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中考数学专题复习(二)圆

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2021年九级中考数学压轴题满分训练 –几何之圆的专题(二)

2021年九级中考数学压轴题满分训练 –几何之圆的专题(二)

2021年九级中考数学压轴题满分训练–几何之圆的专题（二）1．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交圆O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，点F是OA中点，FG⊥OA，FG分别交AD，DE于点H，点G，cos∠ABD＝．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求证：△DGH是等腰三角形；（3）若FG＝9.5，求⊙O的周长．2．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线．（1）求证：∠BAC＝2∠CDE；（2）若CE＝4，cos∠ABC＝，求⊙O的半径．3．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．（1）求证：AF为⊙O的切线；（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO•AE；（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．4．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AD平分∠CAB交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）证明：DE是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4AE•CE；（3）如图2，点G是AB下方的半圆的中点，连接CG交AD于点F，连接OF，若AC ＝10，DE＝12，求OF的长．5．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连接CA．（1）若∠ACD＝30°，求劣弧AB的度数；（2）如图2，连接BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连接AG．①若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的长；②设tan∠CAE＝x，＝y，求y关于x的函数关系式．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD＝6，∠D＝60°，∠ACB＝45°，连接OB交AC于点E．在CB的延长线上取一点P，使AP∥BE．（1）求AC的长；（2）求证：直线PA与⊙O相切．7．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．i）若⊙O的直径为，sin B＝，求AD的长；ii）若CD＝2CE，求cos B的值．8．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图1，若∠P＝40°，求∠ABP的度数；（2）如图2，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．9．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠EDC＝∠FDC；（2）求CD的长．10．如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．（1）求证：∠DAF＝∠ADF；（2）若CD＝2，半圆O的半径为5，求BC的长．11．如图，点A、B、C、D四点顺次在⊙O上，＝，BM⊥AC于M，小华对此进行了研究：首先，他取△ABD为正三角形，且AC为⊙O的直径，计算后发现：AM＝DC+CM；接着，他取△ABD为等腰直角三角形，AC平分∠BAD，试问：AM＝DC+CM 还成立吗？小华利用这种情形还计算出tan22.5°＝﹣1，请问他的结论正确吗？另外，小华还猜想：一般地，AM＝DC+CM恒成立，请你帮助他证明或否定这个结论．（对于前面两问只需作出肯定或否定的回答，无须证明）12．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．13．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上的一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC．∠DAO＝105°，∠E＝30°．（1）求证：AC平分∠DAO；（2）求∠OCE的度数；（3）若⊙O的半径为，求线段EF的长．14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）已知BD＝4，CF＝4，求AE的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC，AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝1，BC＝2，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）如图1，连接OD，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知，OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∴∠ODA+∠ADE＝90°，∵∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD+∠ADE＝90°，∵FG⊥AB，∴∠OAD+∠AHF＝90°，∴∠ADE＝∠AHF，∵∠AHF＝∠DHG，∴∠ADE＝∠DHG，∴DG＝HG，∴△DGH是等腰三角形；（3）如图2，连接OG，设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝OB＝r，∵点F是OA的中点，∴OF＝OA＝r，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAD+∠AHF＝90°，∴∠AHF＝∠ABD，∵cos∠ABD＝，∴cos∠AHF＝，在Rt△AFH中，cos∠AHF＝＝，设FH＝3a，则AH＝5a，根据勾股定理得，AH2﹣FH2＝AF2＝r2，∴a＝r（舍去负值），∴FH＝3a＝r，∴DG＝HG＝FG﹣FH＝9.5﹣r，在Rt△OFG中，OG2＝OF2+FG2，在Rt△ODG中，OG2＝DG2+OD2，∴OF2+FG2＝DG2+OD2，∴（r）2+（9.5）2＝（9.5﹣r）2+r2，∴r＝0（舍）或r＝8，∴⊙O的周长为2π×8＝16π．2．解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝BAC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∴∠ADC＝∠ODE，∴∠CDE＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∴∠CDE＝∠CAD，∵∠CAD＝BAC，∴∠BAC＝2∠CDE；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵cos∠ABC＝，∴AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD＝＝2x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴＝＝，∴＝＝，∴DE＝8，x＝，∴AC＝3x＝28，∴⊙O的半径为14．3．（1）证明：连接CD．∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ABD＝∠ACD，∠DAF＝∠ABC，∴∠DAF＝∠ACD，∴∠DAF+∠DAC＝90°，∴∠FAC＝90°，∴AF为⊙O的切线．（2）证明：∵∠FAE＝90°，DF＝DE，∴AD＝DE＝DF，∴∠DAE＝∠AED，∵OA＝OD，∴∠DAE＝∠ADO，∴∠ADO＝∠AED，∵∠OAD＝∠DAE，∴△ADO∽△AED，∴＝，∴AD2＝AO•AE．（3）解：过点B作BJ⊥EC于J．∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴sin∠BAC＝＝，∴可以假设BC＝a，AC＝3a，∵BJ⊥AC，∴∠AJB＝90°，∴∠BAC+∠ABJ＝90°，∠ABJ+∠CBJ＝90°，∴∠CBJ＝∠BAC，∴sin∠CBJ＝sin∠BAC＝＝，∴CJ＝a，∴BJ＝＝＝a，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝∠CEB，∴∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB＝a，∴EJ＝EC﹣CJ＝a﹣a＝a，AE＝AC﹣EC＝2a，∵AF∥BJ，∴＝，∴，∴a＝，∴AE＝2，EJ＝，BJ＝，∴EF＝＝＝6，BE＝＝＝2，∴BF＝EF+BE＝6+2＝8．4．解：（1）连接OD，交BC于点H，∵OA＝OD＝r，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠CAD＝∠DAO，∴∠CAD＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴直线DE为圆O的切线；（2）连接CD，∵OD∥AE，BC⊥AE，∴BC⊥OD，又∵，∴CH＝BH，又∵DE⊥OD，BC⊥OD，∴BC∥DE，∴四边形DECH为矩形，∴DE＝，∠EDC＝∠DCH＝∠DBC＝∠CAE，∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EDA，∴DE2＝EC•AE，∴（BC）2＝EC•AE，∴BC2＝4EC•AE；（3）如图，连接OD交BC于H，过点F作FK⊥BC于K，FJ⊥AF于J，FT⊥AB 于T．∵AC＝10，DE＝12，四边形DECH为矩形，∴CH＝DE＝12，CH＝BH＝12，∠DHC＝90°，∴，∴OA＝OB＝OD＝13，∵G为圆O中直径AB的中点，，∴∠ACG＝∠GCB，∵AD平分∠CAB，∴点F是△ACB的内心，四边形CKFJ是正方形，设边长为r，则（AC+BC+AB）•r＝•AC•BC，∴r＝4，∴FT＝CJ＝4，∵AC＝10，∴AJ＝AT＝6，∵OA＝OB＝13，∴OT＝7，∴OF＝＝＝．5．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的度数是120°；（2）①∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝1，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，tan∠CAE＝＝2，∴CE＝2，设OE＝x，则OC＝2﹣x＝OB，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，即（2﹣x）2＝x2+1，解得：x＝，∴OE＝，∵OG＝OB，AE＝BE，∴OE是△AGB的中位线，∴AG＝2OE＝；②∵BG是⊙O的直径，∴∠BAG＝90°，∵∠BAG＝∠BEO＝90°，∴OC∥AG，∴∠C＝∠GAC，∵∠GFA＝∠OFC，∴△GAF∽△OCF，∴，∵，且GF+BF＝2OG，∴OG＝•GF，∵OF＝OG﹣GF，∴OF＝，∴＝，如图3，连接OA，∵OA＝OC，AG＝2OE，∴＝＝，∵tan∠CAE＝＝x，∴CE＝x•AE＝OA+OE，∴AE＝，Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，∴OA2＝OE2+（）2，即OA2＝OE2+（OA2+2OA•OE+OE2），两边同时除以OA2，得：1＝（）2+（+1）2，设＝a，则原方程变形为：a2+（a2+2a+1）﹣1＝0，（1+）a2++﹣1＝0，（a+1）[（1+）a+（﹣1）]＝0，∴a1＝﹣1（舍），a2＝，∴＝，∴＝，∴y＝﹣．6．解：（1）∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°．∵AD＝6，∠D＝60°，∴AC＝AD•sin60°＝6×＝3；（2）∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°．∵BE∥AP．∴∠PAO+∠AOB＝180°，∴∠PAO＝90°，∴PA⊥OA．∴直线PA与⊙O相切．7．（1）证明：连接OC，∵CD＝BC，∴∠B＝∠D，∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD，∴∠B＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；解：（2）i）连接OC，∵∠ACB＝90°，AB＝，sin B＝，在Rt△ACB中，AC＝AB•sin B，∴AC＝＝1，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵OB＝CO，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠OCB＝∠D，∵∠CBO＝∠DBC，∴△COB∽△DCB，∴，∴CB2＝OB•BD，∵AB＝，∴OA＝OB＝，∴BD＝32×＝，∴AD＝BD﹣AB＝；ii）连接CO，∵CD＝2CE，设CE＝k，∴CD＝BC＝2k，∴DE＝3k，∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，∴△DAE∽△COB，∴，设⊙O的半径为r，∴AD＝r，∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，∵△COB∽△DCB，∴，∴BC2＝OB•BD，∴（2k）2＝r×r，∴k＝r，∴BC＝2k＝r，∴cos B＝．8．解：（1）∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠ABP的度数为50°；（2）如图，连接AC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，∵D为AP的中点，∴DC＝AD＝DP，∴∠DAC＝∠DCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC+∠DAC＝∠OCA+∠DCA，∵∠OAC+∠DAC＝∠BAP＝90°，∴∠OCA+∠DCA＝∠OCD＝90°．∵OC是半径，∴直线CD是⊙O的切线．9．（1）①证明：连接OC．∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线．②证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF．（2）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝3，在Rt△ODN中，∠OND＝90°，OD＝5，DN＝3，∴ON＝＝4，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝4，MN＝OC＝5，在Rt△CDM中，∠DMC＝90°，CM＝4，DM＝DN+MN＝8，∴CD＝＝＝4．10．（1）证明：连接BD，∵D为的中点，∴＝，∴∠DAC＝∠ABD，∵AB为半圆O的直径，DE⊥AB，∴∠DEA＝∠ADB＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，∴∠ADF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADF；（2）解：连接OD交AC于H，∵＝，OD过O，∴OD⊥AC，AD＝CD＝2，在Rt△AOH中，AH2＝OA2﹣OH2，在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，∴OA2﹣OH2＝AD2﹣DH2，即52﹣OH2＝（2）2﹣（5﹣OH）2，解得：OH＝3，∵D为的中点，OD过O，∴AH＝CH，∵AO＝BO，∴OH＝BC，∴BC＝2OH＝6．11．解：（1）成立．在MA上截取ME＝MC，连接BE，如图，∵BM⊥AC，而ME＝MC，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，∵＝，∴∠ADB＝∠BAD，而∠ADB＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD＝180°，∠BEA+∠BCE＝180°，∴∠BEA＝∠BCD，而∠BAE＝∠BDC，所以△ABE≌△DBC（AAS），∴AE＝CD，∴AM＝DC+CM．（2）结论正确．理由：如图，当△ABD是等腰直角三角形时，设BC＝CD＝m，则BM＝CM＝m，∵∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝22.5°，∴AM＝CD+CM＝m+m，∴tan∠BAM＝＝＝﹣1，∴tan22.5°＝﹣1．12．（1）证明：连接OD，∵D是BC的中点，∴BD＝CD．∵OA＝OB，∴OD∥AC．又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）∵D是BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝4（cm），∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AC＝AB，∵AD＝3cm，∴AC＝＝＝5（cm），∵DE⊥AC，∴DE＝＝＝（cm），∴AE＝＝＝（cm）．13．（1）证明：∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAO；（2）解：∵AD∥OC，∠DAO＝105°，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°；（3）解：如图，作OG⊥CE于点G，根据垂径定理，得FG＝CG，∵OC＝，∠OCE＝45°．∴CG＝OG＝2，∴FG＝2，在Rt△OGE中，∵∠E＝30°，∴GE＝，∴EF＝GE﹣FG＝．14．（1）证明：连接OD，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵DG⊥AC，∴OD⊥FG，∴直线FG与⊙O相切；（2）解：连接BE．∵BD＝4，∴CD＝BD＝4，∵CF＝4，∴DF＝＝＝8，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴DF∥BE，∴EF＝FC，∴BE＝2DF＝16，∵cos∠C＝cos∠ABC，∴，∴，∴AB＝20，∴AE＝＝＝12．15．（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°，而∠A＝∠CBD，∴∠ODA+∠CDB＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BD，∴BD为⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，∴CB2＝CD•CA，∵CD＝1，BC＝2，∴CA＝4，∴BD＝＝，∴AB＝＝2，设圆O的半径为r，则OB＝2﹣r，∵OB2＝OD2+BD2，∴，解得r＝．。

