第四章-静力学与动力学P

于是，操作机的总虚功是：
T T W q F p
根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功为0，即： T T qF p 0
由机器人运动学关系可知， p J q ，则有
q i 是独立坐标，则 q 0 ，所以有 因为
第四章：机器人静力学和动力学 Statics and Dynamics of Robot

第四章 机器人静力学和动力学
概述
a）静力学问题
末端力F与关节力矩关系
b）动力学问题
末端运动特性与关节力矩关系

第四章 机器人静力学和动力学
概述
相同点：都与关节力矩有关 不同点：如下图
Am I strong? 解决接触力大小问题-静力学问题
因 是任意的
FN h 2 Fl 0 2
4 l FN F h
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总结：虚功原理解题步骤
分析系统所受主动力
选择虚位移
求力在虚位移上的虚功 静平衡系统虚功之和为零 求解
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y
忽略摩擦力和重力
F 利用虚功原理建立静力平衡方程，令 x
1 , , i , , n
4 理想约束
W M
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和 等于零，称这种约束为理想约束.
WN WNi FNi ri 0
光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长 的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束.
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虚位移原理
设质点系处于平衡,有
L(1, 2 ,1, 2 )
三、动力学方程
先求第一个关节上的力矩 1
L 2 2 (m1 m2 )d121 m2d 2 1 m2d 2 2 2m2d1d 2 cos(1 )1 m2d1d 2 cos(2 )2 1

z
T
为各关节驱动力；
T F Fx , Fy , Fz , M x , M y , M z 为操作空间广义力； T q q1 , , qi , , qn 为关节空间转角； T p x , y , z , x , y , z 为操作空间位移；
l 2 s12 l 2 c12
代入
l1 s1 l 2 s12 J l 2 s12
T
l1c1 l 2 c12 l 2 c12
1 l2 FX l1FY 2 l2 FX
静力平衡方法验证
静力学小结
理解静力学问题及分类
掌握逆静力学计算方法
式中 J ——雅可比矩阵。
该式表明关节空间力矩和笛卡尔空间广义力可以借助于雅可比矩阵 J 变换。
例题 二自由度平面关节机器人，知端点力，略摩擦、重力，求 1 0 2 90 F [ FX , FY ]T 关节力矩。
l1 s1 l 2 s12 J l1c1 l 2 c12
L K P (k1 k2 ) ( p1 p2 ) 1 2 1 (m1 m2 )d1212 m2 d2 (12 212 22 ) m2 d1d2 cos(2 )(12 12 ) 2 2 (m1 m2 ) g d1 s(1 ) m2 gd 2 cos(1 2 )
d L 2 2 [(m1 m2 )d12 m2d 2 2m2d1d 2 cos(1 )]1 [m 2 d 2 m2d1d 2 cos(2 )]2 dt 1 2 2m2d1d 2 sin( 2 )12 m2d1d 2 sin( 2 )2
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§4—2 机器人动力学 一、动力学问题： （1）机器人处于运动状态（不论是否与外界接触） （2）关节力矩
给定期望的末端位 置、速度、加速度
末端位置、速度、加速度
动力学计算关节力矩（时变）
自动控制算法 控制电机转矩
二、机器人动力学研究的问题可分为两类：（总结） 1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器 人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 , 求 , 和 ，称为动力学正问题）。 2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力 （矩）（即已知 , 和 ，求 , 称为动力学逆问题 ）。
（3）虚位移不惟一，而实位移是惟一的。
（4）在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一 ， 在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。 δ r2 δ r2 W dr W dr W
δ r1
δ r1
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3 虚功
力在虚位移中作的功称虚功.
W F r
Do I operate smoothly? 动力学问题
从力学的角度让机器人工作的更平稳、更精确。
3
§4—1
机器人静力学
一、静力学问题：
F （1）假设各构件处在静止状态（相当于运动受限状态） （2）关节力矩 末端输出力

