三阶非线性泛函微分方程的振动性

一
，（ ｘ 一 ｙ）≥ ｆ（ ｙ）≥ －（ －（ ｘ 厂 ） ） 厂
ｈ（ ｘ 一 ｙ）≥ ｈ（ ｙ）≥ 矗 ） ） ｘ （ ｈ（ ．
（） ２
（） ３
一
定 １定 方 （的 是 数 （． ｏ－ ，￣ｏ 得 （， （，＿ （） 义 义 程１ 解 函 ｚ） ，）Ｒ ｘｔ ￡ ） ￡［ ｏ￣ Ｔ ， ） （ ￡ Ｅ 使 ） ）
Ｃ ［ ，Ｏ 且 在 ［ ，Ｏ 上 满足 方程 （ ） Ｃ ） Ｏ） １．
本 文仅考 虑方 程 （ ） １ 中满 足 ｓ ｐ ｌ １ ≥ Ｔ｝ ０对一 切 Ｔ ｕ｛ （） ． ＞ ≥ 成 立 的解． 程 （ ） 方 １ 的解 称 为振 动 ， 若
它 在［ ，。 上有 任 意 大 的零 点 ， 则称 它 为非 振动 ． 文献 ［ —６ 中有 许 多相关 的振 动性 结论 ， 文 的 目 。） 否 在 １ ］ 本
枷寸 （ ㈤） 号 ，㈤， ｚ ． 定
存 在如 下 四种 可能 ：
（） ｚ ）＞，（ ＯＩ（ ）＞ ㈤ ０ Ｉ（ ） ０，＞．Ｉ ｚ ） ０ ＜ ｚｚ （） １ ）
（） ｚ ）＜ ）ＯⅣ（ ） ）ｏ Ⅲ（ ） ＞； ） （ ） ＜ ＜． 而 （ （） ｏ ，在 ＞，得 ， ＿ ） 一 ｐ） 当 时存 Ｎ Ｏ 当≥ 时（ ｚ￡ ＜ Ｎ（ ）＜ 使 （ ） ．
第 ｌ 卷 第 １ １ 期 太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ） ２ １ 年 ３月 ０２ Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｔ ＹＵＡＮ ＮＯ ＡＩ ＲＭＡ Ｌ ＵＮＩ ＲＳＴＹ （ ａ ｕ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ＶＥ Ｉ Ｎ ｔ ｒ １ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｅ ｉ
（ ７ ）
证 明 若 ｚ 为方程 （ ） （） １ 的一个 非振 动解 ，ｇ ￣ 般性 ， ７￣－ 可设 ｚ ＞０ 则 存在 ｔ≥０ 使得 当 ￡ （） ， 。 ， ≥ 时 ， 有
ｚ）ｏ ｇ） ｏＥ） ０ 然 ，（ ｚ￡ ） ０ 存 ￡ ， 当≥ （ ， （ ＞， （＞． 当≥ 时有 （ ） ＞， 在 ≥ 时使 ￡ ￡ ｚ 显 ＞ ］ ］ １ （ 故 ） 。 得
令 （） 一 （） 当 ￡ ２ ， ， ≥ 时
Hale Waihona Puke 、 （ ㈤） Ｒ 一㈤）ｒ㈤ ） ㈤ ） ∽ （ １ ＾［ ］（１ ］ ≥ ） ０ （Ｄ ＾［ ． １ Ｄ 又 ￡ ≥ 时有 （一（一 （ｄ则 （≥ ｔｓ， ． 当≥ ｆ ， ｆ ．） ｆ “ （ ）（ ｓ ） ｙ ｓ ）， ） － ｓ ）
情况 （ 当 ｆ ≥￡ ， 易得 到 ｚ ｓ≥ （－ ｓ（ ） ． Ⅱ） ≥ｓ 时 容 （） ｔ ） 一ｚ （ ） 把 （ ４ 不 等式 中的 ５ ｔ １） 和 分别用 ｇ（） 和 （） 替 ， 代 当 ≥ ｔ ≥ 时 ，
（ ４） １
ｚ ｇ ］≥ （（） ［ （） ￡ 一ｇ（） （ ［（） ） ￡） ～ ］ ． 当 ￡ ｚ时 ， ≥ 由条 件 （ ） Ａ。 及不 等式 （ ５ 得 ： １）
