不等式中的取值范围的求法

不等式中的取值的范围求法

不等式是高中数学的重要内容，与各部分联系紧密，是历年高考的命题重点，在考查不等式的命题中以求取值范围问题居多，解决此类问题的方法体现了等价转换、函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。

1、 不等式的性质法

利用不等式的基本性质，注意性质运用的前提条件。

例1：已知

f x ax c f f ()()()=--≤≤--≤≤2411125，且，，试求f ()3的取值范围。 解：由(1)(2)4f a c f a c =-⎧⎨=-⎩

解得[][]1(2)(1)31(2)4(1)3a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

∴=-=

⋅--≤≤∴-≤⋅≤-≤≤-∴≤-⋅≤∴-+≤⋅-≤+-≤≤f a c f f f f f f f f f ()()()()()()()()()()3983253

112583832403

41153531203

8353832531403203

1320 ，，

，即

评：解此类题常见的错误是：依题意得

-≤-≤--≤-≤41

1145

2a c a c （）（）

用（1）（2）进行加减消元，得

03173≤≤≤≤a c ，（）

由f a c f ()()397327=--≤≤得

其错误原因在于由（1）（2）得（3）时，不是等价变形，使范围越加越大。

2、 转换主元法

确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。

例2：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2)

根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->+0

1-2x 2x 03-2x 2x 22 解得2

31x 271+<<+- 所以x

的取值范围为11()22

-++ 3、化归二次函数法

根据题目要求，构造二次函数，结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。 例3：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )

(A)－1

a -<<

解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x 成立

即2210x x a a --++>对x ∈R 恒成立

记22()1f x x x a a =--++

则应满足0∆< 即：24430a a --<

解得 2321<<-

a ,故选择C 。 例4：若不等式2282001

x x mx mx -+<--对一切x 恒成立，求实数m 的取值范围。 解：由22820(4)40x x x -+=-+>，知原不等式恒成立等价于210mx mx --<恒成立，那么 1 当0m =时，10-<，不等式成立； 2 当0m ≠时，要使不等式210mx mx --<恒成立，

应有2040m m m <⎧⎨∆=+<⎩

解得40m -<< 综上所述：m 的取值范围为(4,0)-

评：二次项系数含有参数时，要对参数进行讨论等于零是否成立。

4、反解参数法

在题目中反解出参数，化成a>f(x) （af max (x) （a

例5：若不等式2210x mx -->对一切13x ≤≤恒成立，求m 的取值范围。

解：因为13x ≤≤，所以2210x mx -->可转化成12m x x

<- 所以要使原不等式恒成立，则需2m 小于1x x

-的最小值， 令1y x x

=-，则此函数在13x ≤≤时为增函数， 所以1110y x x

=-≥-= 所以20m <，即0m <，故m 的取值范围为(,0)-∞

评：本题也可利用方法3和方法5求解。

例6：已知函数12()(0)f x x a x

=-+>，若()20f x x +≥在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围。 解：若()20f x x +≥在(0,)+∞上恒成立，

即1220x a x -++≥，112()x a x

∴≤+ 12()(0)x x x

+>的最小值为4， 14a ∴≤，解得0a <或14

a ≥ 所以a 的取值范围为1(,0),4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭

。 5、 数形结合法

运用数形结合，不仅直观，易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，简化了解题过程，在选择和填空中更显其优越。

例7：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是1k 0≤≤ 解析：画出y 1=1x +,y 2=kx 的图像，由图可看出 0≤k ≤1

由于不等式的综合性和灵活性，一道题往往有多种解法，所以要根据题目的情况，选择恰当的方法，不要拘泥一种形式，要灵活多变。