复数的概念 ppt课件
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复数的概念及复数的几何意义ppt课件
几何意义
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的课件ppt
详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
高中数学复数课件
2. 减法：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 b2)i
3. 乘法：z1 * z2 = (a1 * a2 - b1 * b2) + (a1 * b2 + a2 * b1)i
4. 除法：z1 / z2 = (a1 * a2 + b1 * b2) / (a2^2 + b2^2) + (b1 * a2 a1 * b2) / (a2^2 + b2^2)i
控制系统中的传递函数和稳定 性分析也涉及到复数，是工程 和科学领域的重要数学工具。
04
复数的历史和发展
复数的发展历程
01
02
03
复数概念的产生
起源于16世纪，数学家试 图解决方程的根的问题， 发现了虚数单位i。
复数的早期应用
在电气工程、流体力学等 领域开始使用复数。
复数的普及
19世纪，数学家开始广泛 地研究复数及其性质，并 应用于数学、物理和工程 等领域。
复数的共轭和模长
01
定义
复数的共轭定义为若z=a+bi，则其共轭为z*=a-bi。复数的模长定义为
|z|=sqrt(a^2+b^2)。
02
性质
复数的共轭具有共轭的共轭等于自身、共轭的加法运算等于减法运算等
性质；复数的模长具有模长的平方等于实部和虚部的平方和等性质。
03
计算方法
计算复数的共轭和模长时，可以利用共轭和模长的性质进行计算。
高中数学复数课件
contents
目录
• 复数的基本概念 • 复数的三角形式 • 复数的应用 • 复数的历史和发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
复数的定义
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
复数课件ppt免费
02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
复数课件ppt免费
目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
数系—复数集(初等数学课件)
复数的概念
两个复数相等，即a bi c di a c,b d 当两个复数互为共轭复数时，他们的实部不变，虚部变为原来的相反数，即
z a bi z a bi （共轭复数）
如， z 5 2i 的共轭复数就是 z 5 2i
复数的概念
定义2 复数的加、乘运算定义为
a bi c di a c b d i a bic di ac bd bc adi
向量OZ 的模r 叫做复数 z a bi 的模，记作 z 或a bi ，且 z a bi r a2 b2
复数的表示形式
2、三角形式
设复数 z a bi 的模 z r ，则 z r a b i ，令cos a ,sin b ，则 z rcos isin ，
r r
r
r
把 z rcos isin 称为复数 z a bi 的三角形式， 称为复数z a bi 的辐角。
减法、除法定义为
a bi- c di a - c b - d i
a
bi
c
di
ac
c2
bd d2
bc - ad
c2 d2
i
复数的加、乘运算满足交换律、结合律和分配律
复数的表示形式
1、几何与向量表示
复数 z a bi 与直角坐标平面内的点Za,b
一一对应，以原点O 为起点、Z 为终点的
向量OZ 一一对应，向量OZ 表示复数 z a bi ，
z rcos isin r 0有且只有n 个相等的n 次方根：
wk
n
r cos
2k n
isin
2k n
，k
0,1,2,, n
1
性质 3 复数集是不可数集。（实数集是不可数集，而实数集是复数集的子
《复数的概念》课件
乘法与除法
总结词
理解复数的乘法与除法规则，掌握与共轭复数相关的运算方 法。
详细描述
复数的乘法与除法可以通过将分母转化为共轭复数并约分来 实现。例如，对于两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，其乘积为 $(ac-bd) + (ad+bc)i$，除法运算则需要利 用共轭复数进行化简。
共轭复数与模运算
总结词
理解共轭复数的概念，掌握模运算的方法。
详细描述
共轭复数是改变一个复数的虚部的符号得到的复数。模运算则用于表示一个复数 的大小，定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，其中 $z = a + bi$。模运算在解决 实际问题中具有广泛的应用，如物理、工程等领域。
03
复数可以用向量表示，向量的起点为 原点，终点为复平面上对应点的位置 。
02
复数的运算
加法与减法
总结词
理解复数的加法与减法规则，掌握实部与虚部的运算方法。
详细描述
复数的加法与减法可以通过实部和虚部分别进行运算，最终合并结果。例如， 对于两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，其和或差为 $(a+c) + (b+d)i$ 或 $(a-c) + (b-d)i$。
02
复数可以用来表示具有实数和虚 数部分的量，广泛应用于数学、 物理、工程等领域。
复数的形式
01
02
03
代数形式
复数可以用实部和虚部的 形式表示，如z=a+bi，其 中a和b是实数，i是虚数 单位。
三角形式
复数可以用模长和幅角的 形式表示，如z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长，θ是 幅角。
复数PPT课件
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数 Z m 2 m 2 ( m 2 1 ) i是
（1）实数;（2）虚数 ;（3）纯虚数.
