2018高中数学必修1课件：3.2.2 函数模型的应用举例 第1课时 一次函数、二次函数、幂函数模型

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义 域. (2)求羊群年增长量的最大值. (3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.
【解题指南】(1)根据成正比，比例系数为k，利用待 定系数法列出函数关系式. (2)根据得到的函数关系式寻找求最值的方法. (3)根据函数的定义域列不等式求k的取值范围.
(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲，y乙与购 买台数x之间的函数关系式. (2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合 算？
【y乙解=析51】00(1x)(yx甲∈=N)64.
000x,0 200x 18
x 10, 000, x
11.
(2)当x≤10时，显然y甲>y乙；
当x>10时，令y甲>y乙，即4200x+18000>5100x，
第二步：引进数学符号，建立数学模型. 一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相 关辅助变量，并用x，y和辅助变量表示各相关量，然 后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理 知识及其他相关知识建立关系式，将实际问题转化为 函数问题，即所谓建立数学模型.
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数 学模型)予以解答，求得其解. 第四步：将所得数学问题的解再转译成具体问题的结 果.
蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即
0<x+y<m.
m
km
因为当x= 2时，ymax= 4 ， m km
所以0< 2 + 4<m，解得-2<k<2.
又因为k>0，所以0<k<2.
【延伸探究】 1.(变换条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改 为“与空闲率的乘积成反比”，又如何表示出y关于x 的函数关系式？
(0≤x≤20).令
t=
，则0≤t≤2 ，
x 1 20 x 82
则 20 x
5
y 20 t2 1 t 1 t 22 3,
82 8
所以当t=2，即投资债券类产品16万元，投资股票类 产品4万元时，收益最大，ymax=3万元.
解得：x<20.
故当购买的台数小于20台时，应选择乙公司；当购买 的台数超过20台时，应选择甲公司；当购买的台数为 20台时，选择甲、乙公司均可.
2.某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间 的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：
(1)求y与x的函数解析式. (2)要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少 卖出多少张门票？
【解析】(1)由题意可得y=(a-x)(1+0.01x)-0.4x
=
1
x2 (
a
140 )x a,
因为10a0-x≥ 10a0，1所00以x≤ 3
a1.
即x的取值范4 围是 中的自4 然数.
(0, a ] 4
(2)因为y= 1 [x ( a 70)]2 1且( 1a 4 070<)2a≤a，
【巩固训练】某家庭进行理财投资，根据长期收益率 市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成 正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术 平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别 为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系. (2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎 么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多 少万元？
4
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围. (2)当140<a≤280时，问该企业应裁员多少人，才能获 得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益 的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)
【解题指南】仔细阅题，明确题意，寻找等量关系， 裁员x人后留岗员工为(a-x)人，留岗员工每人每年创 收(1+0.01x)万元.
【解题指南】解答本题关键是能根据实际情况建立一 次函数的数学模型.
【解析】设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1， 依方案2的利润为y2，则y1=(50-25)x-2×0.5x30000=24x-30000， y2=(50-25)x-14×0.5x=18x. (1)当x=3000时，y1=42000，y2=54000. 因为y1<y2，故应选择第2个方案处理污水.
年利率为x，按复利计算，到2019年1月1日，一共可取
回
元.( )
A.a(1+x)3 B.a(1+x)4 C.a+(1+x)3 D.a(1+x3)
【解题指南】(1)翻三番指的是原有工资的8倍，根据 每年比上一年平均增长的百分率相同，可以列出幂函 数的关系式. (2)复利指的是每年的利息在下一年作为本金再计算利 息，故列出2019年的存款本利和可得.
【解析】(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别
为f(x)=k1x，g(x)=k2 .由已知得f(1)= 1 =k1，g(1)=
x 1 =k2，所以f(x)= 1 x(x≥0)，g(x)= 1
8(x≥0). x
2
8
2
(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为
(20-x)万元.
依题意得y=f(x)+g(20-x)=
【解析】据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量
为x只，则蓄养率为 x ，故空闲率为1- x ，因为羊群 的年增长量y只和实际m蓄养量x只与空闲率m的乘积成反
比，由此可得y=
(0<x<m).
k
x(1 x ) m
2.(变换条件)若本例牧场中羊群的最大蓄养量为10000 只，实际蓄养量为8000只，比例系数为k=1，则此时的 年增长量为多少？
( a 1 70) 2
类型三：幂函数模型的应用实例
【典例3】(1)某单位职工工资经过六年翻了三番，则
每年比上一年平均增长的百分率是 ( )
(下列数据仅供参考： ≈1.41， ≈1.73， ≈
1.44， ≈1.35) 2
3
33
A.38% 6 6
B.41%
C.44%
D.73%
(2)某人2016年1月1日到银行存入一年期存款a元，若
所以y= 1105xx
1 2
000, x ［0,200］, 500, x (200,300］.
