您的位置：360文档中心› 2020-2021学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级(上)第一次月考数学试卷(最全解析)

2020-2021学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级(上)第一次月考数学试卷(最全解析)

合集下载

江苏省南通市 九年级(上)第一次月考数学试卷

江苏省南通市 九年级(上)第一次月考数学试卷

九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，点A（-2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（）A. (−2,1)B. (2,−1)C. (2,1)D. (−2,−1)3.函数y=-x2-4x-3图象顶点坐标是（）A. (2,−1)B. (−2,1)C. (−2,−1)D. (2,1)4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是（）A. B.C. D.5.已知函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A. k≤4且k≠3B. k<4且k≠3C. k<4D. k≤46.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( )A. 42∘B. 48∘C. 52∘D. 58∘7.点P（ac2，ba）在第二象限，点Q（a，b）关于原点对称的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A. 3B. 5C. 15D. 179.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）A. 2B. 3C. 4D. 510.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=______度．12.已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠A的度数是______．13.请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=1，且与y轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为______．14.已知二次函数y=3（x-1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（-4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是______．15.2则当时，的最小值是．16.将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是______cm2．17.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE=______．18.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）……，求证：这个二次函数的图象关于直线x+2对称，根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点（2，2）；③在x轴上截得的线段的长是2；④与y轴的交点是（0，3），其中正确的是______（填序号）．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．四、解答题（本大题共9小题，共88.0分）20.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（1，4）是否在此抛物线上；（3）求出抛物线上纵坐标为-6的点的坐标．21.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，5），B（-2，1），C（-1，3）（1）若△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．22.某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．（1）写出y与x的函数关系式______；（2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）23.已知抛物线y=ax2+6x-8与直线y=-3x相交于点A（1，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）请问（1）中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y=ax2的图象．24.如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC=6，则当CD=______时，四边形EBCA是矩形．25.如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（-1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．26.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的大小．27.已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE；（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．请画出图形．上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）根据图2，请直接写出AD、BD、CD三条线段之间的数量关系．28.已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．2.【答案】B【解析】解：∵点A坐标为（-2，1），∴点B的坐标为（2，-1）．故选：B．关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．3.【答案】B【解析】解：∵y=-x2-4x-3=-（x2+4x+4-4+3）=-（x+2）2+1∴顶点坐标为（-2，1）；故选：B．将二次函数的一般形式化为顶点式后即可直接说出其顶点坐标；主要考查了二次函数的性质和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．除去用配方法外还可用公式法．4.【答案】D【解析】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=-＜0，∴b＜0，∵函数图象经过原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是经过原点且从左往右下降的直线，故选：D．先根据二次函数的图象开口向下可知a＜0，根据对称轴x=-＜0，可得b＜0，再由函数图象经过原点可知c=0，进而得到一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象．本题主要考查了二次函数以及一次函数的图象，解题时注意：正比例函数的图象是经过原点的一条直线．5.【答案】D【解析】解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k≠3，函数y=（k-3）x2+2x+1是二次函数，当22-4（k-3）≥0，k≤4即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．综上k的取值范围是k≤4．故选：D．由于不知道函数是一次函数还是二次函数，需对k进行讨论．当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k≠3，函数y=（k-3）x2+2x+1是二次函数，当△≥0时，二次函数与x轴都有交点，解△≥0，求出k的范围．本题考察了二次函数、一次函数的图象与x轴的交点、一次不等式的解法．解决本题的关键是对k的值分类讨论．6.【答案】A【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°-∠ACA′=42°．故选：A．先根据旋转的性质得出∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，然后在直角△A′CB′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′=90°-∠ACA′=42°．本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形两锐角互余的性质．7.【答案】A【解析】解：∵点P（ac2，）在第二象限，∴ac2＜0∴a＜0，b＜0．∴点Q（a，b）在第三象限．∴点Q（a，b）关于原点对称的点（-a，-b）在第一象限．故选A．已知点P（ac2，）在第二象限，根据第二象限点的坐标特征：横坐标＜0，纵坐标＞0，即ac2＜0，．由以上两式可以判断a＜0，b＜0，从而点Q（a，b）在第三象限．又两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，因而点Q（a，b）关于原点对称的点是（-a，-b），它在第一象限．本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法，以及关于原点对称的两点坐标之间的关系．8.【答案】B【解析】解：∵OC⊥弦AB于点C，∴AC=BC=AB，在Rt△OBC中，OB==．故选：B．根据垂径定理可得AC=BC=AB，在Rt△OBC中可求出OB．本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．9.【答案】A【解析】解：①M与A或B重合时OM最长，等于半径5；②∵半径为5，弦AB=8∴∠OMA=90°，OA=5，AM=4∴OM最短为=3，∴3≤OM≤5，因此OM不可能为2．故选：A．OM最长边应是半径长，根据垂线段最短，可得弦心距最短，分别求出后即可判断．解决本题的关键是：知道OM最长应是半径长，最短应是点O到AB的距离长．然后根据范围来确定不可能的值．10.【答案】B【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，∴b=-4a，即4a+b=0，（故①正确）；∵当x=-3时，y＜0，∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，（故②错误）；∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），∴a-b+c=0，而b=-4a，∴a+4a+c=0，即c=-5a，∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；∵对称轴为直线x=2，∴当-1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．故选：B．根据抛物线的对称轴为直线x=-=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=-3时，函数值小于0，则9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=-1时，y=0，则a-b+c=0，易得c=-5a，所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】28【解析】解：∵OB⊥AC，∴=，∴∠ADB=∠BOC=56°=28°．故答案为：28．根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC，继而得出答案．此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．12.【答案】55°或125°【解析】解：当△ABC为锐角三角形，即点A在优弧BC上，则∠A=∠BCO=×110°=55°；当△ABC为钝角三角形，即点A在劣弧BC上，则∠A′=180°-∠A=180°-55°=125°，即∠A的度数为55°或125°．故答案为55°或125°．分类讨论：当△ABC为锐角三角形，即点A在优弧BC上，可根据圆周角定理求得∠A=∠BCO=55°；当△ABC为钝角三角形，即点A在劣弧BC上，可根据圆内接四边形的性质得到∠A′=125°．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13.【答案】y=-x2+2x-1【解析】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．∵图象的开口向下，∴a＜0，可取a=-1；∵对称轴是直线x=1，∴-=1，得b=-2a=2；∵与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，可取c=-1；∴函数解析式可以为：y=-x2+2x-1．故答案为：y=-x2+2x-1．由题意可知：写出的函数解析式满足a＜0，-=1，c＜0，由此举例得出答案即可．本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-；当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下；二次函数与y轴交于点（0，c）．14.【答案】y1＜y2＜y3【解析】解：∵y=3（x-1）2+k，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，A（-4，y3）关于直线x=-2的对称点是（6，y3），∵2＜3＜6，∴y1＜y2＜y3，故答案为y1＜y2＜y3．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．15.【答案】1【解析】解：∵由表可知，当x=-1时，y=10，当x=0时，y=5，当x=1时，y=2，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2-4x+5，∴其对称轴为直线x=-=-=2．∵x≥1，∴当x=2时，y===1．最小故答案为：1．先用待定系数法求出二次函数的解析式，得出其对称轴的直线方程，进而可得出结论．本题考查的是二次函数的最值，熟知用待定系数法求二次函数的解析式是解答此题的关键．16.【答案】2536【解析】解：∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AB=∠CAB-∠CAC′=45°-15°=30°，AC′=AC=5，∴阴影部分的面积=×5×tan30°×5=．阴影部分为直角三角形，且∠C′AB=30°，AC′=5，解此三角形求出短直角边后计算面积．本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．17.【答案】3【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE=60°，AB=AE，∴△BAE是等边三角形，∴BE=3．故答案为：3．根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE=3即可．本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．18.【答案】①③【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0），对称轴为直线x=2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴抛物线在x轴上截得的线段的长是2．故答案为①③．利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），从而得到抛物线在x轴上截得的线段的长，利用（1，0）和对称轴方程不能确定顶点的纵坐标和c的值．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标19.【答案】解：如右图所示，连接OB、OC，并过O作OD⊥BC于D，∵OD⊥BC，BC=12，∴BD=CD=6，∵∠A=60°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，OD⊥BC，∴∠BOD=∠COD=60°，∴∠OCD=30°，在Rt△COD中，设OD=x，那么OC=2x，于是x2+62=（2x）2，解得x=23，（负数舍去），即OC=43（cm），∴⊙O的直径=2OC=83（cm）．【解析】先连接OB、OC，并过O作OD⊥BC于D，由于OD⊥BC，BC=12，根据垂径定理可知BD=CD=6，由∠A=60°，利用圆周角定理可求∠BOC=120°，而OB=OC，OD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可知∠BOD=∠COD=60°，在Rt△COD中，设OD=x，那么OC=2x，利用勾股定理可得x2+62=（2x）2，易求x，进而可求OC，从而可求直径．本题考查了圆周角定理、垂径定理、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．20.【答案】解：（1）把A（-2，-8）代入y=ax2得4a=-8，解得a=-2，所以此抛物线的函数解析式为y=-2x2；（2）当x=1时，y=-2x2=-2，所以点B（1，4）不在此抛物线上；（3）当y=-6时，-2x2=-6，解得x=±3，所以抛物线上纵坐标为-6的点的坐标为（-3，-6），（3，-6）．【解析】（1）把A点代入y=ax2中求出a的值即可；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；（3）解方程-2x2=-6即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，顶点A1，B1的坐标分别为（2，2）和（3，-2）；（2）如图所示，A2的坐标为（3，-5）；B2的坐标为（2，-1）；C2的坐标为（1，-3）；（3）如图所示，△A3B3C3即为所求；A3的坐标为（5，3），B3的坐标为（1，2），C3的坐标为（3，1）．【解析】（1）依据△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，点C1的坐标为（4，0），即可得到顶点A1，B1的坐标；（2）依据△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，即可得出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）依据△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，即可得到△A3B3C3的各顶点的坐标．本题主要考查平移变换和旋转变换，熟练掌握平移变换和旋转变换的定义是解题的关键．22.【答案】y=300+20x【解析】解：（1）设每个降价x（元），每天销售y（个），y与x的函数关系式为：y=300+20x；故答案为：y=300+20x；（2）由题意可得，W与x的函数关系式为：W=（300+20x）（60-40-x）=-20x2+100x+6000．（1）利用每天可卖出300个，每降价1元，每天可多卖出20个，进而得出y与x的函数关系式；（2）利用销量×每千克商品的利润=总利润，进而得出答案．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确掌握销量与每千克利润与总利润的关系是解题关键．23.【答案】解：（1）∵点A（1，m）在直线y=-3x上，∴m=-3×1=-3．把x=1，y=-3代入y=ax2+6x-8，求得a=-1．∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-8．（2）y=-x2+6x-8=-（x-3）2+1．∴顶点坐标为（3，1）．∴把抛物线y=-x2+6x-8向左平移3个单位长度得到y=-x2+1的图象，再把y=-x2+1的图象向下平移1个单位长度（或向左平移3个单位再向下平移1个单位）得到y=-x2的图象．【解析】（1）题先根据直线y=-3x求出A点的坐标，再把A的坐标代入抛物线的表达式中求出a的值．（2）把抛物线的解析式化为顶点式，然后再说明需要移动的单位和方向．本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了抛物线的平移等知识，是比较常见的题目．24.【答案】6【解析】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵∠E=∠BAC，∴∠E=∠DACM∵BE∥AC，∴∠E=∠ACE，∴∠ACE=∠DAC，∴AD∥EC．（2）解：当四边形ACBE是矩形时，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ACD=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ABD=∠D，∴AB=AD，∴BC=CD=6，故答案为6．（1）欲证明AD∥EC，只要证明∠ACE=∠DAC即可；（2）当四边形ACBE是矩形时，∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质即可解决问题；本题考查圆周角定理、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25.【答案】解：（1）将A，C代入得：−12−b+c=0c=2，解得：b=32c=2，则抛物线的函数解析式为y=-12x2+32x+2；（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，-12m2+32m+2），∵S四边形OCDB-S△OCD-S△OBD=12×2m+12×4（-12m2+32m+2）=-m2+4m+4，∴S△BCD=S四边形OCDB-S△OBC=-m2+4m+4-12×4×2=-m2+4m=-（m-2）2+4，当m=2时，S△BCD取得最大值4，此时y D=-12×4+32×2+2=3，即D（2，3）．【解析】（1）把A与C坐标代入抛物线解析式求出b与c的值，确定出解析式即可；（2）连接OD，设出D坐标，四边形OCDB的面积等于三角形OCD面积+三角形OBD面积，表示出三角形BCD面积S与m的二次函数解析式，求出最大面积及D坐标即可．此题考查了抛物线与x轴的交点，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．26.【答案】解：（1）由旋转的性质知AP′=AP=6，∠P′AB=∠PAC，∴∠P′AP=∠BAC=60°，∴△P′AP是等边三角形，∴PP′=6；（2）∵P′B=PC=10，PB=8，∴P′B2=P′P2+PB2，∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB=90°，∴∠APB=∠P′PB+∠P′PA=90°+60°=150°．【解析】（1）根据旋转的性质即可求出两点之间的距离（2）由旋转可知：P′B=PC=10，PB=8，P′B2=P′P2+PB2，从而可知△P′PB为直角三角形，从而求出∠APB的大小本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质，本题属于基础题型．27.【答案】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=90°，∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴BD⊥CE；（2）如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD；（3）2AD2=BD2+CD2，∵∠EAD=90°AE=AD，∴ED=2AD在Rt△ECD中，ED2=CE2+CD2，∴2AD2=BD2+CD2【解析】（1）由等腰直角三角形的性质得到条件，判断出△BAD≌△CAE即可；（2）同（1）方法一样；（3）根据勾股定理计算即可．此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和等腰直角三角形的性质，判断出△BAD≌△CAE是解本题的关键．28.【答案】解：（1）∵B的坐标为（1，0），∴OB=1．∵OC=3OB=3，点C在x轴下方，∴C（0，-3）．∵将B（1，0），C（0，-3）代入抛物线的解析式得：4a+c=0c=−3，解得：a=34，C=-3，∴抛物线的解析式为y=34x2+94x-3．（2）如图1所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．∵x=-b2a=−942×34=-32，B（1，0），∴A（-4，0）．∴AB=5．∴S△ABC=12AB•OC=12×5×3=7.5．设AC的解析式为y=kx+b．∵将A（-4，0）、C（0，-3）代入得：−4k+b=0b=−3，解得：k=-34，b=-3，∴直线AC的解析式为y=-34x-3．设D（a，34a2+94a-3），则E（a，-34a-3）．∵DE=-34a-3-（34a2+94a-3）=-34（a+2）2+3，∴当a=-2时，DE有最大值，最大值为3．∴△ADC的最大面积=12DE•AO=12×3×4=6．∴四边形ABCD的面积的最大值为13.5．（3）存在．①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，-3），令34x2+94x-3=-3，∴x1=0，x2=-3．∴P1（-3，-3）．②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC=P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC=P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．∵C（0，-3），∴P2，P3的纵坐标均为3．令y=3得：34x2+94x-3=3，解得；x1=−3−412，x2=−3+412．∴P2（−3−412，3），P3（−3+412，3）．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（-3，-3），P2（−3−412，3），P3（−3+412，3）．【解析】（1）根据OC=3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，-3），把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；（2）过点D作DE∥y轴分别交线段AC于点E．设D（m，m2+2m-3），然后求出DE的表达式，把S分解为S△ABC+S△ACD，转化为二次函数求最值；四边形ABCD（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．②平移直线AC交x轴于点E，交x 轴上方的抛物线于点P2，P3，由题意可知点P2、P3的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答（3）时要注意进行分类讨论．。

2020年江苏省南通市崇川区启秀中学中考数学一模试卷(含答案解析)

2020年江苏省南通市崇川区启秀中学中考数学一模试卷(含答案解析)