(1)m1; (2)m1; (3)m2.
4、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就
说这两个复数相等．即如果 a,b,c,dR ，那么
a b i c d i a c ,b d
特别地，a+bi=0 a0,b0. 注： 两个复数（除实数外）只能说相等或不相 等，而不能比较大小.
5、共轭复数
实部相等,虚部互为相反数的两个复数 互为共轭复数.
第
①解决实际问题的需要 由于计数的需要产生了自然数；为了表示具
有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的 需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如 正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生 了无理数（既无限不循环小数）。
②解方程的需要。
为了使方程 x+5=3 有解，就引进了负数； 为了使方程 3x=5 有解，就要引进分数；为了 使方程 x2=2 有解，就要引进无理数。
二、实数集的进一步扩展
——— 数集的第四次扩展（R→?） 问题2 : 解方程 x²= - 2
x 2i,x2i
问题3 解方程 (x +1)²=-2
x 12 i,x 12 i
二、复数
1、复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位. 全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
《复数基础知识》课件
02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。
小学名词复数ppt课件
02
常见名词复数形式解析
规则变化
一般情况下，在名词词尾加-s
cat → cats，dog → dogs。
以s，x，ch，sh结尾的名词，在词尾加-es
bus → buses，box → boxes，watch → watches，brush → brushes。
以“辅音字母+y”结尾的名词，变y为i再加-es
名词复数词尾-es读作/iz/。
注意事项
不规则变化
有些名词的复数形式是不规则的，需 要单独记忆。例如：child→children， foot→feet等。
不可数名词
集体名词
有些名词表示一个整体概念时，谓语 动词用单数；表示成员时，谓语动词 用复数。例如：family，class等。
有些名词是不可数的，没有复数形式。 例如：water，milk等。
外来语的复数形式
有些外来语保持其原有的复数形式：alumni（校友），criteria（标准）。
03
名词复数在句子中运用
主语与谓语一致性原则
主语为复数名词时，谓语动词要用复数 形式。
不可数名词或单数名词作主语时，谓语 动词用单数形式。
由and连接的并列主语，如果表示的是 同一概念或同一人、事物，谓语动词用 单数形式；如果表示的是两个不同的概 念或不同的人、事物，谓语动词用复数
She has two tooths. (改为
She has two teeth.)
They buyed some potatos fr…
They bought some potatoes from the shop.)
06
总结回顾与拓展延伸
重点内容回顾
名词复数的定义
第六章 第四节 复数 课件(共35张PPT)
[友情提示] 每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验， 认真对待它们吧！进入“课时作业(三十二)”，去收获希望，体验成功！本栏 目内容以活页形式分册装订！
为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的
点分别为 A，B，C，若O→C ＝λO→A ＋μO→B ，(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值是
16
＋11＋ －ii
6
＝________．
解析：
原式＝1－2i
2
8
＋11＋－ii
6
＝－22i
8
＋i6＝i8＋i6＝i4×2＋i4＋2＝1＋i2＝0.
答案： 0
复数代数形式运算问题的解题策略 复数的 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实 加减法 部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可 复数的 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的
≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3∈C，有 z1＋z2＝ __z2_＋__z_1_，(z1＋z2)＋z3＝___z_1_＋__(z_2_＋__z_3)___．
复数代数运算中常用的几个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；11＋－ii ＝i；11－＋ii ＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. (4)z· z ＝|z|2＝| z |2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12 ＝||zz12|| ，|zn|＝|z|n.
复数的概念ppt课件
（1）它的平方等于 -1，即 i 2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时， 原有的加、乘运算律仍然成立．
复数
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
C {a bi | a,b R}
复数的代数形式
通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
3.若 z＝(x2－1)2＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．－1 或 1
请您欣赏
励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
x与 y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
所以 x 5 , y 4
2
练习：
(1)若5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则x＝ ________，y＝________.
(2)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R， i为虚数单位．求实数x，y的值． （3）当x是实数时,若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0， 求x的值.
