信息光学1.3 卷积和相关

f ( x x0 , y y0 )
结论：任意函数f (x,y)与（x,y)函数的卷积等于函数本身. 任意函数f (x,y)与（x-x0 ,y-y0)函数的卷积等于函数被平
移到脉冲所在的空间位置上（x0, y0）处。
f ( x)
( x)
f ( x)

0
f ( x)
=
0
x
x
0
f ( x x0 )
g( x , y ) h( x , y ) f ( x , y ) h( x , y )
（2）交换律
f ( x , y ) h( x , y ) h( x , y ) f ( x , y )
（3）结合律
f ( x , y ) h1 ( x , y ) h2 ( x , y )
g(x)中已失去f(x)的细节。
1
h( x )
f ( x)

a 2
0a
x
0
f ( ) h (x )
x
2
0
x0 g ( x ) f (x) h(x)

g( x0 )
0
x0
x
4、卷积运算的基本性质 （1）分配律
g( x , y )
f ( x , y ) h( x , y )
f( x) 1, 0 x1
h( x )
0,
其它
0,
其它
h( x )
1
f ( x)
1 2
0 求卷积的方法：
1
x
0
1
x
（1）、将f (x)和h (x)变为f ()和h ()，并画出相应的曲线
h( )
1
f ( )
1 2
0
1

0
1

（2）、将h() h(-) 只要将h()曲线相对纵轴折叠便得到其镜 像h(-)曲线。
卷函数之和。
只要二函数的非零值范围有重叠，则二者的卷积必不为零。
（2）平滑效应：被卷积的函数经过卷积运算，其细微结构 在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑。
光电探测器记录光强的过程
用矩形函数表示狭缝的透过率h(x), 并对光强的空间分布f(x)
扫描，在狭缝后面用光电探测器记录光强分布g(x).这一扫描 记录过程包含了平移、相乘、积分几个环节，由于h(x)是偶 函数，折叠不发生变化。因而这是一个卷积运算过程。当狭 缝很窄，g(x)越接近于f(x).当狭缝越宽，平滑效应就越严重，
1
1 2
h(x - )
1
0
x 1
x




f ( )h( x )d 0
1
f ( ) h(x - )
1 2
(4) x 0



f ( )h( x )d 0
0
1
x

综合上面的结果可得两函数的卷积
g( x , y ) f ( x , y ) h( x , y )
相关的几何意义（位移，相乘，积分）
g ( )
f ( )

位移
相乘 f ( x ) g( )
x



积分区域
f ( x)☆g ( x)
阴影部分面积
x

相关
2、互相关的卷积表达式
互相关与卷积是不同的两种运算，参与互相关的两个函数 都不翻转，但是我们可以把它表示成卷积的形式。
Rf g

h(-)
1 2
f ( )
1
0 1 0 （3）、对任一x(-, +) ，只要将曲线h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)
h(x - )
1 2


x >0右移，x<0,左移
f ( )
0x

1
h(x - )
1 2
0x

1
（4）、计算 h(x - ) f ( ) 所对应的曲线下的面积
若f(x,y)是实偶函数，则
f ( x , y ) ★ g( x , y ) f ( x , y ) g ( x , y )
2、自相关 （self correlation）
1、定义： 当
f ( x , y ) g( x , y ) 时

互相关成为自相关
R ff
f ( x , y ) f ( , )dd
g( x , y )


f ( , )h( x , y )dd

f ( x , y ) h( x , y )
2、 卷积运算的过程 卷积的图解方法，概括起来有四个步骤： 折叠、位移、相乘和积分。 例：如图，已知两个函数f(x)和h(x),求其卷积
1 , 2 0 x1
为了得到卷积，需对-, +的每一个x 值求其卷积值。
f ( ) h(x - )
1 2
(1) 0 x 1