2020年江苏省南通市崇川区启秀中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.25的算术平方根是()A. −5B. 5C. 0D. 252.计算(a2)3÷(a2⋅a3)的结果是()A. 0B. 1C. aD. a33.已知一组数据20，20，x，15的中位数与平均数相等，那么这组数据的中位数是()A. 15B. 17.5C. 20D. 20或17.54.将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为()A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm5.若不等式组{x+a≥01−2x>x−2无解，则a的取值范围是()A. a<1B. a≤1C. a≤−1D. a≥−16.已知一次函数y=ax−x−a+1(a为常数)，则其函数图象一定过象限()A. 一、二B. 二、三C. 三、四D. 一、四7.2014年嘉兴市地区生产总值为335 280 000 000元，该数据用科学记数法表示为()A. 33528×107B. 0.33528×1012C. 3.3528×1010D. 3.3528×10118.设m，n分别为一元二次方程x2+2x−2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=()A. 2015B. 2016C. 2017D. 20189.已知x2+3x=2，则多项式3x2+9x−4的值是()A. 0B. 2C. 4D. 610.如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A，B，C，D四个图中的三角形(阴影部分)与▵EFG相似的是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.若多项式x2+mx+4在整数范围内可分解因式，则m的值是______ ．12.如图，在直径AB的半圆O中，弦AC，BD相交于点E，EC=2，BE=4，则cos∠BEC=______．13.直角坐标系中△OAB，△BCD均为等腰直角三角形，OA=AB，BD=CD，点A在x轴的正半轴上，点D在AB上，△OAB与△BCD的面积之差为3，反比例函数y=k的图象经过点C，则k的值为______．x14.一个由若干个小正方体组成的几何体，从左面看到的视图和从上面看到的视图如图所示，则该几何体最少需要______ 小正方体；最多可以有______ 小正方体．15.如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交AD于点M，交BA的延长线于点Q.连接BM，下列结论中：①AE=BF；②AE⊥BF；③AQ=1；④∠MBF=60°．2正确的结论是______(填正确结论的序号)．16.如图，正方形网格中，点A，B，C在格点上，则tan∠ABC=______．17. 以Rt △ABC 的锐角顶点A 为圆心，适当长为半径作弧，与边AB ，AC 各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A 作直线，与边BC 交于点D.若∠ADB =60°，点D 到AC 的距离为2，则AB 的长为______．18. 抛物线y =x 2+ax +3的对称轴为直线x =1.若关于x 的方程x 2+ax +3−t =0(t 为实数)在−2<x <3的范围内有实数根，则t 的取值范围为____________．三、解答题（本大题共10小题，共96.0分）19. |−√3|−tan60°+(√25)0−2−1．20. 解不等式组{x +1≤2①1+2x 3>x −1②．21. 为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？22.盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别．现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验后得到以下数据．(1)根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是_______；(精确到0.01)(2)若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由．23.当a为何值时，关于x的方程ax =x+2x(x−1)无解？24.如图，在测量“河流宽度”的综合与实践活动中，小李同学设计的方案及测量数据如下：在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D(点B，C，D在同一条直线上)，AB⊥BD，∠ACB=45°，CD=20米，且．若测得∠ADB=25°，请你帮助小李求河的宽度AB.(sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47，结果精确到0.1米)．25.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且CE=CF，连接AE，AF，EF.求证：∠BAF=∠DAE．26.某公司购进一种商品的成本为30元/kg.经市场调研发现，这种商品在未来90天的销售单价p(元/kg)与时间x(天)之间的相关信息如下图，日销售量y(kg)与时间x(天)之间满足一次函数关系，且对应数据如下表：设第x天的销售利润为w元.(1)直接写出销售单价p(元/kg)与时间x(天)之间的函数解析式和销售量y(kg)与时间x(天)之间的函数解析式；(2)问：销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润．27.如图所示等腰梯形ABCD中，AD=BC，AB//CD，对角线AC与BD交于O，∵∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD，OA，BC的中点．求证：△PQS是等边三角形．28.对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为(√3,2)，顶点C、D在x轴上，且OC=OD．(1)当⊙P的半径为4时，①在P1(0,−3)，P2(2√3,3)，P3(−2√3,1)中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是______；②如果点P在直线y=−√3x+1上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；3(2)已知点P在y轴上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．依据算术平方根的定义求解即可．解：∵52=25，∴25的算术平方根5．故选B．2.答案：C解析：解：(a2)3÷(a2⋅a3)=a6÷a5=a．故选：C．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．3.答案：D解析：本题结合平均数考查了确定一组数据的中位数的能力．涉及到分类讨论思想，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小未定，故应分类讨论x 所处的所有位置情况．解：①将这组数据从大到小的顺序排列为20，20，x，15，处于中间位置的那个数是20，x，那么由中位数的定义可知，(20+x)÷2=(20+20+x+15)÷4，x=15，符合题意，中位数为：(20+15)÷2=17.5；②将这组数据从大到小的顺序排列为20，20，15，x，中位数是(20+15)÷2=17.5，此时平均数是(20+20+x+15)÷4=17.5，x=15，符合题意；③将这组数据从大到小的顺序排列为x，20，20，15，中位数是20，平均数是(20+20+x+15)÷4=20，x=25，符合题意；所以中位数是20或17.5．故选D．4.答案：A解析：解：设扇形的半径为Rcm，根据题意得90⋅π⋅R2360=4π，解得R=4，设圆锥的底面圆的半径为rcm，则12⋅2π⋅r⋅4=4π，解得r=1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm．故选：A．设扇形的半径为Rcm，根据扇形面积公式得90⋅π⋅R2360=4π，解得R=4；设圆锥的底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12⋅2π⋅r⋅4=4π，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．5.答案：C解析：本题考查了解一元一次不等式，解此题的关键是得出关于a的不等式，先求出两个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，解不等式，求出a的取值范围即可．解：{x+a≥0①1−2x>x−2②,解不等式①，得：x≥−a；解不等式②，得：x<1，∵不等式组无解，∴−a≥1，∴a≤−1．故选C．6.答案：D解析：解：一次函数y=ax−x−a+1=(a−1)x−(a−1)，当a−1>0时，−(a−1)<0，图象经过一、三、四象限；当a−1<0时，−(a−1)>0，图象经过一、二、四象限；所以其函数图象一定过一、四象限，故选D．分两种情况讨论即可．本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，一次函数的性质是解答此题的关键．7.答案：D解析：解：将335 280 000 000用科学记数法表示为：3.3528×1011．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8.答案：B解析：本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=2018、m+n=−2是解题的关键．根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=2018、m+n=−2，将其代入m2+ 3m+n中即可求出结论．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x−2018=0的两个实数根，∴m2+2m=2018，m+n=−2，∴m2+3m+n=m2+2m+(m+n)=2018+(−2)=2016．故选B．9.答案：B解析：本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体思想进行计算．先把3x2+9x−4变形为3(x2+3x)−4，然后把x2+3x=2整体代入计算即可．解：∵x2+3x=2，∴3x2+9x−4=3(x2+3x)−4=3×2−4=6−4=2．故选B．10.答案：B解析：本题考查了相似三角形的判定.首先根据勾股定理求出各边的长，然后根据对应边是否成比例，逐一排除即可．解：∵小正方形的边长为1，∴在△EFG中，EG=√2，FG=2，EF=√1+32=√10，A.一边=3，一边=√2，一边=√1+22=√5，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，故A错误；B.一边=1，一边=√2，一边=√1+22=√5，有√21=2=√105，即三边与△EFG中的三边对应成比例，故两三角形相似，故B正确；C.一边=1，一边=√5，一边=2√2，三边与与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，D.一边=2，一边=√5，一边=√32+22=√13，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，故D错误;故选B．11.答案：4，5，−5，−4解析：解：∵4=2×2=1×4=(−1)×(−4)=(−2)×(−2)，∴m的值可能为：2+2=4，1+4=5，−1−4=−5，−2−2=−4，故m的值可能为：4，5，−5，−4．故答案为：4，5，−5，−4．根据十字相乘法的分解方法和特点可知：m的值应该是4的两个因数的和，从而得出m的值．本题主要考查因式分解的意义和十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．12.答案：12解析：本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是90°是解题的关键．根据直径所对的圆周角是90°，进而利用锐角三角函数解答即可．解：连接CB，∵直径AB，∴∠ACB=90°，∵EC=2，BE=4，∴cos∠BEC=ECBE =24=12，故答案为：12．解析：解：∵△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∴OA=AB，CD=BD．设OA=a，CD=b，则点C的坐标为(a+b,a−b)，∵反比例函数y=kx的图象经过点C，∴(a+b)(a−b)=a2−b2=k，∴△OAB与△BCD的面积之差=12a2−12b2=12k=3，∴k=6，故答案为6．根据△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，可得OA=AB，CD=BD.设OA=a，CD=b，则点C的坐标为(a+b,a−b)，根据反比例函数y=kx的图象经过点C，即可得到a2−b2=k，进而得出△OAB与△BCD的面积之差=12a2−12b2=12k=3，解得即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出a2−b2=k是解题的关键．14.答案：5；7解析：此题考查由三视图判断几何体；用到的知识点为：俯视图正方形的个数为组合几何体最底层的正方体的个数；左视图第二层正方形的个数为组合几何体第二层的正方体最少的个数．(1)由俯视图可得最底层的几何体的个数，由左视图第二层正方形的个数可得第二层最少需要几块正方体，相加即可得到该几何体最少需要几块小正方体；(2)由俯视图和左视图可得第二层最多需要几块小正方体，再加上最底层的正方体的个数即可得到最多可以有几块小正方体．解：俯视图中有4个正方形，那么组合几何体的最底层有4个正方体，(1)由左视图第二层有1个正方形可得组合几何体的第二层最少有1个正方体，所以该几何体最少需要4+1=5块小正方体；(2)俯视图从上边数第一行的第二层最多可有3个正方体，所以该几何体最多需要4+3=7块小正方体．故答案为5；7．15.答案：①②③解析：解：∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=AD=CD=2，∠C=∠D=∠ABC=90°∵CF=BE，AB=BC，∠C=∠ABC∴△AEB≌△BCF∴AE=BF，∠EAB=∠FBC∵∠FBC+∠ABF=90°∴∠EAB+∠ABF=90°∴∠AGB=90°即AE⊥BF故①②正确∵折叠∴BC=BP，∠CBF=∠PBF∴AB=BP且BM=BM∴Rt△ABM≌Rt△BMP∴AM=MP，∠ABM=∠PBM∵∠ABM+∠PBM+∠CBF+∠PBF=180°∴∠MBF=45°故④错误∵在Rt△DMF中，MF2=FD2+DM2．∴(1+AM)2=(2−AM)2+1∴AM=23，∴DM=4 3∵CD//BA∴AQDF=AMDM=12∴AQ=1 2故③正确故答案为①②③由题意可证△BFC≌△ABE ，可判断①②，由折叠可判断④，根据勾股定理可求AM =23，DM =43，根据平行线分线段成比例可求AQ =12，可判断③本题考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 16.答案：35解析：本题考查了锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是求出AD 的长度．过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D ，可求出AD 、BD 的长度，继而根据锐角三角函数的定义可求出结果． 解：连接AC ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D ，由图得：△ABC 的面积=2×4−12×2×2−12×4×1−12×2×1=3，由勾股定理可求得，BC =√17，∴S △ABC =12BC ⋅AD =12×√17⋅AD =3， 解得：AD =6√1717， 在Rt △ABD 中，BD =√AB 2−AD 2=(6√1717)=10√1717， ∴tan∠ABC =AD BD =6√171710√1717=35， 故答案为：35．17.答案：2√3解析：解：如图，作DE⊥AC于E．由题意AD平分∠BAC，∵DB⊥AB，DE⊥AC，∴DB=DE=2，在Rt△ADB中，∵∠B=90°，∠BDA=60°，BD=2，∴AB=BD⋅tan60°=2√3，故答案为2√3如图，作DE⊥AC于E.首先证明BD=DE=2，在Rt△ABD中，解直角三角形即可解决问题．本题考查作图−基本作图，角平分线的性质定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．18.答案：2≤t<11解析：本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据抛物线y=x2+ax+3的对称轴为直线x=1，可以求得a的值，即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当−2<x<3时，y的取值范围，关于x的方程x2+ax+3−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+3与函数y=t的图象有交点，从而利用数形结合可以得到t的取值范围．解：∵抛物线y=x2+ax+3的对称轴为直线x=1，=1，得a=−2，∴−a2×1∴y=x2−2x+3=(x−1)2+2，∴当−2<x<3时，y的取值范围是2≤y<11，方程x2+ax+3−t=0，即为t=x2−2x+3，关于x的方程x2+ax+3−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+3与函数y=t的图象有交点，∴t的取值范围是2≤t<11，故答案为：2≤t<11．19.答案：解：原式=√3−√3+1−12=12．解析：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．20.答案：解：解不等式①，得：x≤1，解不等式②，得：x<4，则不等式组的解集为x≤1．解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.答案：解：设原计划每天种树x棵，实际每天种树(1+25%)x棵，由题意，得1000 x −1000(1+25%)x=5，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解．答：原计划每天种树40棵．解析：设原计划每天种树x棵，实际每天种树(1+25%)x棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可．本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，工作总量÷工作效率=工作时间在实际问题中的运用.解答时根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程是关键．22.答案：(1)0.25；(2)由(1)可知，黑棋的个数为4×0.25=1，则白棋子的个数为3，画树状图如下：由表可知，所有等可能结果共有12种情况，其中这两枚棋颜色不同的有6种结果，所以这两枚棋颜色不同的概率为612=12．解析：本题考查了利用频率估计概率的知识，考查树状图法及概率公式，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．(1)大量重复试验下摸棋的频率可以估计摸棋的概率，据此求解；(2)画树状图列出所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．解：(1)根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋子是黑棋的概率是0.25，故答案为：0.25；(2)见答案．23.答案：解：方程两边同乘x(x−1)得：a(x−1)=x+2，整理得：(a−1)x=2+a，(i)当a−1=0，即a=1时，原方程无解；(ii)当a−1≠0，原方程有增根x=0或1，当x=0时，2+a=0，即a=−2；当x=1时，a−1=2+a，无解，即当a=1或−2时原方程无解．解析：本题考查分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．24.答案：解：设河宽AB为x米．∵AB⊥BD，∴∠ABC=90°，∵∠ACB=45°，∴∠BAC=45°，∴AB=BC=x，∵CD=20，∴BD=20+x．∵BD⋅tan25°=AB，∴(x+20)tan25°=x，∴x=20tan25°1−tan25∘∴x≈17.7．答：河宽AB约为17.7米．解析：本题考查了解直角三角形的应用，解此类题目的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．设河宽AB为x米，解直角三角形ABC，得出AB=BC=x，那么BD=20+x.再解直角三角形ABD，根据正切函数的定义得出BD⋅tan25°=AB，依此列出方程(x+20)tan25°=x，解方程即可求出x 的值．25.答案：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=90°，∵CE=CF，∴BE=DF，在△ABE和△ADF中，{AB=AD ∠B=∠D BE=DF,∴△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，∵∠BAF=∠BAE+∠EAF，∠DAE=∠DAF+∠EAF，∴∠BAF=∠DAE．解析：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质．先证△ABE≌△ADF ，则∠BAE =∠DAF ，再由∠BAF =∠BAE +∠EAF ，∠DAE =∠DAF +∠EAF 可得．26.答案：解：(1)y =−2x +200；p ={x +40(0<x <50)90(50≤x ≤90)；(2)设最大利润为w 元，①则w =(−2x +200)(x +40−30) =−2x 2+180x +2000=−2(x −45)2+6050，∴当x =45时，最大利润为6050元；②w =(−2x +200)(90−30)=−120x +12000，∵−120<0，∴w 随x 的增大而减小，∴x =50时，w 最大值为6000，∴x =45时有最大值为6050元．解析：本题考查了一次函数解析式的求法，二次函数最值的应用．(1)利用表格得到两个点坐标代入一次函数解析式求得结果；(2)利用总利润得到抛物线的解析式，利用配方法求出顶点坐标得到最大利润．解：(1)由表格得到坐标为(10,180)，(30,140)，设y =kx +b ，代入得到{10k +b =18030k +b =140，解得{k =−2b =200， ∴y =−2x +200；当0<x <50时，设p =kx +40，由图象得B(50,90)∴50k +40=90，∴k =1，∴p =x +40，当50≤x ≤90时，p =90；∴p ={x +4(0<x <50)90(50≤x ≤90)． (2)见答案．27.答案：证明：连CS ，BP ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，且AC 与BD 相交于O ，∴AC =BD ，在△CAB 和△DBA 中，{CA =DB AB =AB BC =AD∴△CAB≌△DBA(SSS)，∴∠CAB =∠DBA ，同理可得出：∠ACD =∠BDC ，∴AO =BO ，CO =DO ，∵∠ACD =60°，∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形．∵S是OD的中点，∴CS⊥DO，在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=12BC，同理BP⊥AC，在Rt△BPC中，PQ=12BC，又∵SP是△OAD的中位线，∴SP=12AD=12BC．∴SP=PQ=SQ．故△SPQ为等边三角形．解析：试题分析：由于梯形ABCD是等腰梯形∠ACD=60°，可知△OCD与△OAB均为等边三角形，连接CS，BP根据等边三角形的性质可知△BCS与△BPC为直角三角形，再利用直角三角形的性质可知QS=BP=12BC，由中位线定理可知，QS=QP=PS=12BC，故△PQS是等边三角形．28.答案：(1)①P1(0,−3)，P2(2√3,3)；②∵设P的坐标为(x,−√33x+1)，∵E为(0,1)，∴x2+(−√33x+1−1)2=42，解得：x=±2√3，当x=2√3时，y=−√33×2√3+1=−1；当x=−2√3时，y=−√33×(−2√3)+1=3；∴点P的坐标为(2√3,−1)或(−2√3,3)；(2)∵点P在y轴上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，且⊙P与直线AD没有公共点，∴|m−1|<√3，且|m−1|≠0，解得：1−√3<m<1+√3且m≠1．∴点P的纵坐标m的取值范围为：1−√3<m<1+√3且m≠1．解析：解：(1)连接AC，BD交于点E，∵点A的坐标为(√3,2)，顶点C、D在x轴上，且OC=OD，∴点B的坐标为(−√3,2)，点C的坐标为(−√3,0)，点D的坐标为(√3,0)，∴矩形ABCD的中心E的坐标为(0,1)，当⊙P的半径为4时，①若P1(0,−3)，则PE=1+3=4，若P2(2√3,3)，则PE=√(2√3)2+(3−1)2=4，若P3(−2√3,1)则PE=√(−2√3)2+(1−1)2=2√3，∴可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是：P1(0,−3)，P2(2√3,3)；故答案为：P1(0,−3)，P2(2√3,3)．②见答案；(2)见答案．(1)①由点A的坐标为(√3,2)，顶点C、D在x轴上，且OC=OD，可求得点B，C，D的坐标，继而可求得到此矩形四个顶点距离都相等的点E的坐标，然后由⊙P的半径为4，即可求得答案；②首先设P的坐标为(x,−√33x+1)，易得x2+(−√33x+1−1)2=42，继而求得答案；(2)由题意可得|m−1|<√3，且|m−1|≠0，继而求得答案．此题属于圆的综合题．考查直线与圆的位置关系、两点间的距离表示方法以及勾股定理．注意理解“等距圆”的意义是解此题的关键．。

2023-2024学年江苏省南通市崇川区重点中学九年级(上)月考数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省南通市崇川区重点中学九年级(上)月考数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省南通市崇川区重点中学九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中一定是二次函数的是( )B. y=ax2+bx+cA. y=2x2+1xC. y=3x−1D. y=2x(x−2)+12.下列说法正确的是( )A. 过圆心的线段是直径B. 面积相等的圆是等圆C. 两个半圆是等弧D. 相等的圆心角所对的弧相等3.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5∘,OC=4，CD的长为( )A. 22B. 4C. 42D. 84.关于二次函数y=(x−1)2+5，下列说法正确的是( )A. 函数图象的开口向下B. 函数图象的顶点坐标是(−1,5)C. 该函数有最大值，最大值是5D. 当x>1时，y随x的增大而增大5.已知抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则n的值为( )A. −2B. −4C. 2D. 46.如图，在▵ABC中，∠ACB=90∘，AB=5，BC=4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是( )A. 2B. 3C. 4D. 57.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与B C相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D的坐标是( )A. (9,2)B. (9,3)C. (10,2)D. (10,3)8.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PD与⊙O相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是( )A. 36°B. 28°C. 20°D. 18°9.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出，则其面积S=p(p−a)(p−b)(p−c)的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2.这个公式也被称为海伦−秦九韶公式．若p=5,c=4，则此三角形面积的最大值为( )A. 5B. 4C. 25D. 510.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3,4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为( )A. 3B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.用反证法证明命题“若a2<4，则|a|<2”时，应假设_____．12.已知二次函数y=x2−2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____．13.已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长为30cm，则这个圆锥的表面积是_____．14.已知二次函数y=mx2+x−1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．15.在⊙O中，弦AB的长等于半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是__________．16.当−2≤x≤1时，二次函数y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为________．17.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−4ax−1经过点(2,7).若关于x的一元二次方程ax2−4ax−1−t=0(t≤x<4的范围内有实数根，则t的取值范围为________．为实数)在1218.如图，在正方形ABCD中，AB=4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为_____．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。

2021-2022学年江苏省南通市崇川区启秀中学联合体九年级(上)月考数学试卷(10月份)

2021-2022学年江苏省南通市崇川区启秀中学联合体九年级(上)月考数学试卷(10月份)

2021-2022学年江苏省南通市崇川区启秀中学联合体九年级（上）月考数学试卷（10月份）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题）.1．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（）A．（1，﹣3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．下列说法正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．直径是圆中最长的弦D．半圆是圆中最长的弧3．将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x+3）2+2B．y＝﹣2（x+3）2﹣2C．y＝﹣2（x﹣3）2+2D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣24．二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，﹣8）和（﹣5，﹣8），则此抛物线的对称轴是直线（）A．x＝4B．x＝3C．x＝﹣5D．x＝﹣15．已知⊙O的半径OA长为1，OB=√2，则可以得到的正确图形可能是（）A．B．C．D．6．已知二次函数y＝2x2+8x+7的图象上有点A（﹣2，y1），B（﹣5，y2），C（﹣1，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y1 7．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s8．如图所示是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，与x轴交于点（3，0），对称轴是直线x＝1．下列结论：（1）abc＞0；（2）a﹣b+c＝0；（3）当﹣1＜x＜3时，y＜0；（4）am2+bm≥a+b，（m为任意实数）．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'={y(x＜0)−y(x≥0)，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，﹣2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，3）．若点P在函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，则其“可控变点”Q的纵坐标y'关于x的函数图象大致正确的是（）A．B．C．D．10．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是−54，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．0≤m≤12C．﹣2≤m≤−12D．m≤−12二、填空题（共8小题，每题4分，共32分）11．已知⊙O的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是cm．12．二次函数y＝x2﹣2x+6的最小值是．13．抛物线y＝ax2+bx﹣3过点（2，4），代数式8a+4b+1的值为＝．14．若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是．15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于D，交AC 于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝．16．如图抛物线y=−12x2﹣x+32与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为．17．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况．销售单价定为元时，获得的利润最多．18．“已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是．三、解答题（共7小题，共88分）19．已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，将其解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．20．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣m与x轴有两个交点A和B，与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求m的取值范围；（2）若AB＝6，求m的值；（3）若m＝1，点P在抛物线上，且△PDC是直角三角形，直接写出点P的坐标．21．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点B（0，3），对称轴为直线x＝1．（1）求该二次函数的解析式；（2）若0≤x≤4求函数y的取值范围；（3）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y＝mx+n经过A、C两点，根据图像直接写出满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发2秒后，△PBQ的面积是多少？（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．23．为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面OM的距离为6米，宽度OM为12米，隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带．如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为35米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？24．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y﹣mx+n（m≠0）交y轴于同一点，且抛物线的顶点在直线y＝mx+n上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一．（1）求抛物线y＝x2﹣2x﹣3的“伙伴函数”表达式；（2）若直线y＝mx﹣3与抛物线y＝x2﹣6x+c互为“伙伴函数”，求m与c的值；（3）设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为（﹣k，t）且kt＝3，它的一个“伙伴函数”表达式为y＝3x+6，求该抛物线表达式，并确定在﹣4≤x≤4范围内该函数的最大值．25．如图，已知抛物线y=k8（x﹣2）（x+4）（k为常数，且k大于0与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线第一象限的图像上，且∠BAD＝30°．（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F是线段AD上一点（不含端点），连接BF，一动点M从点B出发，沿线段BF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少，最少用时是多少？。

江苏省南通市启秀中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

江苏省南通市启秀中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

江苏省南通市启秀中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列银行标志图案中，是中心对称的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．在平面直角坐标系中，点()23,1P m -+关于原点对称点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．如图所示，MN 为O 的弦，50N ∠=︒，则MON ∠的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100° 4．袋中装有3个绿球和4个红球，它们除颜色外，其余均相同。

从袋中摸出4个球，下列属于必然事件的是（ ）A ．摸出的4个球其中一个是绿球B ．摸出的4个球其中一个是红球C ．摸出的4个球有一个绿球和一个红球D ．摸出的4个球中没有红球 5．如果反比例函数y =k x （k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则它一定还经过（ ） A ．（﹣12，8） B ．（﹣3，﹣2） C ．（12，12） D ．（1，﹣6） 6．过O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm 。

则OM 的长为（ ）AB C ．2cm D ．3cm 7．关于下列说法：（1）反比例函数13y mx=，在每个象限内y 随x 的增大而减小；（2）函数13y x =-，y 随x 的增大减小；（3）函数213y x =-，当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如图，∠AOB=110°，弦AB 所对的圆周角为（ ）A ．55°B ．55°或70°C ．55°或125°D ．55°或110° 9．若ab ＞0，则一次函数y=ax+b 与反比例函数ab y x=在同一坐标系数中的大致图象是 A ． B ．C ．D ．10．如图，半径为5的A 中，弦BC ED 、所对的圆心角分别是BAC EAD ∠∠、.已知8DE =，180BAC EAD ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距等于（ ）A B ．2 C ．4 D ．3二、填空题11．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_______；12．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的半径为______________。

