2010旋涡理论

第五章、旋涡理论
本章讨论内容： 1.漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.漩涡诱导速度的一般提法 7.兰金组合涡
圆柱绕流尾流场中的旋涡
圆球绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
弯曲槽道内的二次流
旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机 翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、 噪声等问题密切相关。
直涡丝ＭＮ
Γ ds × r v= 4π ∫s r 3
dv =
Γ ds • sin θ 4π r2
直涡丝ＭＮ
诱导速度方向指向纸外。 直线涡丝段对P点所产生的诱导速度为：
Γ θ2 Γ ( sin θdθ = cos θ1 − cos θ 2 ) v= ∫ 4πR θ1 4πR
= v
Γ ( cos θ1 − cos θ 2 ) 4π R
亥姆霍兹（Helmholtz）定理 （1）亥姆霍兹第一定理： ——涡管强度空间守恒 在同一瞬间涡管各截面上 的旋涡强度都相同
由斯托克斯定理
Γ abdb′a′ea = 2 ∫∫ ωn dσ
σ
因为σ内ωｎ＝０所以 由斯托克斯定理上式写成:
ΓΙ + Γ = 0
ω dσ = ∫∫ ω dσ ∫∫ σ σ
R
M
Γ V = 半无限长直涡线(θ 1 = 90° ， θ 2= 180° ）： 4πR
Γ
无限长直涡线(θ 1 = 0° ， θ 2=
180° ） ： V =
Γ 2πR
vθ
Γ Γ 2π r 诱导速度场除点 r = 0 外处处无旋∇×v=0。尽管涡线本身是 有旋的，它诱导的速度场是无旋的。第三章已证明。
ΓC = ∫ v • ds = ∫ vs ds
C C
AB
AB
规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向， 沿曲线顺时针绕行的方向为负方向
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Γ = Vx dx + Vy dy + Vz= dz ∫ dx + dy + dz AB ∫ ∂x ∂y ∂z AB AB =
5-6、二维旋涡的速度和压强分布 如图5-17所示，涡束内的流动为有旋流动，称为涡核 区；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。
一、速度分布
1）旋涡内部：
涡束内部的速度分布为:
vr = 0, vθ = ωr
R 2ω Γ vr = 0, vθ = = 2πr r
(r < R)
2）旋涡外部： 在环流区内，速度分布为:
方法：由（5-4-5）式求出两点的速度，在积分即得。 （a）积分常数由初始条件(t=0)确定。 （b）由于两点速度相反，故为绕原点的圆周运动。
5-6、二维旋涡的速度和压强分布
设流场中有一半径为Ｒ的无限长圆柱形流体象刚体一样 绕其轴线转动，角速度为ω。
例3.4-5已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角速度就 是ω。 由于直线涡束无限长，这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为 平面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，在讨论整个流 场的速度和压力分布时，亦须将旋涡内部和外部分开。
c
0
= Γc = ds 2 ∫∫ ω d σ ∫V σ
c s n
对于有旋场:
此式称为斯托克斯定理
斯托克斯（ Stokes ）定理 : 在涡量场中，沿任意封闭周线的速度 环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度的两倍，即:
ΓC = 2 J
ω dσ ∫ v ds = 2∫∫ σ
C s n
速度环量与旋 转角速度关系
∂ω x ∂ω y ∂ω z + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂a x ∂a y ∂a z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1 ∂a z ∂a y − vx = ∂z 2 ∂y 1 ∂a x ∂a z v = − y ∂x 2 ∂z 1 ∂a y ∂a x v = z 2 ∂x − ∂y
电磁场
磁场强度 H 磁场势 V 电流面密度δ 电流强度 i
∇⋅H = 0 H = −∇V
方程
∇⋅v = 0 v = ∇φ
流场
流体速度 v 速度势 φ 涡量 Ω 速度环量 Γ
∇ 2V = 0
∇×H =δ
i = ∫ H ⋅ dl =
l
∇ 2φ = 0
∇× v =Ω
∫∫δ ⋅ nds
S
Γ = ∫ v ⋅ dl =
平面点涡诱导速度场： = ， vθ vr 0= 平面点涡诱导速度场的速度势和流函数：
Γ ϕ ( r, θ ) = ∫ vr dr + vθ rdθ = θ 2π Γ ln r ψ (r ,θ ) = ∫ − vθ dr + v r rdθ = 2π