谢谢！
复数间的关系
复数
a bi
0(a 0，b 0)
实数(b 0)
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时， 原有的加、乘运算律仍然成立．
复数
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
C {a bi | a,b R}
复数的代数形式
通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
3.若 z＝(x2－1)2＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．－1 或 1
请您欣赏
励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
x与 y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
所以 x 5 , y 4
2
练习：
(1)若5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则x＝ ________，y＝________.
(2)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R， i为虚数单位．求实数x，y的值． （3）当x是实数时,若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0， 求x的值.
谢谢！
复数间的关系
复数
a bi
0(a 0，b 0)
实数(b 0)
复数的公开课课件
在量子力学中的应用
要点一
总结词
复数是量子力学中不可或缺的工具，用于描述微观粒子的 状态和行为。
要点二
详细描述
在量子力学中，波函数通常用复数表示，它描述了微观粒 子的状态和行为。通过使用复数，可以方便地计算微观粒 子的能量、动量和角动量等物理量。此外，量子力学中的 许多重要公式和定理也涉及到复数运算，如薛定谔方程和 海森堡不确定性原理等。
总结词
掌握复数乘方与开方的性质和规则。
详细描述
复数乘方的性质包括分配律、结合律和指数律等，这些性 质在复数乘方运算中非常重要。开方运算的性质包括存在 性和唯一性等，这些性质决定了开方运算的可行性。
总结词
理解复数乘方与开方在数学和工程中的应用。
详细描述
复数乘方与开方在数学分析、电路分析、信号处理等领域 有广泛的应用。例如，在电路分析中，阻抗和导纳的计算 需要用到复数的乘方与开方运算。
复数的幂级数展开
总结词
掌握幂级数展开的原理和运算方法。
详细描述
幂级数展开的原理是将一个函数表示为无穷多个幂函数的和，然后通过求和的方式计算 出函数的值。在实际计算中，通常会选择合适的幂函数来近似表示复杂的函数，然后通
过求和的方式计算出近似的函数值。
复数的幂级数展开
总结词
理解幂级数展开在数学和工程中的应用。
复数在现代数学中的地位
01
复数是代数、几何和三角学的重 要基础，是解决许多数学问题的 关键工具。
02
复数在量子力学、电气工程等领 域中也有着广泛的应用，是现代 科学和技术发展的重要支撑。
复数在其他学科中的应用
物理学
在量子力学和电磁学中， 复数是描述波动和振动的 常用工具。
工程学
复数ppt课件七彩课堂
物理量。
复数可以方便地表示正弦波和余 弦波，这有助于理解和分析交流
电路的工作原理。
复数还可以用于计算电路中的频 率响应和稳定性，这对于电子设 备和通信系统的设计至关重要。
光学
在光学中，复数被用于描述光的 波动性质和干涉现象。
光的波动方程通常用复数表示， 这有助于理解和分析光的传播和
干涉。
复数在光学中还被用于描述光波 的相位、振幅和偏振等物理量， 这些是控制光学现象的关键因素
03
交流电机控制
交流电机是现代工业和生活中常见的设备，如空调、洗衣机等。复数在
交流电机控制中发挥了重要作用，可以通过复数计算电机的电压和电流
，实现精确控制。
振动和波动
振动分析
振动是自然界和工程中常见的现象，如地震、机械振动等。 复数可以用于描述振动信号的幅值和频率，通过复数分析， 我们可以了解振动的性质和规律。
。
复数在现代科技中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数通常是复数，复数在描述 微观粒子的状态中发挥了重要作用。
电路分析
在电子工程中，复数是电路分析的基础，用于描 述交流电的特性和行为。
控制理论
在控制工程中，系统的稳定性常常通过分析复数 特征根来判定，复数在其中具有关键作用。
THANKS
感谢观看
流体动力学
在航空航天工程中，复数用于描述流 体动力学的波动现象，如声波和湍流 。
06 复数的历史和发 展
早期的复数概念
复数萌芽
早在文艺复兴时期，数学家们开 始意识到实数体系的不完备性， 尝试引入虚数来弥补这一缺陷。
欧拉与复数
欧拉是复数领域的先驱，他首次系 统地研究了复数的性质，并为其命 名。
复数的几何解释
复数可以方便地表示正弦波和余 弦波，这有助于理解和分析交流
电路的工作原理。
复数还可以用于计算电路中的频 率响应和稳定性，这对于电子设 备和通信系统的设计至关重要。
光学
在光学中，复数被用于描述光的 波动性质和干涉现象。
光的波动方程通常用复数表示， 这有助于理解和分析光的传播和
干涉。
复数在光学中还被用于描述光波 的相位、振幅和偏振等物理量， 这些是控制光学现象的关键因素
03
交流电机控制
交流电机是现代工业和生活中常见的设备，如空调、洗衣机等。复数在
交流电机控制中发挥了重要作用，可以通过复数计算电机的电压和电流
，实现精确控制。
振动和波动
振动分析
振动是自然界和工程中常见的现象，如地震、机械振动等。 复数可以用于描述振动信号的幅值和频率，通过复数分析， 我们可以了解振动的性质和规律。
。
复数在现代科技中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数通常是复数，复数在描述 微观粒子的状态中发挥了重要作用。
电路分析
在电子工程中，复数是电路分析的基础，用于描 述交流电的特性和行为。
控制理论
在控制工程中，系统的稳定性常常通过分析复数 特征根来判定，复数在其中具有关键作用。
THANKS
感谢观看
流体动力学
在航空航天工程中，复数用于描述流 体动力学的波动现象，如声波和湍流 。
06 复数的历史和发 展
早期的复数概念
复数萌芽
早在文艺复兴时期，数学家们开 始意识到实数体系的不完备性， 尝试引入虚数来弥补这一缺陷。