江苏省南通市启秀中学2020-2021学年九年级上学期11月月考数学试题

江苏省南通市启秀中学2020-2021学年九年级上学期11月月考数学试题

江苏省南通市启秀中学2020-2021学年九年级上学期11月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．平面直角坐标系内的点A(-2，3)关于x 轴对称点的坐标是( )A ．(3,-2)B ．(2,-3)C ．(-3,-2)D ．(-2,-3) 2．国旗上的五角星需要旋转多少度后才能与自身重合？（ ）A ．36︒B ．60︒C ．45︒D ．72︒ 3．下列图形中只是轴对称图形，而不是中心对称图形的是（ ）．A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等边三角形 4．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 5．如图，把菱形ABOC 绕点O 顺时针旋转得到菱形DFOE ，则下列角中不是旋转角的为（ ）A ．∠BOFB ．∠AODC ．∠COED ．∠COF 6．一条弦把圆分成1：3的两部分，则该弦所对的圆周角的度数是（ ） A ．45︒B ．135︒C ．30和150︒D ．45︒和135︒ 7．如图，AB 是O 的直径，C 、D 为O 上的点，P 为圆外一点，PC 、PD 均与圆相切，设A B α∠+∠=，CPD β∠=，则α与β满足的关系式为（ ）A ．αβ=B ．11802αβ+=︒C ．11802αβ+=︒ D ．以上都不对 8．如图，AB 是O 的直径，C 、D 为O 上的点，若6AC =，8BC =，若CD 平分ACB ∠，则CD 长为（ ）A ．10B ．7C ．D ．9．有下列命题中：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于这条弦；⑥弦的垂直平分线经过圆心；⑦相等的圆周角所对的弧相等.其中正确的有（ ）A ．1个B ．3个C ．5个D ．7个10．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ， BE ⊥AC ，AD ，BE 相交于点M ，若AC ＝8，BM ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A ．B ．C ．D ．6二、填空题 11．已知圆中最长的弦为6，则这个圆的半径为________.12．设点I 为ABC ∆的内心，若100A ∠=︒，则BIC ∠=________.13．如果点(1,82)P m m +-关于原点的对称点Q 在第四象限，则m 的取值范围是________.14．已知点P 为O 内一点，过点P 的弦中，最长为10，最短为6，则OP =________. 15．如图所示，在ABC ∆中，70CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC ∆绕A 点逆时针旋转到△AB C ''的位置，使//CC AB '，则BAB ∠'=___．16．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，E 是平面内的一个动点，且满足90AEB =︒∠，连接CE ，则线段CE 长的最大值为________.17．以点(1,2)P 为圆心，r 为半径画圆，与坐标轴有四个交点，则r 的取值范围是________.18．如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，BD =6AB =，则ABC ∆的内心与外心之间的距离为________.三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，2）请解答下列问题：(1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出 A 1 的坐标．(2)画出△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到的△A 2B 2C 2，并写出 A 2 的坐标．(3)画出△A 2B 2C 2 关于原点 O 成中心对称的△A 3B 3C 3，并写出 A 3 的坐标．20．如图所示，AC 、AB 是O 的弦，AC AB =，且AC AB ⊥，若⊥OD AB ，OE AC ⊥，垂足分别为D ，E .求证：四边形ADOE 是正方形.21．如图，在半径为50的O 中，弦AB 的长为50，() 1求AOB ∠的度数；()2求点O 到AB 的距离．22．如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，AC 是O 的直径，25BAC ∠=︒.求P ∠的度数.23．如图，C 为O 的劣弧AB 的中点，D ，E 分别为OA ，OB 的中点，求证：CD CE =.24．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =，求APB ∠的度数.25．已知，如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，4cm AE =，6cm BE =，60BED ∠=︒，求CD 的长.26．如图，四边形ABCD 内接于O ，点E 在对角线AC 上，若EC BC =，且12∠=∠.求证：DC BC =.27．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径的O 经过点B .（1）求O的半径；，垂足为Q，求OQ的长.（2）点P为劣弧AB中点，作PQ AC28．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（2，1）．直线OM是一次函数y=－x的图象．将直线OM沿x轴正方向平行移动．（1）填空：直线OM与x轴所夹的锐角度数为°；（2）求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式；（可直接用（1）中的结论）（3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得的弦对的圆心角为90°时，直线OM的函数关系式．参考答案1．D【分析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点解答．【详解】根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P（-2，3）关于x轴的对称点坐标为（-2，-3）．故选D．【点睛】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2．D【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．故选D．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3．D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念结合选项所给的图形即可得出答案．【详解】A、平行四边形是中心对称图形，故A选项错误；B、矩形是中心对称图形，故B选项错误；C、菱形是中心对称图形，故C选项错误；D、等边三角形不是中心对称图形，故D选项正确；故选D．4．B【解析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解．解：根据题意∠APB=12∠AOB，∵∠AOB=90°，∴∠APB=90°×12=45°．故选B．5．D【解析】分析：两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．详解：A.OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误；B. OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；C. OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误；D. OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确；故选D.点睛：考查旋转的性质，对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角.6．D【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得∠ADB 的度数，继而可求得答案．【详解】如图，∵弦AB把⊙O分成1：3两部分，∴∠AOB=14×360°=90°，∴∠ACB=12∠AOB=45°，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠ADB=180°-∠ACB=135°．∴这条弦所对的圆周角的度数是：45°或135°．故选D．【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．B【分析】连结OC，OD，则∠PCO=90°，∠PDO=90°，可得∠CPD+∠COD=180°，根据OB=OC，OD=OA，可得∠BOC=180°-2∠B，∠AOD=180°-2∠A，则可得出α与β的关系式．【详解】连结OC，OD，∵PC、PD均与圆相切，∴∠PCO=90°，∠PDO=90°，∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD=360°，∴∠CPD+∠COD=180°，∵OB=OC ，OD=OA ，∴∠BOC=180°-2∠B ，∠AOD=180°-2∠A ， ∴∠COD+∠BOC+∠AOD=180°，∴180°-∠CPD+180°-2∠B+180°-2∠A=180°． ∴11802αβ+=︒． 故选B ．【点睛】本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质．8．D【分析】作DF ⊥CA ，垂足F 在CA 的延长线上，作DG ⊥CB 于点G ，连接DA ，DB ．由Rt △AFD ≌Rt △BGD （HL ），推出AF=BG ，由Rt △CDF ≌Rt △CDG （HL ），推出CF=CG ，由△CDF 是等腰直角三角形，得CF ，求出CF 即可解决问题．【详解】作DF ⊥CA ，垂足F 在CA 的延长线上，作DG ⊥CB 于点G ，连接DA ，DB ．∵∠AFD=∠BGD=90°，在Rt △ADF 和Rt △BDG ，AD BD DF DG ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △AFD ≌Rt △BGD （HL ），∴AF=BG ．同理：Rt △CDF ≌Rt △CDG （HL ），∴CF=CG ．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AC=6，BC=8，∴，∴6+AF=8-AF，∴AF=1，∴CF=7，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∵△CDF是等腰直角三角形，∴．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质．9．B【分析】利用弦的定义，构成圆的条件，外心性质以及垂径定理逆定理判断即可．【详解】①直径是弦，是真命题；②不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原命题是假命题；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，是真命题；④在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；⑥弦的垂直平分线经过圆心，是真命题；⑦在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；故选B．【点睛】此题考查了命题与定理，熟练掌握性质及定义是解本题的关键．10．A【解析】试题解析：作直径AH ,连接HB 、HC ,作OF ⊥AC 于F ,连接CM ,延长CM 交AB 于点N ,则CN ⊥AB ,如图所示：∵AH 为直径，90HCA HBA ∴∠=∠=，∵CN ⊥AB ，BE ⊥AC ，A BEA ∴∠=∠=∴∠HBA =∠CNA ，∠HCA =∠BEA ，,HB CN HC BE ∴，∴四边形HBMC 为平行四边形，∴BM =HC =4，∵OF ⊥CC ，OF 过O ，∴根据垂径定理：142CF FA AC ===， ∵AO =OH ，∴OF 为△ACH 的中位线， 122OF HC ∴==， ∴在Rt AOF △中,222222420OA OF AF =+=+=，AC ∴=故选A.11．3【分析】根据直径为圆的最长弦求解．【详解】∵圆中最长的弦为6，∴⊙O的直径为6，∴圆的半径为3．故答案为3．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．12．140【分析】如图，利用三角形内心的定义得到∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，根据三角形内角和得到∠BIC=180°-12（∠ABC+∠ACB），而∠ABC+∠ACB=80°，从而可计算出∠BIC的度数．【详解】如图，∵点I为△ABC的内心，∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-12（∠ABC+∠ACB），而∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-100°=80°，∴∠BIC=180°-12×80°=140°．故答案为：140°．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．13．1m<-【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求出点Q的坐标，根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可．【详解】点P（m+1，8-2m）关于原点的对称点Q的坐标为（-m-1，-8+2m），由题意得，-m-1＞0且-8+2m＜0，解得：m＜-1且m＜4，∴m＜-1．故答案为：m＜-1．【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点和点的坐标，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）是解题的关键．14．4【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．【详解】如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得AB=10，CD=6．∵CD ⊥AB ，∴CP=12CD=3．根据勾股定理，得故答案为：4．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．准确找到过一点的最长的弦和最短的弦是关键． 15．40°【分析】由旋转性质可知AC AC ='，C AB CAB ∠''=∠，从而可得出ACC ∆'为等腰三角形，且CAC BA B ∠'=∠'和已知//CC AB '，得出ACC ∠'的度数．则可得出答案．【详解】解：ABC ∆绕A 点逆时针旋转到△AB C ''的位置AC AC C AB CAB ∴='∠''=∠AC C ACC C AC B AB ∴∠'=∠'∠'=∠'//CC AB '70C CA CAB ∴∠'=∠=︒18070240CAC ∴∠'=︒-︒⨯=︒40BAB ∴∠'=︒【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解题的关键是抓住旋转变换过程中不变量，判断出ACC ∆'是等腰三角形．16．2【分析】根据E 是平面内的一个动点，如图，当CE 在圆O 的直径所在的直线上时，CE 最长，利用勾股定理可得答案．【详解】如图，∵AB=4，BC=6，∠AEB=90°，∴AB是⊙O的直径，∴OE=2，在Rt△OBC中，∴CE的最大值.故答案为：【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质，根据E是平面内的一个动点，线段CE取得最大值是解题的关键．r>且r≠17．2【分析】作PA⊥x轴，连结OP，根据勾股定理计算出OP=2，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的r的取值范围为r＞2且【详解】作PA⊥x轴，连结OP，如图，∵点P的坐标为（1，2），∴OA=1，PA=2，∴∴当以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时，r的取值范围为r＞2且r≠故答案为：r＞2且r【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：①直线l 和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了坐标与图形性质．18【分析】作DF⊥BA于F，连接AD，DC．只要证明△DFA≌△DEC（ASA），推出AF=CE，Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），推出AF=BE得到四边形BEDF是正方形，BD是对角线，作△ABC 的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由切线长定理可知：AN=4，推出ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt△OMN中，理由勾股定理即可解决问题．【详解】作DF⊥BA于F，连接AD，DC．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF=DE，∠DFB=∠DEB=90°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EDF=180°，∴∠ADC=∠EDF，∴∠FDA=∠CDE，∵∠DFA=∠DEC=90°，∴△DFA≌△DEC（ASA），∴AF=CE，∵BD=BD，DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴BF=BE，∴四边形BEDF是正方形，BD是对角线，∵，∴正方形BEDF的边长为7，由（2）可知：BC=2BE-AB=8，∴，作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由切线长定理可知：AN=6+1082-=4，∴ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt△OMN中，∴△ABC【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题19．（1）作图见解析，A1（﹣2，2）；（2）作图见解析，A2（4，0）；（3）作图见解析，A3（﹣4，0）．【解析】试题分析：根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．点睛：此题了考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握旋转与轴对称的性质是解本题的关键．20．见解析【分析】先根据垂径定理，由OD ⊥AB ，OE ⊥AC 得到AD=12AB ，AE=12AC ，且∠ADO=∠AEO=90°，加上∠DAE=90°，则可判断四边形ADOE 是矩形，由于AB=AC ，所以AD=AE ，于是可判断四边形ADOE 是正方形．【详解】证明：∵⊥OD AB 于D ，OE AC ⊥于E ， ∵12AD AB =，12AE AC =，90ADO AEO ∠=∠=︒， ∴AB AC ⊥，∴90DAE ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵AB AC =，∴AD AE =，∴四边形ADOE 是正方形.【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的判定．21．（1）60°；（2）【解析】【分析】（1）判断出三角形OAB 是等边三角形即可得出∠AOB 的度数；（2）过点O 作OC ⊥AB 于点C ，根据等边三角形的性质及勾股定理的知识，可求出OC ．【详解】()1∵OA OB 50==，AB 50=，∴OAB 是等边三角形，∴AOB 60∠=；()2过点O 作OC AB ⊥于点C ， 则1AC BC AB 252===，在Rt OAC 中，OC =即点O 到AB 的距离为【点睛】考查垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键. 22．50︒【分析】根据切线性质得出PA=PB ，∠PAO=90°，求出∠PAB 的度数，得出∠PAB=∠PBA ，根据三角形的内角和定理求出即可．【详解】∵PA 、PB 是O 的切线， ∴PA PB =，∴PAB PBA ∠=∠，∵AC 是O 的直径，PA 是O 的切线，∴AC AP ⊥，∴90CAP ∠=︒，∵25BAC ∠=︒，∴902565PBA PAB ∠=∠-︒=︒=︒，∴180P PAB PBA ∠=-∠-∠︒180656550︒︒-︒=-=︒.【点睛】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键．23．见解析【分析】由于C 为O 的劣弧AB 的中点，可得CA CB =，故AOC BOC ∠=∠，由D,E 分别为,OA OB 的中点，可得12OD OA ，12OE OB =，可得OD OE =可证COD COE ∆∆≌，即可证结论 【详解】证明：C 为O 的劣弧AB 的中点，CA CB =∴，连接OC ，AOC BOC ∠=∠∴,D E 分别为,OA OB 的中点，12OD OA ∴=，12OE OB =. OA OB =OD OE ∴=在COD ∆和COE ∆中，OD OE COD COE OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩COD COE ∴∆∆≌CD CE ∴=【点睛】本题考查了圆的有关性质，掌握圆的有关性质及全等的证明是解题的关键.24．150︒【分析】将△BCP 绕C 逆时针旋转60°，点B 和A 重合，P 到P′，连接PP′，得出等边三角形PCP′，求出∠CPP′=60°，推出直角三角形APP′，求出∠APP′，即可求出答案．【详解】将BCP ∆绕C 逆时针旋转60︒，点B 和A 重合，P 到P '，连接PP '，∵60PCP '∠=︒，CP CP '=，∴PCP '∆是等边三角形，∴60CPP '∠=︒，∴10PP PC '==，8AP PB '==，6PA =，∵222PP PA AP ''+=，∴90APP '∠=︒，∴6090150APB ∠=︒+︒=︒.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的逆定理，解此题的关键是正确作辅助线，把PA 、PB 、PC 放在“一个三角形”中，主要考查学生的思维能力和运用性质进行推理的能力．25【分析】如图，作OH CD ⊥于H ，连结OD ，首先求出OD 、OH 在长，再借助勾股定理求出DH 的长度，即可解决问题．【详解】作OH CD ⊥于H ，连结OD ，如图，∵4AE =，6BE =，∴10AB AE BE =+=，∴5OA OD ==，∴1OE OA AE =-=，∵60BED ∠=︒，∴OH ==在Rt ODH ∆中，DH ==， ∵OH CD ⊥，∴CH DH ==，∴2CD DH ==【点睛】该题主要考查了垂径定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．26．见解析【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CBE=∠CEB ，根据题意和三角形的外角性质得到∠CBD=∠BAC ，得到∠CBD=∠BDC ，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【详解】证明：∵BC EC =∴CEB CBE ∠=∠∵1CEB BAC ∠=∠+∠，2CBE CBD ∠=∠+∠，12∠=∠∠=∠∴BAC CBD=∴DC BC【点睛】本题考查的是圆周角定理、三角形外角的性质、等腰三角形的判定，掌握圆周角定理是解题的关键．27．（1（2【分析】（1）作OH⊥AB于H．解直角三角形求出AB，利用垂径定理求出AH即可解决问题．（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．证明△AOP是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，∵OH⊥AB，∴AH=HB=1，∴OA=AH÷cos30°（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．∵PA PB ，∴OP ⊥AB ，∴∠AHO=90°，∵∠OAH=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OP ，∴△AOP 是等边三角形，∵PQ ⊥OA ，∴OQ=QA=12 【点睛】本题考查解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.28．(1)45;(2) y =－x +3或y =－x ;(3) y=－x +2或y=－x +4．【分析】（1）利用直线y ＝−x 上点的坐标特征易得直线y ＝x 为第二、三四象限的角平分线，则直线OM 与x 轴所夹的锐角度数为45°；（2）如图1中，设⊙A 与x 轴相切于点C ，平移后的直线OM 与⊙A 相切于点E ，交x 轴于P ，连接AE ，AC ，作ED ⊥AC 于D ．求出点E 坐标，利用待定系数法即可解决问题，再根据对称性解决另一种相切情形；（3）当平移后的直线OM 经过点C （⊙A 与x 轴的切点）时，弦EC 所对的圆心角为90°，此时直线EC 的解析式为y ＝−x ＋2．再根据对称性解决另一种情形.【详解】解：（1）∵直线y =－x 上点到x 轴和y 轴的距离相等，∴直线y =x 为第二、四象限的角平分线，∴直线OM 与x 轴所夹的锐角度数为45°；故答案为45．（2）如图1中，设⊙A 与x 轴相切于点C ，平移后的直线OM 与⊙A 相切于点E ，交x 轴于P ，连接AE ，AC ，作ED ⊥AC 于D ．∵∠OPE=45°，∴∠EPC=135°，∵∠AEP=∠ACP=90°，∴∠EAD=45°，∵AE=1，∴AD=DE=2∴CD=1∴E （2－2，1－2）， 设直线PE 的解析式为y =－x +b ，则有1－2=－（2－2）+b ，∴b=3，∴平移后直线OM 的解析式为y =－x +3．根据对称性可知，直线PE 向右平移⊙A 相切于点E′，此时直线OM 的解析式为y =－x ．综上所述，运动过程中⊙A 与直线OM 相切时的直线OM 的函数关系式为y =－x +3或y =－x ．（3）当平移后的直线OM经过点C（⊙A与x轴的切点）时，弦EC所对的圆心角为90°，此时直线EC的解析式为y=－x+2．根据对称性可知，当直线EC继续向右平移2个单位，与⊙A交于点D，E′，此时∠DAE′=90°，此时直线的解析式为y=－x+4．综上所述，满足条件的直线OM的解析式为：y=－x+2或y=－x+4．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题；学会解决动点问题．。

南通市九年级上学期数学第一次月考试卷你(五四学制)

南通市九年级上学期数学第一次月考试卷你(五四学制)

南通市九年级上学期数学第一次月考试卷你（五四学制）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）已知抛物线的解析式为y=﹣（x+3）2+1，则它的顶点坐标是（）A . （﹣3，1）B . （3，1）C . （3，﹣1）D . （1，3）2. （2分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④对于任意x均有ax2﹣a+bx﹣b＞0，其中正确的个数有（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，则正确的结论是（）A . abc>0B . 3a +c＜0C . 4a+2b+c＜0D . b2 -4ac＜04. （2分）(2020·菏泽) 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018九上·临沭期末) 如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30º下列四个结论：①OA⊥BC；②BC= cm；③cos∠AOB= ；④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是（）A . ①③B . ①②③④C . ①②④D . ②③④6. （2分）(2018·平顶山模拟) 如图，已知AB是⊙O直径，BC是弦，∠ABC=40°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB为（）A . 20°B . 25°C . 30°D . 35°7. （2分）已知圆的半径是2 ，则该圆的内接正六边形的面积是（）A . 3B . 9C . 18D . 368. （2分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=55°，则∠OBC 的度数为（）A . 25°B . 35°C . 55°D . 70°9. （2分）⊙O的直径AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP：OB＝3：5，则CD的长为（）A . 6cmB . 4cmC . 8cmD . cm二、填空题 (共8题；共10分)10. （1分）(2017·顺德模拟) 抛物线的顶点在（1，﹣2），且过点（2，3），则函数的关系式：________11. （1分）(2020·成都模拟) 将抛物线y＝2x2向下平移1个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是________．12. （1分）(2020·长安模拟) 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④4a2+2b+c＜0，其中正确结论的序号为________．13. （1分）(2019·贺州) 已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是________（填写序号）.14. （1分）已知一点到圆周上点的最大距离为，最短距离为，则圆的直径为________.15. （1分）(2017·绿园模拟) 如图，⊙O的半径为6，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=45°，则弦AB的长是________．16. （2分）△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以点A为圆心，以3.4cm的长为半径画圆，则点C在⊙O________，点B在⊙O________．17. （2分） (2019七上·温州期中) 如图，以数轴的单位长度线段为边作正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是________,点B表示的数是________三、解答题 (共10题；共115分)18. （10分） (2019九上·西安月考) 已知抛物线与x轴有两个不同的交点．（1）求c的取值范围；（2）抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．19. （5分） (2017九上·黄石期中) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，求线段OE的长．20. （10分）如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点．（1）当0＜x＜3时，求y的取值范围；（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．21. （5分） (2018九上·金山期末) 如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB=8，AC= ，求⊙O 半径的长．22. （15分） (2016九上·相城期末) 已知二次函数的图象以为顶点，且过点．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将函数图象向左平移多少个单位，该函数图象恰好经过原点．23. （5分）在数学课上,陈老师在黑板上画出如图所示的图形,在△AEC和△DFB中,已知∠E=∠F,点A,B,C,D 在同一直线上,并写下三个关系式：①AE∥DF,②AB=CD,③CE=BF．请同学们从中再任意选取两个作为补充条件,剩下的那个关系式作为结论构造命题．小明选取了关系式①,②作为条件,关系式③作为结论.你认为按照小明的选法得到的命题是真命题吗？如果是,请写出证明过程,如果不是,请举出反例．24. （10分） (2017九上·凉州期末) 我市“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店日纯收入．（日纯收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）（1）若每份套餐售价不超过10元．①试写出y与x的函数关系式；②若要使该店每天的纯收入不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？（2）该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少元？25. （10分）(2017·铁西模拟) 图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P 处，仰角分别为α、β，且tanα= ，tan ，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）求点P的坐标；（2）水面上升1m，水面宽多少（取1.41，结果精确到0.1m）？26. （30分） (2016九上·北京期中) 已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标；（3）求二次函数与x轴的交点坐标；（4）画出这个二次函数的图象；（5）观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围．（6）观察图象并写出当x为何值时，y＞0．27. （15分）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+m经过E（2，3），与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴的交于点是H，点F是AE中点，连接FH．求线段FH的长；（3） P为直线AE上方抛物线上的点．当△AEP的面积最大时．求P点的坐标．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共8题；共10分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共10题；共115分)18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、26-4、26-5、26-6、27-1、27-2、27-3、。