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径 点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点 且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图 在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上 以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径 弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点） 过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图 则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不 合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图 取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值 最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。

2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用(二)

2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用(二)

2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用（二）一．选择题1．如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC 等于（）A．2 B．3 C．4 D．52．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB 与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．53．如图，两圆相交于C、D，AB是两圆的一条外公切线，A、B为切点，CD的延长线交AB 于M，若CD＝9，MD＝3，则AB的长为（）A．18 B．12 C．13.5 D．6√34．如图：PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA•PB＝30，PC＝3，则CD的长为（）A．10 B．7 C．D．35．如图，点C、O在线段AB上，且AC＝CO＝OB＝5，过点A作以BC为直径的⊙O切线，D 为切点，则AD的长为（）A．5 B．6 C．D．106．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为的中点，DE垂直于AC的延长线于E，连接BC，若DE＝6cm，CE＝2cm，下列结论一定错误的是（）A．DE是⊙O的切线B．直径AB长为20cmC．弦AC长为16cm D．C为的中点7．如图，圆O1与圆O2相交于A、B，过A作圆O1的切线交圆O2于C，连CB并延长交圆O1于D，连AD，AB＝2，BD＝3，BC＝5，则AD的长为（）A．B．C．D．28．如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2cm，BC＝8cm，则PA的长等于（）A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为直径的⊙O与AB相切于E，则⊙O 的半径是（）A．2 B．2.5 C．3 D．410．如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB＝60°，点P到圆心O的距离OP ＝2，则⊙O的半径为（）A．B．1 C．D．2二．填空题11．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝．12．如图，PE是⊙O的切线，E为切点，PAB、PCD是割线，AB＝35，CD＝50，AC：DB＝1：2，则PA＝．13．如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB＝4cm，AB＝5cm，⊙O的半径R＝4.5cm，此时P点到圆心O的距离是cm．14．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为．15．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．三．解答题16．如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM＝2，AB＝4．（1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．17．如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．求证：．18．如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．（1）求证：DA＝DC；（2）当DF：EF＝1：8，且DF＝时，求AB•AC的值；（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的半径，AB的延长线交⊙O 于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA＝DC是否仍然成立？并证明你的结论．19．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD＝6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD＝11，求AB的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；．（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF参考答案一．选择题1．解：∵PC、PB分别为⊙O的切线和割线，∴PC2＝PB•PA，∵OB＝3，PB＝2，∴PA＝8，∴PC2＝PB•PA＝2×8＝16，∴PC＝4．故选：C．2．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cos D＝AD：BD＝1：3，设AD＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．3．解：∵AB是两圆的一条外公切线，∴MA2＝MD•MC，MB2＝MD•MC，∵CD＝9，MD＝3，∴MA＝MB＝6，∴AB＝12，故选：B．4．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA•PB＝30，PC＝3，∴PD＝＝10，∴CD＝10﹣3＝7．故选：B．5．解：∵AD是⊙O的切线，ACB是⊙O的割线，∴AD2＝AC•AB，又AC＝5，AB＝AC+CO+OB＝15，∴AD2＝5×15＝75，∴AD＝5．（AD＝﹣5不合题意舍去）．故选：C．6．解：连接OD，OC．∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴DE是圆的切线．故A正确；∴DE2＝CE•AE即：36＝2AE∴AE＝18，则AC＝AE﹣CE＝18﹣2＝16cm．故C正确；∵AB是圆的直径．∴∠ACB＝90°，∵DE垂直于AC的延长线于E．D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴四边形CFDE是矩形．∴CF＝DE＝6cm．BC＝2CF＝12cm．在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB＝＝＝20cm．故B正确；在直角△ABC中，AC＝16，AB＝20，则∠ABC≠30°，而D是弧BC的中点．∴弧AC≠弧CD．故D错误．故选：D．7．解：∵AC是圆O的切线，1∴∠CAB＝∠D，又∵∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴∴AC2＝BC•CD，∵AB＝2，BD＝3，BC＝5，∴AC2＝40，AC＝2，∵，∴AD＝故选：C．8．解：∵PB＝2cm，BC＝8cm，∴PC＝10cm，∵PA2＝PB•PC＝20，∴PA＝2，故选：D．9．解：∵AC，AE为⊙O的切线，∴AC＝AE＝6，根据勾股定理可知AB＝10，∴BE＝4；根据切割线定理有，BE2＝BD×BC可得，BD＝2，∴CD＝6，∴⊙O半径为3．故选：C．10．解：连接OA∵PA为⊙O的切线∴PA⊥OA∵∠APO＝∠APB＝30°∴OA＝OP×sin∠APO＝2×＝1∴⊙O的半径为1故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：∵AD•BD＝CD•DT，∴TD＝，∵CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT是⊙O的切线，PA是割线，∴PT2＝PA•PB，∵CT为直径，∴PT2＝PD2﹣TD2，∴PA•PB＝PD2﹣TD2，即（PB+7）PB＝（PB+4）2﹣62，解得PB＝20．故答案为：20．12．解：设PA＝x，∵∠PAC＝∠D，∴△PAC∽△PDB，∴＝，∵AC：DB＝1：2，∴PD＝2PA，∴由切割线定理得，PA•PB＝PC•PD，即x（x+35）＝2x（2x﹣35），解得x＝45，故答案为45．13．解：连接PO交圆于C，并延长PO交圆于D；∵PB＝4cm，AB＝5cm，∴PA＝9cm；由割线定理，得：PB•PA＝PC•PD；设点P到圆心的距离是xcm，则有：（x﹣4.5）（x+4.5）＝36，解得x＝7.5cm．故P到O点的距离为7.5cm．14．解：∵PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，PB＝2，PC＝4，∴PA2＝PB×PC，∴PA＝＝2．故答案为：2．15．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AO tan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．三．解答题（共5小题）16．解：（1）四边形ABCD为矩形，AB＝4；∴CD＝4．在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2；∴（2+AD）2＝42+AD2；解得AD＝3．（2）过A点作AG⊥EF于G；∵BC＝3，BE＝AB﹣AE＝4﹣3＝1．∴CE＝＝＝．由CE•CF＝CD2，得：CF＝＝＝．又∵∠B＝∠AGE＝90°，∠BEC＝∠GEA，∴△BCE∽△GAE；∴，即＝．∴AG＝．∴S＝CF•AG＝××＝．△AFC17．证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST；连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，于是因为C、E、O、D四点共圆，所以PC•PE＝PD•PO又因为Rt△SPD∽Rt△OPS所以即PS2＝PD•PO而由切割线定理知PS2＝PA•PB所以即18．（1）证明：连接OC，则OC⊥DC，（1分）∴∠DCA＝90°﹣∠ACO＝90°﹣∠B．∵∠DAC＝∠BAE＝90°﹣∠B，∴∠DAC＝∠DCA．∴DA＝DC．（2）解：∵DF：EF＝1：8，∵DF＝，∴EF＝8DF＝8．∵DC为⊙O的切线，∴DC2＝DF•DE＝×9＝18．∵DC＝3，∴AF＝2，AE＝6．∴AB•AC＝AE•AF＝24．（3）解：结论DA＝DC仍然成立．理由如下：延长BO交⊙O于K，连接CK，则∠KCB＝90°；∵DC为⊙O的切线，∴∠DCA＝∠CKB＝90°﹣∠CBK．∵∠CBK＝∠HBA，∴∠BAH＝90°﹣∠HBA＝90°﹣∠CBK．∴∠DCA＝∠BAH．∴DA＝DC．19．（1）证明：连接BC交OA于E点，∵AB、AC是⊙O的切线，∴AB＝AC，∠1＝∠2．∴AE⊥BC．∴∠OEB＝90°．∵BD是⊙O的直径，∴∠DCB＝90°．∴∠DCB＝∠OEB．∴CD∥AO．（2）解：∵CD∥AO，∴∠3＝∠4．∵AB是⊙O的切线，DB是直径，∴∠DCB＝∠ABO＝90°．∴△BDC∽△AOB．∴＝．∴＝．∴y＝．∴0＜x＜6．（3）解：由已知和（2）知：，（8分）把x、y看作方程z2﹣11z+18＝0的两根，解这个方程得z＝2或z＝9，∴（舍去）．∴AB＝＝＝．20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，于O，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，＝×a×a＝a2．∴S△DEF故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S＝a2．△DEF。

中考数学经典题库专题02 圆

中考数学经典题库专题02 圆

圆 专题切线的判定和性质圆的性质垂径定理弧、弦、圆心角关系圆周角定理及推论点和圆的位置关系三点确定圆三角形外接圆直线和圆的位置关系三角形内切圆圆和圆的位置关系正多边形的计算弧长扇形面积圆锥的侧面积有关圆的计算圆与圆有关的位置关系一 圆的相关性质一、选择题：如图，已知AB 和CD 是⊙O 的两条直径，弦DE ∥AB ，如果为400的弧，那么∠BOC 的度数为( )A 、1100B 、800C 、400D 、7002.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝200，D 是上任意一点，则∠D 是( ) A 、1200 B 、1100 C 、1000 D 、9003.如图，两圆内切于点P ，MN 是外公切线，大圆的弦AB 切小圆于C ，延长PC 交大圆于D ，PB 交小圆于E ，则图中与∠MPD 相等的角共有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4.两圆的圆心距是4，两圆的半径分别是方程x 2-6x+7=0的两根，则两圆有公切线( )A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条5.圆O 外一点P 与圆心O 的距离为4，从P 点向圆作切线，若切线长与半径长之差为2，则P 点到圆O 的最短距离是( ) A 、(71-) B 、(71+) C 、(37-) D 、(57-)6.如图，直线AB 与半径为2的圆O 相切于点C,D 是圆O 上一点，且30EDC ∠=，弦E F A B ∥，则EF的长度为（ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．227.如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (45)+ cmB. 9 cmC. 45cmD. 62cm8.如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为( ) A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-5954, D ．()31,- 9.如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。

中考数学专题复习《圆的证明与计算》检测题(含答案)

中考数学专题复习《圆的证明与计算》检测题(含答案)

专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)， 解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3， 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°， 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425， 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ， 在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ， 解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12， 又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ， 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°， 又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°， 又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ， 在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， 此时四边形APBC 的面积最大， 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154， 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8， 在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切， 理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ， 又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2， 解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ， 由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )， 化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ， 解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8， 在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )． 解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， 又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6， 在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3， 在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1， 易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ， 而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ， 整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3， 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ， 在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值． 理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ， 又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°， 又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ， 在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°， 又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3， 即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ， 在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ， 如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ， 又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32， 在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示： 则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。

