2020年河北省石家庄二中高考(理科)数学一模试卷 含解析

2020年高考（理科）数学一模试卷

一、选择题（共12小题）.

1．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝（）A．[﹣2，2]B．（1，+∞）

C．（﹣1，2]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）

2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，2），则＝（）A．B．C．D．

3．若是非零向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．函数的部分图象大致为（）

A．B．

C．D．

5．如图茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x、y的值分别为（）

A．0，0B．0，5C．5，0D．5，5

6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、

乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（）钱？

A．B．C．D．

7．将函数f（x）＝cos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，如果g（x）在区间[0，a]上单调递减，那么实数a的最大值为（）

A．B．C．D．

8．已知双曲线C：0），O为坐标原点，F1、F2为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，F2G⊥OG，，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y＝±x D．

9．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（）

A．12πB．32πC．8πD．24π

10．已知点G在△ABC内，且满足2+3+4＝0，现在△ABC内随机取一点，此点取自△GAB，△GAC，△GBC的概率分别记为P1、P2、P3，则（）

A．P1＝P2＝P3B．P3＞P2＞P1C．P1＞P2＞P3D．P2＞P1＞P3 11．《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵77cm，横53cm．油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm（如图所示）．有一身高为175cm的游客从正面观赏它（该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm），设该游客离墙距离为xcm，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为（）

A．77B．80C．100D．

12．已知点P是曲线y＝sin x+lnx上任意一点，记直线OP（O为坐标原点）的斜率为k，给出下列四个命题：

①存在唯一点P使得k＝﹣1；

②对于任意点P都有k＜0；

③对于任意点P都有k＜1；

④存在点P使得k≥1，

则所有正确的命题的序号为（）

A．①②B．③C．①④D．①③

二.填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13．若实数x，y满足约束条件，则x+y的最小值为

14．已知，则的展开式中x2的系数为（用数字表示）

15．已知点P是椭圆上一点，点P在第一象限且点P关于原点O的对称点为Q，点P在x轴上的投影为E，直线QE与椭圆C的另一个交点为G，若△PQG为直角三角形，则椭圆C的离心率为．

16．若函数f（x）的导函数，f′（x）部分图象如图所示，则φ＝，函数，当

时，|g（x1）﹣g（x2）|的最大值为．

三、解答题（共70分，第22、23题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）

17．如图，四棱锥P﹣ABCD中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB⊥BC，BC∥AD，AB＝BC＝AD，E是PD的中点．

（1）证明：直线CE∥平面PAB；

（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

18．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：

等比数列{a n}的前n项和为S n，已知，

（1）判断S1，S2，S3的关系；

（2）若a1﹣a3＝3，设b n＝|a n|，记{b n}的前n项和为T n，

证明：T n＜．

甲同学记得缺少的条件是首项a1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是S1，S3，S2成等差数列．

如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题．19．如图，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•＝﹣1

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使

得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

20．调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比．对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．

现设n＝4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令X＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则X＝2）．

（1）写出X的所有可能值构成的集合；

（2）假设a1，a2，a3+a4的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的数学期望；

（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2．

（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；

（ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．

21．已知函数f（x）＝xlnx．

（1）求曲线y＝f（x）在x＝e﹣2处的切线方程；

（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围；

（3）若f（x1）﹣a＝f（x2）﹣a＝0，且x1＜x2，证明：（x2﹣x1﹣1）e2＜1+2ae2．（二）选考题（共10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；