2020年江苏省南通市崇川区九年级(上)第一次月考数学试卷

2020年江苏省南通市崇川区九年级(上)第一次月考数学试卷

月考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.平面直角坐标系内与点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A. （3，-2）B. （2，3）C. （2，-3）D. （-3，-3）2.国旗上的五角星需要旋转多少度后才能与自身重合（）A. 36°B. 60°C. 45°D. 72°3.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形4.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B，O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5.如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）A. ∠BOFB. ∠AODC. ∠COED. ∠COF6.已知弦AB把圆周分成1：3的两部分，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A. B. C. 90°或270° D. 45°或135°7.如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B=α，∠CPD=β，则α与β满足的关系式为（）A. α=βB. α+β=180°C. α+β=180°D. 以上都不对8.如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，若AC=6，BC=8，若CD平分∠ACB，则CD长为（）A. 10B. 7C. 5D. 79.有下列命题中：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于这条弦；⑥弦的垂直平分线经过圆心；⑦相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的有（）A. 1个B. 3个C. 5个D. 7个10.如图，内接于⊙O，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于点M，若AC=8，BM=4，则⊙O的半径等于（）A.B.C.D. 6二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.已知圆中最长的弦为6，则这个圆的半径为______．12.设点I为△ABC的内心，若∠A=100°，则∠BIC=______．13.如果点P（m+1，8-2m）关于原点的对称点Q在第四象限，则m的取值范围是______．14.已知点P为⊙O内一点，过点P的弦中，最长为10，最短为6，则OP=______．15.如图，在△ABC中，∠BAC=70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′= ______ ．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB=90°，连接CE，则线段CE长的最大值为______．17.以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是______．18.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，BD=7，AB=6，则△ABC的内心与外心之间的距离为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）20.如图所示，AC、AB是⊙O的弦，AC=AB，且AC⊥AB，若OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形．21.如图，在半径为50的⊙O中，弦AB的长为50.（1）求∠AOB的度数；（2）求点O到AB的距离．22.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°．求∠P的度数．23.如图：=，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD=CE．24.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数．25.已知，如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AE=4cm，BE=6cm，∠BED=60°，求CD的长．26.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，若EC=BC，且∠1=∠2．求证：DC=BC．27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．28.如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（2，1）．直线OM是一次函数y=-x的图象．将直线OM沿x轴正方向平行移动．（1）填空：直线OM与x轴所夹的锐角度数为______°；（2）求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式；（3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得的弦对的圆心角为90°时，直线OM 的函数关系式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意，得点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3），故选：C．关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2.【答案】D【解析】解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．故选：D．该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确，B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误，C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合，难度适中．4.【答案】B【解析】解：根据题意∠APB=∠AOB，∵∠AOB=90°，∴∠APB=90°×=45°．故选B．根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解．本题考查了圆周角和圆心角的有关知识．5.【答案】D【解析】【分析】此题考查了旋转的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握两对应边所组成的角都可以作为旋转角，难度一般．两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．【解答】解：OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误；B、OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；C、OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误；D、OC旋转后的对应边为OE，不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确，故选D．6.【答案】D【解析】解：∵弦AB把⊙O分成1：3两部分，∴∠AOB=×360°=90°，∴∠ACB=∠AOB=45°，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠ADB=180°-∠ACB=135°．∴这条弦所对的圆周角的度数是：45°或135°．故选：D．首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得∠ADB的度数，继而可求得答案．此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7.【答案】B【解析】解：连结OC，OD，∵PC、PD均与圆相切，∴∠PCO=90°，∠PDO=90°，∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD=360°，∴∠CPD+∠COD=180°，∵OB=OC，OD=OA，∴∠BOC=180°-2∠B，∠AOD=180°-2∠A，∴∠COD+∠BOC+∠AOD=180°，∴180°-∠CPD+180°-2∠B+180°-2∠A=180°．∴．故选：B．连结OC，OD，则∠PCO=90°，∠PDO=90°，可得∠CPD+∠COD=180°，根据OB=OC，OD=OA，可得∠BOC=180°-2∠B，∠AOD=180°-2∠A，则可得出α与β的关系式．本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质．8.【答案】B【解析】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．∵∠AFD=∠BGD=90°，在Rt△ADF和Rt△BDG，，∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），∴AF=BG．同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），∴CF=CG．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AC=6，BC=8，∴AB==10，∴6+AF=8-AF，∴AF=1，∴CF=7，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∵△CDF是等腰直角三角形，∴CD=CF=7．故选：B．作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），推出AF=BG，由Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），推出CF=CG，由△CDF是等腰直角三角形，得CD=CF，求出CF即可解决问题．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质．9.【答案】B【解析】解：①直径是弦，是真命题；②不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原命题是假命题；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，是真命题；④在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；⑥弦的垂直平分线经过圆心，是真命题；⑦在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；故选：B．利用弦的定义，构成圆的条件，外心性质以及垂径定理逆定理判断即可．此题考查了命题与定理，熟练掌握性质及定义是解本题的关键．10.【答案】A【解析】解：作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB 于点N，则CN⊥AB，如图所示：∵AH为直径，∴∠HCA=∠HBA=90°，∵CN⊥AB，BE⊥AC，∴∠CNA=∠BEA=90°∴∠HBA=∠CNA，∠HCA=∠BEA，∴HB∥CN，HC∥BE，∴四边形HBMC为平行四边形，∴BM=HC=4，∵OF⊥AC，OF过圆心O点，∴CF=FA=AC=4，∵AO=OH，∴OF为△ACH的中位线，∴OF=HC=2，∴在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=22+42=20，∴AO=2；故选：A．作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB于点N，则CN⊥AB，推出∠HCA=∠HBA=90°，证出四边形HBMC为平行四边形，求出HC，根据垂径定理求出AF，根据中位线得出OF，再根据勾股定理求出OA即可．本题考查了平行四边形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、垂心定理、三角形中位线定理等知识；通过作辅助线构建平行四边形是解决问题的关键．11.【答案】3【解析】解：∵圆中最长的弦为6，∴⊙O的直径为6，∴圆的半径为3．故答案为：3．根据直径为圆的最长弦求解．本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．12.【答案】140°【解析】解：如图，∵点I为△ABC的内心，∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-（∠ABC+∠ACB），而∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-100°=80°，∴∠BIC=180°-×80°=140°．故答案为140°．如图，利用三角形内心的定义得到∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，根据三角形内角和得到∠BIC=180°-（∠ABC+∠ACB），而∠ABC+∠ACB=80°，从而可计算出∠BIC的度数．本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．13.【答案】m＜-1【解析】解：点P（m+1，8-2m）关于原点的对称点Q的坐标为（-m-1，-8+2m），由题意得，-m-1＞0且-8+2m＜0，解得：m＜-1，故答案为：m＜-1．根据关于原点对称的点的坐标特点求出点Q的坐标，根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可．本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点和点的坐标，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）是解题的关键．14.【答案】4【解析】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得AB=10，CD=6．∵CD⊥AB，∴CP=CD=3．根据勾股定理，得OP===4．故答案为：4．根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．此题综合运用了垂径定理和勾股定理．准确找到过一点的最长的弦和最短的弦是关键．15.【答案】40°【解析】解：由题意得：AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C；∵CC′∥AB，且∠BAC=70°，∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=70°，∴∠CAC′=180°-2×70°=40°；由题意知：∠BAB′=∠CAC′=40°，故答案为40°．首先证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′=40°即可解决问题．该命题以三角形为载体，以旋转变换为方法，综合考查了全等三角形的性质及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．16.【答案】2+2【解析】解：∵AB=4，BC=6，∠AEB=90°，∴AB是⊙O的直径，∴OE=2，在Rt△OBC中，OC=，∴CE的最大值=OE+OC=2+2，∴CE的最大值=2+2．故答案为：2+2．根据E是平面内的一个动点，利用勾股定理可得答案．本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质，根据E是平面内的一个动点，线段CE取得最大值是解题的关键．17.【答案】r＞2且r≠【解析】解：作PA⊥x轴，连结OP，如图，∵点P的坐标为（1，2），∴OA=1，PA=2，∴OP=，∴当以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时，r的取值范围为r＞2且r≠．故答案为：r＞2且r≠．作PA⊥x轴，连结OP，根据勾股定理计算出OP=2，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的r的取值范围为r＞2且r≠．本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了坐标与图形性质．18.【答案】【解析】解：作DF⊥BA于F，连接AD，DC．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF=DE，∠DFB=∠DEB=90°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EDF=180°，∴∠ADC=∠EDF，∴∠FDA=∠CDE，∵∠DFA=∠DEC=90°，∴△DFA≌△DEC（ASA），∴AF=CE，∵BD=BD，DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴BF=BE，∴四边形BEDF是正方形，BD是对角线，∵BD=7，∴正方形BEDF的边长为7，由（2）可知：BC=2BE-AB=8，∴AC==10，作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由切线长定理可知：AN==4，∴ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt△OMN中，OM===．∴△ABC的内心与外心之间的距离为，故答案为．作DF⊥BA于F，连接AD，DC．只要证明△DFA≌△DEC（ASA），推出AF=CE，Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），推出AF=BE得到四边形BEDF是正方形，BD是对角线，作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由切线长定理可知：AN=4，推出ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt△OMN中，理由勾股定理即可解决问题．本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．19.【答案】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（-2，2）；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（-4，0）．【解析】根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．此题了考查了作图-旋转变换，轴对称变换，熟练掌握旋转与轴对称的性质是解本题的关键．20.【答案】证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，∵AD=AB，AE=AC，∠ADO=∠AEO=90°，∵AB⊥AC，∴∠DAE=90°，∴四边形ADOE是矩形，∵AB=AC，∴AD=AE，∴四边形ADOE是正方形．【解析】先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD=AB，AE=AC，且∠ADO=∠AEO=90°，加上∠DAE=90°，则可判断四边形ADOE是矩形，由于AB=AC，所以AD=AE，于是可判断四边形ADOE是正方形．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的判定．21.【答案】解：（1）∵OA=OB=50，AB=50，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°；（2）过点O作OC⊥AB于点C，则AC=BC=AB=25，在Rt△OAC中，OC==25．即点O到AB的距离为25．【解析】（1）判断出三角形OAB是等边三角形即可得出∠AOB的度数；（2）过点O作OC⊥AB于点C，根据等边三角形的性质及勾股定理的知识，可求出OC．本题考查了垂径定理、勾股定理及等边三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，难度一般，注意各知识点的掌握．22.【答案】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴AC⊥AP，∴∠CAP=90°，∵∠BAC=25°，∴∠PBA=∠PAB=90°-25°=65°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-65°-65°=50°．【解析】根据切线性质得出PA=PB，∠PAO=90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB=∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可．本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键．23.【答案】证明：连接OC．在⊙O中，∵=∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，∴OD=OE，∵OC=OC（公共边），∴△COD≌△COE（SAS），∴CD=CE（全等三角形的对应边相等）．【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD=CE．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．24.【答案】解：将△BCP绕C逆时针旋转60°，点B和A重合，P到P′，连接PP′，∵∠PCP′=60°，CP=CP′，∴△PCP′是等边三角形，∴∠CPP′=60°，∴PP′=PC=10，AP′=PB=8，PA=6，∵PP′2+PA2=AP′2，∴∠APP′=90°，∴∠APB=60°+90°=150°．【解析】将△BCP绕C逆时针旋转60°，点B和A重合，P到P′，连接PP′，得出等边三角形PCP′，求出∠CPP′=60°，推出直角三角形APP′，求出∠APP′，即可求出答案．本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的逆定理，解此题的关键是正确作辅助线，把PA、PB、PC放在“一个三角形”中，主要考查学生的思维能力和运用性质进行推理的能力．25.【答案】解：作OF⊥CD于点F，连接OD．∵AE=4cm，EB=6cm，∴AB=4+6=10cm，AO=×10=5cm，∴EO=5-4=1cm．∵在直角△OEF中，OE=1，sin∠DEB=，∴OF=OE•sin∠DEB=1×=，在直角△ODF中，∵DF===，∴CD=2DF=．【解析】作OF⊥CD于点F，连接OD，根据AE=1cm，EB=5cm求出⊙O的直径，进而求出⊙O的半径，从而求出OE的长，再在Rt△EOF中，利用三角函数求出OF的长，然后在直角△ODF中利用勾股定理即可求得DF的长，即可求得DE的长．本题考查的是垂径定理，勾股定理以及解直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．26.【答案】证明：∵EC=BC，∴∠CBE=∠CEB，∴∠1+∠CBD=∠2+∠BAC，∵∠1=∠2，∴∠CBD=∠BAC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠CBD=∠BDC，∴BC=CD．【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CBE=∠CEB，根据题意和三角形的外角性质得到∠CBD=∠BAC，得到∠CBD=∠BDC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．本题考查的是圆周角定理、三角形外角的性质、等腰三角形的判定，掌握圆周角定理是解题的关键．27.【答案】解：（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，∵OH⊥AB，∴AH=HB=1，∴OA=AH÷cos30°=．（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．∵=，∴OP⊥AB，∴∠AHO=90°，∵∠OAH=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ=QA=．（3）连接PC．在Rt△ABC中，AC=BC=，∵AQ=QO=．∴QC=AC-AQ=-，∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，∴PQ=，∴tan∠ACP===．【解析】（1）作OH⊥AB于H．解直角三角形求出AB，利用垂径定理求出AH即可解决问题．（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．证明△AOP是等边三角形即可解决问题．（3）连接PC．求出CQ，PQ即可．本题考查解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．28.【答案】（1）45；（2）如图1中，设⊙A与x轴相切于点C，平移后的直线OM与⊙A相切于点E，交x 轴于P，连接AE，AC，作ED⊥AC于D．∵∠OPE=45°，∴∠EPC=135°，∵∠AEP=∠ACP=90°，∴∠EAD=45°，∵AE=1，∴AD=DE=，∴CD=1-，∴E（2-，1-），设直线PE的解析式为y=-x+b，则有1-=-（2-）+b，∴b=3-，∴平移后直线OM的解析式为y=-x+3-．根据对称性可知，直线PE向右平移2个单位直线与⊙A相切于点E'，此时直线OM 的解析式为y=-x+3+．综上所述，运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式为y=-x+3-或y=-x+3+．（3）当平移后的直线OM经过点C（⊙A与x轴的切点）时，弦EC所对的圆心角为90°，此时直线EC的解析式为y=-x+2．根据对称性可知，当直线EC继续向右平移2个单位，与⊙A交于点D，E'，此时∠DAE'=90°，此时直线的解析式为y=-x+4．综上所述，满足条件的直线OM的解析式为：y=-x+2或y=-x+4．【解析】【分析】（1）利用直线y=-x上点的坐标特征易得直线y=-x为第二、四象限的角平分线，则直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°；（2）如图1中，设⊙A与x轴相切于点C，平移后的直线OM与⊙A相切于点E，交x 轴于P，连接AE，AC，作ED⊥AC于D．求出点E坐标，利用待定系数法即可解决问题，再根据对称性解决另一种相切情形；（3）当平移后的直线OM经过点C（⊙A与x轴的切点）时，弦EC所对的圆心角为90°，此时直线EC的解析式为y=-x+2．再根据对称性解决另一种情形；本题属于一次函数综合题，考查了切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题；学会解决动点问题．【解答】解：（1）∵直线y=-x上点到x轴和y轴的距离相等，∴直线y=-x为第二、四象限的角平分线，∴直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°；故答案为45．（2）见答案；（3）见答案．。

江苏南通启秀中学2024年九年级上学期上学期数学月考试卷含答案

江苏南通启秀中学2024年九年级上学期上学期数学月考试卷含答案

江苏省南通市启秀中学2024~2025学年九年级第一学期数学月考试卷一．选择（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ） A. 2y ax bx c =++ B.()1y x x =− C. 21y x =D. ()221y x x =−−2. 二次函数261y x x =−−的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，6−，1−B. 1，6，1C. 0，6−，1D. 0，6，1−3. 抛物线23(1)2y x =−−的顶点坐标是（ ） A. (1,2)−B. (1,2)−C. (1,2)D. (1,2)−−4. 已知某二次函数图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）A. y ＝﹣3（x ﹣1）2+3B. y ＝3x ﹣1）2+3C. y ＝﹣3（x +1）2+3D. y ＝3（x +1）2+35. 把抛物线y =﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y =﹣2（x +1）2+2 B. y =﹣2（x +1）2﹣2 C. y =﹣2（x ﹣1）2+2 D. y =﹣2（x ﹣1）2﹣26. 抛物线y=x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点个数是（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 若二次函数 23y x bx =−−配方后为 ()21y x k =++，则b 、k 的值分别为（ ） A 2−，4−B. 2−，5C. 4，4−D. 4−，2−8. 已知抛物线()2230y ax ax a =−+>，()11,A y −，()22,B y ，()34,C y 是抛物线上三点，则1y ，2y ，3y 由小到大序排列是（ ）的.A. 123y y y <<B. 213y y y <<C. 312y y y <<D. 231y y y <<9. 如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）AB.C. D.10. 抛物线y ＝−x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝−1．若关于x 的一元二次方程−x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A. −12＜t ≤3B. −12＜t ＜4C. −12＜t ≤4D. −12＜t ＜3二．填空题（11~12每题3分）（共8小题，满分30分）11. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x 2，②y=﹣212x ，③y=﹣x 2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是______（填序号）.12. 如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A −−，(1,2)B −，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .13. 如图，抛物线()20y ax bx c a ++>的对称轴是直线1x =，且经过点()3,0P，则a b c −+的值为_____．14. 如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l 为6米，则当水面下降______米时，水面宽度为15. 已知二次函数()2131y m x x =−+−与x 轴有交点，则m 的取值范围是________．16. 已知二次函数()21y x m =−−，当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________________．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax ax a =−>与x 轴正半轴交于点C ，这条抛物线对称轴与x 轴交于点D ，以CD 为边作菱形ABCD ，若菱形ABCD 的顶点A ，B 在这条抛物线上，则菱形ABCD 的面积为___________．的18. 已知实数a ，b 满足1b a −=且4b ≥，则代数式2411a b −+的最小值是______．三．解答题（共9小题，满分90分，每小题10分）19. 已知函数 ()221m m y m x +=+是关于x 的二次函数．求：（1）满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ 20. 二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … 4−3−2−1− 0 1 2 … y …53−4− 3− 05…（1）求这个二次函数的表达式； （2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当30x −<<时，直接写出y 的取值范围．21. 如图，学校打算用长为16m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，AB 为宽）．（1）写出长方形的面积y （单位： 2m ）与宽x （单位：m ）之间的函数解析式； （2）当x 为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？22. 已知二次函数y=a （x+m ）2的顶点坐标为（﹣1，0），且过点A （﹣2，﹣12）． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点B （2，﹣2）在这个函数图象上吗？（3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B 吗？若能，请写出平移方案．23. 某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表：时间：第x （天）（1≤x ≤30，x 为整数）122x ≤≤2330x ≤≤日销售价（元/件） 0.525x +36日销售量（件）1202x −设该商品的日销售利润为w 元． （1）求出w 与x 的函数关系式；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 24. 已知二次函数2112y x bx =++． （1）若1b =−，求该二次函数图象的对称轴及最小值； （2）若对于任意02x ≤≤，都有1y ≥−，求b 的取值范围．25. 如图，抛物线212y x mx n =−++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()1,0A −，()0,2C ．的（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标． 26. 如图1，抛物线2y x bx =−+与x 轴交于点A ，与直线y x =−交于点(4,4)B −，点(0,4)C −在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．（1）求抛物线2y x bx =−+的表达式；（2）当BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC ，OD ，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；（3）如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ ，PC ，求CP BQ +的最小值．江苏省南通市启秀中学2024~2025学年九年级第一学期数学月考试卷一．选择（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ） A. 2y ax bx c =++ B.()1y x x =− C 21y x =D. ()221y x x =−−【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的的定义．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A 、当0a ≠时，2y ax bx c =++是y 关于x 的二次函数，故本选项不符合题意； B 、()21y x x x x =−=−是y 关于x 的二次函数，故本选项符合题意；C 、21y x=不是y 关于x 的二次函数，故本选项不符合题意； D 、()22121y x x x =−−=−+不是y 关于x 的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B2. 二次函数261y x x =−−的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，6−，1− B. 1，6，1 C. 0，6−，1 D. 0，6，1−【答案】A 【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．二次函数的一般式为：2y ax bx c ++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）．其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，根据定义作答即可． 【详解】解：二次函数261y x x =−−，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，6−，1−． 故选：A ．3. 抛物线23(1)2y x =−−的顶点坐标是（ ） A. (1,2)− B. (1,2)− C. (1,2) D. (1,2)−−【答案】A 【解析】.【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解： 抛物线23(1)2y x =−−，∴该抛物线的顶点坐标为(1,2)−，故选：A ．4. 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）A. y ＝﹣3（x ﹣1）2+3B. y ＝3（x ﹣1）2+3C. y ＝﹣3（x +1）2+3D. y ＝3（x +1）2+3【答案】A 【解析】【分析】利用顶点式求二次函数的解析式：设二次函数y ＝a （x−1）2＋3，然后把（0，0）代入可求出a 的值．【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点， 设二次函数y ＝a （x−1）2＋3，把（0，0）代入得0＝a ＋3解得a ＝−3． 故二次函数的解析式为y ＝−3（x−1）2＋3． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x ＝2ba−；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）．也考查了待定系数法求二次函数的解析式．5. 把抛物线y =﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y =﹣2（x +1）2+2 B. y =﹣2（x +1）2﹣2 C. y =﹣2（x ﹣1）2+2 D. y =﹣2（x ﹣1）2﹣2【解析】【详解】解：把抛物线y =﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后， 所得函数的表达式为y =﹣2（x ﹣1）2+2， 故选C ．6. 抛物线y=x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C 【解析】【详解】试题分析：通过解方程x 2﹣2x ﹣3=0可得到抛物线与x 轴的交点坐标，于是可判断抛物线y=﹣x 2+3x ﹣2与x 轴的交点个数．解：当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3． 则抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）． 故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．7. 若二次函数 23y x bx =−−配方后为 ()21y x k =++，则b 、k 的值分别为（ ） A. 2−，4− B. 2−，5C. 4，4−D. 4−，2−【答案】A 【解析】【分析】本题考查了二次函数的三种形式，把顶点式化为一般式与23y x bx =−−比较可得答案． 【详解】解：∵()22121y x k x x k =++=+++∴2,13b k −=+=−， ∴2,4b k =−=−． 故选A ．8. 已知抛物线()2230y ax ax a =−+>，()11,A y −，()22,By ，()34,C y 是抛物线上三点，则1y ，2y ，3y 由小到大序排列是（ ）A. 123y y y <<B. 213y y y <<C. 312y y y <<D. 231y y y <<【答案】B【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【详解】解：∵抛物线()2230y ax ax a =−+>的开口向上，对称轴为直线212ax a−=−=， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∵()11,A y −，()22,By ，()34,C y ，∴()112−−=，211−=，413−=， ∴213y y y <<， 故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，理解当二次函数的开口向上时，距离对称轴越远的点的函数值越大是解本题的关键．9. 如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分三种情形∶ ①当0＜x ≤2时， 重叠部分为△CDG ，②当2＜x ≤4时，重叠部分为四边形AGDC ，③当4＜x ≤8时，重叠部分为△BEG ，分别计算即可．【详解】解：过点A 作AM ⊥BC ，交BC 于点M ，在等边△ABC 中，∠ACB ＝60°，在Rt △DEF 中，∠F ＝30°，∴∠FED ＝60°，∴∠ACB ＝∠FED ，∴AC ∥EF ，在等边△ABC 中，AM ⊥BC ，∴BM ＝CM ＝12BC ＝2，AM ＝∴S △ABC ＝12BC •AM ＝ ①当0＜x ≤2时，设AC 与DF 交于点G ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为△CDG ，由题意可得CD ＝x ，DG∴S ＝12CD •DG 2； ②当2＜x ≤4时，设AB 与DF 交于点G ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为四边形AGDC ，由题意可得：CD ＝x ，则BD ＝4﹣x ，DG （4﹣x ），∴S ＝S △ABC ﹣S △BDG ＝12×（4﹣x ）4﹣x ），∴S x 2﹣（x ﹣4）2， ③当4＜x ≤8时，设AB 与EF 交于点G ，过点G 作GM ⊥BC ，交BC 于点M ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为△BEG ，由题意可得CD ＝x ，则CE ＝x ﹣4，DB ＝x ﹣4，∴BE ＝x ﹣（x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝8﹣x ，∴BM ＝4﹣12x在Rt △BGM 中，GM 4﹣12x ），∴S ＝12BE •GM ＝12（8﹣x ）4﹣12x ），∴S x ﹣8）2，综上，选项A 的图像符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键．10. 抛物线y ＝−x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝−1．若关于x 的一元二次方程−x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A. −12＜t ≤3B. −12＜t ＜4C. −12＜t ≤4D. −12＜t ＜3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2−2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解.【详解】解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1，∴b ＝−2，∴y ＝－x 2−2x ＋3，∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，∵当x ＝−1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4，∴－12＜t≤4，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 二．填空题（11~12每题3分）（共8小题，满分30分）11. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x 2，②y=﹣212x ，③y=﹣x 2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是______（填序号）【答案】① ③ ②【解析】【详解】①y=−3x²，②y=−12x²，③y=−x²中,二次项系数a 分别为−3、−12、−1， ∵|−3|>|−1|>12−，∴抛物线②y=−12x²的开口最宽,抛物线①y=−3x²的开口最窄． 故答案为①③②．点睛：本题考查了二次函数的图象与性质，关键是找到开口大小与a 的关系，对于二次函数，二次项系数|a|越大，其开口越小，反之越大．12. 如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A −−，(1,2)B −，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .【答案】x 1＝﹣3，x 2＝1【解析】【分析】关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∵抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 相交于点A （﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为x 1=﹣3，x 2=1．故答案为x 1=﹣3，x 2=1．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 13. 如图，抛物线()20y ax bx c a ++>的对称轴是直线1x =，且经过点()3,0P ，则a b c −+的值为_____．【答案】0【解析】【分析】已知“对称轴是直线1x =，且经过点()3,0P”，根据抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0−，代入抛物线即可求解．【详解】由题意可知，抛物线的对称轴为1x =，且经过点()3,0P，∴抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0−，将()1,0−代入抛物线解析式()20y ax bx c a ++>中，得0a b c −+=． 故答案为：0【点睛】本题考查了抛物线的对称性，熟知抛物线的图象关于对称轴对称是解决问题的关键．14. 如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l 为6米，则当水面下降______米时，水面宽度为【答案】2【解析】【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，根据题意，令x =【详解】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系：设抛物线的解析式为2y ax =，将()3,3−代入解析式2y ax =得到39a −=，解得13a =−， ∴213y x =−，根据题意，当x =时，2153y =−×=−，∴此时，水面下降532−=（米）， 故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数解决实际问题，读懂题意，建立平面直角坐标系求出抛物线解析式是解决问题的关键．15. 已知二次函数()2131y m x x =−+−与x 轴有交点，则m 的取值范围是________． 【答案】54m ≥−且1m ≠ 【解析】 【分析】根据二次函数()2131y m x x =−+−与x 轴有交点即方程()21310m x x −+−=有实数根，再结合二次函数的定义求解即可．【详解】解：∵二次函数()2131y m x x =−+−与x 轴有交点， ∴()()22Δ=43411010b ac m m −=−−×−≥ −≠ ， 解得54m ≥−且1m ≠， 故答案为：54m ≥−且1m ≠． 【点睛】本题主要考查了二次函数与x 轴的交点问题，二次函数的定义，熟知相关知识是解题的关键． 16. 已知二次函数()2y x m =−−，当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________________．【答案】3m ≥【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线x m =，则在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，据此可得答案．【详解】解：∵二次函数解析式为()21y x m =−−，∴二次函数开口向上，对称轴为直线x m =，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，∵当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，∴3m ≥，故答案为：3m ≥． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax ax a =−>与x 轴正半轴交于点C ，这条抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，以CD 为边作菱形ABCD ，若菱形ABCD 的顶点A ，B 在这条抛物线上，则菱形ABCD 的面积为___________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理等等，先求出()4,0C ，再求出对称轴为直线2x =，则()2,0D ，即可得到2CD =，再由菱形的性质得到2,ABCD AD AB CD ===∥，则点A ､B 关于直线2x =对称，可得1AE BE ==，再利用勾股定理求出DE 的长即可利用菱形面积计算公式求出答案．【详解】解：设抛物线的对称轴交AB 于点E ，如解图，当0y =时，240ax ax −=，解得120,4x x ==， ∴()4,0C ， ∵抛物线的对称轴为直线422a x a−=−=， ∴()2,0D ， 422CD ∴=−=，∵四边形ABCD 为菱形，2,AB CD AD AB CD ∴===∥，∴点A ､B 关于直线2x =对称，∴1AE BE ==，Rt ADE中，由勾股定理得DE =，∴菱形ABCD的面积为2，故答案为：在18. 已知实数a ，b 满足1b a −=且4b ≥，则代数式2411a b −+的最小值是______．【答案】4【解析】【分析】将b 用a 表示，根据b 的范围求的a 范围，并将b 的代数式代入所求代数式中，使其仅含有未知数a 的二次函数，化为顶点式即可求得其最小值，本题主要考查二次函数的最值求解．【详解】解：∵1b a −=，4b ≥，∴1b a =+，3a ≥，则()()222241141114723a b a a a a a −+=−++=−+=−+，∵二次函数开口向上，∴2a ≥时随着a 的增大其函数值也增大，则当3a =时，代数式2411a b −+取得最小值为4．故答案为：4． 三．解答题（共9小题，满分90分，每小题10分）19. 已知函数 ()221m m ym x +=+是关于x 的二次函数．求：（1）满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？【答案】（1）1−（2）1m =−()0,0；当0x >时，y 随x 的增大而增大．【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义：（1）直接根据二次函数的定义进行求解即可；（2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，据此求解即可．【小问1详解】解：∵函数 ()221m m y m x +=+是关于x 的二次函数， ²2210m m m ∴+=+≠，，解得 1m =−±【小问2详解】解：∵抛物线有最低点，∴10m +>，由（1）可得1m =−∴1m =−+∴抛物线解析式为y =，∴抛物线顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴，且开口向上，∴当0x >时，y 随x 的增大而增大．20. 二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当30x −<<时，直接写出y 的取值范围．【答案】（1）抛物线解析式为2y (x 1)4=+−（2）见解析 （3）40y −≤<【解析】【分析】（1）设2(1)4y a x =+−，然后把(03)−，代入求出抛物线解析式； （2）利用描点法画函数图象；（3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．【小问1详解】解：∵2x =−和0x =的函数值相同，都是3−，∴对称轴为直线1x =−，∴顶点为(14)−−，， 设2(1)4y a x =+−，将(03)−，代入得43a −=−，解得1a =，∴抛物线解析式为2y (x 1)4=+−；【小问2详解】解：描点，连线，这个二次函数的图象如图，【小问3详解】解：当30x −<<时，y 的取值范围是40y −≤<．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 21. 如图，学校打算用长为16m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，AB 为宽）．（1）写出长方形的面积y （单位： 2m ）与宽x （单位：m ）之间的函数解析式；（2）当x 为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）()221608y x x x =−+<< （2）当4x =时，长方形的面积最大，最大值为32【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）先表示出BC 的长，再根据长方形面积计算公式列出对应的关系式即可；（2）根据（1）所求关系式，利用二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：由题意得，()162m BC x =−，∴()()216221608y x x x x x =−=−+<<； 【小问2详解】解：∵()222162432y x x x =−+=−−+，∴当4x =时，y 最大，最大值为32，∴当4x =时，长方形的面积最大，最大值为32．22. 已知二次函数y=a （x+m ）2的顶点坐标为（﹣1，0），且过点A （﹣2，﹣12）． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点B （2，﹣2）在这个函数图象上吗？（3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B 吗？若能，请写出平移方案．【答案】（1）y=﹣12（x+1）2；（2）点B （2，﹣2）不在这个函数的图象上；（3）抛物线向右平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B ；【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出二次函数的解析式；（2）代入B （2，-2）即可判断；（3）根据题意设平移后的解析式为y=-12（x+1+m）2，代入B的坐标，求得m的植即可．【详解】解：（1）∵二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），∴m=1，∴二次函数y=a（x+1）2，把点A（﹣2，﹣12）代入得a=﹣12，则抛物线的解析式为：y=﹣12（x+1）2．（2）把x=2代入y=﹣12（x+1）2得y=﹣92≠﹣2，所以，点B（2，﹣2）不在这个函数的图象上；（3）根据题意设平移后的解析式为y=﹣12（x+1+m）2，把B（2，﹣2）代入得﹣2=﹣12（2+1+m）2，解得m=﹣1或﹣5，所以抛物线向右平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及图象与几何变换．23. 某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表：时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数）122x≤≤2330x≤≤日销售价（元/件）0.525x+36日销售量（件）1202x−设该商品的日销售利润为w元．（1）求出w与x的函数关系式；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？【答案】（1）()()2506001223219202330x x x w x x −++≤≤ = −+≤≤（2）该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元【解析】【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，列出函数表达式是解题的关键．（1）分122x ≤≤和2330x ≤≤两种情况利用“利润=每件的利润×销售量”列出函数关系式；（2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出122x ≤≤的函数最大值和2330x ≤≤的函数最大值，比较得出结果．【小问1详解】当122x ≤≤时，()()20.52520120250600w x x x x =+−−=−++， 当2330x ≤≤时，()()36201202321920w x x =−−=−+， ∴w 与x 的函数关系式()()2506001223219202330x x x w x x −++≤≤ = −+≤≤， 故答案为：()()2506001223219202330x x x w x x −++≤≤ = −+≤≤； 小问2详解】当122x ≤≤时，()2250600251225w x x x =−++=−−+，∵10−<，∴当22x ＝时，w 有最大值，最大值为1216；当2330x ≤≤时，321920w x =−+，∵320−<，∴当23x ＝时，w 有最大值，最大值为322319201184−×+＝，∵12161184>，∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元．24. 已知二次函数2112y x bx =++． （1）若1b =−，求该二次函数图象的对称轴及最小值；【（2）若对于任意的02x ≤≤，都有1y ≥−，求b 的取值范围．【答案】（1）对称轴为1x =，最小值为12（2）2b ≥−【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质及二次函数的顶点式，（1）把二次函数解析式转化为顶点式即可求解；（2）先求得抛物线的对称轴，再根据抛物线的位置分类讨论：①对称轴在y 轴及其左侧时，②对称轴在0~2段内，③对称轴在直线2x =及其右侧时，由二次函数的性质求解即可．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【小问1详解】解：当1b =−时，2112y x x =−+， ∴()2211111222y x x x =−+=−+， ∴对称轴为1x =， ∴当1x =时，函数值最小，最小值为12； 【小问2详解】解： 2112y x bx =++， ∴对称轴为直线2bx b a =−=−，①当0b −≤，即对称轴y 轴及其左侧时，0b ≥当02x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，∴当0x =时，y 最小，最小值为11>−，0b ∴≥；②当02b <−<时，即对称轴在0~2段内时，20b −<<，当x b =−时，y 最小，最小值为()()22111122b b b b ×−+×−+=−+， 令1y ≥−，则21112b −+≥−， 解得：20b −<<，∴20b −<<；在③当2b −≥，即对称轴在直线2x =及其右侧时，2b ≤−，当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，∴当2x =时，y 最小，最小值为21221232b b ×++=+，令1y ≥−，则231b +≥−，解得：2b ≥−， 2b ∴=−；综上所述，b 的取值范围为2b ≥−．25. 如图，抛物线212y x mx n =−++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()1,0A −，()0,2C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为213222y x x =−++ （2）当E 点坐标为()2,1时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式即可；（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，先根据待定系数法求直线BC 的解析式，再设()213,20422F x x x x −++<< ，则1,22E x x −+，然后根据四边形CDBF 的面积BCF BCD S S +求最大值即可．【小问1详解】解：将()1,0A −，()0,2C 代入抛物线解析式，得：1022m n n −−+= = ， 解得：322m n = = ，∴抛物线的解析式为213222y x x =−++； 小问2详解】解：如图， 抛物线的对称轴为：3321222x =−=−×，3,02D ∴，()4,0B ， 设直线BC 的解析式为y kx b =+， 将B ，C 点坐标代入得：402k b b += =， 解得：122k b =− = ，∴直线BC 的解析式为122y x =−+，【设()213,20422F x x x x−++<< ，则1,22E x x −+， 2213112222222EF x x x x x ∴=−++−−+=−+， 221142422BCF S x x x x ∴=×−+=−+， 四边形CDBF 面积221354244222BCF BCD S S x x x x =+=−++××−=−++ △△ ()21322x =−−+， 当2x =时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132，此时E 点坐标为()2,1． 【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数中的面积问题，掌握二次函数的性质是解决问题的关键．26. 如图1，抛物线2y x bx =−+与x 轴交于点A ，与直线y x =−交于点(4,4)B −，点(0,4)C −在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．（1）求抛物线2y x bx =−+的表达式；（2）当BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC ，OD ，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；（3）如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ ，PC ，求CP BQ +的最小值．【答案】（1）23y x x =−+（2）平行四边形，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）将点B 代入2y x bx =−+，可得b ； （2）作PD OA ⊥交x 轴于点H ，连接PC 、OD ，由点P 在y x =−上，可知OH PH ∴=，45POH ∠=°，连接BC ，得到OB =2OH PH ==，当2P x =时，4322p DH y ==−+×=，进而得出PD OC =，然后证明PD OC ∥，即可得到结论；（3）由题意得，BP OQ =，连接BC ，在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=°，OM BC =，证明SAS CBP MOQ ≌（），根据CP BQ MQ BQ MB +=+≥（当M ，Q ，B 三点共线时最短），得到CP BQ +的最小值为MB ，利用勾股定理求得MB ，即可得到答案．【小问1详解】解： 抛物线2y x bx =−+过点(4,4)B − 1644b ∴−+=−3b ∴=答：抛物线的表达式为23y x x =−+．【小问2详解】解：四边形OCPD 是平行四边形，理由如下：如图1，作PD OA ⊥交x 轴于点H ，连接PC 、OD ，点P 在y x =−上，OH PH ∴=，45POH ∠=°，连接BC ，4OC BC == ，BP ∴OP OB BP ∴=−=2OH PH ∴== 当2P x =时，4322p DH y ==−+×= 224PD DH PH ∴=+=+=(0,4)C − ，4OC ∴=， PD OC ∴=，OC x ⊥ 轴，PD x ⊥轴，PD OC ∴ ，∴四边形OCPD 是平行四边形．【小问3详解】解：如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ，在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=°，OM BC =， 4OC BC == ，BC OC ⊥，45CBP ∴∠=°，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ = ，CBP MOQ ∠=∠，BC OM =， SAS CBP MOQ ∴ ≌（），CP BQ MQ BQ MB∴+=+≥（当M，Q，B三点共线时最短），∴+的最小值为MB，CP BQ，∠=∠+∠=°+°=°454590MOB MOQ BOQ∴===MB+的最小值为即CP BQ+的最小值为．答：CP BQ【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．。

