2019高考数学解专项练3应用题
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从而 x2+ y2= 2 x+ 6 3 2+ y- 6 2, 化简整理得 ( x+8 3) 2+( y- 8) 2= 64, 所以所求路径是以点 ( - 8 3,8) 为圆心, 8 为半径的圆, 其方程为 ( x+8 3) 2+ ( y- 8) 2= 64.
(2) 由 (1) 得,点 ( - 8 3, 8) 到直线
当 a 变化时, f ′(a) , f ( a) 的变化情况如下表:
3
3
3
a
1, 2
2
2, 2
f ′(a)
+
0
-
f ( a)
↗
极大值
↘
3 所以当 a= 时, f ( a) = max f
2
3 49
7
2
= 16,即
Smax= . 4
答 窗口 ABCD面积的最大值为 7 m2. 4
方法二 设 AB所在的木条长为 a m, BC所在的木条长为 b m. 由条件知, 2a+ 2b= 6,
设 PA= x, x∈(0,6) , AH= y, y∈(0,2 5) ,则
PB= 6- x, HB=2 5-y, PH2= x2-y2= (6 - x) 2- (2 5-y) 2,
∴3x- 5y= 4,
PH= x2- y2=
- 4y2+ 8 5y+ 16 ,
9
当 y= 5时, PH最大,此时 x=3,
(2) 若满足 3x- y+ 40<0 的点 ( x, y) 组成的区域是公海,试问海警执法舰是否一定能在我国 领海内截获走私船?若能,请说明理由;若不能,则需要使用巡逻艇进行快速追击,请问巡 逻艇的速度至少应为走私船速度的几倍才能在我国领海内截获走私船?
解 (1) 由条件可得,点 A 的坐标为 ( - 6 3, 6) , 设走私船在点 P( x, y) 处被海警执法舰截获,则 PO=2PA,
HM 1-x 得 DH= 2 = 2 , ∴ HG=3- 2DH=2+ x, ∴ S( x) = HM· HG= (1 - x)(2 + x) =- x2- x+2.
5 当 1<x<2时,过 E 作 ET⊥MN于 T,连结 EN( 如图 ) ,
MN 则 ET= x- 1, TN= 2 =
3 2
2- ( x- 1) 2=
94-( x- 1) 2,
∴ MN=2
9 -
(
x
-
1
)
2,
4
∴ S( x) = MN· ET= 2
9 -
(
x-
1)
2·
(
x-
1)
,
4
- x2-x+ 2,0≤ x<1,
综上, S( x) = 2( x- 1)
94-(
x-
1)
2,
5 1<x<2.
(2) ①当
0≤ x<1 时, S( x) =- x2- x+ 2=-
π 一个半径为 2 百米,圆心角为 3 的扇形展示区的平面示意图
. 点 C是半径 OB上一点 ( 异于 O,
B 两点 ) ,点 D是圆弧 AB上一点,且 CD∥ OA. 为了实现“以展养展”,现在决定:在线段
OC、
线段 CD及圆弧 DB三段所示位置设立广告位, 经测算广告位出租收入是: 线段 OC处每百米为
围;
(2) 若四根木条总长为 6 m,求窗口 ABCD面积的最大值 .
解 (1) 设一根木条长为 x m,
则正方形的边长为 2
1-
x 2
2=
4- x2 m.
1 因为 S四边形 > ABCD 4,所以
4-
x2
>
1 ,即
x<
4
15 2.
又因为四根木条将圆分成 9 个区域,所以 x> 2,
所以 4 2< 4x< 2 15.
3x-y+ 40= 0 的距离为 | - 8
3× 3- 8+ 40|
2
=4<8,
故直线与圆相交,
说明海警执法舰不一定能在我国领海内截获走私船
.
设巡逻艇的速率为走私船速度的 t ( t >2) 倍,
此时有 x2+ y2=t x+ 6 3 2+ y- 6 2,
化简得 ( t 2- 1) x2+( t 2- 1) y2+ 12 3t 2x- 12t 2y+ 144t 2=0,
米,梯形的高为 1 米, CD为 3 米,上部 CmD 是个半圆,固定点 E 为 CD的中点 . MN是由电
脑控制可以上下滑动的伸缩横杆 ( 横杆面积可忽略不计 ) ,且滑动过程中始终保持和 CD平行 . 当 MN位于 CD下方和上方时,通风窗的形状均为矩形 MNG(H阴影部分均不通风 ).
