，j 分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，试分别确定实数m 的值，使(1)A ，B ，C 三点共线； (2)AB →⊥BC →.【解】 (1)利用AB →＝λBC →可得i －2j ＝λ(i ＋m j )，于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，得m ＝－2.(2)由AB →⊥BC →得AB →·BC →＝0，∴(i －2j )·(i ＋m j )＝i 2＋m i ·j －2i ·j －2m j 2＝0， ∴1－2m ＝0，解得m ＝12.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .(1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值．【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2，k ∈Z .故f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. (2)tan α＝－43，且α是第四象限的角，所以sin α＝－45，cos α＝35.故f (α)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4cos α＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2α－22cos 2αcos α＝1－sin 2α＋cos 2αcos α＝2cos 2α－2sin αcos αcos α＝2(cos α－sin α)＝145.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x 2·cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．【解】 (1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sinx ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【解】 (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.21．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ，sin B ＝45，cos(2A＋C )＝－45，求cos 2A 的值. 【导学号：70512046】【解】 ∵A <B <C ，A ＋B ＋C ＝π， ∴0<B <π2，A ＋C >π2，0<2A ＋C <π.∵sin B ＝45，∴cos B ＝35，∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45，cos(A ＋C )＝－35.∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35，∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45＝725， ∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝527625.22．(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值．【解】 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.。
高中数学 模块综合测试卷(四) 新人教A版必修4(高一)
高中数学必修四模块综合测试卷(四)一、选择题（每小题5分，共60分） 1、下列各角中与3π-终边相同的是（ ）A ．35π-B ．32πC ．34πD ．35π2、=-)611cos(π（ ） A ．21 B ．21- C ．23- D ．23 3、已知),0(,53cos παα∈-=，则=αtan （ ） A ．34 B ．34- C ．34± D ．43± 4、函数x y sin =的图象（ ） A ．关于点)1,2(π对称 B ．关于直线π=x 对称C ．关于点)0,(π对称D ．关于y 轴对称 5、函数x y 2cos 21=的周期为（ ） A ．π B ．π2 C ． π4 D ．4π 6、函数)4tan(π+=x y 的单调增区间为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-4,43ππππk k B ．)4,43(ππππ+-k k C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2,2ππππk k D ．)2,2(ππππ+-k k7、=++++BO OC CA OB AO （ ）A ．AB B ．0C ．ACD ．BC 8、已知a ),2,3(x =b =(6,1),若a ∥b ，则=x （ ） A ．4 B ．41 C ．9 D ．91 9、设A （1，2），B （-2，5），∣AB ∣=（ ）A ．5B ．29C ．23D ．410、设∣a ∣=12,∣b ∣=9,a ∙b 254-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．45° B ．60° C ．120° D ．135° 11、化简θθ44sin cos - 的结果为（ ）A ．θ4sinB ．θ4cosC ．θ2sinD ．θ2cos 12、在ABC ∆中，若B A B A cos cos sin sin <，则ABC ∆一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形 二、填空题（每小题5分，共20分）13、=+167cos 43sin 77cos 43cos _______________.14、已知向量∣a ∣=4, ∣b ∣=3，a,b 的夹角为120，则b 在a 方向上的投影为_____________.15、已知向量∣a ∣=1, ∣b ∣=2，a,b 的夹角为3π，则∣a +b ∣=_______________. 16、把函数)62sin(π-=x y 的图象向左平移3π个单位，所得图象的函数解析式为_____________________________.三、解答题17、（10分）化简：)cos()2cos()tan()3cos()2sin(απαπαπαπαπ--∙-+∙-∙+。
高中数学模块综合测评含解析新人教A版必修4
模块综合测评(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若cos α＝13,则cos 2α＝( )A.429B ．－429C.79D ．－79D [cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79,故选D.]2．已知扇形的圆心角为2π3弧度,半径为2,则扇形的面积是( )A.8π3B.43 C ．2πD.4π3D [扇形的面积S ＝12×2π3×22＝4π3.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12的值等于( ) A.13 B.223C ．－13D ．－223C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝－13,故选C.] 4．设向量a ＝(2tan α,tan β),向量b ＝(4,－3),且a ＋b ＝0,则tan(α＋β)＝( ) A.17 B ．－15C.15D ．－17A [∵a ＋b ＝(2tan α＋4,tan β－3)＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧2tan α＋4＝0，tan β－3＝0，∴tan α＝－2,tan β＝3,∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋31－－2×3＝17.]5．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ,g (x )＝2cos x ,动直线x ＝t 与f (x )和g (x )的图象分别交于A ,B 两点,则|AB |的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0,2]D ．[1,2]B [题意得|AB |＝|f (t )－g (t )|＝|sin t －cos t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4∈[0,2]．故选B.]6．已知tan θ2＝23,则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ的值为( )A.23 B ．－23C.32D ．－32A [1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝tan θ2＝23.]7．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象,只要把函数y ＝2cos 2x 图象上所有的点( )A ．向左平行移动π8个单位长度B ．向右平行移动π8个单位C.向左平行移动π4个单位长度D ．向右平行移动π4个单位B [只要把函数y ＝ 2 cos 2x 图象上所有的点,向右平行移动π8个单位,可得函数y ＝ 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象, 故选B.]8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜π2,x ∈R )在一个周期内的图象如图所示,则y ＝f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4 B ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋π3 C.f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 D ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x －π3B [由图象知函数的最大值为A ＝4,T 4＝π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝3π8.