1土质边坡稳定分析之条分法

2
6
（2.47）
不难证明，在 x 0 时，有
1
22
3
如果00 如果0＝0， 但'00
（2.48）
因此，除了端部条块可能存在 0 0 外，均可认为：
1 2
（2.48）
2.2关于研究对象的讨论
在进行边坡稳定分析的，首先需要解决一个研究对象问题。 即当分析—个土体或土条的力学平衡时，是把土和水的混合体当 什研究对象，还是把土骨架作为分析对象。近代土力学的回答是 可以把土骨架作为分析对象，也可以把包括水在内的浸水土体作 为研究对象。许多学者(Taylor，1948；小濑敏男，1972)曾指出， 两种方法本质上是一致的，如果计算的各环节处理一样的话，两 种方法应得到相同的安全系数解。围绕这个问题“岩土工程学报” 在1983年曾作过一次讨论。
研究生专业课程
土质边坡稳定分析原理
地球科学与信息物理学院
一、土坡稳定分析基本问题与基本理论
1、稳定安全系数的定义 2、摩尔－库仑强度准则 3、静力平衡条件 4、假设合理性要求
1.1 稳定安全系数的定义
由于重力作用及边坡几何特性，土坡沿某滑动面滑动的稳 定安全为K时，则土体沿此滑动面处处达到极限平衡：
2.4 关于滑面顶部设拉力缝的必要性
一些学者很早就认识到，按照极限平衡的理论体系获得的 解，如果c值较大时，在靠近滑面顶部的土条，按式(2．20)将 给出数值为负的条间力G，按式(2．10)式(2．11)计算滑面上的
法向力 N ，' 可能得到负值。这一现象不仅不合理，而且有时
会导致数值计算不收敛的问题
代入式(2．69)可得式(2．68)。
从以上推导可知，式(2．68)是建立在以下假定基础上的：
1)在拉力缝处，不仅G为零，
d d
G x
亦为零；
2)在拉力缝处，滑裂面与水平向夹角为


4


' e
2

三、各种条分法
瑞典条分法
毕肖普法
斯宾赛法（Spencer）
陆军工程师团法
滑楔法
罗厄法 简化Janbu法
' n
和剪应力τ满足摩
尔－库仑强度准则：
T c e ' x se N c u x se ta c e ' n (2.4)
其中：N为土条底的法向力，T为土条底的切 向力，α为土条底倾角，u为孔隙水压力。通常孔隙 水压力系数定义为：
u
ru dW / dx
(2.5)
n1
毕肖普法
1、 简化条件
1）滑动面：假定为圆弧形滑动面。 2）对未知多余力的假定：
土条两侧只作用有水平力，即 X 0 或者 0 （图 2.2） 3)静力平衡
垂直方向的静力平衡方程。
N 'cos T sin W
(1)沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上 所能发挥的抗剪能力
FvE'tana 'v Xca 'vyzF
或者
FveE'tana 've Xca 'veyz1
(2.6) （2.7)
F v 为沿着土条垂直面的安全系数；
F v e 为使用经过式（2.2）和（2.3）缩减后垂直面的安全系数。



' e
42
将α代入式(2.12)右侧，左侧G为零，并令
dG 0 dx
cose' d d xGp(x)
(2.12)
此时，
dW dx
ht
因为
得到
p(x)ddW x qsin
' e

ru
ddW x secsine'
ce' seccose'
1.4 假设合理性要求
对多余未知数进行假定的具体方案可以是多种多样的、 但是，也并不是完全任意的。它必须使获得的解符合土和 岩石的力学特性。目前，被普遍接受的合理性条件是 (Morgenstern ＆ Price, l967年；Janbul973年)
(1)沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上 所能发挥的抗剪能力
阶小量。在十条的宽度 x 足够小的时候，这—作法引
入的误差可以忽略不计。
作用在一个微小长度 x 上连续分布的垂直应力 x
的合力P由下式决定(参见图2.6)
P
x

xdx
（2.44）
0
p的作用点距原点位置为：
x

x
xdx
a
0 x
（2.45）
x dx
dWcos
dx
' e

ht


sin4
c'cose'
e'
2
cos4
e'
2

（2.69）
co se ' sin 2 e ' 2sin 42 e ' co s 42 e ' （2.70）
1.3 静力平衡条件
设想某一边坡的滑动土休沿滑裂面y＝y(x)下滑，见下页图。
此时，根据安全系数的定义，土体和滑裂向上的抗剪强度指标
均缩减为
c
' e
和
tan