5 (1) 设 MN与 AB之间的距离为 x 0≤ x<2且 x≠1 米,试将通风窗的通风面积 S( 平方米 ) 表示成
令
f
′(x)
= 0,得
x=
π .
6
当 x 变化时, f ′(x) , f ( x) 的变化如下表:
x
0,
π 6
f ′(x)
+
f ( x)
↗
π 6
0
极大值
π6 ,
π 3
-
↘
π 所以 f ( x) 在 x= 6 处取得极大值,这个极大值就是最大值,即
f
π 6 =2
3+
π 6
a.
所以当
x=
π 6
时广告位出租的总收入最大,最大值为
答 四根木条总长的取值范围为 (4 2, 2 15).
(2) 方法一 设 AB所在的木条长为 a m,则 BC所在的木条长为 (3 - a)m.
因为 a∈(0,2) , 3- a∈(0,2) ,所以 a∈(1,2).
窗口 ABCD的面积 S= 4
a2 1- 4 ·
1-
3- a 4
2
= 4- a2· 4- 3- a 2
S
3h+
(m). h
2. 某宾馆在装修时,为了美观,欲将客户的窗户设计成半径为
1 m 的圆形,并用四根木条将
圆分成如图所示的 9 个区域,其中四边形 ABCD为中心在圆心的矩形,现计划将矩形 ABCD区
域设计为可推拉的窗口 .
(1) 若窗口 ABCD为正方形,且面积大于
1 4
m
2(
木条宽度忽略不计
) ,求四根木条总长的取值范
即 a+b= 3.
因为 a, b∈(0,2) ,
所以 b= 3- a∈(0,2) ,
从而 a, b∈(1,2).
由于 AB= 2
b2 1- , BC= 2
4
a2 1- 4 ,
S = 4 矩形 ABCD
b2 1- 4
a2 1- 4 =
4- b2
4- a2,
因为
4- b2
4- a2≤ 8-
a2 + b2
3
x+ a× 4 3sin 3
π
π
3 -x +2 3 -x
= 2a×
3sin
x+ cos
x-
x+
π 3
,x∈
0,
π 3
.
π (2) 记 f ( x) = 2a× 3sin x+ cos x- x+ 3 ,
则 f ′(x) = 2a×( 3cos x- sin x- 1)
π
π
= 2a× 2cos x+ 6 - 1 , x∈ 0, 3 .
关于 x 的函数
y= S( x) ;
(2) 当 MN与 AB之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积
S 取得最大值?
解 (1) 当 0≤ x<1 时,过 A 作 AK⊥ CD于 K( 如图 ) ,
CD- AB 1 则 AK= 1, DK= 2 = 2, HM= 1- x,
AK MH 由 DK=DH= 2,
在△
OCD中,∠
2π OCD= 3 ,∠
COD=
π 3
-
x,
OD=
2
Байду номын сангаас
百米,
OC
CD
2
43
由正弦定理得 sin x=
π
=
2π= 3 ,
sin 3 - x sin 3
43 得 OC= 3 sin x 百米,
43 CD= 3 sin
π 3
-
x
百米 .
又圆弧
DB长为
2
π 3
-
x
百米
.
43 所以 y= 2a× sin
6 3t 2 6t 2
12t
其圆心坐标为 - t 2 -1 ,t 2- 1 ,半径为 t 2- 1.
6 3t 2
6t 2
由
- t 2- 1 ×
3- t 2- 1+ 40 2
12t ≥t 2- 1和 t >2,得
2t 2- 3t -5≥0,
5 所以 t ≥ 2,
故巡逻艇的速度至少应为走私船速度的 2.5 倍才能在我国领海内截获走私船 . 6.(2018 ·常熟调研 ) 如图所示的自动通风设施 . 该设施的下部 ABCD是等腰梯形, 其中 AB为 2
因为
1 S= 2
2h x+ x+tan α
· h,
Sh 则 x=h- tan α,
则 l =f ( α ) = 2DC+ AD
S
2
1
π
= h+ h sin α - tan α 0< α < 2 .
- 2cos α -1
1- 2cos α
(2) f ′(α ) = h·
sin 2α - sin 2 α = h·
即板材放置时,沿中间折叠,使得 PA= PB.