例5.1 如图5-15（p136-137）所示。求两种情况下，两点的运动 （位移规律）。
l
∫∫Ω ⋅ nds
S
Biot-Savart 定理：
d s ∗ sin θ H = d i 电流诱导磁场强度 r2
i Γ
ds
S
r
P
dv
dH
旋涡诱导流体速度 d v = Γ d s ∗ sin θ 4π r2
如要研究空间有限长涡丝在P点的诱导速度，则将上式积分得：
Γ sin θ • ds v= 2 4π ∫ r s
n n
1 2
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始， 否则ｄσ→０时有ω→∞。 涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固 体边界，要么自行封闭形成涡环。 不可能 的情况
由该定理得到： 涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体 壁面或自由面）。
Thomson定理（Kelvin定理） ——旋涡强度的保持性理
dΓ =0 定理：沿封闭流体线的速度环量不随时间变化 dt
旋涡运动基本定理
Lagrange 定理 - 涡量保持性（不生不灭）定理 定理：若某一时刻流场无旋，则以后的流动始终无旋。 Lagrange 定理适用条件为： 1. 理想流体 2. 正压流体 ( ρ = ρ ( p )) 3. 在有势质量力作用下 旋涡起因： (1) 粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋； (2) 非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡； (3) 非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）； (4) 流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。
σ
双连通区域的斯托克斯定理
推论一 单连通区域内的无旋运动，流体 中的旋度处处为零，则沿任意封 闭周线的速度环量为零，即：
ΓC = 2 ∫∫ ωn dσ = 2 ∫∫ 0dσ = 0
σ σ
反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为 零的结论。 但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围强 度相同转向相反的旋涡）。 推论二 对于包含一个翼截面在内的双连通区域，如果流动是无旋的， 则沿任何两个包含翼截面在内的封闭周线的环量彼此相等，即：
5-5、漩涡诱导速度场的一般提法
1 ∂vz ∂v y − ω x = y z ∂ ∂ 2 1 ∂vx ∂vz ω = − y 2 ∂z ∂x 1 ∂v y ∂vx ω = z 2 ∂x − ∂y
(r > R)
二、压力分布 1）旋涡外部—定常且无旋可用拉格朗日积分
ρΓ2 p= p0 − p0 − 2 2 = 2 8π r
上式表明，越靠近中心，速度越大，压力越小。在旋涡的边界上 Γ ，相应压力为： 1 2 = = = r R, v= v R ω p = p − ρvR R θ 0 R 2π R 2 在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而压强则是该区的最低值. 2）旋涡外部—定常但有旋，伯努力方程中的常数沿径向变化 由于涡束内部为有旋流动，伯努利积分常数随流线变化，故 其压强分布可由欧拉运动微分方程导出。对于平面定常流动，欧 ∂v x ∂v x 1 ∂p 拉运动微分方程为: vx + vy =− ∂x ∂y ρ ∂x
旋涡的产生：
与压力差、质量力和粘性力等 因素有关。
流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。
旋涡运动基本概念
流场
流速v 流量Q 流线 流线方程 流管 流束 元流
涡场
涡量 Ω 涡通量J 涡线 涡线方程 涡管 涡束 涡丝
旋转角速度 涡量
Ω = 2ω = ∇ × V
∫
B
A
ϕ ϕB − ϕ A d=
Γ AB = ∫ V ⋅ ds =
AB
对于有旋场: 由公式
AB
∫ V dx + V dy + V dz
x y
计算 z
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Γc
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = z dz ∫ c Vx dx + Vy dy + V ∫ c ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz dϕ ∫=
ΓC = ΓL
(与积分路径方向一致时)
例5.2 已知速度分布，求涡线方程。
ω=const
例5.3 已知漩涡强度, 求速度环量。 方法：斯托克斯定理。
例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。
方法： 由速度环量定义式，直接积分求得。 注：最后公式中R平方无必要，但结果正确。
旋涡运动基本定理
适用条件为： 1. 理想流体 2. 正压流体 ( ρ = ρ ( p ) ) 3. 在有势质量力作用下