速度运动学-雅可比矩阵
简述机器人雅可比矩阵的概念
简述机器人雅可比矩阵的概念机器人雅可比矩阵是机器人控制理论中的一个重要概念，它描述了机器人末端执行器在关节空间和笛卡尔空间中的运动学关系。
本文将从机器人运动学的基本概念入手，介绍雅可比矩阵的定义、性质和应用，以及在机器人控制中的重要作用。
一、机器人运动学基本概念机器人运动学是研究机器人运动规律和运动参数的学科，它是机器人控制理论的重要组成部分。
机器人运动学主要分为正运动学和逆运动学两个部分。
正运动学是指通过机器人关节角度计算机器人末端执行器的位置和姿态，即把关节空间的运动状态转换为笛卡尔空间的运动状态。
逆运动学则是指通过机器人末端执行器的位置和姿态计算机器人关节角度，即把笛卡尔空间的运动状态转换为关节空间的运动状态。
正逆运动学是机器人控制中的基本问题，也是机器人实际应用中必须解决的问题。
机器人运动学中的基本概念包括机器人坐标系、机器人关节角度、机器人末端执行器的位置和姿态等。
机器人坐标系是机器人运动学中的一个基本概念，它是描述机器人运动状态的基础。
机器人坐标系可以分为基座坐标系和工具坐标系两种类型。
基座坐标系是机器人的固定参考系，通常与机器人底座相对应。
工具坐标系则是机器人末端执行器的参考系，通常与机器人末端执行器的位置和姿态相对应。
机器人关节角度是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人关节运动状态的参数。
机器人关节角度通常用关节角度向量表示，例如q=[q1, q2, ..., qn]T，其中n是机器人关节数量。
机器人关节角度向量是机器人控制中的重要参数，它可以用来控制机器人的关节运动状态。
机器人末端执行器的位置和姿态是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人末端执行器运动状态的参数。
机器人末端执行器的位置通常用位置向量表示，例如p=[x, y, z]T，其中x、y、z 是机器人末端执行器在笛卡尔空间中的位置坐标。
机器人末端执行器的姿态通常用姿态矩阵或欧拉角表示，例如R=[r11, r12, r13; r21, r22, r23; r31, r32, r33]，其中r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33是姿态矩阵的元素。
雅可比矩阵线速度和角速度
雅可比矩阵（Jacobian matrix）是用于描述由一组输入变量到一组输出变量之间的映射关系的线性近似的矩阵。
对于机器人运动学中的问题，雅可比矩阵用于描述机器人末端执行器的线速度和角速度之间的关系。
在机器人末端执行器上，线速度（Linear Velocity）表示机器人在三维空间中的平移速度，通常用向量表示。
角速度（Angular Velocity）表示机器人在三维空间中的旋转速度，也用向量表示。
雅可比矩阵的定义如下：
对于机器人末端执行器的线速度，可以用表示机器人末端执行器位姿的向量q 求导数得到：
v = Jv(q) * q_dot
其中，v 是线速度的向量，Jv(q) 是线速度雅可比矩阵，q_dot 是机器人各关节速度的向量。
对于机器人末端执行器的角速度，可以用表示机器人末端执行器姿态的旋转矩阵R 求导数得到：
ω= Jω(q) * q_dot
其中，ω是角速度的向量，Jω(q) 是角速度雅可比矩阵，q_dot 是机器人各关节速度的向量。
通过雅可比矩阵，我们可以计算出机器人末端执行器的线速度和角速度与各关节速度之间的关系，这对于机器人控制、路径规划等问题非常重要。
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义
摘要：
1.速度雅可比矩阵的定义
2.速度雅可比矩阵的性质
3.速度雅可比矩阵的应用
正文：
速度雅可比矩阵是数学中的一个重要概念，它主要用于描述刚体在三维空间中的运动。
雅可比矩阵的定义可以追溯到19 世纪初，俄罗斯数学家雅可比在其研究中首次提出了这一概念。
速度雅可比矩阵是雅可比矩阵在物理学和工程学中的一个重要应用。
首先，我们来了解一下速度雅可比矩阵的定义。
速度雅可比矩阵是一个三维行列式，它描述了一个刚体在三维空间中的瞬时速度。
具体来说，它由刚体的三个线性速度和三个角速度构成。
其中，线性速度是刚体在某一方向上的速度，而角速度则是刚体绕某一坐标轴旋转的速度。
接下来，我们来探讨一下速度雅可比矩阵的性质。
首先，速度雅可比矩阵是一个对称矩阵，这意味着它的转置等于本身。
其次，速度雅可比矩阵的行列式等于刚体的动能，因此，它可以用来描述刚体的动能。
最后，速度雅可比矩阵可以用来描述刚体在三维空间中的运动轨迹，因此，它对于研究刚体的运动学和动力学具有重要的意义。
最后，我们来看一下速度雅可比矩阵的应用。
速度雅可比矩阵主要用于描述刚体在三维空间中的运动，它可以用来分析刚体的运动轨迹，以及计算刚体在运动过程中的动能。
此外，速度雅可比矩阵还可以用来设计控制系统，以实
现对刚体的精确控制。
机器人雅可比矩阵
机器人雅可比矩阵简介机器人雅可比矩阵（Robot Jacobian Matrix）是机器人运动学中的重要概念之一。
它描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系，是机器人运动方程求解、运动规划和控制的基础。
本文将详细介绍机器人雅可比矩阵的定义、性质以及它在机器人学中的应用。
定义在介绍机器人雅可比矩阵之前，我们先回顾一下机器人运动学的基本概念。
假设有一个机器人系统，它由n个自由度的关节组成，每个关节的转动由关节角度表示。
而机器人的末端执行器的位置和姿态可以通过正向运动学求解得到，位置用笛卡尔坐标表示，姿态用旋转矩阵或四元数表示。
机器人雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系。
具体来说，设机器人关节速度为q_dot，末端执行器速度为x_dot，机器人雅可比矩阵为J，那么雅可比矩阵满足以下关系：x_dot = J * q_dot性质机器人雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：1.雅可比矩阵的维度为6×n，其中6表示笛卡尔坐标的维度，n表示机器人的自由度数。
