正弦、余弦函数的性质

1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的周期性
1、周期函数的定义
对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域的每一个值时，都有
f（x+T）= f（x），
那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这 个函数的周期。
y
y=sinx (xR)
1
-4 -3
-2
- o
-1
几何画法 1. 正弦曲线、余弦曲线
五点法
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
5 6 x
y=cosx (xR) 值 域 y[ - 1, 1 ]
y
– cos
4
<0
从而
cos( 23 ) 5
cos(
17 4
)
<0
例2 求下列函数的单调区间：
(1) y=2sin(-x )
解： y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
2
+2k,
2
+2k],kZ
上单调递减
函数在
[
2
+2k, 3
2
+2k],kZ上单调递增
(2)
y=3sin(2x-
4
)
34
2
4
4
(3) y = -| sin(x+ 4 )|
解：
令x+
4
=u
,
则 y= -|sinu| 大致图象如下：
y
1
y=|sinu|
2 3
2
2
O
3
2 u
2
2
-1
y=y-=|ssiinnuu|
即： 增区间为 u [k , k ], k Z
减区间为
u
[k
2
, k
], k
Z
x [k
3
, k
1
c os( 1
x
)]
(2)
2 1
34
2
(3) y = - | sin( x + )|
4
(1) y= ( tan 9 )sin2x
8
解： 0 tan 9 1
8
单调减区间为 [k , k ]
4
4
单调增区间为 [k , k 3 ]
4
4
(2)
y l og [ 1 cos( 1 x )] 2 34 1
18
)
即：
sin(
18
)
–
sin(
10
) >0
(2) cos( 23 ) - cos( 17 )
5
4
解：
cos(
23 5
)=cos 23
5
=cos 3
5
cos(
17
4
)=cos
17
4
0 3
45
=cos
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
cos 3 <cos
5
4
3
即： cos 5
3、
正弦、余弦函数的奇偶性
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的单调性
y
解：2k 2 x 2k
4
2
k
x k
3
8
8
2k 2 x 2k 3
2
4
2
k 3 x k 7
8
8
所以： 单调增区间为 单调减区间为
[k , k 3 ]
8
8
[k 3 , k 7 ]
8
8
例3 求下列函数的单调区间：
(1) y= ( tan
9
8
) sin2x
y log [
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+22k，, 332
+2]k],kZ
其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
2
解： 定义域
2k 1 x 2k
23 4
2
6k 9 x 6k 3 , k Z
4
4
当 2k 1 x 2k 即 6k 9 x 6k 3 , k Z 为减区间。
23 4
4
4
当 2k x 2k 即 6k 9 x 6k 3 , k Z 为增区间。
2
3
4
5 6 x
y
y=cosx (xR)
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的周期性
2、最小正周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。
例如，正弦函数的最小正周期是2 。
正弦、余弦函数的周期性
几何画板演示
思考：你能从例2的 结果中归纳一下这 些函数的周期与解 析式中哪些量有关 吗？
],k Z
2
y为增函数
4
4
x [k , k ],k Z
4
4
y为减函数
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
函数 奇偶性 正弦函数 奇函数 余弦函数 偶函数
单调性（单调区间）
[
2
+2k,
2
+2k],kZ
单调递增
[ +2k, 3 +2k],kZ 单调递减
2
2
[ +2k, 2k],kZ 单调递增 [2k, 2k + ], kZ 单调递减
两个 函数
的周期仅与自变量的系数有关.那么,如何用自变 量的系数来表示上述函数的周期呢?
正弦、余弦函数的周期性
1、周期函数的定义
注：①注意定义中“每一个值”的要求 ② 周期函数的周期不唯一 ③周期函数不一定存在最小正周期 ④如果不作特别说明，教科书中提到的周期，一 般是指最小正周期。
2、正弦、余弦函数的最小正周期为2
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小 于0：
(1) sin( ) – sin( )
18
10
(2)
cos(
23 5
)-
cos(
17 4
)
(1)
sin(
18
)
–
sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又 y=sinx 在
[ , ]
22
上是增函数
sin(
10
) < sin(
求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y=sinx
定义域 xR 1、
值 域 y[ - 1, 1 ]
y
1
-3 5 -2 3
2
2百度文库
-
o 2
2
-1
x -
…
2
…
-1
0
cosx
y=cosx (xR)
x
3
2
2
5 2
3
7 2
4
0… 2 …
1
0
-1
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1 减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性的例