x
0
x f ( )h( x )d 2
0x
f ( )
1

(2) 1 x 2
1 f ( ) h ( x )d (1 ( x 1) x 1 2 x 1 (3) x 2 2
令
x1



f ( x1 ) h( x x2 ) d f ( ) h( x x1 x2 ) d

g( x x1 x2 )
5、函数f(x,y)与函数的卷积

f ( x , y ) ( x , y )
Rf g

f ( x , y ) g( , )dd
★
f ( x, y )
令
g( x , y )
式中 f﹡是函数 f 的复共轭， ★号表示相关运算。
x

y
我们可得互相关定义的另一种形式
Rf g

f ( , ) g( ห้องสมุดไป่ตู้x, y )dd
（4）平移不变性
已知 则
f ( x , y ) h1 ( x , y ) h2 ( x , y )
g( x ) f ( x ) h( x )
f ( x x1 ) h( x x2 ) g( x x1 x2 )
f ( x x1 ) h( x x2 )
0 x 2
x0 0 x1 1 x 2 x 2
1 x 2

x 1 2 0
g( x , y )
x 2
0
1
2
x
图解方法在系统分析中是很有用的，它使我们能直观理解许 多抽象的关系。在直接计算卷积积分时，图解方法也有助于 确定积分限。为了加深印象，再看一个例子。 例：如图，已知两个函数f(x)和h(x),求其求卷积
0 x f ( )h( x )d
-( x )

g( x )
1 e
0
x
d d
g( x0 )
1 e
0
x
-( x )
0
x0
x
1 e x
例：求两个矩形函数的卷积，下面给出结论。试证明。
( x ) rect( x ) rect( x )
3、卷积运算的两个效应 （1）展宽效应：假设函数只在一个有限区间不为零，这个 区间可称为函数的宽度。一般说来，卷积函数的宽度等于被


f ( x , y ) g( , )dd



f ( x ),( y ) g( , )dd



f ( x ', y ')g ( x x ', y y ')dx 'dy '
f * ( x , y ) g( x , y )
f( x) 1, x0
h( x )
f ( x)
e x ,
0,
x0
其它
0,
1
其它
h( x )
1
0
1
x
0
x
解： （1）、将f (x)和h (x)变为f ()和h ()，并画出相应的曲线
h( ) f ( )
1
1
0
1

0

（2）、将h() h(-) 只要将h()曲线相对纵轴折叠便得到其镜 像h(-)曲线。
f ( )
f ( x0 )

f ( x, y ) ★ f ( x, y )

x
x0


f ( , ) ( x , y ) d d f ( x, y ) ( x , y ) d d


f ( x, y ) ( x , y ) d d
f ( x, y )
f ( x, y) ( x x0 , y y0 )
基础知识（3）
卷积和相关
1.3 卷积与相关
一、卷积
1、 卷积（convolution）定义 两个复值函数f(x,y)和h(x,y)的卷积的定义为：
g( x , y )


f ( , )h( x , y )dd

f ( x , y ) h( x , y )
它是包含两个参量的二重无穷积分，这里的参变量 x,y 和积分 变量，均为实数，但函数f(x,y) 和h(x,y)可以是实数，也可以 是复数。*号表示卷积运算。
x
( x x0 )

0
=
0 x0
x
x
0
x
函数f (x,y)与多个脉冲函数的卷积可在每个脉冲位置上产
生f (x,y)的波形。这一性质有助于我们描述各种重复性的
结构，例如，双缝、多缝、光栅等衍射屏的透过率函数。
f ( x)

0
x
=
x
二、相关（correlation）
1、互相关 （cross correlation） 两个函数f(x,y)和g(x,y)的互相关定义为
1
f ( )
h(- )
1
0
1

0

（3）、将曲线h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)，
当x 0时, f ( )h( x ) 0
因此 g(x)=0
当x 0时,计算积f( α) h ( x α) 曲线下面的面积 f ( )
1 h( x - )
g( x )

x
0
f ( x, y ) ★ f ( x, y )
R ff f * ( x, y) f ( x, y)
关于互相关和自相关的说明 互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度。两个完全不 同的、毫无关系的信号，对所有位置，它们互相关的值应为 零。假如两个信号由于某种物理上的联系在一些部位存在相 似性，在相应的位置上就存在非零的互相关。
f(x)
g( x )
x x
在 x0 处 由 于 信 号相似程度大， 因而出现相关 峰值。
f ( x , y ) ★ g( x , y )
x0
x
自相关是自变量相差某一大小时，函数值间相关的量度。当 x=0,y=0，自相关最大。当信号相对本身有平移时，就改变了位 移为零时具有的逐点相似性，自相关的模减小。但是只要信号本 身在不同位置存在相似结构，相应部位还会产生不为零的自相关 值，当位移足够大时，自相关值可能趋于零。