倒立摆

（7）
对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：
2 2 2 I ml ( s ) s mgl ( s ) mlX ( s ) s 2 2 M m X ( s ) s bX ( s ) s ml ( s ) s U ( s )

பைடு நூலகம்
（8）
( s)
倒立摆的分类

直线倒立摆系统
a一级倒立摆 b二级倒立摆
平面
c三级倒立摆
d四级倒立摆

环形
直线
环形倒立摆系列 平面倒立摆系列
直线倒立摆
环形倒立摆
平面倒立摆
倒立摆的特性

虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特 性：
１、非线性



２、不确定性
３、耦合性 ４、开环不稳定性 ５、约束限制
3
以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为： 1 0 0 x ( I ml 2 )b m 2 gl 2 0 2 2 x I ( M m) Mml 2 I ( M m) Mml 2 0 0 0 将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： mlb mgl ( M m) 0 2 I ( M m) Mml I ( M m) Mml 2
３、耦合性
倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动
模块之间都有很强的耦合关系，在倒 立摆的控制中一般都在平衡点附近进 行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
４、开环不稳定性
倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂
直向上的状态和垂直向下的状态，其 中垂直向上为绝对不稳定的平衡点， 垂直向下为稳定的平衡点。
５、约束限制
x x 1 0 0 0 x 0 y u 0 0 1 0 0
将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：
1 0 0 x 0 x 0 x 0 0.0883167 0.629317 0 x 0.883167 u 0 0 0 1 0 0 0.235655 27.8285 0 2.35655 x x 1 0 0 0 x 0 y u 0 0 1 0 0
F bx N M x
(1)
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
d2 N m 2 x l sin dt cos ml 2 sin ml N m x
（2）
把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：
2 sin F bx ml cos ml M m x
倒立摆
12121098 张采夫 12121098 黄河
目录


倒立摆简介
倒立摆的发展 倒立摆分类（视频） 倒立摆的特性 倒立摆数学模型建立

倒立摆应用
什么是倒立摆？
在杂技表演中可以看到这样的动作：演员口衔一根小棍 子，在小棍子的另一头立起另外一根棍子和盘子，做得好 的演员还可以绕场行走。两根棍子之间的连接点非常小， 依旧能够保持平衡。达到这样的水平是演员长期艰苦训练 的结果，但是通过我国科学家的一项新的研究成果，人们 只要轻松操作计算机也可以完成这样的高难度“表演”， 而且据说杂技演员能掌握的极限就是两根棍子的平衡，我 国科学家能做到的是一次顶起3根棍子并在一个平面内任 意行走。
0 x 0 0 x 1 u 0 0 1 0 0 29.4 0 3 x x 1 0 0 0 x 0 y u 0 0 1 0 0 1 0 0 0
倒立摆的发展

北京师范大学教授李洪兴领导的复杂系统智能控制实验室，他们 采用高维变论域自适应控制理论，在世界上第一个成功地实现了 平面运动三级倒立摆实物系统控制。2005年7月15日，教育部组 织包括两位院士在内的9位相关领域的科学家对这一成果进行了 鉴定，认为这是一项原创性的具有国际领先水平的重大科研成果。 2002年8月，李洪兴教授领导的科研团队在世界上应用李洪兴在 1995年首次提出的变论域自适应控制理论成功实现了二维四级倒 立摆实物系统控制。2003年5月，李洪兴教授领导的科研团队在 世界上首次成功实现了空间三级倒立摆实物系统控制。
（3）
为了推出系统的第二个运动方程， 对摆杆垂直方向的合力进行分析， 得到下面的 方程：
d2 P mg m 2 l cos dt
sin ml 2 cos P mg ml
力矩平衡方程如下： （4）
Pl sin Nl cos I
( s)
ml A( s) I ml s mgl