江苏省南通市部分2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题

江苏省南通市部分2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题

江苏省南通市部分2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ） A ．正五边形 B ．正八边形C ．正十边形D ．正十八边形3．半径为5的O ，圆心在直角坐标系的原点O ，则点(4,3)P 与O 的位置关系是（ ）A ．在O 上 B ．在O 内C ．在O 外D ．不能确定4．已知点(1,2)A -，点O 为坐标原点，连接OA ，将线段OA 按顺时针方向旋转90°，得 到线段1OA ，则点1A 的坐标是（ ） A ．（-1,-2）B ．（1,2）C ．（2,1）D ．（-2,-1）5．已知方程x 2﹣3x +1=0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为( ) A ．﹣6B ．﹣3C ．3D ．66．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．457．已知反比例函数6y x=，下列说法中错误的是（ ） A ．该函数的图象分布在第一、三象限 B ．点(2,3)--在函数图象上 C ．y 随x 的增大而减小D ．若点()11,y -和()22,y -在该函数图象上，则12y y <8．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的内切圆的半径是( )A ．5B ．2C ．5或2D ．2－19．如图,已知ABC为等边三角形,2AB=,点D为边AB上一点,过点D作DE AC.交BC于E点;过E点作EF DE⊥,交AB的延长线于F点.设AD x=, DEF 的面积为y,则能大致反映y与x函数关系的图象是( )A．B．C．D．10．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，当A、C、F在一条直线上，CE的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．函数y=31x-中的自变量x的取值范围是____________.12．一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是______．13．如图，点A在反比例函数kyx=上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是4，则k的值是_____．14．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ．若425ADE ABCS S=，BC ＝10，则DE ＝_____．15．反比例函数ky x=的图象经过点(2,1)A ，若1y ≤，则x 的取值范围为__________． 16．如图，已知正方形OBCD 的三个顶点坐标分别为B(1,0),C(1,1), D(0,1). 若抛物线2()y x h =-与正方形OBCD 的边共有3个公共点，则h 的取值范围是___________.17．如图，△ABC 中，AB ＝AC＝，点D 在BA 的延长线上，AE 平分∠DAC ，按下列步骤作图．步骤1：分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点F ，连接AF ，交BC 于点G ；步骤2：分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN ，交AG 于点I ；步骤3：连接BI 并延长，交AE 于点Q ．若53AI IG =，则线段AQ的长为_____cm ．18．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，连接DF ，CF ，则DF CF +的最小值______．三、解答题 19．解方程：（1）2(21)3(21)x x -=--（2）2230x x --=（用配方法） 20．如图，A 为O 上一点，按以下步骤作图：①连接OA ；②以点A 为圆心，AO 长为半径作弧，交O 于点B ；③在射线OB 上截取BC OA =； ④连接AC ． 直线AC 与O 的位置关系是什么?请说明理由．21．如图，等腰Rt△ABC 中，BA=BC ，∠ABC=90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE （1）求∠DCE 的度数；（2）若AB=4，CD=3AD ，求DE 的长．22．甲、乙两位同学进校时需要从学校大门A 、B 、C 三个入口处中的任意一处测量体温，体温正常方可进校．（1）甲同学在A 入口处测量体温的概率是 ；（2）求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）23．一家饰品店购进一种今年新上市的饰品进行销售，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件饰品的售价不低于22元且不高于28元，在销售过程中发现该饰品每周的销售量y （件）与每件饰品的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件． （1）请求出y 与x 的函数关系式；（2）设该饰品店每周销售这种饰品所获得的利润为w 元，将该饰品销售单价定为多少元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大?最大利润是多少?24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22:4(0)y ax ax a G =-+≠．（1）当1a =时，①抛物线G 的对称轴为x =______；②若在抛物线G 上有两点()12,y ，()2,m y ，且21y y >，则m 的取值范围是______； （2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围．25．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 上的一个动点，连接DE ，交AC 于点F ．（1）如图①，当13CE EB =时，求CEF CDFS S △△的值： （2）如图②，当DE 平分CDB ∠时，1OF =，求正方形ABCD 的边长；（3）如图③，当点E 是BC 的中点时，过点F 作FG BC ⊥于点G ，求证：12CG BG =． 26．问题：如图①，在Rt ABC 中，AB AC =，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为______．探索：（1）如图②，在Rt ABC 与Rt ADE △中，AB AC =，AD AE =，将ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图②，在Rt ABC 中，4AB AC ==，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接DE 交AC 与点F ，求CF 的最大值；应用：如图③，在四边形ABCD 中，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒．若9BD =，3CD =，求AD 的长．参考答案1．B【解析】试题分析：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．①既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；②是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；③既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；④是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．综上可得共有两个符合题意．故选B．考点：中心对称图形；轴对称图形．点评：本题主要考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，关键是熟练掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．2．C【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360︒，用360︒除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．【详解】由题意可得：︒÷︒．边数为36036=10则这个多边形是正十边形．故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和定理，准确理解圆内接正多边形的中心角的特点是解题的关键．3．A【分析】OP=，再根据点与圆的位置关系即可得．先根据两点之间的距离公式可得5【详解】O P，(0,0),(4,3)∴==，OP5又O的半径为5，点P在O上，故选：A．【点睛】本题考查了两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．4．D【分析】根据旋转的概念结合点A的坐标为(1，-2)，画出图形，利用全等三角形的知识，即可得到点1A的坐标．【详解】解：如图，过AD⊥y轴于D，过1A作1A E⊥x轴于E，∵点A的坐标为(1，-2)，∴AD=1，OD=2．∵∠A1OE+∠A1OD=90°，∠AOD+∠A1OD=90°，∴∠A1OE =∠AOD．又∵∠A1EO=∠ADO，OA1=OA，∴△A1EO≌△ADO，∴A1E=AD=1，OE=OD=2，∴A1(-2，-1)，故选：D．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 5．C 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得：x 1+x 2=3，x 1x 2=1，再将所求的代数式转化，把以上两式代入即可求值 【详解】由题意可知：x 1+x 2=3，x 1x 2=1， ∴原式=x 1x 2(x 1+x 2) =1×3 =3． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值的问题，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 6．B 【分析】用小于3的卡片数除以卡片的总数量可得答案． 【详解】由题意可知一共有5种结果，其中数字小于3的结果有抽到1和2两种，所以25P =． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 7．C 【分析】根据反比例函数(0)ky k x=>的图象与性质逐项分析解题即可． 【详解】 如图，A.反比例函数6y x=，图象分布在第一、三象限，故A 正确； B.6xy =，故B 正确；C.在函数的图象的两个分支上，当0x <时，y 随x 的增大而减小；当0x >时，y 随x 的增大而减小，故C 错误；D.当0x <时，y 随x 的增大而减小，若点()11,y -和()22,y -在该函数图象上，则12y y <，故D 正确， 故选：C ． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8．D 【分析】分AC 为斜边和BC 为斜边两种情况讨论.根据切线定理得过切点的半径垂直于三角形各边，利用面积法列式求半径长. 【详解】第一情况：当AC 为斜边时，如图，设⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB, ∴OD ⊥AC, OE ⊥BC,OF ⊥AB,且OD=OE=OF=r,在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，10AC==,∵=++ABC AOC BOC AOBS S S S,∴11112222AB BC AB OF BC OE AC OD,∴1111686810 2222r r r,∴r=2.第二情况：当BC为斜边时，如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB, ∴OD⊥BC, OE⊥AC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，2227AC BC AB,∵=++ABC AOC BOC AOBS S S S,∴11112222AB AC AB OF BC OD AC OE,∴11116276827 2222r r r,∴1 .【点睛】本题考查了三角形内切圆半径的求法及勾股定理，依据圆的切线性质是解答此题的关键.等面积法是求高度等线段长的常用手段.9．A【分析】根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求得∠F=30°，然后证得△EDC 是等边三角形，从而求得ED=DC=2﹣x ，再根据直角三角形的性质求得EF ，最后根据三角形的面积公式求得y 与x 函数关系式，根据函数关系式即可判定．【详解】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵DE ∥AB ，∴∠EDC=∠ABC=60°，∵EF ⊥DE ，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDF=30°；∵∠ACB=60°，∠EDB=60°，∴△EDB 是等边三角形．∴ED=DB=2﹣x ，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴2﹣x ）．∴y=12ED•EF=12（2﹣x ）2﹣x ），即x ﹣2）2，（x ＜2） 故选：A【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，掌握函数图像性质是解题的关键.10．B过点F 作BC 的垂线，交BC 延长线于N ，即FN CN ⊥,根据题意证明Rt FNE Rt ECD ，继而证明相似比为1：2，从而得到，3,2NE CE NF ==，当A 、C 、F 在一条直线上时，此时AC 平分DCF ∠，且//FN AB ，证明CNF 是等腰直角三角形，进一步得到CN NF =，据此解题即可．【详解】如图，过点F 作BC 的垂线，交BC 延长线于N ，即FN CN ⊥根据题意，90,90DEC NEF NEF EFN ∠+∠=︒∠+∠=︒DEC EFN ∴∠=∠Rt FNE Rt ECD ∴ DE 的中点为G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ， 1==2FN EF NE CE DE CD ∴= ∴正方形ABCD 的边长为6，3,2NE CE NF ∴==当A 、C 、F 在一条直线上，此时AC 平分DCF ∠，且//FN AB ，45NFC FAB ∴∠=∠=︒CNF ∴是等腰直角三角形，CN NF ∴=223233CE NE ∴==⨯=【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．x≠1【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【详解】根据题意得，x -1≠0，解得：x ≠1．故答案为x ≠1．12．12cm【分析】利用弧长等于底面圆的周长方程求解即可．【详解】设圆锥的母线长为Rcm ，由题意得12024180R ππ⨯=⨯ 解得R=12，故答案为：12cm ．【点睛】此题考查扇形的弧长公式，掌握弧长公式各字母代表的含义正确代入计算，解此题的关键是掌握圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长．13．-8【详解】∵AB ⊥x 轴，∴S △AOB =12|k |=4， ∵k ＜0，∴k =﹣8．故答案为﹣8本题考查了反比例函数k 的几何意义及反比例函数的性质，一般的，从反比例函数k y x =图像上任一点P ，向x 轴和y 轴作垂线你，以点P 的两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数k .14．4【分析】根据已知可得△ADE ∽△ABC ，从而可得到其相似比与面积比，由相似三角形的面积比等于相似比的平方不难求出相似比，进而求出答案【详解】∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ∴ADE ABC S S =2DE BC （）即425=210DE （）解得DE=4 故答案为DE=4【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解此题时，需熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方15．x ＜0或2x ≥【分析】先求出反比例函数解析式，再根据x 的取值判断即可； 【详解】∵反比例函数k y x =的图象经过点(2,1)A ， ∴2k =，∴2y x=， 当x ＜0时，2y x =＜0＜1， 当x ＞0时，21x ≤，2x ≥，∴1y ≤时，x 的范围为x ＜0或2x ≥．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．16．0<h<1【分析】分别画出h 不同取值时函数图象,由图直观得出与正方形有3个交点时h 的取值范围.【详解】图(1) 图(2) 图(3)图(1)当h=0时,抛物线与正方形有2个公共点,图(2)当 0<h<1时, 抛物线与正方形有3个公共点,图(3) 当h=1时,抛物线与正方形有2个公共点,所以当 0<h<1时符合要求.【点睛】本题考查函数图象的特点,数形结合是解答此题的关键.17．203【分析】由作法得MN 垂直平分AB ，AF ⊥BC 于G ，则IA ＝IB ，BG ＝CG ，设AI ＝5x ，则BI ＝5x ，IG＝3x ，所以BG ＝4x ，在Rt △ABG 中聚划算出AB ＝x ，从而得到x ＝1，所以BG ＝4，接着证明AE ∥BC ，然后了平行线分线段成比例定理可计算出AQ 的长．【详解】解：由作法得MN 垂直平分AB ，则IA ＝IB ；AF ⊥BC 于G ，∵AB ＝AC ，∴BG＝CG，∵53 AIIG=，设AI＝5x，则BI＝5x，IG＝3x，∴BG＝4x，在Rt△ABG中，AB=，∴4 ＝4 x＝1，∴BG＝4，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠DAC＝∠ABC+∠ACB，∴∠DAE＝∠ABC，∴AE∥BC，∴AQ AIBG GI=＝53，∴AQ＝53×4＝203．故答案为203．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．18．【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，易知△AED≌△GFE（AAS），F在BF 的射线上，作点C关于BF的对称点C′，由全等三角形的性质可得∠CBF＝45°，继而求得点C′在AB的延长线上，进而分析可知当D、F、C′三点共线时，DF＋CF＝DC′最小，在Rt△ADC′中，由勾股定理即可求解．【详解】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，EF＝DE，∴∠DEA＋∠GEF＝∠DEA+∠ADE＝90°∴∠GEF＝∠ADE又∠A＝∠EGF＝90°∴△AED≌△GFE（AAS）∴FG＝EA∵F在BF的射线上，作点C关于BF的对称点C′∵EG＝DA，FG＝AE∴AE＝BG∴BG＝FG∴∠FBG＝45°∴∠CBF＝45°∴点C′在AB的延长线上，当D、F、C′三点共线时，DF＋CF＝DC′最小，在Rt△ADC′中，AD＝3，AC′＝6，∴DC′∴DF＋CF的最小值为故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及其性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是将线段的和通过轴对称旋转转化为共线线段即可．19．（1）112x =，21x =-；（2）132x =，21x =- 【分析】（1）根据因式分解法即可求解；（2）根据配方法即可求解．【详解】（1）2(21)3(21)x x -=-- 2(21)3(21)0x x -+-=[](21)(21)30x x --+=()(21)220x x -+=∴2x -1=0或2x+2=0 解得112x =，21x =-； （2）2230x x --=223x x -=21322x x -= 21131216216x x -+=+ 2125()416x -= 1544x -=± ∴1544x -=或1544x -=- 解得132x =，21x =-． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法与配方法的应用． 20．直线AC 与O 相切，理由见解析【分析】如图，连接AB ．证明△AOB 是等边三角形，然后推出90OAC ∠=︒.【详解】解：直线AC与O相切连接AB，如图，===，由作法得OA OB AB BC∴为等边三角形，OABOAB OBA∴∠=∠=︒，60=，AB BC∴∠=∠，C BAC∠=∠+∠，OBA C BACC BAC∴∠=∠=︒，30∴∠=︒，OAC90∴直线AC与O相切．【点睛】本题考查作图-基本作图，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．解：（1）90°；（2）【解析】试题分析：（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．试题解析：（1）∵△ABCD为等腰直角三角形，∴∠BAD=∠BCD=45°．由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴=．∵CD=3AD，∴，．由旋转的性质可知：．∴=考点：旋转的性质．22．（1）13；（2）P(甲、乙两位同学在同一入口处测量体温)=13【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）∵学校有A、B、C三个大门入口，∴甲同学在A入口处测量体温的概率是13；故答案为：13；（2）根据题意画图如下：由图可知共有9种等情况数，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的有3种，则P（甲、乙两位同学在同一入口处测量体温）=31=93．【点睛】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（1）280y x =-+；（2）当28x =时，最大利润是192元．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）设y kx b =+，把(22,36)与(24,32)代入得：22362432k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：280k b =-⎧⎨=⎩， 则280y x =-+；（3）由题意可得：(20)(280)w x x =--+22212016002(30)200x x x =-+-=--+此时当30x =时，w 最大，但又30x <时，y 随x 的增大而增大，∴当售价不低于22元且不高于28元时，有28x =，22(2830)200192w --+==最大（元)，答：该饰品销售单价定为28元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大，最大利润是192元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型． 24．（1）①1；②2m >或0m <；（2）4132a -<≤-或4a =． 【分析】（1）①根据抛物线对称轴公式解题即可；②根据抛物线的增减性解题，分两种情况讨论；（2）先解得抛物线与x 轴的交点坐标M ，再根据题意解得A 、B 两点的坐标，将这三个点分别代入抛物线解析式中，解得a 的值，结合图象解题即可．【详解】（1）①抛物线22:4(0)y ax ax a G =-+≠的对称轴为：2122b a x a a-=-=-=， 故答案为：1；（2）根据抛物线图象特征，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，故在抛物线G 上有两点()12,y ，()2,m y ，且21y y >，则m 的取值范围是2m >或0m <，故答案为：2m >或0m <；（2）抛物线22:4(0)y ax ax a G =-+≠的对称轴为：1x =，且对称轴与x 轴交于点M ，(1,0)M ∴点M 与点A 关于y 轴对称，(1,0)A ∴-M 向右平移3个单位得到点B ，(4,0)B ∴，依题意，抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，把点(1,0)A -代入抛物线22:4(0)y ax ax a G =-+≠，可得43a =-， 把点(4,0)B 代入抛物线22:4(0)y ax ax a G =-+≠，可得12a =-， 把点(1,0)M 代入抛物线22:4(0)y ax ax a G =-+≠，可得4a =，根据所画图象可知抛物线G 与线段AB 的交点恰有一个时，4132a -<≤-或4a =．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．25．（1）14；（2）2+；（3）见解析 【分析】（1）利用相似三角形的性质求得EF 与DF 的比值，依据△CEF 和△CDF 同高，则面积的比就是EF 与DF 的比值，据此即可求解；（2）利用正方形的性质判断出DOF DCE △∽△，根据相似的性质可以求出CE 的长，即可求出CF 的长，从而求出OF 的长，根据正方形的性质即可求出边长；（3）连接OE ， 易证OE O 是△BCD 的中位线，然后根据△FGC 是等腰直角三角形，易证△EGF ∽△ECD ， 利用相似三角形的对应边的比相等即可．【详解】解：（1）∵13CE EB =，∴14CE BC =， ∵四边形ABCD 是正方形，∴//AD BC AD BC =，，∴△CEF ∽△ADF ， ∴EF CE DF AD=， ∴14EF CE DF BC ==， ∴14CEF CDF S EF S DF ∆∆==； （2）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90DOF DCE ∠=∠=︒，∵DE 平分CDB ∠，∴ODF CDF ∠=∠，∴DOF DCE △∽△，∴OF DO CE DC=， 又∵DOC △是等腰直角三角形，∴2DO DC =，∴2OF CE = ∵1OF =，∴CE由（1）AD AF =知，ADF AFD ∠=∠，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD BC ∥，∴ADF CEF ∠=∠，∵AFD CFE ∠=∠，∴CFE CEF ∠=∠，∴CF CE ==1OC CF OF =+=，∴正方形ABCD的边长)12CD === （3）证明：连接OE ，∵点O 是正方形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，点O 是BD 的中点．又∵点E 是BC 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线， ∴1//2OE CD OE CD =，， ∴OFE CFD ∽， ∴EF OE DF CD ==12， ∴13EF ED =， ∵FG BC CD BC ⊥⊥，，∴//FG CD ，∴EGF ECD ∽，13GF EF CD ED ==， .在Rt FGC △ 中，∵∠GCF=45°，∴CG=GF ，又∵CD=BC ，∴13GF CG CD BC ==， ∴CG BG =12. ∴CG12=BG ． 【点睛】本题主要考查的是三角形相似的性质、正方形的性质、角平分线以及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形相似的性质以及正方形的性质，学会做辅助线是解答本题的关键． 26．问题：BC DC EC =+；探索：（1）2222BD CD AD +=，证明见解析；（2）CF 最大值2；应用：6AD =．【分析】问题：证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质解答；探索：（1）连接CE ，根据全等三角形的性质得到BD=CE ，∠ACE=∠B ，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（2）根据垂线段的性质得出AF ⊥DE 即可求解；应用：作AE ⊥AD ，使AE=AD ，连接CE ，DE ，证明△BAD ≌△CAE ，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．【详解】解：问题：BC=DC+EC ，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD=CE ，BC=BD+CD=EC+CD ，故答案为：BC=DC+EC ；探索：（1）BD 2+CD 2=2AD 2，理由如下：连接CE ，由（1）得，△BAD ≌△CAE ，∴BD=CE ，∠ACE=∠B ，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠DCE=90°，∴CE 2+CD 2=ED 2，在Rt △ADE 中，AD 2+AE 2=ED 2，又AD=AE ，∴2AD 2 =ED 2，∴BD 2+CD 2=2AD 2；（2）由旋转的性质得，△ADE 是等腰直角三角形，∴∠ADE=45°，CF 取得最大值时，则AF 取得最小值，由垂线段最短可知此时AF ⊥DE ，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AF=DF ，同理可证CF=DF ，∴CF=AF=12AC=2； 应用：作AE ⊥AD ，使AE=AD ，连接CE ，DE ，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ，在△BAD 与△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，∴∠EDC=90°，∴=∵∠DAE=90°，∵AD2+AE2=DE2，AE=AD，DE=6．∴AD=AE=2【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