(2)要使每天的盈利额超过1000元，则x∈(200，
300]，由15x-2500>1000得，7x0>0
需要卖出234张门票.
3
，故每天至少
类型二：二次函数模型的应用实例 【典例2】(2016·太原高一检测)牧场中羊群的最大蓄 养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能 达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知羊群的 年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比， 比例系数为k(k>0).
【规律总结】幂函数模型解析式的两种类型及求解方 法 (1)已知函数解析式形式：用待定系数法求解. (2)解析式形式未知：审清题意，弄清常量、变量等各 元素之间的关系，列出两个变量x，y之间的解析式， 进而解决问题.
【拓展延伸】解函数应用问题的基本步骤 第一步：阅读理解，审清题意. 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景， 在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出 相应的数学问题.
(2)当x=6000时，y1=114000元，y2=108000元. 因为y1>y2，故应选择第1个方案处理污水.
【规律总结】 1.一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线. (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要 步骤是：设元、列式、求解.
2.分段函数模型应用的两个注意点 (1)分段对待：分段函数主要是每一段自变量变化所遵 循的规律不同，可以先将其当成几个问题，将各段的 变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段 自变量的取值范围，特别是端点值. (2)原则：构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到 分段合理、不重不漏.
3.2.2 函数模型的应用实例 第1课时 一次函数、二次函数、幂函
数模型的应用举例
类型一：一次函数模型的应用实例 【典例1】(2016·开封高一检测)某工厂生产某种产品， 每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生 产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出， 为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理， 并准备实施.
【解析】由题意，可知y=kx (1 x ) (0<x<m)，此时 m=10000，x=8000，k=1，代入计m算可得y=1×8000×
=1600.故此时羊群的年增长量为1600只. (1 8 000 )
10 000
【规律总结】解决二次函数模型应用题的四个步骤 (1)审题：理解题意，设定变量x，y. (2)建模：建立二次函数关系，并注明定义域. (3)解模：运用二次函数相关知识求解. (4)结论：回归到应用问题中去，给出答案.
【解析】(1)据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄
养量为x只，则蓄养率为 x，故空闲率为1-
由此可得y=kx (0<x<mm). (2)对原二次函(1数配mx 方) ，得y=- (x2-mx)
k 即当x= 时，y取得m最大值 .
k (x m )2 km .
m
m2 4
2
，x m
km 4
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际
100 2
100 2
280，所以当a为偶数时，x=a -70，y取最大值.当a为
奇数时，x=a 1-70，y取最大2值.
(因为尽可能少2 裁人，所以舍去x= -70.) a 1
2
答：当员工人数为偶数时，裁员 ( a 7人0) ，才能 2
获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，裁员 人，才能获得最大的经济效益.
【拓展延伸】对一次函数解析式的三点说明 解析式：y=kx+b(k≠0). (1)一次项的系数k≠0. (2)b=0时，y是x的正比例函数，即y=kx(k为非零常数). (3)b>0时，直线必经过一、二象限；b=0时，直线必经 过原点；b<0时，直线必经过三、四象限.
【巩固训练】1.某学校准备购买一批电脑，在购买前 进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务 的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6000元.甲公 司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报 价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算.
方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污 水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000 元； 方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1 立方米污水需付14元排污费.
(1)若工厂每月生产3000件产品，你作为厂长在不污染 环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的 方案，请通过计算加以说明. (2)若工厂每月生产6000件时，你作为厂长又该如何决 策呢？
【解析】(1)由图象可设y=kx+b，当x∈[0，200]时，
过点(0，-1000)和(200，1000)，解得k=10，b=
-1000，从而y=10x-1000；当x∈(200，300]时，
对应直线过点(200，500)和(300，2000)，解得
k=15，b=
-2500，从而y=15x-2500，
【解析】(1)选B.设职工原工资为p，平均增长率为x，
则p(1+x)6=8p，x= -1= -1≈41%.
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2
(2)选A.2017年1月1日本利和为a(1+x)；
2018年1月1日本利和为a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2；
2019年1月1日本利和为a(1+x)3.
【延伸探究】题(2)中，把复利改为单利，可取回多少 元？ 【解析】单利指的是每年的利息相同，则一共可取回 a(1+3x)元.
【巩固训练】某企业实行裁员增效.已知现有员工a
人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估
在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工
每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工
人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得
少于现有员工的 ，设该企业裁员x人后年纯收益为y
万元.
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