二、静力学两类问题： 1、 正向静力学—知各关节驱动力（力矩），求末端 点能输出的力（力矩） 。 2、 逆向静力学—已知末端点作用力（力矩），求关 节需施加的力（力矩）。
M A 0 FC cos 45 l P 2l 0
解得
FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
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约束 · 虚位移· 虚功
1 约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为约束. 限制条件的数学方程称为约束方程. （（1）几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何 约束. 如
质点的拉格朗日方程
f mg
y
o
x
总结：解题的一般思路
my mg
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四 串联二自由度机器人的拉格朗日方程
刚体系统拉格朗日方程 应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。
定义：L=K-P L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。 系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、 圆柱坐标系等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中。
求：机构平衡时加在被压物体上的力.
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解: 以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象,受力如图. 给虚位移 与 s
s 2 h
F

FN
F'
s
W
F
FN s 2 Fl 0
FN h WF 2 Fl 2 0
对 x求导得速度分量：
x2 d1 cos(1 )1 d 2 cos( 1 2 )(1 2 ) y d sin( ) d sin( )( )
2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 v2 x2 y2 d1212 d 2 1 2
x y l
2 2
2
8
x y r
2 A 2 A
2
2Leabharlann Baidu
2
xB x A y B y A l 2 yB 0
限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束.
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（2）定常约束和非定常约束 约束条件随时间变化的称
非定常约束. 不随时间变化的约束称定常约束.
x y l0 vt
动力学方程为：
d L L i , i 1, 2, n dt qi qi
广义力
广义速度
广义坐标
（力或力矩）（ 或 v ） （ 或 d ）
机器人拉格朗日方程
设二杆机器人臂杆长度分别为 d1, d 2 ，质量 分别集中在端点为 m1, m2 ，坐标系选取如图。
一、动能和势能 对质点 m1 ：

三、静力学分析方法


1、静力平衡法
2、虚功原理 （虚位移原理）
F
例 静力平衡法 已知： =CB= l，P=10kN; AC 求： 铰链A和DC杆受力.
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0
Fy 0 FAy FC sin 45 P 0
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束.
fi x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn 0 i 1, 2,, s
n为质点数，S 为约束方程数.
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2
虚位移
虚位移 r , x, 等
y
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何 无限小的位移称为虚位移 .只与约束条件有关.
作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和 等于零. 解析式为
F x F y F z 0
xi i yi i zi i
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例 已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平 面内的力偶( F , F ),其力矩 M 2Fl ,螺杆 的导程为 h.
即
Fi r i FNi ri 0 F i ri 0
Fi ri FNi ri 0
Fi FNi 0
或记为
W
Fi
0
此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:
1 1 2 )2 1 m d 2 2 1 1 1 动能： k1 2 m1v1 2 m1 (d1 1 2 势能： p1 m1 g d1 cos(1 )
（负号与坐标系建立有关） 对质点 m2 ： 先写出直角坐标表达式：
x2 d1 sin( 1) d 2 sin( 1 2 ) y2 d1 cos(1) d 2 cos(1 2 )
动能：K 2
1 2 1 m2d1212 m2d 2 2 2
2d d cos( )( ) m d d cos
2 1 2 2 2 1 1 2
2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2
势能： P2 m2 gd1 cos1 m2 gd2 cos(1 2 ) 二、Lagrange函数
A
rA
O
rB
M
B
x
实位移是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、 主动力以及运动的初始条件有关 .
实位移
dr , dx, d
等
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2、虚位移与实位移的区别与联系 （1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。 即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。
（2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关， 实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可 以是有限值，而且与时间有关。
三、动力学研究方法： 1．拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建 立机器人的动力学方程 。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、 J.M.Hollerbach等。 2．牛顿—欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动 表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿—欧拉方程 的动力学方程。代表人物Orin, Luh(陆养生)等。 3．高斯原理法: 利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动 力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏)。 4．凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学 方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进 行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必 求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。
2 2
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（3） 其它分类
约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有 限形式的约束称非完整约束. 约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程 中的积分项可以积分为有限形式的约束为完整约束. 约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）. 约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）