即T ＝3π2＝2πω,即ω＝43,即f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋φ, 由五点对应法得43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0,得φ＝π3,得f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋π3,故选B.]9．已知f (x )＝1＋sin 2x2,若a ＝f (lg 5),b ＝f (lg 0.2),则下列正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1C [∵b ＝f (lg 0.2)＝f (－lg 5),∴f (x )＋f (－x )＝1＋sin 2x 2＋1＋sin －2x2＝1,∴a ＋b ＝f (lg 5)＋f (－lg 5)＝1.]10．如图,设P 为△ABC 内一点,且AP →＝14AB →＋15AC →,BM →＝34BA →,CN →＝45CA →,则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于( )A ．1∶5B ．2∶5C ．3∶20D ．7∶20C [由题可知AM →＝14AB →,AN →＝15AC →,则AP →＝AM →＋AN →,由平行四边形法则可知NP →∥AB →,AN →∥MP →,所以S △PMB S △ABC ＝|PM →|·|MB →||AB →|·|AC →|＝15×34＝320.]11．函数f (x )＝cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的一个单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π A [函数f (x )＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3,令－π2＋2k π≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z ),解得－5π6＋2k π≤x ≤2k π＋π6,当k ＝0时,函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6.故选A.]12．在△ABC 中,A ,B ,C 是其三个内角,设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ,当f (B )－m ＜2恒成立时,实数m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－3C ．m ＜3D ．m ＞1D [f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1. ∵f (B )－m ＜2恒成立, ∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立, 即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π, ∴0＜sin B ≤1,∴－1＜2sin B －1≤1,故m ＞1.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13．已知OA →＝(－2,1), OB →＝(0,2),且AC →∥OB →,BC →⊥AB →,则点C 的坐标是 ． (－2,6) [设C (x ,y ),则AC →＝(x ＋2,y －1),B C →＝(x ,y －2),AB →＝(2,1)．由AC →∥OB →,BC →⊥AB →,得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴点C 的坐标为(－2,6)．]14．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变),则所得的图象的函数解析式为 ．y ＝sin 4x [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得y ＝sin 4x .]15．设α是第二象限角,P (x,4)为其终边上一点,且cos α＝x5,则tan 2α＝ .247[因为α是第二象限角,P (x,4)为其终边上的一点,所以x ＜0, 因为cos α＝x 5＝xx 2＋16,所以x ＝－3,所以tan α＝y x ＝－43,所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 16．如图,在等腰△ABC 中,D 为底边BC 的中点,E 为AD 的中点,直线BE 与边AC 交于点F ,若AD ＝BC ＝4,则AB →·CF →＝ .－8 [以点D 为原点,以BC 为x 轴建立平面直角坐标系；则A (0,4),B (－2,0),C (2,0),E (0,2),直线AC 的方程为2x ＋y －4＝0； 直线BE 的方程为x －y ＋2＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0x －y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝83,向量AB →＝(－2,－4),CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，83,则AB →·CF →＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4×83＝－8, 所以AB →·CF →＝－8.]三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＋π·tan α－πcos 3π－α的值．[解] (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1, ∴点P 在单位圆上,由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由(1)知,P 在单位圆上,∴由余弦函数定义得cos α＝45,∴原式＝54.18．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α,sin α),b ＝(1,2sin α－1),α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,a·b ＝25,求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2.[解] ∵a·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25,∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π,∴cos α＝－45, ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425,∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22cos α－sin α1＋cos α＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－351－45＝－10 2.19．(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,已知AB ＝2,AC ＝6,∠BAC ＝60°,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且AB →＝2AD →,AC →＝5AE →.(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →,求证：点F 为DE 的中点；(2)在(1)的条件下,求BA →·EF →的值． [解] (1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →,所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →,又AB →＝2AD →,AC →＝5AE →,所以AF →＝12AD →＋12AE →,所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →),因为AB →＝2AD →,AC →＝5AE →, 所以EF →＝14AB →－110AC →,所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC →＝－14AB 2→＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos 60°＝－25.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 4x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋cos 2x －sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在所给坐标系中画出函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π，118π的图象(只作图不写过程)．[解] f (x )＝1－2sin 22x －1－2sin 2x＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π,令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2,k ∈Z ,则2k π＋π4≤2x ≤2k π＋5π4,k ∈Z ,故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2)图象如下：21．