0 0 x I ml 2 0 x I ( M m) Mml 2 u 1 0 ml 0 2 I ( M m) Mml
（推到时假设初始条件为 0）则， 摆杆角度和小车位移的传递函数为：
0.02725 s 2 A( s) 0.0102125 s 2 0.26705
mls 2 X ( s) ( I ml 2 ) s 2 mgl
将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：
( s)
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： ml 2 s (s) q b( I ml 2 ) 3 ( M m)mgl 2 bmgl F (s) s4 s s s q q q
x x 1 0 0 0 x 0 ' y u 0 0 1 0 0
将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：
x 0 x 0 0 0
倒立摆简介

倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行 控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系 统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、 鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立 摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不 稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和 一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的 平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。
倒立摆系统的模型参数如下[]： M 小车质量 1.096Kg； m 摆杆质量 0.109Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m /sec I 摆杆质量 0.0034kg*m*m l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m T 采样频率 0.005s 下面 N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：
方程中力矩的方向， 由于
2
（5） 故等式 ，cos cos , sin sin ，
前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和 N，得到第二个运动方程：
mgl sin ml cos I ml x
（6）
假设 与 1（单位是弧度）相比很小，即 1，则可进行近似处理：
倒立摆的应用
李洪兴教授的研究结果已经在炼铝行业得到应用，而且变论域自适 应控制理论产生的方法与技术会在许多领域中得到应用，比如半导 体加工行业以及机器人领域中的柔性控制方面。此外，在军事与航 天领域中，该理论与技术可用于导弹拦截控制系统拦截飞行体的姿 态与定位控制问题、航空器对接控制技术中的欠自由度多级机械手 臂定位控制以及各种欠驱动控制系统。倒立摆的分析及其运算方法 是对多种领域以及平衡研究的基础。
d cos 1, sin , 0 dt 用 u 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：
2 mgl ml x I ml u bx ml x M m
2

相关控制算法
LQR
(linear quadratic regulator)即线性二次型调节器 , 其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统 ,而目 标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。
PID控制器（比例-积分-微分控制器）
是一个在工业控制应用中常见的反馈回路部件，由比例单元P、 积分单元I和微分单元D组成这个理论和应用的关键是，做出正确 的测量和比较后，如何才能更好地纠正系统
１、非线性
倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，
实际中可以通过线性化得到系统的近 似模型，线性化处理后再进行控制。 也可以利用非线性控制理论对其进行 控制。倒立摆的非线性控制正成为一 个研究的热点。
２、不确定性
主要是模型误差以及机械传动间隙，各种
阻力等，实际控制中一般通过减少各种误 差来降低不确定性，如通过施加预紧力减 少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承 减少摩擦阻力等不确定因素。
由于机构的限制，如运动模块行程限
制，电机力矩限制等。为了制造方便 和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电 机功率都尽量要求最小，行程限制对 倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出 现小车的撞边现象。
倒立摆数学模型建立
小车由电机通过同步带驱动在滑杆上 来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器 和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位 置（线位移和角位移）。导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在 轨道上的有效运行长度为1米。轨道两 端装有电气限位开关，以防止因意外失 控而撞坏机构。
以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：
0 x x 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 3g 4l
0 0 x 0 1 x ' 1 0 u 3 0 4l
鲁棒性

鲁棒性：鲁棒系统设计的目标 是在模型不确定和存在其他变 化因素的条件下，使系统仍能 保持预期的性能，如果模型的 变化和模型的不确定不影响系 统的稳定性和其他动态性能， 这样的系统我们称它为鲁棒控 制系统。
倒立摆的发展

最初研究开始于上个世纪50年代，美国麻省理工学院的控制论 专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而 后人们又参照双足机器人控制问题研制出二级倒立摆控制设备， 从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或 方法的检验范围。三级倒立摆是由一、二级倒立摆演绎而来， 它的实物系统控制实现已经是公认的难题。级数越高，算法越 难，但在实际运用中又是一个很大的突破。
2 2 2 q ( M m)( I ml ) m l
0.02725 s 2 X ( s) 0.0102125 s 2 0.26705
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
( s)
将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
( s)
F (s)

2.35655s s 0.0883167 s 2 27.9169s 2.30942