2.雅可比矩阵是一个矩阵函数，它的元素可以表示为：J_ij = ∂f_i / ∂q_j其中，f_i表示末端执行器的第i个度量值，q_j表示第j个关节角度。
3.雅可比矩阵的每一列表示末端执行器在各个关节速度方向上的运动灵敏度。
如果某列的元素值较大，说明在该关节角度变化时，末端执行器的运动会更加敏感。
4.雅可比矩阵的秩决定了机器人在不同姿态下所能达到的运动自由度。
如果雅可比矩阵的秩小于n，那么机器人在某些姿态下会出现奇异配置，并且无法实现所需的末端执行器速度。
应用机器人雅可比矩阵在机器人学中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景：逆运动学求解在机器人学中，逆运动学是指已知末端执行器的位置和姿态，求解机器人关节角度的过程。
雅可比矩阵在逆运动学求解中起到了关键作用。
通过雅可比矩阵的逆矩阵，可以将末端执行器的速度映射到关节速度空间中，进而求解出关节速度。
雅可比矩阵_灵敏度矩阵_解释说明以及概述
雅可比矩阵灵敏度矩阵解释说明以及概述1. 引言1.1 概述雅可比矩阵是数学中一种重要的矩阵形式，用于描述多元函数的局部性质和关系。
灵敏度矩阵则是一种衡量系统响应对输入参数变化的敏感程度的工具。
本文将深入探讨雅可比矩阵和灵敏度矩阵的定义、计算方法、性质以及它们在实际问题求解中的潜在应用。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分来展开对雅可比矩阵和灵敏度矩阵的介绍和解释。
首先，我们将给出本文的概述，明确文章主题和目标；其次，我们将详细介绍雅可比矩阵包括其定义、基本概念、计算方法以及应用领域；随后，我们将深入探讨灵敏度矩阵，包括其意义定义、计算方法和性质，并通过实际案例来展示其运用；接着，我们将进一步解释说明雅可比矩阵在问题求解中的作用与意义以及灵敏度矩阵在问题求解中的应用举例；最后，我们将总结全文内容，并对雅可比矩阵及其应用进行展望。
1.3 目的本文旨在系统介绍雅可比矩阵和灵敏度矩阵的相关概念、计算方法以及实际应用，帮助读者全面了解它们在数学和工程领域的重要性和作用。
同时，通过详细解释说明它们在问题求解中的具体应用案例，期望读者能够理解如何应用雅可比矩阵和灵敏度矩阵来分析和优化复杂系统中的相互关系。
最后，我们希望通过本文对雅可比矩阵与灵敏度矩阵的深入探讨，为进一步研究提供启示和方向。
2. 雅可比矩阵:2.1 定义和基本概念:雅可比矩阵是数学中的一种线性变换矩阵，用于描述多元函数的导数。
对于一个具有n个自变量和m个因变量的向量值函数，其雅可比矩阵是一个m×n的矩阵，其中每个元素表示因变量关于自变量之间的偏导数。
设函数f(x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., ym)，则该函数的雅可比矩阵J就是一个m ×n矩阵，其中每个元素Jij表示yj关于xi的偏导数。
2.2 计算方法和性质:计算雅可比矩阵的方法通常即是求各偏导数。
对于一个标量场(只有一个因变量)来说，其雅可比行列式称为该函数的梯度，也就是常说的向量场。
5速度分析和雅克比矩阵
线速度 角速度
例：图示4自由度机械臂为例分别求 线速度Jv和角速度Jw部分
求线速度Jv
将红色3*1部分对关节空间向量 [θ1 d2 θ3 θ4]求导可得
求角速度Jw 以2R为例说明
为θ1和θ2单独旋转后的合成，单独旋转角 度与a相同
列：关节
…
X qn Y qn Z qn X qn Y qn Z qn
…
线位移
…
J(q)
…
…
角位移
…
5、机器人速度分析和雅可比矩阵
5.4. 机器人的速度雅可比
由运动学方程可得：
X X (1 , 2 ) Y Y (1 , 2 )
求微分，得：
X X d X d d 2 1 1 2 dY Y d Y d 1 2 1 2
X 1 dX dY Y 1 X 2 d1 Y d 2 2
关节角度微小变化Δθ
雅可比矩阵J
手部位姿微小变化ΔX
如果已知两者之间的微分关系，就可以解决机器人微分运动的两类基本问题： 1）是在已知机器人各个关节变量的微小变化时求机器人手部位姿的微小变化；
2）是在已知机器人手部位姿的微小变化时求机器人各个关节变量相应的微小变化。
类似与运动学方程M=f(θ)建立映射关系
dX=J(q)dq
J(q)是6×n维偏导数矩阵，称为n自由度机器人雅可比
4、机器人运动学
5.3. 雅可比矩阵
X q J为机器人的雅可比矩阵，它 1 反映了机器人手部在空间的速 Y 度与各个关节速度之间的线性 q1 变换关系，也可认为是机器人 关节速度与手部速度之间的传 Z 动比 q1 X T q X 速度分析和静力分析 q 1 Y 行列关系：如第5行第3列表示当第3关 q1 节移动或转动微小量时在第5自由度上 相应的平移或转动量。 Z 行：自由度 那个是第5自由度？？ q1 X q2 Y q 2 Z q2 X q2 Y q2 Z q2
4-2雅可比矩阵构建(矢量积法)
雅可比矩阵用来描述机器人末端速度（在基坐标系或末端坐标系下）与关节速度之间的关系。
雅可比矩阵构建e J q q x ()∙∙=当选择好末端位姿的描述方式后，雅可比矩阵的行数和列数就确定了。
求取计算雅可比矩阵的方法有多种，如：1对位姿方程求导；2通过连杆速度递推计算得到；3通过连杆速度分析构造得出；4通过微分变换关系构造得出。