(本小题满分12分)如图,已知OP →＝(2,1),OA →＝(1,7),OB →＝(5,1),设Z 是直线OP 上的一动点．(1)求使ZA →·ZB →取最小值时的OZ →；(2)对(1)中求出的点Z ,求cos∠AZB 的值． [解] (1)∵Z 是直线OP 上的一点, ∴OZ →∥OP →.设实数t ,使OZ →＝tOP →, ∴OZ →＝t (2,1)＝(2t ,t ), 则ZA →＝OA →－OZ →＝(1,7)－(2t ,t ) ＝(1－2t,7－t ),ZB →＝OB →－OZ →＝(5,1)－(2t ,t )＝(5－2t,1－t ),∴ZA →·ZB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8. 当t ＝2时,ZA →·ZB →有最小值－8, 此时OZ →＝(2t ,t )＝(4,2)．(2)当t ＝2时,ZA →＝(1－2t,7－t )＝(－3,5), |ZA →|＝34,ZB →＝(5－2t,1－t )＝(1,－1),|ZB →|＝ 2. 故cos∠AZB ＝ZA →·ZB→|ZA →||ZB →|＝－834×2＝－417＝－41717.22．(本小题满分12分)(2019·钦州高一期末)已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有两个不相等的实数根,求m 的取值范围．[解] (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3, 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2,k ∈Z ,得k π－π12≤x ≤k π＋5π12,k ∈Z ,即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12,k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2,所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3,设X ＝2x －π3,则X ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3,f (x )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有两个不相等的实数根,即g (X )＝2sin X ＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上有两个不相等的实数根,由图象知g ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin 2π3＝2×32＝3,则要使g (X )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上有两个不相等的实数根,则3≤m＜2,即实数m的取值范围是[3,2)．- 11 -。
高中数学 模块综合检测 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.2．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于 ( )A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM解析：选D 依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA ＋OC ＝2OM ，OB ＋OD ＝2OM ，所以OA ＋OC ＋OB ＋OD ＝4OM ，故选D.3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 4．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( )A.225B ．－25 C.25D ．－225解析：选B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30° B．60° C ．120° D．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.6．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0成中心对称( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0，其中离⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可． 7．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋22D ．－2－2 2解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π4x .∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin3π4＝2＋2 2.8．如图，在四边形ABCD 中，|AB |＋|BD |＋|DC |＝4，|AB |·|BD |＋|BD |·|DC |＝4，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0，则(AB ＋DC )·AC 的值为( )A ．4B ．2C ．42D ．2 2解析：选A ∵AC ＝AB ＋BD ＋DC ，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0， ∴(AB ＋DC )·AC＝(AB ＋DC )·(AB ＋BD ＋DC )＝AB 2＋AB ·BD ＋AB ·DC ＋DC ·AB ＋DC ·BD ＋DC 2＝AB 2＋2AB ·DC ＋DC 2.∵AB ·BD ＝0，BD ·DC ＝0，∴AB ⊥BD ，DC ⊥BD ，∴AB ∥DC ， ∴AB ·DC ＝|AB ||DC |， ∴原式＝(|AB |＋|DC |)2.设|AB |＋|DC |＝x ，则|BD |＝4－x ，|BD |·x ＝4， ∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2，∴原式＝4，故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∴OB ·AB ＝0. 又AB ＝OB －OA ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：510．已知ƒ(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________.解析：因为cos α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45；ƒ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝7210. 答案：721011．在△ABC 中，已知sin A ＝10sin B sin C ，cos A ＝10cos B · cos C ，则tan A ＝________，sin 2A ＝________.解析：由sin A ＝10sin B sin C ，cos A ＝10cos B cos C 得cos A －sin A ＝10cos(B ＋C )＝－10cos A ，所以sin A ＝11cos A ，所以tan A ＝11，sin 2A ＝2sin A cos A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 1＋tan 2A＝1161. 答案：11116112．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＋1的最小正周期是________，振幅是________． 解析：f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以最小正周期为π，振幅为 2.答案：π213．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，且|2a －b |＝13，则|2a ＋b |＝________，向量a 在向量b 方向上的投影为________．解析：|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4×22－4a ·b ＋32＝13，解得a·b ＝3.因为|2a ＋b |2＝4a 2＋4a·b ＋b 2＝4×22＋4×3＋32＝37，所以|2a ＋b |＝37.向量a 在向量b 方向上的投影为a·b |b |＝33＝1. 答案：37 114．已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，∠C ＝90°，则f (x )＝________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析：依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，AB ＝1，故M ＝12，函数f (x )的最小正周期是2，即2πω＝2，ω＝π，所以f (x )＝12cos(πx ＋φ)，又函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z.由0＜φ＜π，得φ＝π2，故f (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－12sin πx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12sin π2＝－12.答案：－12sin πx －1215．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π， 所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．答案：④三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ. 