中考数学圆的复习

中考数学圆的复习

中考数学圆的复习人生处处是考场，本日各为中考忙。

斗智斗勇齐亮相，得失成败走一场。

考场潇洒不虚枉，多年以后话沧桑!下面是作者给大家带来的中考数学圆的考点总结，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学圆的考点总结一、考点分析考点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d r点p在⊙o内; p=d=r点P在⊙O上;d r点P在⊙O外。

考点二、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点肯定一个圆。

2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。

考点三、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体以下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;(2)相切：直线和圆有唯独公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d p=直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就可以推出最后一个。

考点五、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心连线平分两条切线的夹角。

考点六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

中考数学复习专项练习---圆知识点复习及练习(含答案)

中考数学复习专项练习---圆知识点复习及练习(含答案)
37．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连接 AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD； （2）若 AB＝10，CD＝6，求 BE 的长．
38．如图，A，P，B，C 是半径为 8 的⊙O 上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC 是等边三角形； （2）求圆心 O 到 BC 的距离 OD． 39．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边 AC 上一点 O 为圆心，OA 为半 径的⊙O 经过点 B． (1)求⊙O 的半径；
A．4 3
B．6 3
C．2 3
D．8
3．如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，∠B=30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于 E，交 AB 于 点 D，连接 AE，则 S△ADE：S△CDB 的值等于（ ）
A．1：
B．1：
C．1：2 D．2：3
4．如图，⊙O 中，C 是优弧 A MB 上的一点，∠AOC＝100°，则∠ABC 的度数是( )
(2)⊙O 的半径为 5，tanA= 3 ，求 FD 的长． 4
31．如图，在△ABC 中，BC＝AC＝6，以 BC 为直径的⊙O 与边 AB 相交于点 D，DE⊥AC，垂足为 点 E． （1）求证：点 D 是 AB 的中点； （2）求点 O 到直线 DE 的距离．
32．如图，已知 AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足 H 在半径 OB 上，AH=5，CD= 4 5 ，点 E
(3)连接 OE 交 BC 于点 F，若 AB＝ 10 ，求 OE 的长度． 34．如图，在 ABC 中， BA BC ， ABC 90 ，以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，点 E 是 BD 上不与点 B，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于点 G． （1）求证： ADF BDG ；

中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习

中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习

中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习【基础知识回顾】一、圆的定义：1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径】3、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类4、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴.⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】5、垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .（2）推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别几何语言：∵在圆O中，_______∴ , .∵在圆O中，________∴ , .∵在圆O中，________∴ , .【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】3、圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】考点一：垂径定理例1、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C. 6D. 8例2、绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB 为_________考点二：圆心角定理例3、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°例4、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为____________对应训练2．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）．A．55° B．60°C．65° D．70°考点三：圆周角定理例5、如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P 是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ．例6、如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于_____________对应训练6、△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C（1）求证：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．考点四：圆内接四边形的性质例3 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．3对应训练【聚焦中考】1．如图，AB是的直径，C是上一点，AB=10，AC=6，，垂足为D，则BD的长为（A）2 （B）3 （C）4 （D）62．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（）． A． B． C． D．3．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是(A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°.4．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°5．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60° B．70° C．120° D．140°6．如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=______7．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A. 135°B. 122.5°C. 115.5°D.112.5°8．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是A.BD⊥ACB.AC2=2AB·AEC.△ADE是等腰三角形D. BC＝2AD.9．如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．10．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．11．AB是圆O的直径,BC是圆O的切线,连接AC交圆O于点D,E为弧AD上一点,连接AE、BE，BE交AC于点F，且AF²=EF.EB（1）求证：CB=CF （2）若点E到弦AD的距离为1，cos角C=3/5，求圆O的半径12．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm．【备考真题过关】一、选择题1．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为__________2．如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（）A．等于4 B．等于4 C．等于6 D．随P点位置的变化而变化3．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．3 D．44．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．205．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）A．AE＞BE B．C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题8．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．9．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，则半径OB的长为．10．如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为．111314．如图，已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；15．如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，则∠D的度数是．三、解答题16．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）17．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．18．在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．19．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．20．如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．21．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．。

鲁教版中考数学一轮复习 圆 专题2 与圆有关的位置关系(含答案)

鲁教版中考数学一轮复习 圆 专题2 与圆有关的位置关系(含答案)