欧拉与复数
欧拉是复数领域的先驱，他首次系 统地研究了复数的性质，并为其命 名。
复数的几何解释
复数的有关概念PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
……
复数的有关概念
问题一 问题二 问题三 问题四 课堂小结
问题一：
对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈ R)， 你认为满足什么条件时，可以说这两个 复数相等？
a=c,并且b=d，即实部与虚部分别 相等时，叫这两个复数相等。
记作a+bi=c+di。 复数相等的内涵：
复数a+bi可用有序实数对(a,b)表示。
(简Байду номын сангаас复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
概念辨析
例题
实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值
实数a在数轴上所 对应的点A到原点O 的距离。
a
(复数的模) 的几何意义:
复数 z=a+bi在复 平面上对应的点Z(a,b) 到原点的距离。
y
O
A
X
z=a+bi
a (a 0)
|
a
|
=
|
OA
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
复数的概念ppt
第三章 复数
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汇报人姓名
3·1·1数系的扩充和复数的概念
感谢观看
添加副标题
为什么要进行数的需要产生了自然数；为了表示具
有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的
需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如
正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生
了无理数（既无限不循环小数）。
x = - 1 + , x = -1 -
问题3 解方程 (x +1)²=-2
二、实数集的进一步扩展
对于复数 z = a+bi (a、bR） i 称为虚数单位 a 叫做复数 z的实部，记作Re z, 即 a =Re z b 叫做复数 z的虚部，记作Imz , 即 b= Im z
二、实数集的进一步扩展 ——— 数集的第四次扩展（R→?）
所以 x² ＝ - 2 的解为 x = ，x = -
问题2 : 解方程 x² = - 2
引入虚数单位 i 后进一步规定： i 可以与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、减、乘运算律仍成立。
04
为了使方程 有解，就必须把实数概念进一步扩
05
大，这就必须引进新的数。
即i2=-1
——— 数集的第四次扩充（R→?）
二、实数集的进一步扩充
所以方程 x²= -1 的解为 x = i 或 x = - i 引入一个数i ，使得该数的平方等于－1
问题1: 解方程 x² ＝ -1
对于复数 z = a+bi (a、bR） 当b=0时， z = a 是实数 当b0时， z = a+bi不是实数，称为虚数 当b0且a=0时， z = bi , 称为纯虚数
定义: 形如a+bi(a、bR）的数 z 称为复数
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3·1·1数系的扩充和复数的概念
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为什么要进行数的需要产生了自然数；为了表示具
有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的
需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如
正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生
了无理数（既无限不循环小数）。
x = - 1 + , x = -1 -
问题3 解方程 (x +1)²=-2
二、实数集的进一步扩展
对于复数 z = a+bi (a、bR） i 称为虚数单位 a 叫做复数 z的实部，记作Re z, 即 a =Re z b 叫做复数 z的虚部，记作Imz , 即 b= Im z
二、实数集的进一步扩展 ——— 数集的第四次扩展（R→?）
所以 x² ＝ - 2 的解为 x = ，x = -
问题2 : 解方程 x² = - 2
引入虚数单位 i 后进一步规定： i 可以与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、减、乘运算律仍成立。
04
为了使方程 有解，就必须把实数概念进一步扩
05
大，这就必须引进新的数。
即i2=-1
——— 数集的第四次扩充（R→?）
二、实数集的进一步扩充
所以方程 x²= -1 的解为 x = i 或 x = - i 引入一个数i ，使得该数的平方等于－1
问题1: 解方程 x² ＝ -1
对于复数 z = a+bi (a、bR） 当b=0时， z = a 是实数 当b0时， z = a+bi不是实数，称为虚数 当b0且a=0时， z = bi , 称为纯虚数
定义: 形如a+bi(a、bR）的数 z 称为复数
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复数 za+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi
如 35i与 35i 3i与3i
z
例5、写出下列复数的共轭复数：
(1) z1 25i
31 (2) z2 2 2 i
(3) z3 7i
(4)
z4
5 3 2
实数的共轭复数就是它本身
练习：P62练习2
写出下列复数的共轭复数：
(1)
z1
x 2, y 2
1.虚数单位i的引入；
小结:
2.复数有关概念：
复数的代数形式: z a b(a i R ,b R )
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
ab icd i ba
c d
共轭复数
叫做复数集，一般用字母C表示 .