微分变换法矢量积法通过速度传递关系计算雅可比矩阵（例1/9）Rot X 10000cos sin 0(,)0sin cos 00001⎡⎤⎢⎥θ-θ⎢⎥θ=⎢⎥θθ⎢⎥⎣⎦Rot Y cos 0sin 00100(,)sin 0cos 00001θθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥θ=⎢⎥-θθ⎢⎥⎣⎦Rot Z cos sin 00sin cos 00(,)00100001θ-θ⎡⎤⎢⎥θθ⎢⎥θ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦c s s c T 111101000000100001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦c s l s c T 221122200000100001⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦l T 223100010000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（例2/9）c s R s c 121203121200001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Rot X 10000cos sin 0(,)0sin cos 00001⎡⎤⎢⎥θ-θ⎢⎥θ=⎢⎥θθ⎢⎥⎣⎦Rot Y cos 0sin 00100(,)sin 0cos 00001θθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥θ=⎢⎥-θθ⎢⎥⎣⎦Rot Z cos sin 00sin cos 00(,)00100001θ-θ⎡⎤⎢⎥θθ⎢⎥θ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续3/9）111111ωR ωθZ i i i i i i i i i ++++++=+ ()1111v R v ωP i i i i i i i i i i ++++=+⨯11001∙⎡⎤⎢⎥⎢⎥ω=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦θv 11000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续4/9）1221211221122122222112122122212222222210000100000000001112T R Z R Z c s R Z s c Z c s s c ∙∙-∙∙∙∙⎡⎤ω=ω+=ω+⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤=ω+=-ω+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∙∙⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦θθθθθθ+θθ通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续5/9）()()()12211111111111211122112211212212222221000000000010010000101T v R v P R v P R v P l s c s l c s s c s c l -∙∙⎡⎤⎡⎤=+ω⨯=+ω⨯=+ω⨯⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⨯=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭θθ212110l c ∙∙⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦θθ通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续6/9）111111ωR ωθZ i i i i i i i i i ++++++=+ ()1111v R v ωP i i i i i i i i i i ++++=+⨯通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续7/9）()()()T v R v P R v P R v P l s c s l c s s c l c s c 13322222222222322233223322312332333312331000000010010001012-∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤=+ω⨯=+ω⨯=+ω⨯=⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎡⎤ ⎪⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⨯=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭θθθθl s l s l c l l c l 121212212211100()010()11211200100∙∙∙∙∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦θθθθθθθθT R Z R Z R Z c s c s s c Z s c 133232232233223323323333333323332333331200000000000010011123∙∙∙-∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤ω=ω+=ω+=ω+=⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-ω+=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∙∙∙+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦θθθθθθθ++θθθ通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续8/9）3300123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ω=⎢⎥⎢⎥∙∙∙⎢⎥⎢⎥⎣⎦++θθθl s v l c l 