第六单元圆专题2 与圆有关的位置关系考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.已知平面内有⊙O和点A,B,若⊙O半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直线AB与⊙O的位置关系为( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切2.点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9 cm，则⊙O 的半径是___________.3.如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点.若以1cm为半径的⊙O与直线a相切,则OP的长为___________.考点2 切线的性质与判定1.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为( )A.35°B.45°C.55°D.65°2.如图,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( )A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A，B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线3.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为( )A.1B.2C.√2C.√34.如图,在▱ABCD中,AD=12,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则▱ABCD 的周长为____________.5.如图,⊙O的半径OA=2,B是⊙O上的动点(不与点A重合),过点B作⊙O的切线BC,BC=OA,连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____________.6.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C.连接BC,若∠P=36°,则∠B=___________.7.如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线,切点为A,过点A作AB⊥OP,交⊙O于点B. (1)求证:PB是⊙O的切线;,求PO的长.(2)若CC=6,cos∠CCC=358.如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.̂上一点，连接AE并延长至点C，使9.已知:如图,AB是⊙O的直径,E为⊙O上一点，D是AE∠CBE=∠BDE,BD与AE交于点F.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:AD²=DF· DB.考点3 三角形的外接圆与内切圆1.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°2.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD是⊙O的直径,若AD=3,则CC=( )C.2√3C.3√3 C.3D.43.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是( )A.h=R+rB.R=2rC.C=√34C C.C=√33C4.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,点D是BC的中点,连接OD,OB,OC,则∠BOD=_______.5.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为_____________.6.已知△ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+C2−8C=4√C−1−19,则△ABC的内切圆半径=____________.专题检测一、选择题(每小题4分，共40分)1.平面内有两点P,O,⊙O的半径为5,若PO=4,则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.无法判断2.已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于( )A.75°B.70°C.65°D.60°̂上一点，则∠EPF的4.如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF度数是( )A.65°B.60°C.58°D.50°5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO=( )A.30°B.35°C.45°D.55°6.如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,圆B 半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是( )A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外7.如图,在等腰△ABC中, AB=AC=2√5,BC=8,按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；别以点E，F为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线②分别以点A，B为圆心，大于12MN,交射线AH于点O;③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆.则⊙O的半径为( )A.2√5B.10C.4D.58.如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=8cm,则BE+CG的长等于( )A.13 cmB.12 cmC.11 cmD. 10 cm9.如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于( )A.35B.23C.34D.4510.如图，点A的坐标为(-3，2),⊙A的半径为1,P为坐标轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为( )A.( 0,2)B.( 0,3)C.( -2,0)D.( -3,0)二、填空题(每小题4分，共24分)11.点A(0,3),点B(4,0),则点O(0,0)在以AB为直径的圆 (填“内”“上”或“外”).12.如图,在△ABC中,D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E,连接DE.若⊙O与BC相切,∠ADE=55°,则∠C的度数为___________.13.点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC为 .14.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 .15.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB= .16.如图，两个圆都是以点O为圆心，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=10，则图中圆环的面积为 .三、解答题(共36分)17.(12分)阅读下列材料:平面上两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)之间的距离表示为|P1P2|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2,称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x，y)是圆心坐标为C(a，b)、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为√(x−a)2+(y−b)2=r,变形可得 (x-a)²+(y-b)²=r², 我们称其为圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程(x-1)²+(y-2)²=25 可得它的圆心为(1,2),半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为 ;(2)若已知⊙O的标准方程为(x-2)²+y²=2²,圆心为C，请判断点A(3,-1)与⊙O的位置关系.18.(12分)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=42°,点D是⊙O上一点.(1)如图①,若BD为⊙O的直径,连接CD,求∠DBC和∠ACD的大小;(2)如图②,若CD∥BA,连接AD,过点D作⊙O的切线,与OC的延长线交于点E，求∠E的大小.19.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.(1)求证:AB为⊙O的切线;,AD=2,求BO的长.(2)若tanA=34参考答案考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.D ⊙O的半径为2 cm,线段OA=3cm,OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B 到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外,点B在⊙O上,∴直线AB 与⊙O的位置关系为相交或相切.2.6.5cm或2.5cm 分为两种情况:①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB=4cm,最大距离PA=9cm,∴直径AB=4+9=13(cm),∴半径r=6.5 cm;②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB=4 cm,最大距离PA=9 cm,∴直径AB=9-4=5(cm),∴半径r=2.5cm.3.3cm或5cm ∵直线a⊥b,O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时,切点为H,∴OH=1 cm. 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴⊙O与直线a相切,OP的长为3cm或5cm.考点2 切线的性质与判定1.C ∵BC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°.2.B 由切线长定理,得PA=PB,∴△BPA 是等腰三角形，故A正确；由圆的对称性可知AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确；如图，连接OB，OA，由切线的性质，得∠OBP=∠OAP=90°,∴点A,B,P在以OP为直径的圆上，故C正确；∵△BPA是等腰三角形,PD⊥AB,∴PC为△BPA的边AB上的中线,故D正确.3.D 如图,连接OB.∵四边形OABC是菱形.∴OA=AB.∵OA=OB,∴OA=AB=OB,∴∠AOB=60°.∵BD是⊙O的切线,∴∠DBO=90°.∵OB=1,∴BD=√3OB=√3.4.24+6√5如图,连接OE,过点C作CF⊥AD交AD于点F,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EOD+∠OEC =180°,∵⊙O与BC相切于点E,∴OE⊥BC,∴∠OEC=90°,∴∠EOD=90°,∵CF⊥AD,∴∠CFO=90°,∴四边形OECF为矩形,∴FC=OE,OD=3,∵AD为直径,AD=12,∴FC=OE=OD= 12在Rt△OFC中，由勾股定理得OC²=OF²+FC²=3²+6²=45.∴AB=OC=3√5,∴平行四边形ABCD的周长为12+12+3√5+3√5=24+6√5.5.2√3或2√2连接OB,∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°.∵BC=OA,∴OB=BC=2,∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=45°,∴∠ACO≤45°.当△OAC是直角三角形时，①若∠AOC=90°,∴OC=√2OB=2√2,∴AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3;②若∠OAC=90°,∵BC是⊙O的切线,∴∠CBO=∠OAC=90°.∵BC=OA=OB,∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC= 2√2.6.27°∵ PA切⊙O于点A,∴∠OAP=90°.∵∠P=36°, ∴∠AOP=54°. ∴∠B=12∠AOP=27 ∘.7.(1)证明连接OB,如图,∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A,∴∠PAO=90°, ∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠POA=∠POB,在△PAO和△PBO中, {AO=BO,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△PAO≌△PBO(SAS),∴∠PBO=∠PAO=90°,即OB⊥PB,又∵OB为⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线;(2)解设OP与AB交于点D.∵AB⊥OP,AB=6,∴DA=DB=3,∠PDA =∠PDB=90°,∵cos∠PAB=35=DAPA=3PA,∴PA=5,∴PD=√PA2−AD2=√52−32=4,在Rt△APD和Rt△APO中,cos∠APD= PDPA ,cos∠APO=PAPO,8.(1)证明∵∠CAD=∠ABD,∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD;(2)解∵AF是⊙O的切线,∴∠FAB=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°. ∴∠ABD=∠FAD.∵∠ABD=∠CAD,∠CAD=∠EAD,∴∠FAD=∠EAD.∵AD=AD,∴△ADF≌△ADE(ASA).∴AF=AE,DF=DE.∵AB=4,BF=5,∴AF =√BF 2−AB 2=3,∴AE=AF=3. ∵S △ABF =12AB ⋅AF =12BF ⋅AD, ∴AD =AB⋅AF BF=4×35=125,∴DE =√AE 2−AD 2=√32−(125)2=95, ∴BE =BF −2DE =75.∵∠AED=∠BEC,∠ADE=∠BCE=90°.∴△BEC ∽△AED. ∴BEAE =BCAD , ∴BC =BE⋅AD AE=2825, ∴sin ∠BAC =BC AB =725.∵∠BDC=∠BAC,∴sin ∠BDC =725.9.证明 (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵∠CBE=∠BDE,∠BDE=∠EAB,∴∠EAB=∠CBE,∴∠EBA+∠CBE=∠EBA+∠EAB=90°,即∠ABC=90°,∴CB ⊥AB. ∵AB 是⊙O 的直径,∴BC 是⊙O 的切线. (2)∵BD 平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE. ∵∠DAF=∠DBE,∴∠DAF=∠DBA.∵∠ADB=∠FDA,∴△ADF ∽△BDA, ∴ADBD =DFAD ,∴AD ²=DF ·DB. 考点3 三角形的外接圆与内切圆1.C ∵点O 为△ABC 的外心,∠A=40°, ∴∠A =12∠BOC,∴∠BOC =2∠A =80 ∘. 2.C 过点O 作OE ⊥BC 于点E,如图所示:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=30°,又 ∵AB̂对应的圆周角为∠ACB 和∠ADB,∴∠ACB=∠ADB=30°, 而BD 为直径,∴∠BAD=90°,在Rt △BAD 中,∠ADB=30°,AD=3, ∴cos30 ∘=ADBD =3BD =√32,∴BD =2√3,∴OB =√3,又∵∠ABD=90°-∠ADB=90°-30°=60°,∠ABC=30°,∴∠OBE=30°. 又∵OE ⊥BC,∴△OBE 为直角三角形. ∴cos ∠OBE =cos30 ∘−BEOB =√3=√32, ∴BE =32.由垂径定理可得BC=2BE= 2×32=3.3.C 如图,∵△ABC是等边三角形.∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O. 设OE=r,AO=R,AD=h,∴h=R+r,故A正确;∵AD⊥BC,∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°.在Rt△AOE中,∴R=2r,故B正确;∵OD=OE=r,AB=AC=BC=a,∴AE=12AC=12a,∴(12a)2+r2=(2r)2,(12a)2+(12R)2=R².∴r=√36a,R=√33a,故C错误，D正确.4.50°∵∠A=50° ,∴∠BOC=100°.∵OB=OC,∴△OBC为等腰三角形,又∵D为BC 中点，∴OD为BC上的中线，根据等腰三角形三线合一性质可得OD为∠BOC的平分线∴∠BOD=12∠BOC=50∘.5.(2,3) 根据A,B,C三点的坐标建立如图所示的坐标系.根据题意，得AB=√62+32=3√5,AC=√42+82=4√5,BC=√102+52=5√5.∵AB²+AC²=BC².∴∠BAC=90°.设BC的函数表达式为y=kx+b，代入B( -3,3),C(7,-2).得{3=−3k+b,−2=7k+b,解得{k=−12,b=32,∴BC的函数表达式为y=−12x+32.当y=0时,x=3,即G(3,0),∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线.设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作ME⊥AB,过点M作MF⊥AC,且ME=MF=r.∵∠BAC=90°,∴四边形MEAF为正方形, S ABC=12AB×AC=12AB×r+12AC×r+12BC×r,解得r=√5,即AE=EM=√5,∴BE=3√5−√5=2√5,∴BM=√BE2+EM2=5,∵B( -3,3),∴M(2,3).∴△ABC内心M的坐标为(2,3).6.1 ∵b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19，∴|c−3|+(a−4)2+(√b−1−2)2= 0,∴c=3,a=4,b=5.∵3²+4²=25=5²,∴c²+a²=b²,∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.设内切圆的半径为r.根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,∴r=1.(或者r=3+4−52=1)专题检测1.C2.C 如图,∵⊙O的半径为5,点O到直线l 的距离为3,∴CE=2,过点D作AB⊥ OC,垂足为D,交⊙O于A,B两点,且DE=2,∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A，B，C，∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个.3.B4.B5.B 如图,连接OA.∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,∴∠PBO=∠PAO=90°,∵∠P=70°,∴∠BOA=360°—∠PBO—∠PAO-∠P=110°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=12(180∘−∠BOA)=12(180 ∘−110 ∘)=35 ∘.6.C 两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值,设圆A的半径为R,则AB=R-1,∵AB =4,圆B半径为1,∴R=5,即圆A的半径等于5,∵AB=4,BC=AD=3,由勾股定理可知AC=5,∴AC=5=R,AD=3C在圆上，点D在圆内.7.D 如图,连接OC,设OA交BC于点T.∵AB=AC=2√5,AO平分∠BAC,∴AO⊥BC,BT=TC=4,∴AT=√AC2−CT2=√(2√5)2−42=2.在Rt△OCT中.有r²=(r-2)²+4²,解得r=5.8.D9.D 连接OC、OD、CD,CD交PA于点E,如图,∵PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D,∴OC⊥CP,PC=PD,OP平分∠CPD.∴OP⊥CD,∴CB̂=DB̂,∴∠COB=∠DOB,∵∠CAD=12∠COD,∴∠COB=∠CAD,在Rt△OCP中, OP=√OC2+PC2=√32+42=5,∴sin∠COP=PCOP =45,∴sin∠CAD=45.10.D 连接AQ、PA,如图,∵PQ切⊙A于点Q,∴AQ⊥PQ,∴∠AQP=90°,∴PQ=√AP2−AQ2=√AP2−1,当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时,AP的长度最小,∴AP⊥x轴时,PQ的长度最小,∵A(-3,2),∴此时P点坐标为(-3,0).11.上 12.55°13.55°或125°分两种情况:(1)点A 与点O 在BC 边同侧时,如图1:∵∠BOC=110°,∴∠BAC =110 ∘×12=55 ∘. (2)点A 与点O 在BC 边两侧时,如图2:∵∠BOC=110°,即BĈ所对的圆心角为110°,∴BDC ̂所对的圆心角为：360°—110°=250°. ∴∠BAC =12×250 ∘=125 ∘. 14.4415.130° ∵PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 是切点,∴OA ⊥PA,OB ⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠OAP+∠AOB+∠OBP +∠P=360°,∴∠AOB=360°—90°—90°-50°=130°. 16.25π 如图,连接OP 、OA,∵大圆的弦AB 是小圆的切线,∴OP ⊥AB, ∴AP=BP= 12AB =5, 由勾股定理得OA ²-OP ²=AP ²=25, ∴圆环的面积=π×OA ²-π×OP ²=π×(OA ²-OP ²)=25π.17.解 (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为(x-3)²+( y-4)²=4.故答案为：(x-3)²+(y-4)²=4. (2)由题意得圆心为C(2.0),∵A (3,−1),∴AC =√(3−2)2+12= √2<2,∴点A 在⊙C 内部.18.解 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB= 12(180 ∘−∠BAC)=12×(180 ∘−42 ∘)=69 ∘,∵BD 为直径,∴∠BCD=90°,∵∠D=∠BAC=42°,∴∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°; ∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69°-48°=21°; (2)如图,连接OD,∵CD ∥AB,∴∠ACD=∠BAC=42°,∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111°,∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-42°-111°=27°,∴∠COD=2∠CAD=54°, ∵DE 为切线,∴OD ⊥DE,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-∠DOE=90°-54°=36°. 19.(1)证明如图,过点O 作OH ⊥AB 于点H.∵∠ACB=90°,∴OC ⊥BC.∵BO 为△ABC 的角平分线,OH ⊥AB,∴OH=OC,即OH 为⊙O 的半径. ∵OH ⊥AB,∴AB 为⊙O 的切线.(2)解设⊙O 的半径为3x,则OH=OD=OC=3x.在Rt △AOH 中,∵tanA =34, ∴OHAH =34,∴3xAH =34,∴AH=4x, ∴AO =√OH 2+AH 2=√(3x )2+(4x )2=5x,∵AD=2,∴AO=OD+AD=3x+2,∴3x+2=5x,∴x=1,∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3 . ∴AC=OA+OC=5+3=8.在Rt △ABC 中, ∵tanA =BCAC ,∴BC =AC ⋅tanA =8×34=6, ∴OB =√OC 2+BC 2=√32+62=3√5.。

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：相交弦定理的运用(二)

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：相交弦定理的运用(二)