' e
在滑动土体中切出垂直土条，土条所受的力：
土条重力：∆w；
坡表面的垂直荷载：q∆x
地震力，水平地震力为 Qw
其作用点与土条底距离为he。
1、作用在微小长度上垂直应力合力作用点位置的讨论 2、关于研究对象的讨论 3、对坡外水体的处理 4、关于滑面顶部设拉力缝的必要性
2.1 作用在微小长度上垂直应力合力作用点 位置的讨论
在前面建立力矩下衡方程式(2.14)的推导中，我们 曾假定土条底法向应力的合力的作用点处于条底的中点。 在一些文献中曾径把这—合力的作用点的位置也作为一 个未知量。这一节，我们将说明，将作用点位置放在中 点导致的误差，相对力矩平衡公式中的其它量是—个高
传递系数法
瑞典条分法
Байду номын сангаас
1、简化条件 1） 滑动面：假定为圆弧滑动面 2） 对多余未知力的假设：假定在土条侧向垂直面上的作用力 E 和
X 的合力平行于土体底面。 3） 静力平衡：
建立土条底面法线方向静力平衡方成，确定 N ' ：
N '＝W cos ru sec
通过整体对圆心的力矩平衡得到：
Terzagih(1942)讨论了在滑面顶部设拉力缝的必要性，并推导
了计算拉力缝高度 h t 的公式，即
ht
2c'

tan450
e'
2

（2.68）
式中：γ为土的容重。
在通用条分法的理论框架内，我们可以用以下简捷的推 导获得这一公式。首先认定，在滑面顶部，滑面与水平线的 夹角α为
如果把骨架当作研究对象，水对骨架的作用是外力。这个外 力包括浮力和渗透力两部分。于是，滑动土体的静力平衡方程式可 以写成
W aW b' DG'0 （2.51）
式中：
W
' b
为水下部分浮重；D为土体所受渗透力的合力。
根据定义，
Wb' Wb Ww （2.52）
式中： W w 为与土体水下部分同体积的水重。
土条垂直边的总力G（土体骨架间的法向有效 作用力与水压力之和），它与水平线的夹角为 β，作用点的纵坐标为yt。
将滑动土体分成苦干土条，每个土条和整个滑动 土体都要满足力和力矩平衡条件。在静力平衡方程组 中，未知数的数目超过了方程式的数目，解决这一静 不定问题的办法是对多余未知数作假定，使剩下的未 知数和方程数目相等，从而解出安全系数的值。
想水面PEG与滑裂面GCP包成一个水体重 W w ，见图2．8(b)。沿滑
面GCP按静水压 u s 分布的水压力为 U s ，则
Us Ww 0 （2.64） us w z （2.65）
式中： w 为水容重，z为滑面上任一点与坡外水位的垂直距离。
方案3：将坡外水压力直接加在坡面上，如图2．8(d)所示。 这个方案从理论上看没有什么缺陷，大概是因为操作起来比较麻 烦，故未见广泛应用。
方案1：将滑裂面延长与坡外水位交于P，如图2．8(a)所示。 研究包括坡外水体在内的滑坡体ADEPCGBA的抗滑稳定。此时水 可看成是强度指标为零的一种特殊材料。静力平衡方程为
WG'U0 （2.63）
式中： W、G'、U
分别为土重(包括水重)、作用在滑面上的有效 作用力和孔隙水压力。
方案2：将坡外水位延长至与滑裂面ABC交于G，图2．8(a)。设
E ' 为作用在土条垂直面的法向有效压力；
X 为作用在土条垂直面的剪力；
t
a
n

