高三数学 导数培优专题(含解析)

培优导数专题

1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）=

.cos 2sin x

x

+

（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分）

已知.)2()(,02

x

e ax x x

f a -=≥函数

（Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.

3、已知函数2

1()ln (1)(0).2

f x x ax a x a R a =-+-∈≠且

（1）求函数()f x 的单调递增区间；

（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点．

如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①12

02

x x x +=

；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。如果函数

2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1

(2)2

f -<-。

（1）试求函数()f x 的单调区间；

（2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1

(

4=n

n a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-；

（3）设1

n n

b a =-

，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。

5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2

＋bln （x ＋1）,

（1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；

（3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式3

33

1

1

(312)

1

1)1(n k f n

k +++

+∑=π都成立；

6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x

∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间；

（2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；

（3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(2

1

*+∈+>⋅N n e

n F F F n

n Λ

1解： （I ）.)

cos 2(1

cos 2)cos 2()sin (sin cos )cos 2()(2

2x x x x x x x x f ++=+--+=' ……2分

分

是减函数在每一个区间是增函数在每一区间因此即时当即时当6.

))(3

42,322()(,

))(322,322()(.

0)(,2

1

cos ,)(342322;0)(,21

cos ,)(322322ΛΛZ Z Z Z ∈++∈+-<'-<∈+<<+>'->∈+<<-

k k k x f k k k x f x f x k k x k x f x k k x k π

ππππ

πππππππππππ

（II ）令则),()(x f ax x g -=

.

3

1

)31cos 21(3)cos 2(3

cos 22)cos 2(1cos 2)(222

-+-+=++

+-=++-

='a x x x a x x a x g

故当.)(,0)0()(,0,0)0(.0)(,3

1

ax x f g x g x g x g a ≤=≥≥=≥'≥

即时所以当又时

[)[).

2

021)2(,0.

3

sin cos 2sin )(,

)3arccos ,0(,.

3sin ,0)0()(,)3arccos ,0(.3arccos ,0)(.0)(,3arccos ,0.

3cos )(,3sin )(,3

1

0π

π⋅≥>=≤>>+=∈>=>∈>'∈-='-=<

x x x f a x ax x h x h a x a x h x h a x a x x h ax x x h a 有时当时当于是即时故当上单调增加在因此时故当则令时当

因此，a 的取值范围是.,31⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞

……12分

2．解：（I ）对函数f (x )求导数，得 .]2)1(2[)22()2()(2

2

x

x

x

e a x a x e a x e ax x x

f --+=-+-=' 令0)(='x f ，得 [x 2

+2(1－a )x －2a ]e x =0，从而x 2

+2(1－a )x －2a =0.

解得 212221,11,11x x a a x a a x <++-=+--=其中, 当x 变化时，)(x f '，f (x )的变化如下表：

当f (x )在x =x 1处取到极大值，在x =x 2处取到极小值，……………………4分 当a ≥0时，x 1<－1, x 2≥0，f (x )在(x 1 , x 2)为减函数，在(x 2,+ ∞)为增函数.

而当x <0时，f (x )=x (x －2a )e x

>0；当x =0时，f (x )=0.

所以当x =a －1+21a +时, f (x )取得最小值. …………………8分（II ）当a ≥0时，f (x )在[－

1，1]上单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1+21a +≥1.解得a ≥4

3

；综上：f (x )在[－1，1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥

43；即a 的取值范围是),4

3

[+∞… 3、解：（Ⅰ） 函数()f x 的定义域是(0,)+∞. ………1分

由已知得，1

(1)()

1'()1a x x a f x ax a x x

-+=-+-=-. ………2分 ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ 当0a <时，

①当11a -

<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得1

0x a

<<-或1x >; ∴函数()f x 在1

(0,)a

-和(1,)+∞上单调递增