解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. (2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.17．(本小题满分15分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2.解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22cos α－sin α1＋cos α＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－351－45＝－10 2.18．(本小题满分15分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]．(2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：x－π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π3π2 π3π2 2π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 0 20 －2图象如图所示．19．(本小题满分15分)已知向量OA ＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA －n )．(1)求向量OA ； (2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)∵OA ＝(cos α，sin α)， ∴OA －n ＝(cos α，sin α＋5)． ∵m ⊥(OA －n )，∴m ·(OA －n )＝0， ∴2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255，∴OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55.(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210. 又0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210. 又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22. 20．(本小题满分15分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值．解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT＝1.又ƒ⎝⎛⎭⎪⎫11π6＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋φ＝0，∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．(3)y ＝ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x＝22sin x ＋22cos x －42cos x＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴函数的最小值为－4，最大值为2.。
高中数学 模块综合测试(含解析)新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知角α的终边过点P (sin(－30°)，cos(－30°))，则角α的一个值为( D ) A ．30° B ．－30° C ．－60°D ．120°解析：P ⎝⎛⎭⎫－12，32，点P 在第二象限，sin α＝32，cos α＝－12，∴120°为角α的一个值．2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( B )A ．－53B ．－19C ．19D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2解析：f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，它在(π4，π2)上是单调递减的，图象关于原点对称，最小正周期是π，最大值为1，故B 是正确的．4．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO →的坐标为( C )A ．⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫12，－5 解析：由AD →＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵AD →＋AB →＝AC →.∴AC →＝(1,10)． ∴CO →＝－12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5.故应选C ． 5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6， cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.6．设α∈(0，π)，sin α＋cos α＝13，则cos2α的值是( C )A ．179 B ．－223C ．－179D ．179或－179解析：∵sin α＋cos α＝13，∴1＋2sin αcos α＝19，即2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－173，∴cos2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－179. 7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x ，为偶函数； 当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin2x ，为奇函数．故选B ．8．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π2，π)，则cos2β的值为( C )A ．1B ．－1C ．2425D ．－45解析：由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－35)×(－45)＋45×35＝2425.9．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( A ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，∴sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫2cos x ，22sin x ，b ＝⎝⎛⎭⎫22sin x ，2cos x ，f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将f (x )的图象( C ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：f (x )＝a ·b ＝sin x cos x ＋sin x cos x ＝sin2x . 而y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 于是只需将f (x )的图象向左平移π6个单位．故选C ．11．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是( C )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π－π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π6.由题图象知，⎝⎛⎭⎫7π12＋π6ω＝3π2，所以ω＝2.所以平移后的图象所对应的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.12．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA →＋OB →＋OC →＝0；②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0；③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0. 则点O 依次为△ABC 的( C ) A ．内心、重心、垂心 B ．重心、内心、垂心 C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在AC 和AB 上的单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝43.解析：设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －A ．代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.14．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为2 . 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2.15．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0,2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝4 030 .解析：由最大值为3知A ＝2，f (x )＝2cos 2(ωx ＋φ)＋1＝cos(2ωx ＋2φ)＋2， 由交点(0,2)及0<φ<π2知φ＝π4.∴f (x )＝2－sin2ωx . 又周期为4，∴ω＝π4.∴f (x )＝2－sin π2x ，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝503×8＋6＝4 030.16．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1.