虚数集
复数集
纯虚数集
实数集
例1 以下各数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些 是虚数，哪些是纯虚数？
0 ， 2 + 3 i ， 6 i ， 7 ， - 1 i ， 1 + 5 ， ( 3 2 ) i ， i
例2、指出下列复数的实部与虚部
(1 ) 1 + i (2 ) 3i (3 )12 i (4 )8
(1 )1 i； (2 ) 6 i； (3 )1 4 i； (4 )5 .
2
2
3 、 实数m取什么值时，复数 (m+1)(m6)i
分别是实数、虚数、纯虚数？
3、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么 我们就说这两个复数相等．
若 a,b,c,dR,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a c
ab icdib d
特别地： abi0 a0， b0
6+
1 3
i
(2) z2 7i
(3)
z3
5+2i 7
(4) z4
例6 若 (x1)yi和 (3x1)2i 是共轭复数，
求实数 x， y 的值。
解：根据共轭复数的定义，得方程组 x 1 3x 1 y 2
解得 x1,y2
练习
1.已知 (2x-1) + i = y -(3-y)i ,其中 x , y ∈R,求 x 与 y .
有了虚数单位 i ，任何负数都能开平方．
（1）2 =（1）2 i2 1 1的平方根为 i ；
（ 2）2 =（ 2）2 i2 4 4的平方根为 2i
复数的概念
形如 a bi (a，bR) 的数叫做复数.
实部 虚部
a 叫做复数的实部， b 叫做复数的虚部
当 b 0 时， a bi=a ，这时它是一个实数
例4：求下列等式中的实数a，b的值
(1)a3i1bi
(2)1a(b2)i0 (3 )(a b ) (a b )i 6 i
练习：P62练习1
求下列等式中的实数a，b的值
(1)abi37i
(2)1abi5 17i
(3 )(a b ) (a b )i 1 7 i
4. 共轭复数 实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为共轭 复数.
§17.1复数的概念
数系的扩充过程 .
①
分数
分数
复习回顾
自然数
②
负数
整数
有理数 无理数 ③
实数
①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。
②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。
③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。
④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数， 才能解决这个矛盾呢？
复习回顾
数 系 的 扩 充
自然数 整数
有理数 实数 ？
用图形表示包含关系：
RQ Z N
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
德国数学家高斯规定：
i2 1
其 中 " i " 不 是 实 数 ， 不 表 示 具 体 的 数 量 ， 称为虚数单位
2
5
例3 实数m取什么值时，复数 (m2)(m5)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
练习：P60练习1、2、3
1 以下各数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是 虚数，哪些是纯虚数？
7 5 i， 3 i， 9 27 ， 6 ， 2 i， i， 1 +3 2
2、指出下列复数的实部与虚部
实数是一类特殊的复数（虚部为零的复数） 相对地，把虚部不为0的复数叫做虚数
其中实部为 0 的虚数 bi 叫做纯虚数
实数和虚数统称为复数
实数b 0
复数zabi
纯虚数a 0，b 0
虚数b 0
非纯虚数a 0，b 0
全体复数所形成的集合 { z|z a b i， a R ， b R }
2x 1 y 1 (3 y)
x 5,y4 2
2.已知 x+2y-5 + (x-y+1)i =0,求实数 x 与 y 的值.
x 2y 5 0
x 1
x y 1 0
y
2
3.已知 (2x-1) + i 与 y -(3-y)i 是共轭复数,其中 x , y ∈R,
求x与y.