5. 在我国某海域 O处有一海警执法舰发现位于北偏西 60°的 A处有一艘走私船, 并测得 O,A
两点相距 12 海里,且走私船行驶速度是海警执法舰行驶速度的一半
. 现以点 O为坐标原点,
东西方向为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系 .
(1) 若两者均沿直线匀速行驶,求走私船能被海警执法舰截获的路径的曲线方程;
2 3+π6 a 元 .
4.(2018 ·连云港质检 ) 如图 (1) 是一直角墙角,∠ AOB=90°,墙角的两堵墙面和地面两两互 相垂直 . ABCD是一块长 AB为 6 米,宽 BC为 2 米的板材,现欲用板材与墙角围成一个直棱柱
空间堆放谷物 .
(1) 若按如图 (1) 放置,如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大?
sin
2
α
,
1- 2cos α
π
令 f ′(α ) = h·
sin
2
α
= 0,得 α = . 3
当 α 变化时, f ′(α ) ,f ( α ) 的变化情况如下表:
α
0, π
π
3
3
f ′(α )
-
0
f ( α)
↘
极小值
π,π 32
+ ↗
所以 l = min f
π
S
3 = 3h+h.
答 当 α = π3 时, l 取最小值
1 x+2
2+
9 在
[
0,1)
上单调递减,
4
∴ S( x) = max S( 0) = 2.
②当
5 1<x<2时,
S(
x
)
=
2(
x-
1)
9 -
(
x-1)
2≤
4
(
x
-
1
)
2+
9 4
-
(
x
-
1
)
2
9
2·
2
= 4,
当且仅当 ( x- 1) =
9 -
(
x-1)
2,
4
.
∵∠ AOB=90°,
1
x2+ y2
∴ S = △AOB 2xy≤ 4 = 9,
当且仅当 x= y= 3 2时取到等号 . 即板材放置时,使得板材与墙面 OA成 45°角 . (2) 因为直四棱柱的高为定值,故底面面积最大时体积最大,又 的最大值 .
S△AOB为定值,只需寻找 S△APB
又在△ APB中, AB= 2 5,只需寻找 AB边上高的最大值即可 . 如图,作 PH⊥ AB于点 H,
2a 元,线段 CD及圆弧 DB处每百米均为 a 元. 设∠ AOD= x 弧度, 广告位出租的总收入为 y 元.
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2) 试问 x 为何值时,广告位出租的总收入最大,并求出其最大值
.
解 (1) 因为 CD∥ OA,所以∠ ODC=∠ AOD= x 弧度,
(2) 由于墙面使用受限, OA面只能使用 2 米,OB面只能使用 4 米 . 此矩形板材可以折叠围成一
个直四棱柱空间,如图 (2) ,如何折叠板材才能使这个空间最大? 解 (1) 设 OA=x, OB= y, x, y∈(0,6) ,且 x2+ y2= 36,
因为直三棱柱的高为定值,故底面面积最大时体积最大
3. 应用题
1. 某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门
BADC( 如图 ). 设计要求
彩门的面积为 S( 单位: m2) ,高为 h( 单位: m)( S, h 为常数 ). 彩门的下底 BC固定在广场底面
上,上底和两腰由不锈钢支架组成, 设腰和下底的夹底为 α,不锈钢支架的长度之和记为 l .
= a4- 6a3+ a2+ 24a- 20, 设 f ( a) = a4- 6a3+ a2+ 24a-20, 则 f ′(a) = 4a3-18a2+ 2a+24= 2( a+1)(2 a-3)( a- 4) ,
3 令 f ′(a) = 0,得 a= 2或 a=- 1( 舍去 ) 或 a= 4( 舍去 ).
(1) 请将 l 表示成关于 α 的函数 l =f ( α ) ;
(2) 问:当 α 为何值时 l 最小,并求最小值 .
解 (1) 过 D作 DH⊥ BC于点 H,则∠ DCB= α 0< α <π2 , DH=h,设 AD= x.
h
h
2h
则 DC= sin α, CH= tan α , BC= x+ tan α.
8- ≤
a+ b 2 27 =,
2
2
4
3 当且仅当 a= b= 2∈(1,2) 时,
7
S
矩形
= ABCD
为最大值 4
.
答 窗口 ABCD面积的最大值为 7 m2. 4
3.(2018 ·江苏省启东中学模拟 ) 为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆,展示江苏省启东中
学九十年来的办学成果及优秀校友风采,学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区,如图,是