2020-2021学年江苏省南通市崇川区启秀中学九上期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市崇川区启秀中学九上期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市崇川区启秀中学九上期中数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列四个图案中，是中心对称图形的是A. B.C. D.2. 抛物线顶点坐标是A. B. D.3. 下列语句所描述的事件是随机事件的是A. 经过任意两点画一条直线B. 任意画一个五边形，其外角和为C. 过平面内任意三个点画一个圆D. 任意画一个平行四边形，是中心对称图形4. 如图，在半径为的中，弦，于点，则等于5. 在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为A. B. C. D.6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是A. B. 且C. D.7. 要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是A. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度B. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度C. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度D. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度8. 如图，在平面直角坐标系中，经过三点，，，点是上一动点，则点到弦的距离的最大值是A. B. C. D.9. 如图，，为圆的切线，切点分别为，，交于点，的延长线交圆于点，下列结论不一定成立的是A. B.C. D. 平分10. 若点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共8小题；共40分）11. 如图，已知点，，在上，若，则度．12. 若是关于的方程的一个根，则方程的另一个根．13. 设，是一元二次方程的两根，则．14. 直角三角形的两条直角边分别是和，则它的内切圆半径为．15. 点绕点旋转得到点，则点坐标为．16. 如图，，分别为的内接正方形、内接正三角形的边，是圆内接正边形的一边，则的值为．17. 若二次函数（为常数）的图象在的部分与轴有两个公共点，则的取值范围是．18. 如图，是的内接三角形，，的半径为，若点是上的一点，在中，，则的长为．三、解答题（共8小题；共104分）19. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．20. 解下列方程：（1）（2）21. 已知二次函数的图象经过点，．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的顶点坐标；（3）当时，求的取值范围（直接写出答案）．22. 如图，，，分别与相切于，，，且，，．（1）求的长；（2）求图中阴影部分的面积．23. 如图，利用一面墙（墙的长度为），用篱笆围成一个矩形花园，中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，共用去篱笆．设平行于墙的一边长为，花园的面积为．（1）求与之间的函数解析式；（2）问花园面积可以达到平方米吗?如果能，花园的长和宽各是多少?如果不能，请说明理由．24. 如图，已知，点在射线上，根据下列方法画图（用尺规作图）．①以为圆心，长为半径画圆，交于点，交射线的反向延长线于点，连接；②以为边，在的内部，画；③连接，交于点；④过点作的切线，交于点．（1）依题意补全图形；（2）求证；（3）若，，求的长．25. 在平面直角坐标系中，抛物线（）．（1）抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）求点和点的坐标．（2）若点是抛物线上的一点，在的条件下，当时，的取值范围是，求抛物线的解析式．（3）当时，把抛物线向上平移（）个单位长度得到新抛物线，设新抛物线与轴的一个交点的横坐标，且满足，请直接写出的取值范围．26. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，小华提出命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?（2）在中，，，，且，若是奇异三角形，求．（3）如图，是的直径，是上一点（不与点，重合），是半圆的中点，，在直径的两侧，若在内存在点，使，．①求证：是奇异三角形；②当是直角三角形时，求的度数．答案第一部分1. B【解析】根据中心对称图形的概念，可知B中的图形是中心对称图形，而A，C和D中的图形不是中心对称图形．故选：B．2. B【解析】为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为．3. C【解析】A、经过任意两点画一条直线，是必然事件，故此选项错误；B、任意画一个五边形，其外角和为，是必然事件，故此选项错误；C、过平面内任意三个点画一个圆，是随机事件，故此选项正确；D、任意画一个平行四边形，是中心对称图形，是必然事件，故此选项错误；故选：C．4. B【解析】连接，，，．故选B．5. B【解析】根据题意知，解得，经检验：是原分式方程的解．6. B【解析】根据题意得且，解得且．故选B．7. B【解析】，该抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是，则平移的方法可以是：将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度．故选B．8. C【解析】如图，连接，，为直径，此时，当直线垂直时，此时点到弦的距离的最大为．，，又是的中点，是的中位线．，此时．9. D【解析】，是的切线，，A成立；，B成立；，C成立；，是的切线，，且，只有当，时，平分，D不一定成立，故选D．10. C【解析】抛物线的对称轴为直线，，，当点和在直线的右侧，则，解得；当点和在直线的两侧，则，解得；综上所述，的范围为．第二部分11.【解析】因为与是同弧所对的圆周角与圆心角，，所以．12.【解析】设方程的另一根为，由一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，得，解得：．则方程的另一根是．13.【解析】，是一元二次方程的两根，，，，故答案为：．14.【解析】直角三角形的斜边，所以它的内切圆半径．15.【解析】过点作轴，过点作轴，，由旋转性质可得，，，，，又，，，，，16.【解析】如图所示，连接，，．，分别为的内接正方形、内接正三边形的一边，，，，，故答案为：．【解析】二次函数关系式为，抛物线的开口向上，且当时，，图象经过定点．图象在的部分与轴有两个公共点，当时，；当时，，解得．18.【解析】如图，连接，连接交于点，，由垂径定理，，，而，，为圆的半径，即，，．第三部分19. 画树状图：共有个等可能的结果，其中恰好是甲乙的占个，．20. （1）（2）21. （1）因为二次函数的图象经过点，，所以得即该函数的解析式为．（2）因为，所以该函数的顶点坐标是．（3）二次函数开口向下，顶点是，过点，，，该函数大致图象如图所示：由图象可得，当时，的取值范围或．22. （1），，分别与相切于，，，，．（2）连接，与相切于，，又，，23. （1）．（2）由得，．解得，．墙的长度为，不合题意，舍去．当．答：花园面积可以达到平方米，此时花园的长为，宽．24. （1）如图所示：（2），，，即；（3），，是的切线，，，，，是等边三角形，，，．25. （1）对于，令，则，故点，的坐标分别为，．（2）函数的对称轴为，当时，函数在对称轴处取得最小值，当时，，解得：，故抛物线的表达式为：．（3）．【解析】新抛物线的表达式为：，函数的对称轴不变，故函数与轴的两个交点在的两侧，满足时，为左侧交点的横坐标，令，解得：，则，，，当时，，故的取值范围为：．26. （1）真命题．（2）在中，，，，，若是奇异三角形，一定有，，，得．，，．（3）在中，，①是的直径，，在中，；在中，．是半圆的中点，，，，又，，．是奇异三角形．②由①可得是奇异三角形，．当是直角三角形时，由（）可得或．（Ⅰ）当时，，即．，，．（Ⅱ）当时，，即．，，，的度数为或．。

2020-2021学年江苏省南通市崇川区东方中学九年级(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省南通市崇川区东方中学九年级(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省南通市崇川区东方中学九年级（上）第一次月考数学试卷1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.下列函数解析式中，一定为二次函数的是()A. y=3x−1B. s=2t2−2t+1C. y=ax2+bx+cD. y=x2+1x3.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是()A. y=(x−1)2+2B. y=(x+1)2+2C. y=(x−1)2−2D. y=(x+1)2−24.如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB=16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于()A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm5.如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(−2,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是()A. (−1,2)B. (1,−1)C. (−1,1)D. (2,1)6.下列命题中，真命题的是()A. 平分弦的直径垂直于弦B. 任意三个点确定一个圆C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 90°的圆周角所对的弦是直径7.已知二次函数y=x2−5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为(1,0)，则另一个交点的坐标为()A. (−1,0)B. (4,0)C. (5,0)D. (−6,0)8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=70°，过点A的圆的切线交射线BO于点P，则∠P的度数是()A. 60°B. 50°C. 45°D. 40°9.如图所示，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB=1，∠B=60°，则CD的长为()．A. 0.5B. 1.5C. √2D. 110.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x=1，给出下列结论：①abc<0；②若点C的坐标为(1,2)，则△ABC的面积可以等于2；③M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线上两点(x1<x2)，若x1+x2>2，则y1<y2；④若抛物线经过点(3,−1)，则方程ax2+bx+c+1=0的两根为−1，3，其中正确的结论有()个．A. 1B. 2C. 3D. 411.点A(m−1,−2)与点B(3,n+1)关于原点对称，则m+n=______．12.关于x的一元二次方程kx2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．13.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，根据题意可列方程为______．14.如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB的度数是______ ．15.⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2−4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为______ ．16.若m，n是一元二次方程x2+x−12=0的两根，则m2+2m+n+mn=______．17.如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数______．18.如图，△ABC、△CDE是两个直角三角板，其中∠ECD=∠ACB=90°，∠CED=45°，∠CAB=30°，若AB=DE=6，将直角三角板CDE绕点C旋转一周，则|AD−BE|的最大值为______．19.解方程(1)x2+4x−5=0(2)3x(x−2)=2(x−2)20.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2．21.如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？22.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．(1)求证：∠B=∠D；(2)若AB=5，BC−AC=1，求CE的长．23.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．24.为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？25.二次函数y=ax2+bx+c过A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴正半轴交于C，OC=OB．(1)求二次函数解析式；(2)抛物线对称轴上是否存在点D，使得三角形ACD为等腰三角形，若存在，直接写出D点坐标，若不存在，请说明理由；(3)在直线BC上方的抛物线上有点P，作PQ⊥BC于点Q，求PQ最大值．26.把函数C1：y=ax2−2ax−3a(a≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2图象的对称轴与x轴交点坐标为(t,0)．(1)若a=1，m=0时，C1的相关函数C2为______；(2)t的值为______(用含m的代数式表示)；≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1−y2=1，(3)若a=−1，当12求C2的解析式．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】B【解析】解：A、y=3x−1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、s=2t2−2t+1是二次函数，故此选项符合题意；C、y=ax2+bx+c当a=0时，不是二次函数，故此选项不符合题意；D、y=x2+1分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意．x故选：B．根据二次函数的定义，可得答案．本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y= ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)也叫做二次函数的一般形式．3.【答案】A【解析】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y=(x−1)2+2，故选：A．根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．4.【答案】D【解析】解：连接OA，如图：∵AB=16cm，OC⊥AB，AB=8cm，∴AC=12在Rt△OAC中，OC=√OA2−AC2=√102−82=6(cm)，故选：D．根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长．本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】【分析】先利用点A的坐标画出直角坐标系，再根据垂径定理的推理，作弦AC和AB的垂直平分线，它们相交于点P，则P点为该圆弧所在圆的圆心，然后写出P点坐标即可．本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了坐标与图形性质．根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心．【解答】解：画出直角坐标系，如图，作弦AC和AB的垂直平分线，它们相交于点P，则P点为该圆弧所在圆的圆心，P点坐标为(−1,1)．故选C．6.【答案】D【解析】解：A.平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以A选项不符合题意；B.不共线的三点确定一个圆，所以B选项不符合题意；C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项不符合题意；D.90°的圆周角所对的弦是直径，所以D选项符合题意．故选：D．利用垂径定理对A进行判断；利用确定圆的条件对B进行判断；利用圆周角定理对C、D进行判断．本题考查了命题，熟练掌握特殊垂径定理和圆周角定理是解决问题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，属于基础题．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，即可求解．【解答】．解：二次函数y=x2−5x+m的图象的对称轴为直线x=52∵该二次函数图象与x轴的一个交点坐标为(1,0)，×2−1,0)，即(4,0)．∴另一交点坐标为(52故选B．8.【答案】B【解析】解：连接OA，由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=140°，∴∠AOP=40°，∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠P=90°−40°=50°，故选B．连接OA，根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠AOP，根据切线的性质得到∠OAP=90°，根据直角三角形的性质计算即可．本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，∴BC=2AB=2，∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC 边上，∴AD=AB，而∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC−BD=2−1=1．故选：D．利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=2AB=2，再根据旋转的性质得AD= AB，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD=AB=1，然后计算BC−BD即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．10.【答案】B【解析】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c>0，abc<0，故①正确，符合题意；②△ABC的面积=12AB⋅y C=12×AB×2=2，解得：AB=2，则点A(0,0)，即c=0与图象不符，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为x=1，若x1+x2>2，则12(x1+x2)>1，则点N离函数对称轴远，故y1>y2，故③错误，不符合题意；④抛物线经过点(3,−1)，则y′=ax2+bx+c+1过点(3,0)，根据函数的对称轴是x=1可知该抛物线也过点(−1,0)，故方程ax2+bx+c+1=0的两根为−1，3，故④正确；故选：B．根据对称轴和抛物线与y轴的交点可对①作出判断；根据△ABC的面积=12AB⋅y C=12×AB×2=2可得AB的长，得出点A的坐标，可对②作出判断；根据抛物线的对称轴得到点M、N离对称轴得远近，可对③作出判断；根据抛物线与一元二次方程的关系可对④作出判断．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．11.【答案】−1【解析】解：∵点A(m−1,−2)与点B(3,n+1)关于原点对称，∴m−1=−3，n+1=2，解得m=−2，n=1，所以，m+n=−1．故答案为：−1．根据“关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”列方程求出m、n的值，然后相加计算即可得解．本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点的对称，则横纵坐标都变成相反数．12.【答案】k<4且k≠0【解析】解：根据题意得k≠0且Δ=42−4×k×>0，解得：k<4且k≠0．故：k的取值范围是k<4且k≠0，故答案为：k<4且k≠0．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=42−4×k×1>0，然后求出两不等式的公共部分即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．13.【答案】25(1−x)2=16【解析】解：∵两次降价的百分率都为x，∴25(1−x)2=16．故答案为：25(1−x)2=16．由两次降价的百分率都为x结合原价及两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】65°【解析】解：连结BD，如图，∵点D是A^C的中点，即弧CD=弧AD，∴∠ABD=∠CBD，而∠ABC=50°，∴∠ABD=1×50°=25°，2∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°−25°=65°．故答案为65°．连结BD，由于点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，根据圆周角定理得∠ABD=∠CBD，则∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数．本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．15.【答案】4【解析】先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△=0即可求出m的值．本题考查的是切线的性质及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．【解答】解：∵d、R是方程x2−4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=R，∴方程有两个相等的实根，∴△=16−4m=0，解得，m=4，故答案为：4．16.【答案】−1【解析】解：∵m，n是一元二次方程x2+x−12=0的两根，∴m2+m−12=0，即m2+m=12，m+n=−1，mn=−12，则原式=m2+m+m+n+mn=12−1−12=−1，故答案为：−1．根据方程的解得定义和韦达定理得m2+m=12，m+n=−1，代入原式=m2+m+m+n+mn可得答案．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和方程的解得定义，熟练掌握韦达定理是解题的关键．17.【答案】150°【解析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型.首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP=60°，由△ABP≌CBQ可得QC=PA，在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC=90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．【解答】解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ，则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，∴△BPQ为等边三角形，∴PQ=PB=BQ=4，又∵PQ=4，PC=5，QC=3，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，∵△BPQ为等边三角形，∴∠BQP=60°，∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°，∴∠APB=∠BQC=150°．故答案为150°．18.【答案】3√3−3【解析】解：如图，在CA取一点J，使得CJ=CB，连接DJ．在Rt△ACB中，AB=6，∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴CB=CJ=12AB=12×6=3，AC=√3BC=3×√3=3√3，∵∠ECD=∠BCJ=90°，∴∠DCJ=∠ECB，在△DCJ与△ECB中，{CD=CE∠DCJ=∠ECB CJ=CB，∴△DCJ≌△ECB(SAS)，∴DJ=BE，∴|AD−BE|=|AD−DJ|，∵|AD−DJ|≤AJ，∴|AD−BE|≤3√3−3，∴|AD−BE|的最大值为3√3−3．故答案为：3√3−3．如图，在CA取一点J，使得CJ=CB，连接DJ.利用全等三角形的性质证明BE=DJ，推出|AD−BE|=|AD−DJ|≤AJ，求出AJ即可解决问题．本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．19.【答案】解：(1)因式分解得(x+5)(x−1)=0，∴x+5=0或x−1=0，∴x1=−5，x2=1；(2)3x(x−2)−2(x−2)=0，(x−2)(3x−2)=0，∴x−2=0或3x−2=0，∴x1=2，x2=23．【解析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．根据解一元二次方程的方法−因式分解法解方程即可．20.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1(−2,−4)；(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求．【解析】(1)直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．21.【答案】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100−4x)米．根据题意得(100−4x)x=400，解得x1=20，x2=5．则100−4x=20或100−4x=80．∵80>25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．【解析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．设AB的长度为x米，则BC的长度为(100−4x)米；然后根据矩形的面积公式列出方程．22.【答案】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BD，∵BC=CD，∴AD=AB，∴∠B=∠D；(2)解：在Rt△ACB中，AB=5，BC−AC=1，由勾股定理得：AC2+(AC+1)2=52，解得：AC=3，BC=4，∵BC=CD，即CD=4，∵由圆周角定理得：∠B=∠E，又∵∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CE=DC，∵CD=4，∴CE=4．【解析】(1)根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得出AD= AB，根据等腰三角形的性质得出即可；(2)根据勾股定理求出AC和BC，求出DC，求出∠B=∠E=∠D，根据等腰三角形的判定得出DC=CE，即可求出答案．本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．23.【答案】(1)证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴PB//OC，∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，∵CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC=FD，OF=CD．∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6−x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5−x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．即(5−x)2+(6−x)2=25，化简得x2−11x+18=0，解得x1=2，x2=9．∵CD=6−x大于0，故x=9舍去，∴x=2，从而AD=2，AF=5−2=3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6．【解析】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识，要熟练掌握．(1)连接OC，根据题意可证得PB//OC，再根据平行线的性质，得∠DCO=90°，则CD 为⊙O的切线；(2)过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD= x，在Rt△AOF中，由勾股定理得(5−x)2+(6−x)2=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．24.【答案】解：(1)由题意得，y=700−20(x−45)=−20x+1600(x≥45)；(2)P=(x−40)(−20x+1600)=−20x2+2400x−64000=−20(x−60)2+8000，∵x≥45，a=−20<0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润是8000元；(3)由题意，得−20(x−60)2+8000=6000，解得x1=50，x2=70．∵抛物线P=−20(x−60)2+8000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．又∵x≤58，∴50≤x≤58．∵在y=−20x+1600中，k=−20<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=58时，y最小值=−20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．【解析】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒粽子所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．(1)根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；(3)先由(2)中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据(1)中所求得的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式即可求解．25.【答案】解：(1)∵y=ax2+bx+c过A(−1,0)、B(3,0)两点，且OC=OB，∴C(0,3)，把A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c得，{c=3a−b+c=09a+3b+c=0，解得：{a=−1b=2c=3，∴y=−x2+2x+3；(2)抛物线y=−x2+2x+3的对称轴为x=−2−2=1，顶点坐标为(1,4)，设D点坐标为：D(1,a)，∵A(−1,0)，C(0,3)，CD2=12+(a−3)2=a2−6a+10，AD2=(1+1)2+a2=a2+4，①如图，以AC为底，CD=AD时，a2−6a+10=a2+4，解得，a=1，D(1,1)；②以CD为底，AD=AC，如图，∴a2+4=10，解得，a=±√6，∴D(1,√6)或D(1.−√6)；③以AD为底，AC=CD，如图，解得，a =0或6，∴D(1,0)或D(1,6)，∵A(−1,0)，C(0,3)，∴AC 所在直线解析式y =x +3，∴D(1,6)时，点A 、C 、D 在同一直线上，∴以AD 为底，AC =CD 时，D(1,0)；综上所述，存在，D 点的坐标为：(1,0)或(1,1)或 (1,√6 )，D(1,−√6)；(3)设BC 所在直线解析式为y =kx +b ，把(3,0)，C(0,3)代入得{3k +b =0b =3， 解得：{k =−1b =3， ∴直线BC 的解析式为：y =−x +3，∵PQ ⊥BC 于点Q ，过点P 作直线1：y =−x +b 与BC 平行且与抛物线只有唯一一个交点P ，交y 于点N ，如图，此时，PQ 最长， ∴−x 2+2x +3=−x +b ，即x 2−3x +b −3=0．∴Δ=9−4(b −3)=0，∴b =214，过点C 作CM ⊥l 于点M ，则CM =PQ ，∠NCM =45°，∴PQ 最大值即CM =(b −3)×√22=94×√22=9√28．【解析】(1)先求出C(0,3)，再把A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y =ax 2+bx +c ，求出a ，b ，c 的值即可；(2)分三种情形讨论：①CD =AD ，②AD =AC ，③AC =CD ，画出图形即可解决问题； (3)求出BC 所在直线解析式y =−x +3，作直线l 平行直线BC 且与抛物线只有一个交点，求出两条直线之间的距离即为PQ 的最大值．本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，运用分类讨论思想是解题关键．26.【答案】y =−x 2−2x +3 t =2m −1【解析】解：(1)∵y =ax 2−2ax −3a =a(x −1)2−4a ，∴顶点坐标为(1,−4a)，当a =1时，顶点坐标为(1,−4)，∴旋转后的函数顶点坐标为(−1,4)，∴y =−(x +1)2+4=−x 2−2x +3，故答案为y =−x 2−2x +3；(2)∵函数C 1的顶点坐标为(1,−4a)，∴顶点y =ax 2−2ax −3a(a ≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°后的顶点坐标为(2m −1,4a)，∵C 2图象的对称轴与x 轴交点坐标为(t,0)，∴t =2m −1，故答案为t =2m −1；(3)∵a =−1，∴y =−x 2+2x +3，∴函数的对称轴为x =1，①当12≤t <1时，x =t 时，有最大值y 1=−t 2+2t +3，x =12时，有最小值y 2=154， ∵y 1−y 2=1，∴−t 2+2t +3−154=1，∴t 无解；②当1≤t ≤32时，x =1时，有最大值y 1=4，x =32时，有最小值y 2=154， ∴y 1−y 2=14，不符合题意； ③当t >32时，x =1时，有最大值y 1=4，x =t 时，有最小值y 2=−t 2+2t +3，∵y 1−y 2=1，∴4−t 2−2t −3=1，∴t =2或t =0(舍)，∴C 2的解析式y =x 2−4x ．(1)求出函数C 1与函数C 2的对应顶点坐标，即可求解；(2)顶点(1,−4a)绕点P(m,0)旋转180°后，对应顶点坐标分别为(1,−4a)、(2m −1,4a)，即可求t =2m −1；(3)分三种情况讨论：①当12≤t <1时；②当1≤t ≤32时；③当t >32时，分别求出符合条件的t 即可求解．本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握函数图像旋转变化的特点，以抛物线顶点为对应点是解题的关键．。