2x 1 y 1 3 y
如 35i与 35i 3i与3i
z
例5、写出下列复数的共轭复数：
(1) z1 25i
31 (2) z2 2 2 i
(3) z3 7i
(4)
z4
5 3 2
实数的共轭复数就是它本身
练习：P62练习2
写出下列复数的共轭复数：
(1)
z1
x 2, y 2
1.虚数单位i的引入；
小结:
2.复数有关概念：
复数的代数形式: z a b(a i R ,b R )
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
ab icd i ba
c d
共轭复数
叫做复数集，一般用字母C表示 .
虚数集
复数集
纯虚数集
实数集
例1 以下各数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些 是虚数，哪些是纯虚数？
0 ， 2 + 3 i ， 6 i ， 7 ， - 1 i ， 1 + 5 ， ( 3 2 ) i ， i
例2、指出下列复数的实部与虚部
(1 ) 1 + i (2 ) 3i (3 )12 i (4 )8
(1 )1 i； (2 ) 6 i； (3 )1 4 i； (4 )5 .
2
2
3 、 实数m取什么值时，复数 (m+1)(m6)i
分别是实数、虚数、纯虚数？
3、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么 我们就说这两个复数相等．
若 a,b,c,dR,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a c
ab icdib d
特别地： abi0 a0， b0
6+
1 3
i
(2) z2 7i
(3)
z3
5+2i 7
(4) z4
例6 若 (x1)yi和 (3x1)2i 是共轭复数，
求实数 x， y 的值。
解：根据共轭复数的定义，得方程组 x 1 3x 1 y 2
解得 x1,y2
练习
1.已知 (2x-1) + i = y -(3-y)i ,其中 x , y ∈R,求 x 与 y .
有了虚数单位 i ，任何负数都能开平方．
（1）2 =（1）2 i2 1 1的平方根为 i ；
（ 2）2 =（ 2）2 i2 4 4的平方根为 2i
复数的概念
形如 a bi (a，bR) 的数叫做复数.
实部 虚部
a 叫做复数的实部， b 叫做复数的虚部
当 b 0 时， a bi=a ，这时它是一个实数
例4：求下列等式中的实数a，b的值
(1)a3i1bi
(2)1a(b2)i0 (3 )(a b ) (a b )i 6 i
练习：P62练习1
求下列等式中的实数a，b的值
(1)abi37i
(2)1abi5 17i
(3 )(a b ) (a b )i 1 7 i
4. 共轭复数 实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为共轭 复数.
§17.1复数的概念
数系的扩充过程 .
①
分数
分数
复习回顾
自然数
②
负数
整数
有理数 无理数 ③
实数
①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。
②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。
③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。
④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数， 才能解决这个矛盾呢？
复习回顾
数 系 的 扩 充
自然数 整数
有理数 实数 ？
用图形表示包含关系：
RQ Z N
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
德国数学家高斯规定：
i2 1
其 中 " i " 不 是 实 数 ， 不 表 示 具 体 的 数 量 ， 称为虚数单位
2
5
例3 实数m取什么值时，复数 (m2)(m5)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
练习：P60练习1、2、3
1 以下各数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是 虚数，哪些是纯虚数？
7 5 i， 3 i， 9 27 ， 6 ， 2 i， i， 1 +3 2
2、指出下列复数的实部与虚部
实数是一类特殊的复数（虚部为零的复数） 相对地，把虚部不为0的复数叫做虚数
其中实部为 0 的虚数 bi 叫做纯虚数
实数和虚数统称为复数
实数b 0
复数zabi
纯虚数a 0，b 0
虚数b 0
非纯虚数a 0，b 0
全体复数所形成的集合 { z|z a b i， a R ， b R }
2x 1 y 1 (3 y)
x 5,y4 2
2.已知 x+2y-5 + (x-y+1)i =0,求实数 x 与 y 的值.
x 2y 5 0
x 1
x y 1 0
y
2
3.已知 (2x-1) + i 与 y -(3-y)i 是共轭复数,其中 x , y ∈R,
求x与y.
2x 1 y 1 3 y