12331221()1120∙∙∙∙⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦θθθθl s l c l l v 121222300010020011∙∙⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦θθl s v l c l l 1231222012∙∙⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦θθc s R s c 121203121200001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦l s J l c l l 12312220⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续9/9）c s l s l s c l s c l s l s J s c l c l l l s s l c c l c l c l s l s l s l c l c l c 121212121211222122120121212221122121221221211212212112122120----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦l s l s l s J l c l c l c 11212212011212212---⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦矢量积法对于移动关节，雅克比矩阵的第 i 列计算如下：雅可比矩阵的第i 列对应第i 关节引起的末端速度和角速度。
第4章-操作臂速度运动学与雅可比矩阵
r
cos
cos
sin
q
J
(q)q
式中，x x yT 为末端手爪的操作速度矢量；
q
T
r
为关节速度矢量；
速度雅可比矩阵J(q)表示从关节速度矢量 q到操作速度矢量 x
的线性映射。
q J 1(q)x
J
1
(q)
y / r
x/r
2
x / r2
y
/
r
称为逆雅可比矩阵。当r = 0时，逆雅可比矩阵J -1(q)不存在
原点相对于坐标系｛A｝的速度。
A B
RBVP是点P相对于坐标系｛B｝的运动速
度在坐标系｛A｝下的表示；
假定姿态
A B
R
不随时间变化，即坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态保持不
变，此时点P相对于坐标系{A}的运动是由于AOB或BP随时间的变化引起的，
则上式可简化为：
AVP
=
AVBO
+
A B
R
BVP
AVP称为线速度。因此，线速度是指当坐标系｛B｝相对于坐标系｛A｝的姿
上式可改写为：
AVP BAR BP AB BAR BP
2）由坐标系旋转引起的速度的矩阵解法 假定点P相对于坐标系｛B｝不变，则有
AP
A B
R
B
P
如果坐标系｛B｝是旋转的（
A B
R
的导数非零）
BP为常数，上式两边求导，可以得到
代入BP的表达式，得：
AVP BAR BP
AVP
A B
R
R A 1
雅可比矩阵行列式∣J(q)∣等于零时， 机器人所处状态为奇异状态。
雅可比矩阵专题知识
解 由式(2.6)知，二自由度机械手速度雅可比为 所以，逆雅可比为
2.1.3 机器人雅可比讨论
机器人旳奇异形位分为两类： (1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折 回时，使手部处于机器人工作空间旳边界上或边界附 近，出现逆雅可比奇异，机器人运动受到物理构造旳 约束。这时相应旳机器人形位叫做边界奇异形位。 (2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重叠时， 机器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。这时 相应旳机器人形位叫做内部奇异形位。
例2.2 图2.5所示为一种二自由度平面关节机械手，已知手部端点 力F=[FX，FY]T，忽视摩擦，求θ1=0°、θ2=90°时旳关节力矩。
力雅可比矩阵在奇点旳情况：
练习
1. 分析下图 RRRR 机械手
其正向变换矩阵和转动 雅可比矩阵如下:
(a)求解当各个关节坐标为q = [0, 900,−900, 0] T旳时候，相对于 基坐标系旳雅可比矩阵 Jo.
qi zi
v
w
lim
Dt 0
1 Dt
d
i
zi
i pn
z0
y0 x0
对于移动关节，有： 0, d ziqdt
v w
zi 0
qi
,
Ji
zi
0
对于转动关节，有：
i pn0 是i pn在在基坐标系{o}中旳表达。
基坐标系
v w
zi
i zi
pn0
qi
,
Ji
zi
i zi
pn0
斯坦福机械手速度雅可比矩阵旳求解
斯坦福机械手广义速度雅可比矩阵旳求解
教材例题2.1：逆雅可比矩阵旳示例：
例2.1 如图2.2所示旳二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正 向以1.0 m/s旳速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时θ1=30°， θ2=60°，求相应瞬时旳关节速度。
雅可比矩阵和动力学分析
雅可比各列旳计算公式：
6 x
6 y
n x ny nz ( p n)x o x oy oz ( p o)x
6 z
6 x
a x 0
ay 0
az 0
( pa)x nx
6 y
6 z
0 0
0 0
0 0
ox ax
( p n)y ( p o)y
( p n)z ( p o)z
i x
i y
(2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重叠时，机 器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。相应旳机器 人形位叫做内部奇异形位。
当机器人处于奇异形位时会产生退化现象，丧失一种或更 多旳自由度。这意味着在工作空间旳某个方向上，不论怎 样选择机器人关节速度，手部也不可能实现移动。