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：相交弦定理的运用（二）一．选择题（共10小题）1．如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好，篮球放在AC和BD的交点O处，已知取篮球时A要走6米，B要走3米，C要走2米，则D要走（）A．2米B．3米C．4米D．5米2．如图，⊙O的直径AB＝8，弧AC＝弧BC，E为OB上一点，∠AEC＝60°，CE的延长线交⊙O于D，则CD的长为（）A．6 B．4C．D．3．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE+3，则CD的长为（）A．4 B．5 C．8 D．104．如图，⊙O的直径AB＝10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE＝2，DE＝2，则弦心距OF为（）A．1 B．C．D．5．如图：若弦BC经过圆O的半径OA的中点P，且PB＝3，PC＝4，则圆O的直径为（）A．7 B．8 C．9 D．106．在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AM＝4，MB＝3，则CM•MD＝（）A．28 B．21 C．12 D．77．如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD＝4，则AP•BP的值为（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB＝2：3，则AC＝（）A．3cm B．4cm C．cm D．cm 9．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP＝∠MNQ，下面结论：①∠1＝∠2；②∠P+∠Q＝180°；③∠Q＝∠PMN；④PM＝QM；⑤MN2＝PN•QN．其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．④⑤D．①②⑤10．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ 的值是（）A．24 B．9 C．6 D．27二．填空题（共5小题）11．如图，在△ABC与△BCD中，AB＝AC＝4，BD交AC于E点，AE＝3，且∠BAC＝2∠BDC．则BE•ED＝．12．如图，弦AB与CD交于点E，AE＝3，BE＝2，DE＝，则CE＝．13．如图，在⊙O中，弦AB平分弦CD于E，若CD＝8，AE：EB＝1：4，则弦AB＝．14．如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB＝8，BC＝1，则AM＝．15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，已知CP＝3，PD＝4，AP＝2，那么AB＝．三．解答题（共5小题）16．已知：如图所示，BC为圆O的直径，A、F是半圆上异于B、C的一点，D是BC上的一点，BF交AH于点E，A是弧BF的中点，AH⊥BC．（1）求证：AE＝BE；（2）如果BE•EF＝32，AD＝6，求DE、BD的长．17．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．18．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．19．如图是一个铁艺制品，一个圆形铁架里面焊接有△ABC和△DBC，其中BD与AC交于点E，若AE＝DE，BC＝CE．（1）求∠ACB的度数；（2）过圆心O焊接GF，并使GF⊥AC，垂足为F，GF交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，求AB的长．20．已知，如图，PA切⊙O于点A，割线PD交⊙O于点C、D，∠P＝45°，弦AB⊥PD，垂足为E，且BE＝2CE，DE＝6，CF⊥PC，交DA的延长线于点F．求tan∠CFE的值．参考答案一．选择题1．解：根据题意得：A、B、C、D在以P为圆心，半径是5米的圆上．∴OA•OC＝OB•OD，即6×2＝3×OD．解得OD＝4．故选：C．2．解：连接OC、OD，过点O作OF⊥CD于点F．∵AB是⊙O的直径，C为弧AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝90°（等弧所对的圆心角相等）；又∵O是圆心，OF⊥CD，∴CF＝DF＝CD，（垂径定理）；在Rt△OEC中，∵∠AEC＝60°，∴∠OCE＝30°（直角三角形的两个锐角互余）；∴在Rt△OCF中，CF＝OC•cos30°；又AB＝8，∴OC＝4；∴CF＝4×＝2∴CD＝2CF＝4．故选：D．3．解：设CE＝x，则DE＝3+x．根据相交弦定理，得x（x+3）＝2×2，x＝1或x＝﹣4（不合题意，应舍去）．则CD＝3+1+1＝5．故选：B．4．解：∵AB＝10，∴⊙O的半径为5，又∵BE•AE＝CE•ED，即BE•（OA+OE）＝CE•ED，即2×（5+5﹣2）＝2CE，∴CE＝4，∴CD＝CE+ED＝4+2＝6，EF＝CD﹣ED＝3﹣2＝，又∵OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，EF＝，OE＝3，∴OF＝＝＝．故选：C．5．解：延长AO交⊙O于点D，设⊙O的半径是x，根据相交弦定理，得＝12，x＝4，因此⊙O的直径是8．故选：B．6．解：由相交弦定理知，CM•MD＝AM•MB＝3×4＝12，故选C．7．解：由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP＝DP＝2，再根据相交弦定理，AP•BP＝CP•DP＝2•2＝4．故选：B．8．解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∴CE2＝AE•BE，∵AB＝10cm，且AE：EB＝2：3，∴AE＝4cm，EB＝6cm，∴CE＝2cm，∴AC＝＝＝2cm．故选：D．9．解：延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QF ∵∠PNM＝∠QNM，MN⊥AB，∴∠1＝∠2（故①正确），∵∠2与∠ANE是对顶角，∴∠1＝∠ANE，∵AB是直径，∴可得PN＝EN，同理NQ＝NF，∵点N是MW的中点，MN•NW＝MN2＝PN•NF＝EN•NQ＝PN•QN（故⑤正确），∴MN：NQ＝PN：MN，∵∠PNM＝∠QNM，∴△NPM∽△NMQ，∴∠Q＝∠PMN（故③正确）．故选：B．10．解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．∵CD2＝AD•DB，AD＝9，BD＝4，∴CD＝6．在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ＝DE•EM＝CE•EN，设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），解得x＝3．所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．所以PE•EQ＝3×9＝27．故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：∵AB＝AC＝4，AE＝3，∴CE＝1，∵∠BAC＝2∠BDC，∴点B、C、D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，∴根据相交弦定理，得BE•ED＝CE•（AE+AB），∴BE•ED＝1×（3+4）＝7．故答案为：7．12．解：由相交弦定理得，AE•BE＝DE•CE，∴3×2＝×CE，解得，CE＝4，故答案为：4．13．解：设AE＝x，则EB＝4x，∵弦AB平分弦CD于E，∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，∵AE•BE＝CE•DE，即x•4x＝4•4，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），∴AB＝AE+BE＝5x＝10．故答案为10．14．解：作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，则EM＝MA＝MF，由相交弦定理知，AB•BC＝EB•BF＝（EM+MB）（MF﹣MB）＝AM2﹣MB2＝8，∵AB是圆O的直径，∴∠AMB＝90°，由勾股定理得，AM2+MB2＝AB2＝64，∴AM＝6．15．解：由相交弦定理得：PA•PB＝PC•PD，∴BP＝＝＝6，∴AB＝8，故答案为8．三．解答题（共5小题）16．解：（1）连接AB；∵BC是直径，且BC⊥AH，∴；∵A是的中点，∴＝＝；∴∠BAE＝∠ABE；∴AE＝BE；（2）易知DH＝AD＝6；∴AE＝6﹣DE，EH＝6+DE；由相交弦定理，得：AE•EH＝BE•EF，即：（6﹣DE）（6+DE）＝32，解得DE＝2；Rt△BDE中，BE＝AE＝AD﹣DE＝4，DE＝2；由勾股定理，得：BD＝＝2．17．解：（1）连接AD、BC．∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CD＝CM＝＝＝由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．18．解：（1）弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等．（写对一个给（1分），写对两个给2分）（2）如图，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P．结论：PA•PB＝PC•PD．证明：连接AD，BC，∵∠APD＝∠BPC，∠D＝∠B∴△APD∽△BPC∴PA•PB＝PC•PD；（3）若点C和点E重合，则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称，（8分）设∠BAC＝x，则∠BAD＝x，∠ABC＝90°﹣x，（9分）又D是的中点，所以2∠CAD＝∠CAD+∠ACD＝180°﹣∠ABC，即2•2x＝180°﹣（90°﹣x），（10分）解得x＝∠BAC＝30°．（11分）（若求得AB＝或AF＝3•FB等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆的十二等分点，然后说明．）19．（1）证明：∵AE•EC＝DE•BE，AE＝DE，∴EB＝EC，又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠ACB＝60°；（2）解：作BM⊥AC于点M，∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF＝60°，∴∠EGF＝30°，∵EG＝2，∴EF＝1，又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4，∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°，∴CM＝，BM＝＝，∴AM＝AC﹣CM＝，∴AB＝＝7．20．解：由相交弦定理，得AE•BE＝DE•CE 又∵BE＝2CE∴AE•2CE＝6CE∴AE＝3∵AB⊥PD∴∠AEP＝90°又∵∠P＝45°∴∠EAP＝∠P＝45°∴PE＝AE＝3在Rt△AEP中，由勾股定理，得：PA ＝＝＝∵PA切⊙O于点A∴PA2＝PC•PD∴PC＝∴CE＝PE﹣PC＝3﹣2＝1∵FC⊥PD∴∠FCE＝90°又∵∠AED＝90°∴∠AED＝∠FCE∴AE∥FC∴＝∴FC＝＝＝∴tan∠CFE＝＝＝．。

2021年九年级数学中考复习—— 圆的专题：填空题专项训练(二)(含答案)

2021年九年级数学中考复习—— 圆的专题：填空题专项训练(二)(含答案)

2021年九年级数学中考复习—— 圆的专题：填空题专项训练（二）1．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y ＝x ，点O 1的坐标为（1，0），以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点O 2；以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交直线l 于点P 2，交x 轴正半轴于点O 3；以O 3为圆心，O 3O 为半径画圆，交直线l 于点P 3，交x 轴正半轴于点O 4；…按此做法进行下去，其中弧的长 ．2．如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与三角形三边相切于点D 、E 、F ，若∠DFE ＝55°，则∠A ＝ °．3．如图，在Rt △ABC 中，点D 是AB 上的一点，将Rt △ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转90°，使得点A 的对应点A ′落在BC 的延长线上，点B 的对应点B ′落在边AC 上，点D 的对应点D '落在边A ′B ′上，经过点B ′，若AC ＝2BC ＝2，则阴影部分的面积是 ．4．如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN ＝2：3，若MN＝10，那么弦AN的长为．5．如图，PA与⊙O切于点A，PO的延长线交⊙O于点B，若⊙O的半径为3，∠APB＝54°，则弧AB的长度为．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，若AC＝m，BC＝n，则CD的长为（用含m、n的代数式表示）．7．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．8．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得∠APB＝60°，则AP的长为．9．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝．10．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）．11．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3．图中阴影部分的面积是．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB 的长是．13．过三点A（3，3）、B（7，3）、C（5，6）的圆的圆心坐标为．14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝1，将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处，则线段AC的长等于．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分＝．面积S阴影16．如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH中，点P在CD上，则△PGH的面积为．17．如图，已知⊙O的半径为6，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是．18．如图，四边形ABCD内接于以AC为直径的⊙O，AD＝，CD＝2，BC＝BA，AC与BD 相交于点F，将△ABF沿AB翻折，得到△ABG，连接CG交AB于E，则BE长为．19．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为5，C为⊙O内一动点，且△ACB＝90°，则△ABC的周长的最大值为．20．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为．参考答案1．解：连接P1O1，P2O2，P3O3，P4Q4，…，如图所示：∵P1是⊙1上的点，∴P1O1＝OO1，∵直线l解析式为y＝x，∴∠P1OO1＝45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，同理，P n O n垂直于x轴，∴为圆的周长，∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，∴OO n＝2n﹣1，∴＝×2π•OO n＝π×2n﹣1＝2n﹣2π，∴n＝2020时，＝22020﹣2π＝22018π，故答案为：22018π．2．解：连接OD，OE，如图所示：则∠ADO＝∠AEO＝90°；由圆周角定理知，∠DOE＝2∠DFE＝110°；∴∠A ＝360°﹣∠ADO ﹣∠AEO ﹣∠DOE ＝70°．故答案为：70．3．解：如图，连接CD 、CD ′，∵Rt △ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转90°，使得点A 与点A ′落在BC 的延长线上，点B 的对应点B ′落在边AC 上，点D 的对应点D '落在边A ′B ′上，经过点B ′，∴∠DCD ′＝∠ACA ′＝∠BCB ′＝90°，CB ＝CD ＝CB ′＝CD ′＝，AC ＝A ′C ＝2，∴∠BCD +∠DCB ′＝∠B ′CD ′+∠DCB ′＝90°，∴∠DCB ＝∠D ′CB ′，∴△DCB ≌△D ′CB ′（SAS ），由旋转可知：△ABC ≌△A ′CB ′，∴S △DCB ＝S △D ′CB ′，S △ABC ＝S △A ′CB ′，∴S △BCD +S △A ′CD ′＝S △ABC∴S 阴影＝S 扇形ACA ′+S △ABC ﹣S 扇形DCD ′﹣S △BCD ﹣S △A ′CD ′＝S 扇形ACA ′+S △ABC ﹣S 扇形DCD ′﹣（S △BCD +S △A ′CD ′）＝S 扇形ACA ′+S △ABC ﹣S 扇形DCD ′﹣S △A ′CB ′＝S 扇形ACA ′﹣S 扇形DCD ′＝﹣＝．故答案为．4．解：连接MA并延长至M'，使AM'＝AM，连接M'N，交半圆于D，连接AD，如图所示：∵MN是半圆的直径，∴∠MAN＝90°，∴AN⊥AM，∵AM'＝AM，∴M′N＝MN＝10，∵MB：BN＝2：3，∴MB＝4，BN＝6，由折叠的性质得：AD＝AB，BN＝DN，∴DM'＝BM＝4，∵四边形AMND是圆内接四边形，∴∠M'AD＝∠M'NM，∵∠M'＝∠M'，∴△M'AD∽△M'NM，∴＝，∴M′A•M′M＝M′D•M′N，即M′A•2M′A＝4×10＝40．则M′A2＝20，又∵M′A2＝M′N2﹣AN2，∴20＝100﹣AN2，∴AN＝4．故答案为：4．5．解：连接OA，∵PA与⊙O切于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∵∠APB＝54°，∴∠AOB＝∠APB+∠PAO＝54°+90°＝144°，∵⊙O的半径为3，∴弧AB的长度为＝π．故答案为：π．6．解：如图，作DE⊥CA与E，DF⊥BC于F．∵AB是直径，∴∠ECF＝∠CED＝∠CFD＝90°，∴四边形DECF是矩形，∵DC平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥CB，∴DE＝DF，∴四边形DECF是正方形，∵∠DCA＝∠DCB，∴＝，∴AD＝BD，∴Rt△ADE≌Rt△FDB（HL），∴AE＝BF，∴CE+CF＝AC+AE+CB﹣BF＝AC+BC＝m+n，∴CE＝CF＝DE＝DF＝（m+n），∴CD＝（m+n），故答案为：（m+n）．7．解：连接OC、OE、BD，OE与BD交于点F，如图所示：∵AC＝BC＝5，O为AB的中点，∴OA＝OB＝3，OC⊥AB，∴OC＝＝＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴AD⊥BD，∴BD＝＝＝，∴AD＝＝＝，∵E为的中点，∴OE⊥BD，∴OE∥AD，∵OA＝OB，∴OF为△ABD的中位线，∴DF＝BF＝BD＝，OF＝AD＝，∴EF＝OE﹣OF＝3﹣＝，∴DE＝＝＝；故答案为：．8．解：如图，取CD中点P，连接AP，BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°，∵点P是CD中点，∴CP＝DP＝2，∴AP＝＝＝4，BP＝＝＝4，∴AP＝PB＝AB，∴△APB是等边三角形，∴∠APB＝60°，过点A，点P，点B作圆与AD交于点P′，与BC交于点P″，连接BP′，AP″，此时∠AP′B＝∠APB＝60°，∠AP″B＝60°，∴AP′＝＝4，AP″＝＝8，故答案为：4或4或8．9．解：∵在⊙O中，，∴AC＝AB＝3，故答案为：310．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴五边形ABCDE为圆内接正五边形，∴＝＝＝＝，∴∠BAE＝＝108°，∠HAN＝∠AEH＝∠BAC＝∠DAE＝∠ABE＝∠BAE＝×108°＝36°，∴∠EAH＝∠BAN＝36°+36°＝72°，∴∠AHE＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∠ANB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAH＝∠EHA＝72°，∠ANH＝∠AHN＝72°，∴AE＝HE，∠EAH＝∠EHA＝∠ANH＝∠AHN，∴△AEH∽△AHN，∴＝，∵五角星的边框总长为40cm，∴AH＝AN＝EN＝＝4，HN＝HE﹣NE＝AE﹣4，∴＝，整理得：（AE﹣2）2＝20，∴AE＝2+2（cm），故答案为：2+2．11．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴图中阴影部分的面积＝＝3π，故答案为：3π．12．解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB，∵OC＝5，CD＝2，∴OE＝3，在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故答案为8．13．解：如图，在平面直角坐标系中画出点A、B、C，连接AB、AC、BC，过C作CE⊥AB于E，设所求的圆的圆心为D，半径为r，连接AD∵A（3，3）、B（7，3）∴圆心D在直线x＝5上∴D的横坐标为5∵C（5，6）∴CE＝3∵CD＝r∴DE＝3﹣r在Rt△DAE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2∴22+（3﹣r）2＝r2解得r＝∴点D的纵坐标为6﹣＝∴D（5，）故答案为：（5，）．14．解：连接OD，BC，AB，∵将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，∴OB＝BD＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴∠OBD＝60°，即旋转角等于60°，∵将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝OB＝，故答案为：15．解：连接OC．∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE＝，∴∠COB＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB＝OD，∴△OBC，△OBD都是等边三角形，∴OC＝BC＝BD＝OD，∴四边形OCBD是菱形，∴OC∥BD，∴S△BDC ＝S△BOD，∴S阴＝S扇形OBD，∵OD＝＝2，∴S阴＝＝，故答案为．16．解：作正八边形的外接圆O，则∠HGD＝×360°＝90°，∠FGD＝×360°＝45°，在正八边形ABCDEFGH中，CD∥HG，∴S△HGP ＝S△CDH，过F作FM⊥DG于M，过E作EN⊥DG于N，在Rt△GMF中，∠FGD＝45°，GF＝，∴GM＝GF＝1，同理，DN＝1，∵MN＝EF＝，∴GD＝1++1＝2+，∴S△HGP ＝S△HGD＝HG•GD＝．故答案为：+1．17．解：过D作DE⊥AB交⊙O于E，连接CE交AB于P，连接OE，作OF⊥CE于F，如图所示：此时CP+PD＝CE最小．，∴∠BOE＝∠BOD＝36°，∵∠AOC＝96°，∴∠BOC＝84°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，∵OC＝OE＝6，∴∠OCE＝∠OEC＝30°，∵OF⊥CE，∴CF＝EF，OF＝OC＝3，CF＝OF＝3，∴CE＝2CF＝6．即CP+PD的最小值为6；故答案为：6．18．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵AD＝，CD＝2，∴AC＝＝，∵AB＝BC，∴∠1＝∠2，过F作FM⊥AD于M，FN⊥CD于N，∴FM＝FN，∴＝＝＝＝2，∴AF＝AC＝，∵将△ABF沿AB翻折，得到△ABG，∴∠GAE＝∠CAE，∴＝＝3，∵AG＝AF＝，∵∠BAG＝∠BAC＝45°，∴∠GAC＝90°，∴CG＝＝，∴EG＝CG＝，∴tan∠CGA＝＝3，过A作AH⊥EG于H，∴HG＝AG•cos∠AGH＝×＝，AH＝AG•sin∠AGH＝×＝1，∴EH＝EG﹣HG＝，∴AE＝＝，∵AB＝AC＝，∴BE＝AB﹣AE＝．故答案为：．19．解：如图，连接OA、OB，∵OA＝OB＝5，AB＝5，∵52+52＝（5）2∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵△ACB＝90°，即当点C与点O重合时，△ABC的周长最大，因为AB是定值，AO+BO是直径最大，则△ABC的周长的最大值为：10+5．故答案为：10+5．20．解：如图，连接OB，∵∠DOC＝2∠ACD＝90°．∴∠ACD＝45°，∵∠ACB＝75°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∵OC＝OD，∠DOC＝90°，∴∠DCO＝45°，∴∠BCO＝∠DCO﹣∠BCD＝15°，∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠BCO＝15°，∴∠BOC＝150°，∴∠DOB＝∠BOC﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝2．故答案为2．。