江苏省南通市崇川区启秀中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题

江苏省南通市崇川区启秀中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题

江苏省南通市崇川区启秀中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．22B ．44．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（A ．函数图象的开口向下C ．该函数有最大值，最大值是5．已知抛物线24y x bx =-++经过A ．﹣2B ．﹣46．如图，在ABC 中，ACB ∠=当点C 在A 内且点B 在A 外时，A．(9,2)B．8．如图，正五边形ABCDEPD于点P，则∠P的度数是（A．36°B．28°C9．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希A ．3B ．4C ．6D ．8二、填空题三、解答题19．如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，ADB CDB ∠=∠．的形状，并给出证明；(1)试判断ABC(2)若2AB=，1AD=，求20．如图，点A，B，C在直径为(1)求弧BC的长度；(2)求图中阴影部分的面积．21．某件产品的成本是每件销售量y（件）之间的关系如下表所示．x/元15203035y/件2520105(1)观察以上数据，根据我们所学到的一次函数、二次函数，回答：并求出解析式．(1)①点A （1，3）的“坐标差②抛物线233y x x =-++的(2)某二次函数2y x bx =-++二次函数的图象与x 轴和①直接写出m ＝；（用含c ②求此二次函数的表达式．(3)如图，在平面直角坐标系＝x 相交于点D 、E ，请直接写出⊙。

2020-2021学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级一模模拟考试数学试卷无答案

2020-2021学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级一模模拟考试数学试卷无答案

2021年初中毕业、升学模拟考试试卷数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是( ) A ．3(2)+-B ．3(2)--C ．3(2)⨯-D ．(3)(2)-÷-2．计算2423a a ⋅的结果是( ) A ．65aB ．85aC ．66aD ．86a3x 的取值范围是( ) A ．x ≥3B ．3x ≤C ．3x >D ．3x ≠4．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．5．某班级的一次数学考试成绩统计图如图，则下列说法错误的是( )A ．得分在70~80分的人数最多B ．该班的总人数为40C ．人数最少的得分段的频数为2D ．得分及格（大于等于60）的有12人6．一个圆锥的底面半径是4cm ，其侧面展开图的圆心角是120︒，则圆锥的母线长是( ) A ．8cmB ．12cmC ．16cmD ．24cm7．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ADB ∆与ADB '∆关于直线AD 对称，点B 的对称点是点B '，若CAB '∠=14︒，则B ∠的度数为( )A ．38︒B ．48︒C ．50︒D ．52︒8．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，则可列二元一次方程组为( )A ．2501030x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2501030x y x y -=⎧⎨+=⎩C ．2105030x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2103050x y x y +=⎧⎨+=⎩9．如图1，点F 从边长为5cm 的菱形ABCD 的顶点A 出发，沿折线A D B →→以1/cm s 的速度匀速运动到点B ，点F 运动时，FBC ∆的面积2()y cm 与时间()x s 的函数关系如图2所示，则a 的值为( )A ．8B ．9C．D．10．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，连接对角线AC ，将ADC ∆沿射线CA 的方向平移，得到'''A D C ∆，分别连接',','BC AD BD ．则''BC BD +的最小值为( )A．B ．4C．D．二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分） 11，那么它的另一个平方根是 ．12．月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，38.4万用科学记数法表示为 ． 13．如图所示，EF AB ⊥，128∠=︒，则当//AB CD 时，2∠= ︒．15．如图，,AB CD 为一个正多边形的两条边，O 为正多边形的中心，若12AD B ∠=︒，则这个正多边形的边数为 ．16．平放在地面上的三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得A ∠为54︒，B ∠为36︒，边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.6m ，则铁板BC 边被掩埋部分CD 的长是 m ．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 540.81︒≈，cos 540.59︒≈，tan54 1.38)︒≈．17．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC ==D 是AB 上的一个动点，连接CD ，将BCD∆绕点C 顺时针旋转至ACE ∆，连接DE ，则ADE ∆面积的最大值等于 ．18．已知,A B 两点为反比例函数()0ky k x=＜的图像上的动点，它们关于y 轴的对称点恰好落在直线21y x m =++上，若,A B 两点坐标分别为()()()112212,,,0,x y x y x x +≠则1212+=+y yx x ．三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19．（本小题满分12分）（1）解不等式组()365254323x x x x +-⎧⎪⎨---⎪⎩≥，＜1；（2）先化简，再求值：524(2)23m m m m -+---，其中12m =-．20．（本小题满分12分）（1）甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的 1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？（2）如图，点,C D 在线段AB 上，,,,,CE AB DF AB AC BD AE BF ⊥⊥==点G 为,AB EF 的交点，求证CD 与EF 互相平分.21．（本小题满分10分）如图，直线132y x=-+与坐标轴分别交于点A，B，与直线y x=交于点C，Q为线段OA上的一个动点，作直线CQ．（1）点C的坐标为；（2）当ACQ∆与四边形CQOB的面积比为2:7时，求直线CQ的解析式．22．（本小题满分8分）现有甲、乙、丙三人组成的篮球训练小组，他们三人之间进行互相传球练习，篮球从一个人手中随机传到另外一个人手中记作传球一次，共连续传球三次．（1）若开始时篮球在甲手中，则经过第一次传球后，篮球落在丙的手中的概率是；（2）若开始时篮球在甲手中，求经过连续三次传球后，篮球传到乙的手中的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）23．（本小题满分10分）某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”（满分为100分）．竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．甲、乙两班40名学生数学成绩的频数分布统计表如下：（说明：成绩80分及以上为优秀，70~79分为良好，60~69分为合格，60分以下为不合格）b ．甲班成绩在7080x <这一组的是：70，70，70，71，74，75，75，75，76，76，76，76，78c ．甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中n 的值．（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属班级排在前20名，由表中数据可知该学生是 班的学生（填“甲”或“乙” )，理由是 ．（3）假设学校1200名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数．24．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，D 为弧AD 的中点，过点D 作O 的切线，交BC 延长线于点P ．（1）证明90P ∠=︒；（2）若2tan ==43PDC PC ∠，，求BC 的长．25．（本小题满分12分）已知抛物线21y x bx a =++-过点()()()2+,,2,,,.a m a m a n - （1）求b 的值；（2）当02a ＜＜时，请确定,m n 的大小关系；（3）若当02+a x a ＜≤≤时，y 有最小值为3，求a 的值.26．（本小题满分14分） 【了解概念】在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边. 【理解运用】（1）邻等四边形ABCD 中3070A B C ∠=︒∠=︒∠，，则的度数为 °；（2）如图凸四边形ABCD 中，P 为AB 的中点，ADP PDC ∆∆∽，判断四边形ABCD 是否为邻等四边形？证明你的结论； 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中AB 为邻等四边形ABCD 的邻等边，且AB 边与x 轴重合，已知()((1,0,,,A C m D -若在边AB 上使=DPC BAD ∠∠的点P 有且仅有1个，请直接写出m 的值.。