当l1l2s2＝0时无解，机器人逆速度雅可比J-1奇异。 因l10，l20，所以，在2＝0或2＝180时，机器 人处于奇异形位。
2
Y
2
d1 d2
写成矩阵形式为
X
dX dY
1
Y
1
X
2
Y
2
d1 d2
X X
令
J
1
2
Y Y
1
2
简写为： dX=J dθ
关节空间微小运 动dθ与手部作业 空间微小位移 dX旳关系。
2R机器人旳速度雅可比矩阵为：
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
当雅可比不是满秩矩阵时，J旳行列式为0。
当雅可比不是满秩矩阵时，可能出现奇异解，机器人旳奇 异形位，相应操作空间旳点为奇异点。
机器人旳奇异形位分为两类：
(1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折回时， 手部处于机器人工作空间旳边界上或边界附近，逆雅可比 奇异。相应旳机器人形位叫做边界奇异形位。
力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵的关系(二)
力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵的关系(二)力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵的关系引言在动力学和机器人学领域中，力雅可比矩阵（Jacobian Matrix）和速度雅可比矩阵（Jacobian Matrix of Velocity）是两个重要的概念。
它们在描述物体运动和控制中起到关键的作用，而且存在一定的关系。
力雅可比矩阵简介力雅可比矩阵是描述一个机器人或物体在特定时刻各个关节或自由度上所受到的外力和力矩与其运动学状态之间的关系的矩阵。
力雅可比矩阵的维度是力的个数乘以自由度的个数。
它可以通过对运动学模型的求导得到，常用于分析机器人的静力学性能以及进行路径规划和力控制。
速度雅可比矩阵简介速度雅可比矩阵是描述一个机器人或物体在特定时刻各个关节或自由度上的速度与其末端执行器速度之间的关系的矩阵。
速度雅可比矩阵的维度是速度的个数乘以自由度的个数。
它可以通过对运动学模型的求导得到，常用于分析机器人的动力学性能以及进行逆运动学求解和速度控制。
力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵的关系力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵之间存在着一定的关系。
可以通过如下公式表示：力雅可比矩阵 = 质量矩阵 * 速度雅可比矩阵其中，质量矩阵表示物体或机器人的质量分布情况，是一个对角矩阵。
这个公式表明，力雅可比矩阵是速度雅可比矩阵乘以质量矩阵的结果。
这种关系的存在可以解释为，给定物体或机器人在特定时刻的速度，通过乘以质量矩阵可以得到对应的力。
解释说明速度雅可比矩阵描述了物体或机器人各个关节或自由度上速度与末端执行器速度之间的关系，而力雅可比矩阵描述了物体或机器人各个关节或自由度上的外力和力矩与运动学状态之间的关系。
因此，通过力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵之间的关系，我们可以从速度层面推导出物体或机器人在静力学方面的性能。
力雅可比矩阵和速度雅可比矩阵的关系在机器人领域尤为重要。
在路径规划和力控制中，力雅可比矩阵的计算是必不可少的。
通过力雅可比矩阵，可以计算出机器人上各个关节或自由度所需要施加的力和力矩，从而实现力控制和路径规划的目的。
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用雅可比矩阵在机器人静力学中扮演了关键的角色，它用于描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
下面我将逐个回答你的问题，并用易于理解的术语解释。
1. 雅可比矩阵是什么雅可比矩阵是一个将机器人的关节速度与其末端执行器速度之间的关系进行描述的矩阵。
它将机器人关节空间中的速度转化为末端执行器空间中的速度。
雅可比矩阵的每个元素代表了末端执行器速度对于关节速度的敏感程度。
2. 机器人的静力学是什么机器人的静力学研究的是机器人系统在静止或匀速运动时所受到的力学影响。
它关注的是机器人系统在特定关节角度下的受力情况，包括关节力和末端执行器力等。
3. 雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是什么雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是用于分析机器人系统中的力学平衡和力的传递。
通过雅可比矩阵，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以控制机器人系统中的力分配。
4. 如何利用雅可比矩阵进行力的传递分析在机器人静力学中，我们可以利用雅可比矩阵来分析力的传递和分布。
具体而言，我们可以通过雅可比矩阵将末端执行器上的力转化为关节空间中的力。
这样，我们可以对机器人系统进行力分析，包括力矩的计算和力的传递路径的分析等。
5. 为何需要力的传递分析力的传递分析对于机器人的应用非常重要。
它可以帮助我们理解机器人系统中的力分配情况，从而进行力控制和路径规划等。
通过力的传递分析，我们可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，以及力的传递路径是否满足设计要求。
总结起来，雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
它帮助我们分析机器人系统中的力学平衡和力的传递，从而进行力控制和路径规划等。
通过雅可比矩阵的应用，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，从而进行力的传递分析。
这对于机器人的应用非常重要，能够帮助我们优化机器人的设计和控制，提高其性能和安全性。