中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。

与圆有关的位置关系课件 数学中考专题复习

与圆有关的位置关系课件 数学中考专题复习

摘要
图示
确定圆 的条件
不 __在_一_同_个_一_圆定义
确定 方法
性质
三角 形的 外心
_外__接__圆__ 的圆心
三角形三 边__垂__直__ _平__分__线___ 的交点
到三个_顶__点__ 的距离等
图示
【微点警示】 1.同一平面内只有三点不在同一直线上 时,才能确定一个圆. 2.一个三角形只有一个外接圆,而一个圆有无数个内接 三角形.
中考数学专题复习 与圆有关的位置关系
考点一 点与圆的位置关系及三角形外接圆
【主干必备】
1.点与圆的位置关系
知识点
摘要
点与圆 的位置
关系
点 __P_d在_>_r圆__外_.⇔
图示
知识点
摘要
点与圆 的位置
关系
点 __P_d在_=_r圆__上_.⇔ 点 __P_d在_<_r圆__内_.⇔
图示
知识点
【主干必备】
直线与圆的 位置关系
相离
相切
图形
相交
直线与圆的位置关 系
相离
相切
相交
公共点个数
___0___ ___1___ ___2___
d与r的关系
___d_>_r___ ___d_=_r___ ___d_<_r__
【微点警示】 当一条直线从已知圆的圆心出发,向圆 外运动时,该直线与圆心的距离d是一个变量,d的变化 在一定程度上会导致直线与圆的位置关系的变化,应注 意“相切”这一特殊位置.
【题组过关】
1.(2019·湘西州模拟)已知点A在半径为r的☉O内,点A
与点O的距离为6,则r的取值范围是 ( B )
A.r<6

2021年九年级中考复习数学考点提分专练——几何专题：《圆的提高题》(二)

2021年九年级中考复习数学考点提分专练——几何专题：《圆的提高题》(二)