2023-2024学年江苏省南通市崇川初级中学九年级上学期第一次月考数学试题

2023-2024学年江苏省南通市崇川初级中学九年级上学期第一次月考数学试题

2023-2024学年江苏省南通市崇川初级中学九年级上学期第一次月考数学试题1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是（）A ．y =3xB ．y =x ²+（3-x ）xC ．y =（x -1）²D ．y =ax ²+bx +c2.二次函数图象的顶点所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）A．B．C．D ．4.若抛物线平移得到，则必须（）A ．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B ．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C ．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D ．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位5.已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（）A ．B．C ．D ．6.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（）A ．B．C．D ．7.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（）A．B．C．D．8.二次函数的图象如图，对称轴为直线，关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标的和为零，则称点为“零和点”．已知二次函数的图像上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．10.如图，等边的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．11.二次函数的对称轴是直线___．12.二次函数在范围内的最大值为___．13.如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式__________．（用二次函数一般式表示）14.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为___米．15.二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，当函数值时，自变量x的取值范围是__________．16.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升___cm．17.点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值为_________．18.对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，，则称这个函数为“闭函数”．例如：，均是“闭函数”．已知是“闭函数”，且抛物线经过点和点，则的取值范围是______．19.已知二次函数函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…500…(1)二次函数图象所对应的顶点坐标为；(2)当时，______；(3)与x轴的交点_______；(4)当函数值时，x的取值范围_________．20.已知抛物线．（1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值．21.如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．(1)求证：．(2)若，，求的半径．22.卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置点为原点，球员甲与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系．(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；(2)如果葡萄牙球员罗站在球员甲前3米处，罗跳起后最高能达到米，那么罗能否在空中截住这次吊射？23.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数，所调查的部分数据如表：销售单价x （元）657080…销售量y （件）555040…（1）求出y 与x 之间的函数表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？（3）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元？24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点在第四象限时，求的最大面积；(3)当点在第一象限，且时，求出点的坐标．25.某数学兴趣小组对函数y＝|x2＋2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全体实数，x与y的几组对应值如表所示．x﹣4﹣3﹣2﹣10123 y8m0n03815(1)根据如表数据填空：m＝，n＝；(2)在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整；(3)观察该函数的图象，解决下列问题．①该函数图象与直线y＝的交点有个；②若y随x的增大而减小，求此时x的取值范围；③在同一平面内，若直线y＝x＋b与函数y＝|x2＋2x|的图象有a个交点，且a≥3，求b的取值范围．26.党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点P 为“高质量发展点”．(1)若点是正比例函数（k为常数，）的图象上的“高质量发展点”求这个正比例函数的解析式；(2)若函数（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求p的取值范围；(3)若二次函数（a，b是常数，）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令，当时，w有最大值，求t的值．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020-2021学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（上）第一次月考数学试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）民间剪纸是中国民间美术形式之一，有着悠久的历史，如图的图案是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）如图，ABC ∆中，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转40︒后，得到△AB C ''，且C '在边BC上，则AC C ∠'的度数为( )A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒3．（3分）下列语句中正确的有( )①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（3分）如图，AB 是O 的直径，若35BAC ∠=︒，则(ADC ∠= )A ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒5．（3分）平面直角坐标系中，P 的圆心坐标为(4,5)--，半径为5，那么P 与y 轴的位置关系是( )A．相交B．相离C．相切D．以上都不是6．（3分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()A．PA PB=B．BPD APD∠=∠C．AB PD⊥D．AB平分PD 7．（3分）已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是() A．2B．1C．3D．38．（3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC CB=．若110C∠=︒，则ABC∠的度数等于()A．55︒B．60︒C．65︒D．70︒9．（3分）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，8AC=，10AB=，点P在AC上，2AP=，若O的圆心在线段BP上，且O与AB、AC都相切，则O的半径是()A．1B．54C．127D．9410．（3分）如图，正方形ABCD中，25AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，2OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90︒得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值()A ．25B ．52+C ．2102-D ．522-二．填空题（11-14每小题3分，15-18每小题3分，共28分）11．（3分）平面直角坐标系中，一点(2,3)P -关于原点的对称点P '的坐标是 ．12．（3分）已知点P 为O 内一点，过点P 的弦中，最长为10，最短为6，则OP = ．13．（3分）如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则ABC ∆的面积为 ．14．（3分）如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，O 截ABC ∆的三条边所截得弦长相等，则BOC ∠= ．15．（4分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S 来近似估计O 的面积S ，设O 的半径为1，则1S S -= ．16．（4分）如图，点O 是等边ABC ∆内一点，130AOB ∠=︒，将BOC ∆绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ∆，连接OD ，若OD AD =，则BOC ∠的度数为 ．17．（4分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，4AD AB CD ===，60C ∠=︒，M 是线段BC 的中点，将MDC ∆绕点M 旋转，当MD （即)MD '与AB 交于点E ，MC （即)MC '同时与AD 交于点F 时，点E 、F 和点A 构成AEF ∆．在此过程中，AEF ∆的周长的最小值 ．18．（4分）如图，正方形ABCD ，45EAF ∠=︒，当点E ，F 分别在对角线BD 、边CD 上，若6FC =，则BE 的长为 ．三．解答题（共92分）19．（10分）如图，平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A --，(4,3)B --，(1,3)C --，(2,1)A '．（1）若△A B C '''与ABC ∆成中心对称（点A 、B 分别与A '、B '对应）．试在图中画出△A B C '''．（2）将（1）中△A B C '''绕点C '顺时针旋转90︒，得到△A B C ''''''，试在图中画出△A B C ''''''．（3）若△A B C ''''''可由ABC ∆绕点G 旋转90︒得到，则点G 的坐标为 ．20．（10分）如图，ABC ∆为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与O 相切于点D ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）已知：120BAC ∠=︒，12BC =，求O 的半径是多少？21．（10分）如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，45BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转得到AEF ∆，连接BE ，CF 相交于点D ．（1）求证：BE CF =；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．22．（12分）如图，ABC ∆中，AB AC =．（1）用无刻度的直尺和圆规作ABC ∆的外接圆；（保留画图痕迹）（2）若10AB =，16BC =，求ABC ∆的内切圆半径和外接圆半径．23．（10分）如图，ABD ∆是等边三角形，以AD 为边向外作ADE ∆，使30AED ∠=︒，且3AE =，DE=，连接BE，求BE的长．224．（12分）如图，已知AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分ACB∠，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分DAB∠；（2）求证：PCF∆是等腰三角形；（3）若6EF=，求O的半径长．AF=，2525．（14分）如图，在平面直角坐标系中，A的半径为1，圆心A点的坐标为(32，0)，直线OB是一次函数y x=的图象，让A沿x轴负方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t（1）直线OB与x轴所夹的锐角度数为；（2）当A与坐标轴有四个公共点时，t的取值范围为；（3）求出运动过程中A与直线OB相切时的t的值；（4）运动过程中，当A与直线OB相交所得的弦长为1时，直接写出t的值．26．（14分）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若A C∠≠∠，则称四边形ABCD为准平行四边形．∠=∠，B D（1）如图①，A，P，B，C是O上的四个点，60∠=∠=︒，延长BP到Q，APC CPB使AQ AP=．求证：四边形AQBC是准平行四边形；（2）如图②，准平行四边形ABCD内接于O，AB AD≠，BC DC=，若O的半径为5，AB=，求AC的长；6（3）如图③，在Rt ABC∠=︒，2BC=，若四边形ABCD是准平行四A∠=︒，30∆中，90C边形，且BCD BAD∠≠∠，请直接写出BD长的最大值．2020-2021学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）民间剪纸是中国民间美术形式之一，有着悠久的历史，如图的图案是中心对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形．故选项错误；B、不是中心对称图形．故选项错误；C、不是中心对称图形．故选项错误；D、是中心对称图形．故选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的定义，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合2．（3分）如图，ABC∆中，将ABC∆绕点A顺时针旋转40︒后，得到△AB C''，且C'在边BC 上，则AC C∠'的度数为()A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【分析】根据旋转得出40∠'=∠，根据三角形内角和定='，求出AC C CCAC∠'=︒，AC AC理求出即可．【解答】解：将ABC ∆绕点A 顺时针旋转40︒后，得到△AB C ''，40CAC ∴∠'=︒，AC AC ='， 1(180)702AC C C CAC ∴∠'=∠=︒-∠'=︒， 故选：C ．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据旋转的性质得出40CAC ∠'=︒，AC AC ='是解此题的关键．3．（3分）下列语句中正确的有( )①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】利用确定圆的条件、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系逐一作出判断即可得到答案．【解答】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不符合题意；②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故不符合题意；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；故符合题意；④把这题一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意，故选：A ．【点评】本题考查了确定圆的条件、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系等有关的基础知识，虽然不很难，但很容易出错．4．（3分）如图，AB 是O 的直径，若35BAC ∠=︒，则(ADC ∠= )A ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒【分析】先根据圆周角定理求出90ACB ∠=︒，再由三角形内角和定理得出ABC ∠的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，35∠=︒，BACABC∴∠=︒-︒-︒=︒，180903555ADC ABC∴∠=∠=︒．55故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180︒这一隐含条件．5．（3分）平面直角坐标系中，P的圆心坐标为(4,5)--，半径为5，那么P与y轴的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．以上都不是【分析】由题意可求P到y轴的距离d为4，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解．【解答】解：P的圆心坐标为(4,5)--，P∴到y轴的距离d为4=<=45d r∴轴与P相交y故选：A．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟练运用直线与与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键．6．（3分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()A．PA PB⊥D．AB平分PD∠=∠C．AB PD=B．BPD APD【分析】先根据切线长定理得到PA PB∠=∠；再根据等腰三角形的性质得=，APD BPDBD PA时，AB平分PD，由此可判断DAD PB，//⊥，根据菱形的性质，只有当//OP AB不一定成立．【解答】解：PA，PB是O的切线，∴=，所以A成立；PA PB∠=∠，所以B成立；BPD APDAB PD ∴⊥，所以C 成立； PA ，PB 是O 的切线，AB PD ∴⊥，且AC BC =，只有当//AD PB ，//BD PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立．故选：D ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．7．（3()A ．2B ．1C D【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可．【解答】解：如图（1），O 为ABC ∆的中心，AD 为ABC ∆的边BC 上的高，则OD 为边心距，30BAD ∴∠=︒，又AO BO =，30ABO BAD ∴∠=∠=︒，603030OBD ∴∠=︒-︒=︒，在Rt OBD ∆中，2BO DO =，即2AO DO =，::1:2:3OD OA AD ∴=．在正ABC ∆中，AD 是高，设BD x =，则1tan 602AD BD BD =︒==．正三角形ABC 2， ∴132BC AD =， ∴12332x x ⨯=1x ∴=．即1BD =，则3AD =， ::1:2:3OD OA AD =，22333AO cm ∴=⨯=． 即这个圆的半径为23cm ． 所以该圆的内接正六边形的边心距23233sin 601⨯︒=⨯=， 故选：B ．【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距． 8．（3分）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【分析】连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠，根据圆周角定理求出ACB ∠、CAB ∠，计算即可．【解答】解：连接AC ，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒，DC CB =，1352CAB DAB ∴∠=∠=︒， AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（3分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，10AB =，点P 在AC 上，2AP =，若O 的圆心在线段BP 上，且O 与AB 、AC 都相切，则O 的半径是( )A ．1B ．54C ．127D ．94【分析】设AC 与O 相切于点D ，连接OD ，AO ．在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得6BC =，再证明BC PC =，所以可求45BPC ∠=︒．设O 的半径是r ，根据三角形ABP 的面积的两种表示方法，得21012r r +=，解方程即可求解．【解答】解：设AC 与O 相切于点D ，连接OD ，AO ，O 的半径是r ，90C ∠=︒，8AC =，10AB =，6BC ∴=，826PC =-=，BC PC ∴=；45BPC ∴∠=︒，APB APO AOB ABC BCP S S S S S ∆∆∆∆∆∴=+=-，111121068662222r r ⨯+⨯=⨯⨯-⨯⨯ 21012r r +=，解得1r =．故选：A ．【点评】熟练运用勾股定理，根据已知条件发现特殊直角三角形，运用三角形面积的不同表示方法列方程求解．10．（3分）如图，正方形ABCD 中，25AB =，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，2OE =，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得DF ，连接AE ，CF ．则线段OF 长的最小值( )A ．25B 52C ．2102D ．522【分析】连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90︒得DM ，连接OF ，FM ，OM ，证明EDO FDM ∆≅∆，可得2FM OE ==，由条件可得52OM =，根据OF MF OM +，即可得出OF 的最小值．【解答】解：如图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90︒得DM ，连接OF ，FM ，OM ，90EDF ODM ∠=∠=︒，EDO FDM ∴∠=∠，DE DF =，DO DM =，()EDO FDM SAS ∴∆≅∆，2FM OE ∴==，正方形ABCD 中，25AB =O 是BC 边的中点，5OC ∴22(25)(5)5OD ∴=+=，225552OM ∴=+=，OF MF OM +，522OF ∴-．故选：D ．【点评】本题考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质．二．填空题（11-14每小题3分，15-18每小题3分，共28分）11．（3分）平面直角坐标系中，一点(2,3)P -关于原点的对称点P '的坐标是 (2,3)- ．【分析】平面直角坐标系中任意一点(,)P x y ，关于原点的对称点是(,)x y --，从而可得出答案．【解答】解：根据中心对称的性质，得点(2,3)P --关于原点对称点P '的坐标是(2,3)-． 故答案为：(2,3)-．【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．12．（3分）已知点P 为O 内一点，过点P 的弦中，最长为10，最短为6，则OP = 4 ． 【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．【解答】解：如图所示，CD AB ⊥于点P ．根据题意，得10AB =，6CD =．CD AB ⊥，132CP CD ∴==． 根据勾股定理，得22225334OP OC CP -=-=．故答案为：4．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．准确找到过一点的最长的弦和最短的弦是关键．13．（3分）如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则ABC ∆的面积为 25394+ ．【分析】将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，根据旋转的性质得4BE BP ==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，则BPE ∆为等边三角形，得到4PE PB ==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，延长BP ，作AF BP ⊥于点3FAP =，4PE =，根据勾股定理的逆定理可得到APE ∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，即可得到APB ∠的度数，在直角APF ∆中利用三角函数求得AF 和PF 的长，则在直角ABF ∆中利用勾股定理求得AB 的长，进而求得三角形ABC 的面积．【解答】解：ABC ∆为等边三角形，BA BC ∴=，可将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，连EP ，且延长BP ，作AF BP ⊥于点F ．如图，4BE BP ∴==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，BPE ∴∆为等边三角形，4PE PB ∴==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，222AE PE PA ∴=+，APE ∴∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，9060150APB ∴∠=︒+︒=︒．30APF ∴∠=︒，∴在直角APF ∆中，1322AF AP ==，333PF AP ==． ∴在直角ABF ∆中，22222333(4)()251232AB BF AF =+=++=+， 则ABC ∆的面积是233253(25123)9AB =+=+， 故答案为：2539+． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．14．（3分）如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，O 截ABC ∆的三条边所截得弦长相等，则BOC ∠= 125︒ ．【分析】过O 作OM AB ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，OQ AC ⊥于Q ，连接OK 、OD 、OF 、OB 、OC ，根据垂径定理和已知求出DM KQ FN ==，根据勾股定理求出OM ON OQ ==，可得点O 是ABC ∆的内心即可解决问题．【解答】解：过O 作OM AB ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，OQ AC ⊥于Q ，连接OK 、OD 、OF 、OB 、OC ，设AB ，AC ，BC 与O 的另一个交点分别为E ，H ，G ．由垂径定理得：12DM DE =，12KQ KH =，12FN FG =， DE FG HK ==， DM KQ FN ∴==，OD OK OF ==，∴由勾股定理得：OM ON OQ ==，即O 到三角形ABC 三边的距离相等，O ∴是ABC ∆的内心，1(18070)552OBC OCB ∴∠+∠=︒-︒=︒， 125BOC ∴∠=︒，故答案为125︒．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的内心的判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（4分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S 来近似估计O 的面积S ，设O 的半径为1，则1S S -= 3π- ．【分析】根据圆的面积公式得到O 的面积 3.14S =，求得圆的内接正十二边形的面积111211sin3032S =⨯⨯⨯⨯︒=，即可得到结论． 【解答】解：O 的半径为1，O ∴的面积S π=，∴圆的内接正十二边形的中心角为3603012︒=︒， ∴过A 作AC OB ⊥， 1122AC OA ∴==， ∴圆的内接正十二边形的面积111121322S =⨯⨯⨯=， ∴则13S S π-=-， 故答案为：3π-．【点评】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．16．（4分）如图，点O 是等边ABC ∆内一点，130AOB ∠=︒，将BOC ∆绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ∆，连接OD ，若OD AD =，则BOC ∠的度数为 100︒ ．【分析】设BOC α∠=，根据旋转前后图形不发生变化，易证COD ∆是等边OCD ∆，从而利用α分别表示出AOD ∠与ADO ∠，再根据等腰AOD ∆的性质求出α．【解答】解：设BOC α∠=，根据旋转的性质知，BOC ADC ∆≅∆，则OC DC =，BOC ADC α∠=∠=．又BOC ∆绕点C 按顺时针方向旋转60︒得到ADC ∆，60OCD ∴∠=︒，OCD ∴∆是等边三角形，60COD CDO ∴∠=∠=︒，OD AD =，AOD DAO ∴∠=∠．36013060170AOD αα∠=︒-︒-︒-=︒-，60ADO α∠=-︒，2(170)60180αα∴⨯︒-+-︒=︒，解得100α=︒．故答案是：100︒．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．17．（4分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，4AD AB CD ===，60C ∠=︒，M 是线段BC 的中点，将MDC ∆绕点M 旋转，当MD （即)MD '与AB 交于点E ，MC （即)MC '同时与AD 交于点F 时，点E 、F 和点A 构成AEF ∆．在此过程中，AEF ∆的周长的最小值 423+ ．【分析】过点D 作DP BC ⊥于点P ，过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，得到12CP BQ AB ==，122CP BQ AB +==，得出2BC CD =，由点M 是BC 的中点，推出CM CD =，由60C ∠=︒，根据等边三角形的判定即可得到答案；AEF ∆的周长存在最小值，理由是连接AM ，由ABMD 是菱形，得出MAB ∆，MAD ∆和△MC D ''是等边三角形，推出BME AMF ∠=∠，证出()BME AMF ASA ∆≅∆，得出BE AF =，ME MF =，推出EMF ∆是等边三角形，根据MF 的最小值为点M 到AD 的距离3EF 的最小值是3AEF ∆的周长．【解答】解：连接AM ，过点D 作DP BC ⊥于点P ，过点A 作AQ BC ⊥于点Q ， 即//AQ DP ，//AD BC ，∴四边形ADPQ 是平行四边形，AD QP AB CD ∴===，60C B ∠=∠=︒，30BAQ CDP ∴∠=∠=︒，122CP BQ AB ∴===， 即2248BC =++=，4CD =，2BC CD ∴=，点M 是BC 的中点，2BC CM =，CD CM ∴=，60C ∠=︒，30CDP ∴∠=︒，4CD =，2CP ∴=，∴由勾股定理得：23DP =，MAB ∴∆，MAD ∆和△MC D ''是等边三角形，60BMA BME AME ∠=∠+∠=︒，60EMF AMF AME ∠=∠+∠=︒，BME AMF ∴∠=∠，在BME ∆与AMF ∆中，B FAM BM AM BME AMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BME AMF ASA ∴∆≅∆，BE AF ∴=，ME MF =，AE AF AE BE AB +=+=，60EMF DMC ∠=∠=︒，故EMF ∆是等边三角形，EF MF =，MF 的最小值为点M 到AD 的距离等于DN 的长，即是23，即EF 的最小值是23， AEF ∆的周长AE AF EF AB EF =++=+，AEF ∆的周长的最小值为423+，故答案为：423+．【点评】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．18．（4分）如图，正方形ABCD ，45EAF ∠=︒，当点E ，F 分别在对角线BD 、边CD 上，若6FC =，则BE 的长为32 ．【分析】作ADF ∆的外接圆O ，连接EF 、EC ，过点E 分别作EM CD ⊥于M ，EN BC ⊥于N （如图）根据圆周角定理得到AF 为O 直径，根据正方形的性质得到45EDF EAF ∠=∠=︒，推出AEF ∆为等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到AE CE =，得到1232CM CF ==，推出四边形CMEN 是矩形，求得3EN CM ==，于是得到结论．【解答】解：作ADF ∆的外接圆O ，连接EF 、EC ，过点E 分别作EM CD ⊥于M ，EN BC ⊥于N （如图）90ADF ∠=︒，AF ∴为O 直径，BD 为正方形ABCD 对角线， 45EDF EAF ∴∠=∠=︒，∴点E 在O 上，90AEF ∴∠=︒，AEF ∴∆为等腰直角三角形，AE EF ∴=，在ABE ∆与CBE ∆中AB CB ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CBE SAS ∴∆≅∆， AE CE ∴=，CE EF ∴=，EM CF ⊥，6CF =，132CM CF ∴==， EN BC ⊥，90NCM ∠=︒，∴四边形CMEN 是矩形，3EN CM ∴==，45EBN ∠=︒，232BE EN ∴==，故答案为：32．【点评】本题考查了正方形的性质，旋转，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形性质，运用转化思想是解题关键．三．解答题（共92分）19．（10分）如图，平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A --，(4,3)B --，(1,3)C --，(2,1)A '．（1）若△A B C '''与ABC ∆成中心对称（点A 、B 分别与A '、B '对应）．试在图中画出△A B C '''．（2）将（1）中△A B C '''绕点C '顺时针旋转90︒，得到△A B C ''''''，试在图中画出△A B C ''''''．（3）若△A B C ''''''可由ABC ∆绕点G 旋转90︒得到，则点G 的坐标为 (3,1)- ．【分析】（1）根据中心对称的定义分别作出点B 、C 变换后的对应点，再顺次连接可得；（2）分别作出点A '、B '绕点C '顺时针旋转90︒得到的对应点，再顺次连接可得；（3）连接AA''、BB''，分别作出其中垂线，交点即为点G．'''即为所求；【解答】解：（1）如图所示，△A B C（2）如图所示，△A B C''''''即为所求；（3）如图所示点G即为所求，其坐标为(3,1)-，故答案为：(3,1)-．【点评】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点及旋转变换的性质．20．（10分）如图，ABC∆为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D．（1）求证：AC是O的切线．（2）已知：120BC=，求O的半径是多少？BAC∠=︒，12【分析】（1）过点O作OE AC⊥，⊥于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB OD 根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是BAC∠的平分线，根据角平分线的性质得出=，从而证得结论；OE OD（2）由等腰三角形的性质“三线合一”可得OB，由切线的性质可得BAO∠，由∠，可得B 含30︒角直角三角形的性质可得BD的长，进而求出DO的长．【解答】（1）证明：过点O作OE AC⊥于点E，连结OD，OA，AB 与O 相切于点D ，AB OD ∴⊥，ABC ∆为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，AO ∴是BAC ∠的平分线，OE OD ∴=，即OE 是O 的半径， AC 经过O 的半径OE 的外端点且垂直于OE ，AC ∴是O 的切线；（2）解：ABC ∆为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，12BC =，AO BC ∴⊥，6BO =，120BAC ∠=︒，AB ，AC 为O 的切线，60BAO CAO ∴∠=∠=︒，30B ∴∠=︒，6BO =，30B ∠=︒，OD AB ⊥， 116322BD OB ∴==⨯=， 则33DO =，O ∴的半径是33．【点评】考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．21．（10分）如图，在ABC ∆中，2AB AC =45BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转得到AEF ∆，连接BE ，CF 相交于点D ．（1）求证：BE CF =；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．【分析】（1）先由旋转的性质得AE AB =，AF AC =，EAF BAC ∠=∠，则EAF BAF BAC BAF ∠+∠=∠+∠，即EAB FAC ∠=∠，利用AB AC =可得AE AF =，由“SAS ”可证AEB AFC ∆≅∆，可得BE CF =；（2）由菱形的性质得到2DE AE AC AB ====//AC DE ，根据等腰三角形的性质得AEB ABE ∠=∠，根据平行线得性质得45ABE BAC ∠=∠=︒，所以45AEB ABE ∠=∠=︒，于是可判断ABE ∆为等腰直角三角形，所以22BE AC ==，于是利用BD BE DE =-求解．【解答】证明：（1）AEF ∆是由ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转得到的，AE AB ∴=，AF AC =，EAF BAC ∠=∠，EAF BAF BAC BAF ∴∠+∠=∠+∠，即EAB FAC ∠=∠，AB AC =，AE AF ∴=，且EAB FAC ∠=∠，AB AC =，()AEB AFC SAS ∴∆≅∆BE CF ∴=；（2）四边形ACDE 为菱形，2AB AC =2DE AE AC AB ∴====，//AC DE ，AEB ABE ∴∠=∠，45ABE BAC ∠=∠=︒，45AEB ABE ∴∠=∠=︒，ABE ∴∆为等腰直角三角形，22BE AB ∴==，22BD BE DE ∴=-=【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．22．（12分）如图，ABC ∆中，AB AC =．（1）用无刻度的直尺和圆规作ABC ∆的外接圆；（保留画图痕迹）（2）若10AB =，16BC =，求ABC ∆的内切圆半径和外接圆半径．【分析】（1）用尺规作边AB 和AC 的垂直平分线，两线相交于点O ，作出ABC ∆的外接圆．（2）根据公式即可求内切圆半径，根据垂径定理和勾股定理即可求出外接圆的半径．【解答】解：（1）如图所示即为ABC ∆的外接圆；（2）连接OB 、OA ，交BC 于点D ，OB OA =，AD BC ∴⊥， 根据垂径定理，得182BD DC BC ===，90ODB ∠=︒， 1482ABC S BC AD ∆=⨯=， 内切圆半径2896363S r C ==÷=， 在Rt BOD ∆中，根据勾股定理，得222OB OD BD =+，即222(6)8OB OB =-+ 解得253OB =． 答：ABC ∆的内切圆半径为83，外接圆半径为253． 【点评】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（10分）如图，ABD ∆是等边三角形，以AD 为边向外作ADE ∆，使30AED ∠=︒，且3AE =，2DE =，连接BE ，求BE 的长．【分析】将DE 绕点E 逆时针旋转60︒得到EF ，连接AF 、DF ，易证DEF ∆是等边三角形，得DF DE =，60EDF ∠=︒，在Rt AEF ∆中，由勾股定理得2213AF AEEF =+=，由SAS 证得ADF BDE ∆≅∆，得BE AF =，即可得出结果．【解答】解：将DE 绕点E 逆时针旋转60︒得到EF ，连接AF 、DF ，如图所示： 则603090AEF DEF AED ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由旋转的性质得：DE EF =，DEF ∴∆是等边三角形，DF DE ∴=，60EDF ∠=︒，ABD ∆是等边三角形，AD BD ∴=，60ADB ∠=︒，ADF BDE ∴∠=∠，在Rt AEF ∆中，由勾股定理得：22223213AF AE EF =+=+=，在ADF ∆和BDE ∆中，AD BD ADF BDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF BDE SAS ∴∆≅∆，13BE AF ∴==．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，已知AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ．（1）求证：AC 平分DAB ∠；（2）求证：PCF ∆是等腰三角形；（3）若6AF =，25EF =，求O 的半径长．【分析】（1）根据切线的性质得OC AD ⊥，而AD DP ⊥，则肯定判断//OC AD ，根据平行线的性质得DAC OCA ∠=∠，加上OAC OCA ∠=∠，所以OAC DAC ∠=∠；（2）根据圆周角定理由AB 为O 的直径得90ACB ∠=︒，则45BCE ∠=︒，再利用圆周角定理得290BOE BCE ∠=∠=︒，则90OFE OEF ∠+∠=︒，易得90CFP OEF ∠+∠=︒，再根据切线的性质得到90OCF PCF ∠+∠=︒，而OCF OEF ∠=∠，根据等角的余角相等得到PCF CFP ∠=∠，于是可判断PCF ∆是等腰三角形；（3）连结OE ．由AB 为O 的直径，得到90ACB ∠=︒，根据角平分线的定义得到45BCE ∠=︒，设O 的半径为r ，则6OF r =-，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：PD 为O 的切线，OC DP ∴⊥，AD DP ⊥，//OC AD ∴， DAC OCA ∴∠=∠，OA OC =，OAC OCA ∴∠=∠，OAC DAC ∴∠=∠，AC ∴平分DAB ∠；（2）证明：AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒， CE 平分ACB ∠，45BCE ∴∠=︒，290BOE BCE ∴∠=∠=︒，90OFE OEF ∴∠+∠=︒，而OFE CFP ∠=∠，90CFP OEF ∴∠+∠=︒，OC PD ⊥，90OCP ∴∠=︒，即90OCF PCF ∠+∠=︒， 而OCF OEF ∠=∠，PCF CFP ∴∠=∠，PCF ∴∆是等腰三角形；（3）解：连结OE ． AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒， CE 平分ACB ∠，45BCE ∴∠=︒， 90BOE ∴∠=︒，即OE AB ⊥， 设O 的半径为r ，则6OF r =-， 在Rt EOF ∆中，222OE OF EF +=，222(6)r r ∴+-=，解得，14r =，22r =，当14r =时，62OF r =-=（符合题意），当22r =时，64OF r =-=（不合题意，舍去），O ∴的半径4r =．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，A 的半径为1，圆心A 点的坐标为(32，0)，直线OB 是一次函数y x =的图象，让A 沿x 轴负方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t（1）直线OB 与x 轴所夹的锐角度数为 45︒ ；（2）当A 与坐标轴有四个公共点时，t 的取值范围为 ； （3）求出运动过程中A 与直线OB 相切时的t 的值；（4）运动过程中，当A 与直线OB 相交所得的弦长为1时，直接写出t 的值．【分析】（1）过B 点作BH x ⊥轴于H ，如图，设(,)B t t ，则BH OH =，于是可判断OBH∆为等腰直角三角形，所以45BOH ∠=︒；（2）当A 运动到与y 轴相切时，如图1，A '与A ''与y 轴相切，根据切线的性质得1OA OA '=''=，则利用等腰直角三角形的性质得321AA '=，321AA ''=，所以当A 与坐标轴有四个公共点时，t 的取值范围为32321t -<<．（3）当A 与直线OB 相切时，如图2，A '与A ''与OB 相切，作A M OB ''⊥于M '，A M OB ''''⊥于M ''，根据切线的性质得1A M A M ''=''''=，利用等腰直角三角形的性质得OA OA '=''所以AA '=，AA ''=于是可判断运动过程中A 与直线OB 相切时的t 的值为（4）设A '交直线OB 于C 、D ，则1CD =，如图3，作A E OB '⊥于E ，连接A C '，根据垂径定理得12CE DE ==，在Rt △ACE '中，利用勾股定理得AE =，在Rt △OA E '中利用等腰直角三角形的性质得OA E '='，同理可得OA ''=，所以AA '=AA ''=【解答】解：（1）过B 点作BH x ⊥轴于H ，如图，设(,)B t t ，则BH OH =，OBH ∴∆为等腰直角三角形，45BOH ∴∠=︒，即直线OB 与x 轴所夹的锐角度数为45︒；（2）当A 运动到与y 轴相切时，如图1，A '与A ''与y 轴相切，1OA OA '=''=，1AA ∴'=，1AA ''=，∴当A 与坐标轴有四个公共点时，t 的取值范围为1t <<．故答案为45︒，1t <<．（3）当A 与直线OB 相切时，如图2，A '与A ''与OB 相切，作A M OB ''⊥于M '，A M OB ''''⊥于M ''，则1A M A M ''=''''=，直线OB 与x 轴所夹的锐角度数为45︒，∴△OA M ''和△OA M ''''，OA OA ∴'=''=AA ∴'=AA ''=∴运动过程中A 与直线OB 相切时的t 的值为（4）设A '交直线OB 于C 、D ，则1CD =，如图3，作A E OB '⊥于E ，连接A C '，12CE DE ∴==， 在Rt △ACE '中，2222131()2AE A C CE ='-=-=， 在Rt △OA E '中，62OA A E '='=， 同理可得6OA ''=， 632AA ∴'=-，632AA ''=+， 此时t 的值为632=-或632+．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的性质和等腰直角三角形的性质；理解坐标与图形性质；通过特殊点的解决动点问题．26．（14分）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD 中，若A C ∠=∠，B D ∠≠∠，则称四边形ABCD 为准平行四边形．（1）如图①，A ，P ，B ，C 是O 上的四个点，60APC CPB ∠=∠=︒，延长BP 到Q ，使AQ AP =．求证：四边形AQBC 是准平行四边形；（2）如图②，准平行四边形ABCD 内接于O ，AB AD ≠，BC DC =，若O 的半径为5，6AB =，求AC 的长；（3）如图③，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，若四边形ABCD 是准平行四边形，且BCD BAD ∠≠∠，请直接写出BD 长的最大值．【分析】（1）可证APQ ∆是等边三角形，可得60Q QAP ∠=︒=∠，由圆的内接四边形的性质可得60QPA ACB Q ∠=∠=︒=∠，由四边形内角和定理可证QAC QBC ∠≠∠，可得结论；（2）如图②，连接BD ，由准平行四边形定义可求90BAD BCD ∠=∠=︒，可得BD 是直径，由勾股定理可求8AD =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到CDH ∆，可得6AB DH ==，AC CH =，90ACH ∠=︒，ABC CDH ∠=∠，由勾股定理可求AC 的长；（3）如图③，作ACD ∆的外接圆O ，过点O 作OE AC ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，由准平行四边形定义可求60ABC ADC ∠=∠=︒，可得120AOC ∠=︒，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求1OE =，22CO OE ==，由勾股定理可求OB ，由当点D 在BO 的延长线时，BD 的长有最大值，即可求解．【解答】证明：（1）60APC CPB ∠=∠=︒，60APQ ∴∠=︒，且AQ AP =，APQ ∴∆是等边三角形，60Q QAP ∴∠=︒=∠，四边形APBC 是圆内接四边形，60QPA ACB ∴∠=∠=︒，360Q ACB QAC QBC ∠+∠+∠+∠=︒，240QAC QBC ∴∠+∠=︒，且120120QAC QAP BAC PAB PAB ∠=∠+∠+∠=︒+∠>︒， 120QBC ∴∠<︒，。

相关文档
最新文档