' a
v
c
' a
v
为土条垂直面的有效平均摩擦系数； 为土条垂直面的有效平均粘聚力；
t
a
n

' ave
被F值除后的值；
c' ave
被F值除后的值；
Y 为滑动面的纵坐标值； Z 为土坡表面的纵坐标值。
(2)为保证在土条接触面上不产生拉力，作用在土条上的有 效力的合力作用点不应落在土条垂直面的外向
0
定义正压力N的作用点的相对距离为：
a x
（2.46）
将 x 在 0 处按泰勒级数展开，将式（2.45）代入式
（2.46）得到：
10x21'0x31''0x4...
2
3
8
0x21'0x31''0x4...
D v d d v vw g r a dd v U W w （2.56）
即 W aW b' DG'0 与
W aW bG'U0 等效
但是，由于边坡稳定分析本质上是一个超静定问题，在大多数
情况下，我们需要引入对土条侧向力的假定方可求解安全系数。 那么，如果假定对象不一样，结果仍会不一样。在上面的推导
(2)为保证在土条接触面上不产生拉力，作用在土条上的有 效力的合力作用点不应落在土条垂直面的外向
0 Ac' 1
A
' c

y
' t

z
y z
(2.8) (2.9)
y
' t
为作用在土条垂直面上的有效法向力的作用点的纵坐标值。
Y 为滑动面的纵坐标值；
Z 为土坡表面的纵坐标值。
二、与条分法有关的一些基本问题的讨论
G ( x ) s e ce ' s 1 x a x p s d G a (2．20)
N s i n T c o s Q G c o s 0(2．10)
－ N c o s T s i n W q x G s i n 0 (2．11)
其中：
ce' n' tane'
（2.1）
c
' e

c' K
(2.2)
tane'

tan'
K
(2.3)
τ为沿滑动面的切向力，

' n
为垂直于滑动面的正应力，
c'
为土的有效粘聚力，
'
为有效内摩擦系数
1.2 摩尔－库仑强度准则
当土坡沿破坏面滑动时，在滑动面上，土体处处达到
极限平衡。针对某一条土体其正应力
渗透力D可通过积分求得
D vddv
（2.53）
式中：d为单位土体所受的渗透力，可以通过渗透力的微分
表达式求得
dwgrad
（2.54）
式中：
u h w
（2.55）
w
为水的容重；
为势函数；
grad 为水力梯度；h为位置水头。
根据土力学的原理，饱和土体骨架所受渗透力的合力等于 该上体边界上水压力的合力加上与该土体同体积的水重。使用场 论中的散度定理，即可证明
中，对 的假定是指土条间的总作用力G，而不是上条骨架 间的有效作用力 。如G 果' 将土骨架作为研究对象，那么就要对
的倾角G ' 作假定 了' 。因此，两种处理方法，尽管具有相同的
力学背景，但由于处理细节不完全—致，其结果仍会有微小的 差别。
2.3 对坡外水体的处理
对图2．8(a)所示坡外有水的情况。此时，通常采用下面 三种处理方案。
N
T W sin Rd Q 0
n1
Rd

hq R
其中： hQ 为水平地震力和圆心的垂直距离。N 为土条总数。
2、安全系数
N
W cos ru sec Q sin tan ' c ' x sec
F n1
N
W sin QRd
如果把浸水土体作研究对象，那么水和骨架之间的作用力 是内力。滑动土体的静力平衡方程式可以写成：
W aW bG'U0
其中：
（2.50）
W a 为土体水上部分自重；
W
为土体水下部分的饱和重；
b
G ' 为滑动土体边界上受到的全部骨架间有效作用力的合力。
U 为滑动土体边界上受到的全部水压力的合力；