标 是建 立关 于方 程 （ ） １ 的振 动准则 ， 并且 分别讨 论满 足 以下条件 时 的情 况 ：
ｄ ｔ Ｏ
Ｉ ｒ ） （ ）ｕ ｓ ∞ （ Ｉ ｄｄ 一
ｄ ｔ Ｏ
（） ４
（） ５
Ｊ ｔ Ｏ
ｌ ｒｚＩ （ ）ｕ ｓ ｃ． （ √ “ ｄ ｄ ＜ Ⅺ ）ｔ ｏ
（ ） Ｅ Ｃ （ ｔ， ）Ｒ） 当 ｔ ｔ 时 ， （） ｔ （） ｔｇ （）≥ ０ （）≥ ０且 ｌ ｇ ｔ ＝。 ； Ａ２ｇ， Ｅ ∞ ， ， ≥ ｏ ｇ ￡ ＜ ， ＞ ， ｏ ， ￡ ｉ （）＝ 。 ｎ ＝
（ ） ， Ｒ， ， （ ） ０ ｘ ｚ Ａ３ ｆ ｈＥ Ｃ（ Ｒ） ｚ ＞ ，ｈ（ ）＞ ０ ｆ （ ）≥ ０ ｈ （ ） ０ ≠ ０ ， 当 ｘ ， ｚ ， ｚ ≥ （ ）且 ｙ＞ ０时 ， 有
当 ￡ ｓ ， ２ 一 ≥ 时 令 （） （） 把 不等 式 （ ３ 和 （ ） ￡， １ ） ３ 代人 方程 （ １ 可得 ： １）
ｚ（）≥ Ｒ（） ｆ 一 Ｉ ） ｒ１ ］ （ （） ￡ ￡ （ （） Ｄ ） （ ［（） ） １ ￡ 一 （） （ ［ （） ） （ ［ （） ） （ ０ Ｄ ） 户 ￡］ ＾ ｚ ］ ． 由参考 文献 ［ ， ３ 的结论 知 ， ４５ 中 存在 （ ） ６ 的正解 （） 得 ｌ ￡ 一０ 故矛盾 ． 使 ｉ （） ， ａ ｒ
把 （ ０ 不等式 代入 （ ９ 可得 ： ２） １）
（） １ ９
２ ｏ
） 一 硼 Ｊ （ｄ ≥ ， 仉 （ ｐ
则存在一个常数 ｂ 且当 ｔ 。 ２ ， ［（） ≥ ｂ ≥￡ ≥ 时 ］ Ｉ （）ｖ ｄ．
√ ｆ ）
（１ ２）
对不 等式 （ ７ 两 边从 ｔ １） 到 ｔ 分可 得 ： 积
把 （ ２ 不 等式 中的 ｔ ｓ 别替换 为 ｐ ￡和 （） 当 １） 和 分 （） ￡ ， ≥ ≥ ￡ ， ３ 时
（） １ １ （） １ ２
（ ３） １
［ ） １） ） ［￡一Ｐ） ）［￡（ 玎 Ｅ ）． １ ］ Ｄ 一（） ） （￡ （） ） ｏ ］ Ｄ ≥（￡ （］ （一 ｐ（ （ （ ］ （）
（ （【 ）） Ｑ ）ｘ （］＋ （ｈ Ｅ￡） ｚ 一 （ｆ Ｅ ￡） Ｒ ）ｘ （］ ＿ （） （ｇ） （ ）
分别在满足条件 Ｊ ｒ￡Ｉ （ ）ｕ ｓ＝。 和Ｉｒ￡Ｉ （ ）ｕ ｓ 一 时的振动准则 ， Ｉ （） Ｍ ｄ ｄ ＝ 。 （） ＝ “ｄｄ＜ 因此我们的结
情况 （ 当 ￡ ｓ ￡ ， Ｉ） ≥ ≥ 时 有 （） ｚ ｓ ｚ （ ） “ 一 （）一 “ ｄ ，即有
ｚ（ ）≥ （ ｓ ｘ （ ） ｆ — ） ５ （） ９
当 ￡ ｚ 时 ， ≥ ≥￡ 把不 等式 （ ） ９ 中的 ｔ ｓ分别 用 （） ｐ 替 换得 ： 和 ￡和 （）
０ 引言
考 虑三 阶非线性 微分 方程
（ （
本文 总假 设下列 条件 成立 ：
） ）ｚ（ ＋ ㈤ （ ） ） 一 厂Ｅ ）Ｒ ［ ］ （ｇ ｚ ）
Ｊ ｌ
（ １ ）
（１ ，， ＥｃＥ， ）（， ），∈ｃＥ ， ，￡＞０Ｉ （ ｄ ＜∞且／ ≤０ Ａ） ＱＲ （ｏ ｏ， ｏ ） Ｐ ｔｏ ｏ ｏ ｒ ｏ ｒ） ， ｒ ） ｔ∞） （ “ｕ （ ） ；
－ （ （）ｇ）（ （叫（ ）≤ 叫 ｚ 硼ｆ 一 （ ２ ｒ ｓ 一（厂［）［） ） ≤ ￡ ２ ： ） （ ｓ ｒ ］ ， 厂 ） ］ ｓ Ｑ （一 （ ） ） ） ． （