其中正确的命题是①④.解析：①由正切曲线，知点(k π，0)，(k π＋π2，0)是正切函数图象的对称中心，∴①对；②f (x )＝sin|x |不是周期函数，②错；③∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z ，∴θ2∈(k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z . 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.∴③错；④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54，∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1. ∴④对．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)tan10°＋tan170°＋sin1 866°－sin(－606°)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5＋cos 3π5 ＝⎣⎡⎦⎤cos π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5＋⎣⎡⎦⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.18．(12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求： (1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·B ．解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]， ∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间．解：(1)由题图象可知A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2，∴T ＝π，ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点(－π8，2)代入得－π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∵|φ|<π，∴φ＝34π.∴函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)．(2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(2x ＋3π4)的单调递增区间为[k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )． 20．(12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数， 所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数， 又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )， 由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0.即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25.即sin α＝45， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.21．(12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点．(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值． 解：(1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →，所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →，又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12A E →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB →＝2AD →，AC →＝5AE →， 所以EF →＝14AB →－110AC →，所以BA →·EF →＝－AB →·⎝⎛⎭⎫14AB →－110AC → ＝－14AB →2＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos60°＝－25.22.(12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值X 围． 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.word11 / 11 (2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2， 由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(53x －π6)≤1， 得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2， 故函数f (x )在[0，3π5]上的取值X 围为[－1－2，2－2]．。
高中人教A版数学必修4：模块综合测试卷 Word版含解析
模块综合测试卷班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310°∵310°是第四象限角∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( )A.23πB.34π C.56π D ．π 答案：A解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，∴sin α2＝AB 2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝23π. 3．下列函数中周期为π2的偶函数是( ) A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22xC ．y ＝tan2xD ．y ＝cos2x答案：B解析：A 中函数的周期T ＝2π4＝π2，是奇函数．B 可化为y ＝cos4x ，其周期为T ＝2π4＝π2，是偶函数．C 中T ＝π2，是奇函数，D 中T ＝2π2＝π，是偶函数．故选B. 4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2答案：A解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3. 5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD是( )A ．长方形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形答案：D解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →，且|AD →|≠|BC →|∴四边形ABCD 是梯形．6．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[2，2]答案：D解析：|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos θ，因为θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以2＋2cos θ∈[2,4]，所以|a ＋b |的取值范围是[2，2]．7．已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A ．－17B ．7 C.17D ．－7 答案：B解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34， tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝7. 8．函数f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪x －π2的部分图象是( )答案：C解析：∵f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪x －π2， ∴f (π－x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪π－x －π2＝2sin ⎪⎪⎪⎪π2－x ＝f (x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．排除A 、B 、D. 9．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 答案：A解析：y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z ) 得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4单调递减．故选A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案：A解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T 2，即T 2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π4是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π4也为对称轴．故选A. 11．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a ＋b |的最小值为( ) A.2－1 B ．2－ 2C. 2 D ．