scara机器人运动学方程雅可比矩阵
scara机器人运动学方程雅可比矩阵
Scara机器人是一种广泛应用于工业领域的机器人，它的运动学方程雅可比矩阵是描述其运动学性能的重要工具。
通过雅可比矩阵，我们可以了解到Scara机器人在不同关节位置和速度下的末端执行器的速度和位置关系。
雅可比矩阵是一个2x3的矩阵，其中的元素代表了末端执行器位置和速度相对于关节角度和速度的变化率。
简单来说，雅可比矩阵可以帮助我们理解Scara机器人的动力学特性和运动规律。
通过对雅可比矩阵的分析，我们可以得到一些有用的信息。
首先，我们可以确定Scara机器人的工作空间范围，即机器人可以到达的位置和姿态。
其次，我们可以根据雅可比矩阵来计算机器人在不同关节角速度下的末端执行器速度，从而实现机器人的精确控制。
除此之外，雅可比矩阵还可以用于路径规划和碰撞检测。
通过计算机器人在不同关节位置下的雅可比矩阵，我们可以确定机器人在执行任务过程中是否会发生碰撞，从而避免潜在的安全风险。
Scara机器人的运动学方程雅可比矩阵是研究机器人运动学行为和控制的重要工具。
通过对雅可比矩阵的研究和分析，我们可以深入理解机器人的运动规律，并实现对机器人的精确控制和路径规划。
雅可比矩阵和动力学分析
手部瞬时速度为1 m/s。
三、雅可比矩阵的奇异性
J
1q
J *q J q
J *q ——J矩阵的伴随阵
若 Jq 0 则 J 1 q
q J 1q•V
由此可见，当雅可比矩阵的行列式为0时，要使手爪 运动，关节速度将趋于无穷大。
当雅可比不是满秩矩阵时，J的行列式为0。
与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。
反之，假如给定工业机器人手部速度，可解出 相应的关节速度，即：
q J 1V
式中：J-1称为工业机器人逆速度雅可比。 当工业机器人手部在空间按规定的速度进行作 业，用上式可以计算出沿路径上每一瞬时相应 的关节速度。
例1 如图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系 X0轴正向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。 求当θ1=30°，θ2=60°时的关节速度。
解 由推导知，二自由度机械手速度雅可比为
J
Байду номын сангаас
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
二自由度机械手手爪沿X0方向运动示意图
逆雅可比为
J 1
1
l1l2s2
l2c12
l1c1
l2c12
l2s12
l1s1
l2s12
θ& J 1v 且vX=1 m/s，vY=0，因此
&&12
第3章 雅可比矩阵和动力学分析
上一章讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器 人各连杆间的位移关系，建立了机器人的运动学 方程，研究了运动学逆解，建立了操作空间与关 节空间的映射关系。
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法是机器人运动学中的重要内容。
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的速度与关节运动的速度之间的关系。
在机器人运动控制中，通过雅可比矩阵可以快速地计算机器人末端执行器的速度与关节速度之间的对应关系，从而实现机器人的控制。
在机器人的运动学模型中，雅可比矩阵是一个矩阵，它的行数等于机器人末端执行器的自由度，列数等于机器人各个关节的自由度。
雅可比矩阵中的每个元素表示机器人末端执行器中的一个自由度对
于机器人各个关节中一个自由度的影响程度。
雅可比矩阵的求解方法可以通过数值方法和解析方法两种途径。
数值方法是通过数值微分来近似计算雅可比矩阵。
解析方法则是通过对机器人的运动学模型进行求导来求解雅可比矩阵。
在实际应用中，解析方法更为常用，因为它具有计算量小、计算速度快、精度高等优点。
机器人雅可比矩阵求解的过程中，需要注意机器人的运动学模型是否具有奇异点，对于奇异点的处理需要格外注意。
此外，由于机器人的运动学模型是非线性的，因此在求解雅可比矩阵时需要进行线性化处理，以便更好地适应控制器的需求。
总之，机器人雅可比矩阵是机器人运动学中的重要内容，掌握雅可比矩阵的求解方法对于机器人的运动控制具有重要的意义。
- 1 -。
机器人学基础第5章
5.1 速度与角速度 5.2 角速度的特性 5.3 机器人连杆间速度的传递 5.4 雅可比矩阵的求解 5.5 雅可比矩阵的特性 5.6 力域中的雅可比 习题
第5章 速度与雅可比矩阵
由机器人的逆运动学可知, 在机器人的末端位置到机器 人的关节位置的映射十分复杂,尤其是对于自由度多的 机器人, 有时可能没有解析解。而雅可比矩阵 (Jacobian Matrix) 可以实现末端速度和关节速度之间 的映射。使用雅可比矩阵可以实现机器人末端静力与关 节力矩之间的映射, 同时也可以对冗余自由度机器人进 行轨迹优化。
由式(5 -55) 可得两自由度机器人在末端坐标下的雅可比 矩阵
5. 5 雅可比矩阵的特性
例5. 2 参考下图, 求RS10N 型工业机器人在基坐标系下的雅可
比矩阵。
5. 5 雅可比矩阵的特性
由第3 章运动学中可知, RS10N 型工业机器人末端坐标 系原点在基坐标下的位置为
由此可知雅可比矩阵的前3 行为
ห้องสมุดไป่ตู้
5. 3 机器人连杆间速度的传递
由于串联型机器人是链式结构, 机器人每个连杆的运动 均与其相邻的连杆有关, 基于链式结构的特点, 可以由 机器人从基坐标系依次向后计算各个连杆的速度。
对于转动关节, 由于角速度有可加性, 关节i +1 的角速 度等于关节i 的角速度加上关节i +1 自身的角速度。由 正运动学可知, 关节的旋转方向只能是绕Z 轴旋转, 因 为两个相邻关节间角速度关系为
5.1 速度与角速度
取极限可得
记
，
则可以得到
将(5 -10) 代入式(5 -9) 则可得到
5.1 速度与角速度
整理可得到