把 不等 式 （ １ 和 （ ） 入 （２ 不等 式且令 ｃ 厂 ６ ， ￡ 。 ， ２） ２代 ２） 一－ ） 当 ≥ｔ 时 （
对 （） 从 ｔ ８式 到 ｔ 重 积 分 得 二
）＜ ｚ １ ｄ — Ｎ ）ｓ ｓ ㈤ ｓ ．
（ ８ ）
由条件 （ ） Ａ 及定 理条件 可 知 ｚ 一 一。 （一 Ｃ ） 故与 ｚ ＞ Ｏ 盾． 以情 况 （ ， Ｉ ） （） 。￡ × ， 。 （） 矛 所 Ⅲ） （Ｖ 不存 在．
第 １期 为 振 动 的 ， 当 且
裴 晓 帅 等 ： 阶非 线 性 泛 函微 分 方 程 的振 动性 三
４ ７
ｊ（（Ｑ） （一（厂［） （ ））ｄ 。 Ｉ ｒ’（ （）ｇ ）ｒｓ厂ｉ（ ｓ 一。 ）ｒｓ ｓ （（） ｄｒ Ｊ 厂 ｓ ） ］ ｄ ） ｎ
成立 时 ， 方程 （ ） 动． 则 １振
显 然 当 ￡ 时 ， （） ， Ｗ （） ０ 又 当 ≥ ： ， ≥ｔ ￡＞Ｏ 且 ＜ ． ≥ 时 容易 得 ： （ 叫， ） 一 （ ≥ １ （ 叫， ） ） 一 （ ．
对 （ ８ 两 边 的 从 ｔ ｕ ￡ ｔ 分 得 ： １） 到 ≥ ≥ 积
（） １ ７
Ｖ １１ Ｎ ． ｏ． １ ｏ １ Ｍａ ． ２ １ ｒ ０２
三阶 非线 性 泛 函 微分 方 程 的振 动 性
裴 晓 帅 王 飓 谷 建玲
０００） ３ ０ ６ （ 山西 大 学 数 学 科 学 学 院 ， 山西 太 原
［ 要 ］ 文 章 主 要 研 究 了 三 阶 非 线 性 泛 函微 分 方 程 摘
１ 主 要 结 果
定 理 １ 当条件 （ ～（ ） （ ） 立时 ， Ａ ） Ａ。与 ４ 成 假设存 在 非 递减 的 函数 ， ， ＥＣ （ ｔ，。 ， 满 足 ｇ ｔ ＜ ｐ ０ Ｅ。 。 ） Ｒ） （）
（） ￡ ＞． ￡＞ ￡＞ ￡ ≥￡） 如 果一 阶 的超前方 程 ￡＜ ， ） ０ ） （） （ 。 ， （ （
（８ １）
训 ） 叫） 硼 ）一 １ Ｊ （≥ （一 （ ≥ 叫 ）・ ￡ （ （ｄ
令 一 ， ≥２ ， ￡ 一 １ ｊ （ｄ ∞当 （≥ 训 ￡ ｐ ）・ 时 ） （ ｖ
又当￡ ｚ ≥￡时， （ ￡） 丽１ （ （ ）・ 一训 （ ≥ ｍＷｔｚ） ）
ｘａｔ］ （（） ０￡） Ｐ￡］ Ｅ（ ≥ 口 一１ ）ｚ［（ ． ） （ ）
把不 等式 （ ０ 和（ ） 人方程 （ ） 当 ￡ １ ） ３代 １ ， ≥ 时 ，
（ｏ １）
（ （ ｚ ） ） Ｅ） 而 ） １ ≥ ］ （ ≥
Ｒ （（ 一ｌ￡） Ｐ￡］ （） ０ ）ｚ［（ ≥Ｒ ＾ ￡一ｌ ）（ １￡ ） （ ） （ ） （）（（ Ｄ ）矗 ［（） ） （ Ｄ ］
（ ５ １）
（ （ ｚ ） ）ｘ （ ≥ ） ≥ ｆ ｍ ） （ｇ
４ ８
太 原 师 范 学 院 学 报（ 自然 科 学 版 ）
第 １ １卷
Ｑ（） （ 一 ｇ ｔ）一 ｚ Ｌ （） ） ≥ Ｑ（） （ （） ｇ ｔ） （ ［ （） ） ｔｆ （（） （） （ Ｊ ） ￡－ ￡ 一 （） ｆ － 厂 ］ ．
（ ６ １）
令 叫（） 一一
ｚ （） ２ ， 不等式 （ ６ 和 （ ） ￡ （≥￡） 把 １ ） ２ 代入方 程 （ ） １ 可得 ：