2答案：C解析：|a ＋b |＝2(x 2＋2x ＋2)≥ 2.12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33C.539 D ．－69答案：C解析：∵α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π4＋β2＝13×33＋223×63＝3＋439＝539. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π6，则a 在b 方向上的投影为__________． 答案：2 3解析：由投影公式计算：|a |cos π6＝2 3. 14．函数y ＝2sin x cos x －1，x ∈R 的值域是______．答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ，∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]． 15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 解析：由f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，则f (x )的最小值为3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3， 所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3.16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)①若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是43②函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2x 的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) ③函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x是奇函数 ④函数y ＝tan x 2－1sin x的最小正周期是π 答案：①④解析：①sin y －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，∴sin x ＝－1时，最大值为43. ②2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8. ③定义域不关于原点对称．④y ＝tan x 2－1sin x ＝－1tan x，∴T ＝π. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值． 解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34. 18．(12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0.(1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋tan A ·sin x (x ∈R )的值域．解：(1)∵m ·n ＝0，∴sin A －2cos A ＝0.∴tan A ＝sin A cos A＝2. (2)f (x )＝cos2x ＋tan A sin x ＝cos2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32. ∵－1≤sin x ≤1∴sin x ＝12时，f (x )取最大值32， sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3，∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝2 5，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )．∵|c |＝2 5，∴x 2＋y 2＝2 5，即x 2＋y 2＝20.①∵c ∥a ，a ＝(1,2)∵2x －y ＝0，即y ＝2x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4， ∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入上式得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－525×52＝－1. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.20．(12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－sin 2x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)若对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，都有f (x )≤c ，求实数c 的取值范围． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π12＝cos 2⎝⎛⎭⎫－π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－12(1－cos2x ) ＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos2x ＝12⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋32cos2x ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， 所以当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值32. 所以对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (x )≤c 等价于32≤c . 故当对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (x )≤c 时，c 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 21．(12分)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值． 解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45. 又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425.又sin2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin2β＝725，又cos 2α＝1＋cos2α2＝45， ∴cos α＝25，∴sin α＝15⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525. 22．(12分)如图，点P ⎝⎛⎭⎫0，A 2是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋φ(其中A >0，φ∈[0，π))的图象与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．解：(1)∵函数经过点P ⎝⎛⎭⎫0，A 2，∴sin φ＝12， 又∵φ∈[0，π)，且点P 在递增区间上，∴φ＝π6. (2)由(1)可知y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6.令y ＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π，(k ∈Z )，∴可得x ＝－14，54， ∴Q ⎝⎛⎭⎫－14，0，R ⎝⎛⎭⎫54，0. 又∵P ⎝⎛⎭⎫0，A 2，∴PQ →＝⎝⎛⎭⎫－14，－A 2，PR →＝⎝⎛⎭⎫54，－A 2. ∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，解得A ＝52.。
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模块综合测试卷班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310° ∵310°是第四象限角 ∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( ) A.23πB.34π C.56πD ．π 答案：A解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，∴sin α2＝AB2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝23π.3．下列函数中周期为π2的偶函数是( )A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22x C ．y ＝tan2x D ．y ＝cos2x 答案：B解析：A 中函数的周期T ＝2π4＝π2，是奇函数．B 可化为y ＝cos4x ，其周期为T ＝2π4＝π2，是偶函数．C 中T ＝π2，是奇函数，D 中T ＝2π2＝π，是偶函数．故选B. 4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2 答案：A解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3.5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 是( ) A ．长方形B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形 答案：D解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， 且|AD →|≠|BC →|∴四边形ABCD 是梯形．