九年级中考复习数学考点提分专练——几何专题《圆的提高题》（二）1．如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）当∠A＝60°时，求弦AB和弧AB所夹图形的面积；（3）在（2）的条件下，在⊙O的圆上取点F，使∠ABF＝15°，求点F到直线AB的距离．2．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于E，＝．（1）求证：∠BDC＝2∠ADB；（2）若直径BM交AC于点N，AD﹣BN＝2，BC＝8，求⊙O的半径．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．（1）当⊙O半径为1时，①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是；②直线y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．5．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．7．如图，AB为⊙O的直径，AC，BE为⊙O上位于AB异侧的两条弦，连接BC，CE，延长AB到点D，使得∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）当AC＝CE时，①求证：BC2＝BEBD；②若BD＝3BE，AC＝2，求⊙O的半径r．8．如图，⊙O与△ABC的AB边相切于点B，与AC、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，BE是⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，AB＝3，求DE的长．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过点C作CG∥BD交AD的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AB＝3，AD＝5，求AC的长．10．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P （0，4），Q（a，0）．（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为．（2）如图2，，①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．参考答案1．解：∵∠A＝600，OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60，∵AC＝4，∴OA＝2，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×22＝﹣；（3）①如图1：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，过点O作OH⊥AB，过F作FP⊥OH，FG⊥BA，由（2）知∠AOB＝60°，∴∠AOH＝30°，∴∠FOP＝60°．Rt△FPO中，∠FOP＝60°，OF＝2，∴OP＝1．Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FG＝HP＝﹣1．②如图2：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，等边△ABO中，OF平分∠AOB，∴OF⊥AB．Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FH＝2﹣．综上所述，点F到直线AB的距离是﹣1或2﹣．2．（1）证明：如图1，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交⊙O于G，连接CG，∵＝．∴DG⊥BC，BD＝CD，∴∠CBD＝∠BCD，∵AC⊥BD，∴∠DEF＝90°，∵∠CPF＝90°，∴∠DEF＝∠CPF，∵∠DFE＝∠CFP，∴∠EDF＝∠ACB＝∠ADB＝∠CDG，∴∠BDC＝2∠ADB；（2）解：如图2，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交⊙O于G，连接CG，BG，由（1）知：∠ADB＝∠BDG＝∠CDG，∴＝，∴∠CBG＝∠BCA，∴BG∥AC，∴∠ONF＝∠OBG，∠OFN＝∠OGB，∵OB＝OG，∴∠OBG＝∠OGB，∴∠ONF＝∠OFN，∴OF＝ON，∵AC⊥BD，∠ADB＝∠FDB，∴∠DAE＝∠AFD，∴AB＝DF，同理得：CF＝CG，∴AD﹣BN，＝DF﹣BN＝OD+OF﹣（OB﹣ON）＝OF+ON＝2，∴OF＝ON＝1，∵CF＝CG，CP⊥FG，∴FP＝PG，设FP＝a，则OB＝OG＝2a+1，FP＝a+1，∵DG⊥BC，且BC＝8，∴BP＝BC＝4，Rt△OBP中，OB2＝OP2+BP2，∴（2a+1）2＝（a+1）2+42，3a2+2a﹣16＝0，（a﹣2）（3a+8）＝0，∴a1＝2，a2＝﹣（舍），∴⊙O的半径OG＝2a+1＝5．3．解：（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN＝60°时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM＝∠TPN＝30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT＝∠PNT＝90°，∴TP＝2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点）．如图1中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P2，P3是⊙O的环绕点，故答案为：P2，P3．②如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于E．当直线y＝x+b经过点E时，b＝1．当直线y＝x+b与大圆相切于K（在第二象限）时，连接OK，由题意B（0，b），A（﹣b，0），∴OB＝b，OA＝b，AB＝＝b，∵OK＝2，ABOK＝OAOB，∴b×2＝bb，解得b＝2，观察图象可知，当1＜b≤2时，线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：当﹣2≤b＜﹣1时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的取值范围为1＜b≤2或﹣2≤b＜﹣1．（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y＝x时，∵m＞0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E（m，m），∴OM＝m，EM＝，∴以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．∵tan∠EOM＝＝，∴∠EOM＝30°，∵ON，OM是⊙E的切线，∴∠EON＝∠EOM＝30°，∴∠TOD＝30°，∴OT＝2DT＝4，∴T（0，4），当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O（0，0）时，T（0，﹣2），观察图象可知，当﹣2＜t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点．4．（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，∴，又∵∴，∴∠CAD＝∠ACE，∴AP＝CP，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90˚，∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，∴∠BCP＝∠CQA，∴CP＝PQ，∴AP＝PQ，即P是线段AQ的中点；（2）解：∵，AB是直径，∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，又∵AB＝5×2＝10，∴AC＝5，BC＝5，∴CH＝BC＝，又∵CE⊥AB，∴CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×＝5．5．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，又∵点M是弧AC的中点，∴＝，∴+＝+，即：＝，∴MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，∴ME＝＝＝，∴MD＝MB＝2ME＝2．6．证明：（1）补全图形如图所示，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，又∵MN∥AB，∴OE⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）过点C作CQ⊥MN，垂足为Q，交AB于点P，则CQ⊥AB，在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10∴OE＝PQ＝OA＝OB＝5，由三角形的面积公式得，ACBC＝ABCP，∴6×8＝10CP，∴CP＝4.8，∴CQ＝4.8+5＝9.8，∵AB∥MN，∴△CAB∽△CMN，∴＝，即＝，∴MN＝，连接BE，则BE＝AE，在Rt△ABE中，AE＝BE＝×AB＝5，∵EN是⊙O的切线，∴∠BEN＝∠BCE＝∠ACE，∵ACBE是⊙O的内接四边形，∴∠EBN＝∠CAB，∴△AEC∽△BNE，∴＝，即＝，∴BN＝，∵∠ACE＝∠ECN，∠CAE＝∠CEN，∴△CAE∽△CEN，∴＝，即＝，解得，CE＝7，又∵∠ACD＝∠ECB，∠CAD＝∠CEB，∴△ACD∽△ECB，∴＝，即＝，解得，CD＝，∴MN＝，CD＝．7．①∵∠BAE＝∠BCE，∴∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝∠CAB+∠BCE，∵∠BCD＝∠CAB，∴∠CAE＝∠BCD+∠BCE＝∠DCE，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠DCE，∴CD∥AE，∴∠BAE＝∠D，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠D，∵∠CAB和∠CEB是所对的圆周角，∴∠CEB＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAB，∴∠CEB＝∠BCD，∵∠BAE＝∠D，∴△BCE∽△BDC，∴，∴BC2＝BEBD；②如图2，连接OC，AE，设BE＝x（x＞0），∵BD＝3BE，∴BD＝3x，由①知，BC2＝BEB，∴BC＝x，由①知，△BCE∽△BDC，∴，∵CE＝AC＝2，∴，∴CD＝2，在Rt△OCD中，OD＝OB+BD＝r+3x，根据勾股定理得，OC2+CD2＝OD2，∴r2+（2）2＝（r+3x）2，∴3x2+2rx﹣4＝0（Ⅰ），在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∴22+（x）2＝（2r）2，∴3x2﹣4r2+4＝0（Ⅱ），（Ⅰ）+（Ⅱ）得，6x2+2rx﹣4r2＝0，∴3x2+rx﹣2r2＝0，∴（3x﹣2r）（x+r）＝0，∵r＞0，x＞0，∴x+r＞0，∴3x﹣2r＝0，∴x＝r，将x＝r代入（Ⅱ）得，3×（r）2﹣4r2+4＝0，∴r＝（舍去负值），即⊙O的半径r为．8．证明：（1）连接OD，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵DE∥OA，∴∠OED＝∠BOA，∠EDO＝∠AOD，又∵OD＝OE＝OB，∴∠OED＝∠ODE，在△ABO和△ADO中，∵OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SAS），∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）∵∠C＝30°，∠ODC＝90°，∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，又∵OD＝OE，∴△ODE是正三角形，∴OD＝OE＝DE＝OB，在Rt△ABO中，∠AOB＝60°，AB＝3，∴OB＝＝＝，∴DE＝．9．证明：（1）如图，连接OC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝45°，∴∠BOC＝2∠DAC＝90°，∴OC⊥BD，又∵CG∥BD，∴OC⊥CG，∴CG是⊙O的切线；（2）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，在Rt△ABD中，BD＝＝＝，在Rt△BCD中，BC＝CD＝BD＝×＝，∵CG是⊙O的切线；∴∠DCG＝∠DAC＝∠BAC，∠ACG＝∠ABC，又∵∠CDG＝∠ABC，∴△ABC∽△CDG，∴＝，即＝，∴DG＝，由∠ACG＝∠ABC，∠BAC＝∠DAC可得△ABC∽△ACG，∴＝，即＝，解得，AC＝4．10．解：（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math点”为B、C．故答案为：B，C．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（4，0），∴OP＝4，OQ＝4，∴tan∠PQO＝，∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），∵D（0，8），∴DE＝＝4，当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），∴DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，∵E′Q⊥OQ，∴∠E′QO＝90°，∴∠E′QK＝60°，∴∠E′KQ＝90°，∴∠EE′Q＝30°，∵DE′∥OQ，∴∠DE′K＝60°，∵DE′＝DK，∴△DE′K是等边三角形，∵点D到E′K的距离的最小值为4sin60°＝6，∴．②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，当直线MN与小圆相切时，b＝±4，当直线MN与大圆相切时，b＝±8，观察图象可知，满足条件的b的值为：或．。

九年级数学专题复习圆综合复习

九年级数学专题复习圆综合复习

总复习圆综合复习【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点进阶：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角． 要点进阶：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半.考点二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示．要点进阶：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点进阶：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点进阶：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点进阶：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点进阶：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°．要点进阶：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和． 要点进阶：（1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．（2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．考点六、四点共圆 1.四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.2.证明四点共圆一些基本方法：1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆． （若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆． 即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质例1． BC为O的弦，∠BOC=130°，△ABC为O的内接三角形，求∠A的度数.【变式】如图，∠AOB＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为（ ）A ．50B ．80或50C ．130D ．50 或130类型二、与圆有关的位置关系例2．如图，已知正方形的边长是4cm ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）例3．如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A,B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？A BO【变式】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，2sin3ABC∠=，求BF的长．类型三、与圆有关的计算例4．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）类型四、与圆有关的综合应用例5．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC的延长线于点E、F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．【变式】已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．例6．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC 三者之间有何数量关系，并给予证明．【变式】（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数；（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图②中∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是；（3）若3≤n≤8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 .一、选择题1．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜22．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝( )A．132+B．2 C．323+D．152+3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交第2题第3题第5题4．已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是( )A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含5．如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )A．19 B．16 C．18 D．206．如图，MN是半径为0.5的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB的最小值为( )A．22B．2 C．1 D．27．如图，分别以A，B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C，D两点，则∠CAD的度数为_______．8．如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度．第7题第8题第9题9．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，OA与OC关于点O中心对称，则AB、BC、CO、OA所围成的面积是________cm2．10．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3 cm和5 cm，则AB的长为________cm．11．将半径为4 cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是________cm．第10题第11题12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn；④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是．13．如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）证明：BC是⊙O的切线；（2）若DC=4，AC=6，求圆心O到AD的距离；（3）若，求的值．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．(1)若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小；(2)当AB＝1，BC＝2时，求△DEC外接圆的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．(1)证明：AF平分∠BAC；(2)证明：BF＝FD；(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．16. 如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA．(1)证明：直线PB是⊙O的切线；(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；(3)求sin∠OPA的值．。

九年级中考数学考点分类复习——圆

九年级中考数学考点分类复习——圆

中考数学考点分类复习——圆一、选择题1.下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2.已知⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O内B.点P的⊙O上C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或⊙O外3．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是( )A．18° B．36° C．54° D．72°4.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )A. 2B.22－2C.2－ 2D.2－15.如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB=60∘，点P到圆心O的距离OP=2，则⊙O的半径为( )A.12B.1 C.32D.26.如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C.若∠ABO＝20°，则∠C 的度数是( )A.70°B.50°C.45°D.20°7.如图，有一半径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径长为( )A.2米B.22米 C.24米 D.28米8. 如图,△ABC是☉O的内接三角形,下列选项中,能使过点A的直线EF与☉O相切于点A的条件是（）A.∠EAB=∠CB.∠B=90∘C.EF⊥ACD.AC是☉O的直径9.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是( )A.10B.8 2C.413D.24110．如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，C 是AB ︵上任意一点，过C作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E .若△PDE 的周长为12，则PA 的长为( )A ．12B ．6C ．8D ．411.如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA ＝OB ，⊙O 的直径为6 cm ，AB ＝6 3 cm ，则阴影部分的面积为( )A.()93－π cm 2B.()93－2π cm 2C.()93－3π cm 2D.()93－4π cm 212. 一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店，配制与原来大小一样的圆形玻璃，选择的是（ ）A.①B.③C.②D.④13.如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为( )A.23π－2 3B.23π－ 3C.43π－2 3D.43π－ 3 14. 如图，直线l 1 // l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1=60∘．下列结论错误的是（ ）A.MN =4√33B.l 1和l 2的距离为2C.若∠MON =90∘，则MN 与⊙O 相切D.若MN 与⊙O 相切，则AM =√315.如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD.若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为( )A.πB.32π C.2π D.3π 二．填空题16.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝8，CB ＝6，则△ABC 内切圆的周长为______．17. △ABC 中，∠C =90∘，AB =4cm ，BC =2cm ，以点A 为圆心，以3.4cm 的长为半径画圆，则点C 在⊙O ________，点B 在⊙O ________．18.扇形的半径是9 cm ，弧长是3π cm ，则此扇形的圆心角为 度.19.如图，已知⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝135°，则AB ＝______．20.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADF 的度数为 .21.如图，在圆O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长线交于点C ，AD ＝DC ，则∠C ＝______度．22.如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上.若PA 的长为2，则△PEF 的周长是 .23.如图，点A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过A ，B ，C 三点的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为 .24.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与BA 的延长线交于点D ，点E 在弧BC 上(不与点B 、C 重合)，连结BE 、CE .若∠D ＝40°，则∠BEC ＝_______度．25.如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝k x经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为6－32的圆内切于△ABC ，则k 的值为 .26. 如图，与相切，切点为，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为________．27. 如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BDC ＝45∘，∠BED ＝95∘，则∠C 的度数为________度．28．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F .已知∠A ＝110°，∠C ＝30°，则∠DFE 的度数是______．29. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为√2，则BF的长为________．30. 如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=8cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．（取准确值）三、解答题31.如图所示，CD是△ABC的中线，AB=2CD，∠B=60∘．求证：△ABC的外接圆的半径为CB．32. 如图所示，AB是⊙O的一条直径，CD是⊙O的一条弦，延长BA与DC的延长线相交于P点，若AB=2PC，∠P=36∘，求∠COD的度数．33.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点D，E，连接DE，AD＝BD，∠ADE＝120°.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)若AC＝2，求图中阴影部分的面积.34.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠BCD.(1)求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，sin∠BPD＝35，求⊙O的直径.35.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）如果⊙O的直径为9，cos B＝13，求DE的长36.如图，已知⊙O的直径CD＝6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A 点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于点G.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)求AE的长.37.如图， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 的切线交BC 于E ．（1）求证：12DE BC =；（2）若tanC=25，DE=2，求AD 的长．38．已知，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，ED ＝EC ，以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于D , 点B 在⊙O 上，连结OB .(1)求证：DE ＝OE ;(2)若AB ∥CD ，求证：四边形ABCD 是菱形．39.如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F .（1）求证：DE AC ⊥；（2）若10,8AB AE ==，求BF 的长.40. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，BE 是⊙O 的直径，连接BF ，延长BA ，过F 作FG ⊥BA ，垂足为G ．(1)求证：FG 是⊙O 的切线；(2)已知FG ＝2√3，求图中阴影部分的面积．41.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，PB 与CD 交于点F ，∠PBC=∠C ．（1）求证：CB ∥PD ；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．42.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．AH ，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过43.如图，点O是线段AH上一点，3点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作ABCD．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若13OH AH =，求四边形AHCD 与⊙O 重叠部分的面积； （3）若13NH AH =，54BN =，连接MN ，求OH 和MN 的长．44.已知ABC 内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ；（2）如图②，当90BAC ∠=时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC=5，BD=4，求AD AB AC+ 的值．。