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义：
速度雅可比矩阵（Jacobian matrix of velocity）是一种数学工具，用于描述多变量函数之间的关系。
它常用于物理学、工程和机器人学等领域中，用于解决运动学和动力学问题。
速度雅可比矩阵是由函数的偏导数组成的矩阵。
对于一个具有m个输出变量和n个输入变量的函数，它的速度雅可比矩阵的维度是m×n。
每个元素Jij表示第i个输出变量相对于第j个输入变量的偏导数。
在机器人学中，速度雅可比矩阵可以帮助我们分析机器人末端执行器的运动学相关性。
通过将机器人的关节速度与末端执行器的速度进行关联，我们可以使用速度雅可比矩阵来计算末端执行器的速度与关节速度之间的变化率。
在动力学中，速度雅可比矩阵也被广泛应用。
它可以帮助我们研究系统的稳定性和控制性能，以及解决反向动力学问题。
通过分析系统的速度雅可比矩阵，我们可以评估系统的灵敏度和响应性能。
速度雅可比矩阵在工程领域中的应用也非常广泛。
例如，在流体力学中，速度雅可比矩阵可以帮助我们研究流体的速度场和压力场之间的关系。
在电力系统中，速度雅可比矩阵可以用于分析电力网络的稳定性和传输能力。
总结而言，速度雅可比矩阵是描述多变量函数之间关系的重要数学工具。
它在物理学、工程和机器人学等领域中具有广泛的应用，可以帮助我们解决运动学和动力学问题，分析系统的性能和响应特性。
第四章_微分运动和雅可比矩阵
雅可比矩阵的求解（矢量积法）：
Jli的求法： (1) 第i关节为移动关节时
qi di
qi di
仅平移关节产生的线速度
设某时刻仅此关节运动、其余的关节静止不动，则：
ve JLiqi
设bi-1为zi-1轴上的单位矢量，利用它可将局部坐标下的 平移速度di转换成基础坐标下的速度：
ve bi1d i
例：斯坦福六自由度机器人除第三关节为移动关节 外，其余5个关节为转动关节。此处用微分法计算 TJ(q)
d2[c2(c4c5c6 s4s6)s2s5c6]s2d3(s4c5c6 c4s6) d2[c2(c4c5s6 s4c6)s2s5s6]s2d3(s4c5s6 c4c5)
T J1
d2(c2c4s5 s2c5)s2d3s4s5 s2(c2c4s6 s4s6)c2s5c6
s2(c2c4s6 s4c6)c2s5s6
s2c4s5 c2c5
d 3(c4c5c6 s4s6 )
d
3 (c4c5c6
s
4
c
6
)
T4c6
s4s5
s5c6
s5s6
T J3
c5 0
0
0
4.1 雅可比矩阵的定义
把机器人关节速度向量 q i 定义为：
q[q1 q2
qn]T
式中， qi(i=1,2,...,n) 为连杆i相对i-1的角
速度或线速度。
手抓在基坐标系中的广义速度向量为：
V[x y z x y z]T
式中， v为线速度，ω为角速度分量。
从关节空间速度向操作空间速度映射的 线性关系称为雅可比矩阵，记为J，即：
三维空间运行的机器人，其J阵的行数恒为6(沿/绕
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第4章 速度运动学——雅可比矩阵
在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。
雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。
1.角速度：固定转轴情形
k θω&=（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ&是角度θ对时间的倒数）
2.反对称矩阵
一个n n ⨯的矩阵S ρ被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T
,我们用)3(so 表示所有
33⨯反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33⨯的反对称矩阵具有下述形式：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=0001
2
13
23s s s s s s S 如果T z y x a a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣
⎡---=000
)(x
y x z
y z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质
1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3
R ，α、β为标量
2）p a p a S ⨯=)( 向量a 、b 属于3
R ，p a ⨯表示向量叉乘
3）)()(Ra S R a RS T
=，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：
)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对
应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于一个n n ⨯的反对称矩阵S ,以及任何一个向量n R X ∈，有0=SX X T
旋转矩阵的导数
)(θθ
SR R d d
= 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
3.角速度：一般情况
)())(()(t R t w S t R =&，其中，矩阵))((t w S 是反对称矩阵，向量)(t w 为t 时刻旋转坐标
系相对于固定坐标系上的点p 。
4.角速度求和
假定我们有112010...-=n n n R R R R ，则00,00)(n n n R S R ω=&，其中
0,104
,303
,202,10
1,01,10134,30323,20212,10101,00,0......n
n n n
n n n R R R R ----+++++=+++++=ω
ω
ω
ωωωωωωωω
（02,1ω表示对应于1