6．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[2，2] 答案：D解析：|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos θ，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以2＋2cos θ∈[2,4]，所以|a ＋b |的取值范围是[2，2]．7．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A ．－17B ．7C.17D ．－7 答案：B解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7. 8．函数f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2的部分图象是( )答案：C解析：∵f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2，∴f (π－x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π－x －π2＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－x ＝f (x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．排除A 、B 、D.9．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 答案：A解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z ) 得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4单调递减．故选A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案：A解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T2，即T2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π4是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π4也为对称轴．故选A.11．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a ＋b |的最小值为( ) A.2－1B ．2－ 2 C.2D ．2 答案：C解析：|a ＋b |＝2(x 2＋2x ＋2)≥ 2.12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33B ．－33C.539D ．－69 答案：C 解析：∵α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2＝13×33＋223×63＝3＋439＝539.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π6，则a 在b 方向上的投影为__________．答案：2 3解析：由投影公式计算：|a |cos π6＝2 3.14．函数y ＝2sin x cos x －1，x ∈R 的值域是______． 答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ， ∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]．15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析：由f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，则f (x )的最小值为3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)①若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是43②函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) ③函数f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x 是奇函数④函数y ＝tan x 2－1sin x的最小正周期是π答案：①④解析：①sin y －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，∴sin x ＝－1时，最大值为43.②2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8.③定义域不关于原点对称．④y ＝tan x 2－1sin x ＝－1tan x，∴T ＝π.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.18．(12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0. (1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋tan A ·sin x (x ∈R )的值域． 解：(1)∵m ·n ＝0， ∴sin A －2cos A ＝0.∴tan A ＝sin Acos A＝2.(2)f (x )＝cos2x ＋tan A sin x ＝cos2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.∵－1≤sin x ≤1∴sin x ＝12时，f (x )取最大值32，sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )．∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，即x 2＋y 2＝20.① ∵c ∥a ，a ＝(1,2)∵2x －y ＝0，即y ＝2x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入上式得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－525×52＝－1.又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π.20．(12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－sin 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值； (2)若对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，都有f (x )≤c ，求实数c 的取值范围．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－sin 2π12＝cos π6＝32.(2)f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－12(1－cos2x ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋32cos2x ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值32.所以对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 等价于32≤c .故当对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 时，c 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.21．(12分)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45， 于是sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin2β＝725，又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝25，∴sin α＝15⎝⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.22．(12分)如图，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2是函数y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋φ(其中A >0，φ∈[0，π))的图象与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．解：(1)∵函数经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴sin φ＝12， 又∵φ∈[0，π)，且点P 在递增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6.令y ＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π，(k ∈Z )，∴可得x ＝－14，54， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0. 又∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－A 2，PR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－A 2. ∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，解得A ＝52.。