中考数学一轮总复习 第36课时 圆(二)(无答案) 苏科版

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第36课时：圆（二）【知识梳理】1.点与圆的位置关系：设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则①点在圆外⇔ ；②点在圆上⇔ ；③点在圆内⇔ ． 2.直线与圆的位置关系：设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，①则直线与圆相交 ；②直线与圆相切⇔ ；③直线与圆相离⇔ . 3.圆与圆的位置关系：设设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R 和r ，则①两圆外离⇔ ；②两圆外切⇔ ；③两圆相交⇔ ④两圆内切⇔ ；⑤两圆内含⇔ ． 4.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．5.切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．6.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角7.相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.8.割切线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.9.割线定理：从圆外引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 10.三角形形的内心和外心（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心： （3）三角形的内心： 【课前预习】1.如图1，⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 52.已知⊙O 的半径r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，当d ＝r 时，直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） (A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 以上都不对3.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距O 1O 2=7cm ，则两圆的位置关系为（ ） (A) 外离 (B) 外切 (C) 相交 (D) 内切4.如图2,已知AB 是⊙O 的直径,PB 是⊙O 的切线,PA 交⊙O 于C,AB ＝3cm,PB ＝4cm,则BC ＝ .5.若1O ⊙与2O ⊙相切，且125OO =，1O ⊙的半径12r =，则2O ⊙的半径2r 是（ ） (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 3 或76.如图3AB 是⊙O 的一条直线，延长AB 至点C ，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于 .图1 图2 图3【解题指导】例1 如图，EB 是⊙O 的直径，A 是BE 的延长线上一点，过A 作⊙O 切点为D ，过B 作⊙O 的切线BC ，交AC 于点C ，若EB=BC=6. 求：AD 、AE 的长. A例2 如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，若∠AEC=∠ODB.（1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB=10，BC=8时，求BD 的长.例3 如图，在平面直角坐标系中，点1O 的坐标为(40)-，，以点1O 为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A B ，两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°的角，且交y 轴于C 点，以点2(135)O ，为圆心的圆与x 轴相切于点D ． （1）求直线l 的解析式； （2）将2O ⊙以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当2O ⊙第一次与1O ⊙外切时，求2O ⊙平移的时间．例4 如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，BM 平分∠ABC 交AC 于M ，以A 为圆心，AM 为半径作OA 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线AB 交OA 于P 、K 两点.作MT⊥BC 于T （1）求证：AK=MT ； （2）求证：AD⊥BC；（3）当AK=BD 时，求证：BN ACBP BM=【巩固练习】1.正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )(A) 2 (B) 32 (C) 3 (D) 32.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）(C)(D) 3.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交；②两个同心圆的圆心距为零；③没有公共点的两圆必外离；④两圆连心线的长必大于两圆半径之差(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个4.已知圆的直径为14，要使直线和圆有两个公共点，那么直线和圆心的距离可以是（ ） (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 95.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A .与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB ． (1)试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC .AD .BC 之间的数量关系，并说明理由；(3)若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）【课后作业】 班级 姓名 一、必做题： 1.如图1，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M,N 两点．若点M 的坐标是(2,-1)，则点N 的坐标是（ ）(A) (2,-4) (B) (2,-4.5) (C) (2,-5) (D) (2,-5.5) 2.如图2,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,DC 切⊙○于C ，若25A =∠．则D ∠等于（ ）(A) 40︒ (B) 50︒(C) 60︒ (D) 70︒图 1 图 2 图 3图43.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） (A) 外离 (B) 外切 (C) 相交 (D) 内含4.已知相切两圆的半径分别为cm 5和cm 4，这两个圆的圆心距是 ．5.如图3,△ABC 内接于⊙O ,AB ＝BC,∠ABC＝120°,AD 为⊙O 的直径,AD ＝6,那么BD ＝_ ．6.如图4，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cosB 35=．如果⊙O 的半，且经过点B 、C ，那么线段AO ＝ cm ．7.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且60=∠AEB ，则=∠P __ ___.8.如图，AM 为⊙O 切线，A 为切点，BD ⊥AM 于D ，BD 交⊙O 于C ，OC平分∠AOB ，求∠B 的度数.9.如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA ，垂足为D. （1）求证：CD 为⊙O 的切线； （2）若CD+AD=6，⊙O 的直径为10，求AB 的长.二、选做题：10. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心.EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为 . 11.如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E 、F 在AC 上， AB ＝AD ，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC. 求证：（1）CD⊥DF；（2）BC ＝2CD12.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按逆时针方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．13.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝2cm ，∠ABC ＝60º． （1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．。

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专题二：圆知识要点扫描归纳一 圆的基本概念（1）圆的定义：在平面到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

定点叫做圆心，定长叫半径。

（2）确定圆的条件；①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； ③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；（3）点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d ＞r ； ②点在圆上⇔d=r ； ③点在圆⇔ d ＜r ；（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直线。

直径是圆中最大的弦。

圆心到弦的距离叫做弦心距。

（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。

（7） 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。

二 圆中的重要定理 1．垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．推论1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．推论2：圆的平行弦所夹的弧相等．2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：圆心角相等←−−→←−−→←−−→所对所对所对弧相等弦相等弦心距相等 3．圆周角①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角． ②定理及推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 推论4：圆接四边形定理：圆的接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的对角． 三、直线和圆的位置关系：1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线． （2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2） 这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）2．直线和圆的位置关系性质和判定如果⊙O 的半径r ，圆心O 割直线l 的距离为d ，那么（1）直线l 和⊙O 相交d r ⇔<（图 1）；（2）直线l 和⊙O 相切d r ⇔=（图2）；（3）直线l 和⊙O 相离d r ⇔>（图3）．四、切线的判定和性质： （一）切线的判定1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线． （二）切线的性质1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径； 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径；l图1 l图2l图2l图1l图2l图3（4）经过圆心垂直于切线的直线过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心． 五、三角形的切圆 1．三角形的外接圆过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。

三角形的外心到各顶点的距离相等． 2．外心的位置锐角三角形的外心在三角形部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径2CR =(C 为斜边长) 3．三角形的切圆到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的切圆，三角形中，三个角平分线的交点，叫三角形的心，三角形心到三条边的距离相等，心都在三角形的部．若三角形的面积为ABC S ∆，周长为a+b+c,则切圆半径为:c b a S r ABC ++=∆2，当b a ,为直角三角形的直角边，c 为斜边时，切圆半径cb a abr ++=或2c b a r -+=. 4．圆接四边形的性质（1）圆接四边形的对角互补；（2）圆接四边形的任何一个外角等于它的对角．注意：①圆接平行四边形为矩形；②圆接梯形为等腰梯形． 六、切线长定理： 1．切线长概念：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R ，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．3．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠．4．两个结论：圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 七、弦切角定理：1．弦切角概念：理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线． 2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3．弦切角定理的推论：推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等． 八 与比例线段相关的定理（了解） 1．相交弦定理及其推论：（1）定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 如图，AB ，CD 相交余E ，则AE ·EB=CE ·DE（2），推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项．如上右图，有AE ·EB=CE 2成立 2，切割线定理及其推论（1） 定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项． 如上左图，PT 切⊙O,PAB 是⊙O 的一条 割线，则有PT 2=PA ·PB 成立．（2） 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等．如上右图，有PA ·PB=PC ·PD 成立． 九 圆中的相关计算1． 弧长公式：半径为R 的圆，其周长是R π2，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的3601，而为1803602R R ππ=，因此，on 的弧的弧长就是180R n π，于是得到公式：)(180代表弧长l Rn l π=。

2． （1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。

（2）扇形的周长： （3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB 的面积。

S 扇形=)(3602为扇形圆心角的度数为半径，n R R n πABAB l R l OB OA +=++2由上面两公式可知S 扇形=213602n R lR π=．可据已知条件灵活选用公式。

3． 弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S 弓形=S 扇形-S △OAB 。

（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S 弓形=S 扇形+S △OAB 。

十．两圆的位置关系： 1 圆与圆的位置关系2．两圆连心线的性质（1）如果两圆相切,那么切点位于这两个圆的连心线上． （2）相交两圆的连心线垂直平分这两个圆的公共弦． 3．两圆的公切线（1）与两圆都相切的直线,叫做这两个圆的公切线,两个圆在公切线的同旁时,这条公切线叫做这两个圆的外公切线;两个圆在公切线的两旁时,这条公切线叫做这两个圆的公切线;公切线上两个切点间的距离,叫做这条公切线(段)的长;（2）两圆的两条外公切线长相等;（3）两圆的两条公切线长相等，且交点位于这两个圆的连心线上； （4）两圆相切可以运用于弧与弧的平浓连接．考点扫描归纳1 角度的计算1．（年省市）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．O C B ACB AO 2、(年省B 卷)13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧AB )，点O 是这段弧的圆心，C 是弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ， AB =300m ，CD =50m ，则这段弯路的半径是 m ． 3、（德化）如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60︒ B ．50︒ C ．40︒ D ．30︒第2题图 第3题图4．(年崇文) AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，DAB ∠=48︒,则ACD ∠= ︒． 5．（年门头沟区）如图，CD AB ⊥于E ，若60B ∠=，则A ∠= 度．第4题图6.（年潼南县）如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为（ ）A ．15° B. 30° C. 45°D ．60°7. (年市) 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ． 2个D ． 1个8. （年中考） 如图，△ABC 接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝500，点D 是BAC 上一点，则∠D ＝_______________第8题 第9题 第10题 9．(市)如图，△ABC 是⊙O 的接三角形，若∠ABC ＝70°，则∠AOC 的度数等于（ ） A ．140° B ．130° C ．120° D ．110°10.（年省眉山市）如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A =40°，则∠OBC 的度数为_______．11.（年省市）如图， A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且A 是优弧BAC 上与点B 、点C 不同的一点，若BOC ∆是直角三角形，则BAC ∆必是( ) .OAB C第1题图· 第5题ABCO题图6（第17题）A.等腰三角形B.锐角三角形C.有一个角是︒30的三角形D.有一个角是︒45的三角形12.(年省市)如图,⊙O 是正三角形ABC 的外接圆,点P 在劣弧AB 上,ABP ∠=22°,则BCP ∠的度数为_____________. 13.（年市）如图，在⊙O 中，∠ACB ＝34°，则∠AOB 的度数是（ ）． A.17° B.34° C.56° D.68°14．（年省市）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．15．（，18，3分）如图⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD 的长度分别为2,1cm cm ，则弦AC 、BD 所夹的锐角α＝ ．第15题图 第16题图16．(年市)如图所示，在圆⊙O 有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．2017．（省喜市）如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，已知∠O ＝60º，则∠C ＝（ ）A ．20ºB ．25ºC ．30ºD ．45º 18.(年省).如图，△ABC 接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（ ）A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°19. (年市) 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在 半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为 A ．15︒ B ．28︒ C ．29︒ D ．34︒A OB C 第11题 第13题图A OC B第12题图 OA BC 第14题图 · （第18题）ABO CD20. (年市)（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）（本小题满分2分））若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90，试求小明家圆形花坛的面积．21（宿迁）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度．在第一象限有横、纵坐标均为整数的A、B两点，且OA= OB=10．（1）写出A、B两点的坐标；（2）画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形，并求其面积（结果保留π）．22．（）如图，以点P为圆心的圆弧与X轴交于A，B；两点，点P的坐标为（4，2）点A的坐标为（2，0）CyxOBA则点B 的坐标为 ．第21题图2 垂径定理的相关计算与证明1.（年省）如图(1)，AB 为圆O 的直径，C 、D 两点均在圆上，其中OD 与AC 交于E 点，且OD AC 。

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