2R 导数的角速度在坐标系0000z y x o 中的表达式） 5.移动坐标系上点的线速度
v r o Rp S o
p R p +⨯=+=+=ωω&&&&110)( 其中，1
Rp r =是从1
o 到p 的向量在坐标系0000z y x o 的姿态中的表达式，v 是原点1o 运
动的速度。
6.雅可比矩阵的推导
当机器人运动时，关节变量i q 以及末端执行器的位置0
n o 和姿态0
n R 都将为时间的函数。
q J &=ξ
其中，ξ和J 由下式给出
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=00n n v ωξ 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=w v J J J
向量ξ有时被称为体速度。
矩阵J 被称为机械臂的雅可布矩阵。
角速度：
末端执行器相对于基座坐标系的总的角速度0
n ω：
1101
01
22110
...-=-∑=+++=i i n i i n n n n
z q k R q k R q k q &&&&ρρρρω 其中，关节i 为转动时，i ρ等于1,；而关节i 为平动时，i ρ等于0。
这是因为
k R z i i 0101--=，当然，T k z )1,0,0(0
0==。
所以 )...(101-=n n w z z J ρρ
线速度：
i
n
vi q o J ∂∂=0，雅可比矩阵的第i 列可以通过下列方式生成：固定除第i 个关节之外的所有关节，同时以单位速度驱动第i 个关节。
平动关节：
1-=i v z J i
转动关节：
)(11---⨯=i n i v o o z J i
小结：
雅可比矩阵的上半部分v J 由下式给出：
)...(1n v v v J J J =
其中，矩阵的第i 列i v J 为
()
⎩
⎨⎧-⨯=---i z i o o z J i i n i v i 对于平动关节对于转动关节111
雅可比矩阵的下半部分为
)...(1n J J J ωωω=
其中，矩阵的第i 列⎩⎨
⎧=-i
i
z J i i 对于平动关节对于转动关节0
1ω
计算雅可比矩阵仅需知道单位向量i z 以及原点n o o ,...,1的坐标。
i z 相对于基座坐标系的坐标，可由0
i T 第3列中的3个元素给出，同时i o 由0
i T 第4列中的3个元素给出。
7.工具速度
末端执行器和工具坐标系之间的固定空间关系由下列恒定齐次变换矩阵给出：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=106
d R T tool
由于两个坐标系之间的刚性连接，工具坐标系的角速度与末端执行器坐标系的角速度相等。
如果末端执行器坐标系以T
T T v ),(66ωξ=的体速度运动，那么工具坐标系的原点（它被
刚性固连到末端执行器坐标系中）的线速度由下式给出：
r v v tool ⨯+=66ω，r 是从末端执行器坐标系原点到工具坐标系原点的向量。
8.分析雅可比矩阵
前面推导的雅可比矩阵有时称为几何雅可比矩阵，这是为了区别于分析雅可比矩阵，后者表示为)(q J a ，它基于对末端执行器姿态的最小表示，令
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=)()(q q d X α表示末端执行器的姿态，其中，)(q d 是从基座坐标系原点到末端执行器坐标系原点的一般向量，α表示末端执行器坐标系相对于基座坐标系的姿态的最小表示。
分析雅可比矩阵)(q J a 可以根据几何雅可比计算如下
q q J a B I d a B I B d
v q q J a a &&&&&&)()(00)(00)()(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=αααω （条件：0)(det ≠αB ）
9.奇点
所有可能的末端执行器速度是雅可比矩阵向量的线性组合：
n n q J q J q J &&&+++=...2211ξ
矩阵的秩（rank ）等于矩阵中线性独立的列（或行）的数目。
因此，当6=rankJ ，末端执行器可以以任意速度运行。
与矩阵)(q J 的秩小于其最大值情况相对应的位形被称为奇点或奇异位型。
识别机械臂的奇点很重要，其原因如下：
对那些带有球型手腕机械臂的奇异位形进行解耦，即分解为两个更简单的问题。
第一个问题是确定所谓的手臂奇点，也就是由于手臂（包括前三个或更多连杆）运动而产生的奇点；第二个问题是确定由球型手腕运动而引起的手腕奇点。
如果机械臂由一个3自由度手臂和一个3自由度球型手腕构成，我们将雅可比矩阵J 分解成如下33⨯的矩阵块：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==22122111|)|(J J J J J J J Q P
因此，机械臂奇异位形的集合是满足0det 11=J 的手臂位形集合以及满足0det 22=J 的手腕位形集合的并集。
任何两个转动关节轴共线时，都将会产生奇点，
这是因为两个转角相等但方向相反的旋
转所对应的综合结果是末端执行器保持不动。
10.静态力/力矩关系
令T z y x z y x n n n F F F F ),,,,,(=表示末端执行器的力和力矩向量。
令τ表示对应的关节力矩向量。
那么，F 和τ之间可以由下式联系起来：
F q J T )(=τ
其中，)(q J T
是机械臂雅可比矩阵的转置。
11.逆速度和加速度
逆速度问题是指，求解生成期望末端执行器速度所需的关节速度q &
ξ1-=J q
& 对于6自由度机械臂，逆速度和逆加速度方程可被写为
q q J dt d q q J q a a &&&&⎪⎭
⎫
⎝⎛+=)()(
以及
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-q q J dt d X q J q a a &&&&&)()(1
上述公式成立的条件是：0)(det ≠q J a
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