衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理
如何进行金融衍生品的定价
如何进行金融衍生品的定价金融衍生品的定价是金融市场中的核心问题之一，它涉及到金融工具的确定价格，不只是对风险进行定价，同时也涵盖了市场流动性和其他市场因素的考虑。
本文将介绍如何进行金融衍生品的定价。
一、理论定价模型的介绍金融衍生品的定价主要基于理论定价模型，其中最著名的理论定价模型是Black-Scholes模型。
该模型是由Black和Scholes于1973年提出的，被广泛应用于期权的定价。
Black-Scholes模型基于几个关键因素，包括标的资产价格、期权执行价格、剩余期限、无风险利率和标的资产价格波动率等。
二、市场因素的考虑除了理论定价模型所需的基本参数外，金融衍生品的定价还需要考虑市场因素。
这些因素可能包括风险偏好程度、市场流动性、交易成本和市场预期等。
这些因素会对金融衍生品的价格产生影响，需要在定价模型中加以考虑。
三、隐含波动率的估计在金融衍生品的定价中，波动率是一个重要的参数，它反映了标的资产价格的波动程度。
然而，波动率无法直接观测到，需要通过一定的方法进行估计。
其中一种常用的方法是通过市场上相同或类似衍生品的交易价格来反推隐含波动率。
通过对市场上的交易数据进行分析，可以得出相应的隐含波动率估计结果，从而用于金融衍生品的定价。
四、模型的风险管理金融衍生品的定价中需要考虑风险的管理，主要有市场风险和对冲风险。
市场风险是指金融市场波动对金融衍生品价格的影响，而对冲风险是指持有金融衍生品的交易对手方无法履约的风险。
在定价模型中，需要对这些风险进行合理的管理，以保证持有人的权益。
五、实践中的定价方法在金融市场实践中，还存在许多不同的定价方法，如蒙特卡洛模拟、二叉树模型、离散时间模型等。
这些方法可以根据具体情况选择合适的方法进行定价。
同时，还需要根据市场的实际状况和特点进行调整，以使定价结果更加准确和可信。
六、风险管理的重要性在金融衍生品的定价过程中，风险管理起着重要的作用。
合理的风险管理可以降低交易风险，保护个别投资者和市场的稳定。
中证培训-金融衍生品高级研修班课堂笔记四
中证培训——“金融衍生品高级研修班”课堂笔记（四）衍生品定价模型、参数估计与风险管理2015年5月26日至5月31日，中国证券业协会在厦门举办了《金融衍生品高级研修班》。
由国务院学科评议组成员、厦门大学金融学国家重点学科学术带头人、厦门大学证券研究中心主任郑振龙教授和厦门大学金融工程研究中心主任陈蓉教授担任主讲，并邀请了三位业界专家——中证报价系统衍生品业务部高级经理肖华、华泰证券金融创新部副总经理李升东和招商证券衍生投资部期权做市业务负责人邓林进行交流。
来自全国51家证券公司及系统相关单位共计70名学员参加了培训。
培训班为期六天，课程内容包含5个模块：《期权基本原理与期权交易策略》、《奇异期权与结构型产品》、《金融衍生品与金融创新》、《衍生品定价模型、参数估计与风险管理》和《期权交易与做市商实务》。
本部分内容主要为衍生品定价模型、参数估计与风险管理：一、衍生品定价模型对于普通欧式期权，最常使用的就是Black-Scholes模型，而该模型有以下几个假设。
一是股票价格服从几何布朗运动，即dS Sdt Sdzμσ=+，二是允许卖空标的证券，三是假设没有交易费用和税收，所有证券都完全可分，四是衍生证券的有效期内标的证券没有现金收益支付，五是不存在无风险套利机会，六是假设证券交易是连续的，价格变动也是连续的，七是假设无风险利率为常数。
基于以上假设，BSM 偏微分方程的推导，具体如下。
设f 是依赖于股价的衍生证券，根据伊藤引理可得，222212f f f f df S S dt Sdz S t S S μσσ⎛⎫∂∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ，在中，f 的价值变化满足222212f f f f f S S t S z S t S S μσσ⎛⎫∂∂∂∂∆=++∆+∆ ⎪∂∂∂∂⎝⎭，由于假设了股票价格服从几何布朗运动，同时为了消除风险源，因此构建一个包括1单位衍生证券的空头和f S ∂∂单位标的证券的多头组合，令∏代表该组合的价值，则f f S S ∂∏=-+∂，该组合在后组合变化为ff S S ∂∆∏=-∆+∆∂，带入和服从的随机微分方程即可得222212f f S t t S σ⎛⎫∂∂∆∏=--∆ ⎪∂∂⎝⎭，由于消除了风险，组合价值应该获得无风险收益，即r t ∆∏=∏∆，因此可得222212f f f S t r f t t S S σ⎛⎫∂∂∂⎛⎫+∆=-∆ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭，化简就有222212f f f S rS rf t S S σ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭，这就是著名的BSM 微分方程，它适用于其价格取决于S 的所有衍生证券的定价。
金融衍生数学PPT课件
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与Girsanov定理有关的讨论
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2. 前面的例子中，μ与时间独立，而这里的Xt 则依赖于某个随机变量（只要这个随机数量在 t时刻是已知的）。这就是使Xt成为It适应的原 因。因此，我们可以对漂移项进行更为复杂的 变换。
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产生等价概率的方法
与Girsanov定理所见到的一样，我们可以用一 种有趣的方法来由鞅产生概率。
例如，假设随机过程Zt只能取非负值，假设所 选择的随机过程Z具有如下性质：
在概率P下对所有的t有：
EP[Zt]=1
0≤Zt
我们将说明这样的Z对产生新概率非常有用。
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作为“测度”的概率
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ห้องสมุดไป่ตู้ •
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-5
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z
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以μ=-5为中心的密度函数可以变换成另外 一种概率密度，密度的中心变为了 μ=0 第二种方法是改变分布的形状，一种方法 是增加或减少分布的方差，对原始随机变 量进行尺度变换。下图对这种情形进行了 说明。随机变量zt的方差由4变为了1.
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基于Hull-White利率下O-U过程的复合期权定价
基于Hull-White利率下O-U过程的复合期权定价王向荣;薛瑶瑶【摘要】采用Hull White模型和指数O-U过程来刻画利率和股票价格的变化规律,考虑到标的资产价格和利率的随机性与均值回复性,利用鞅理论和Girsanov定理,研究了股票价格在随机利率下遵循指数OU过程的复合期权定价问题,得到了复合期权的定价公式.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(053)001【总页数】6页(P20-25)【关键词】复合期权;Hull-White利率;指数O-U过程;鞅定价;计价单位转换【作者】王向荣;薛瑶瑶【作者单位】山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590;山东科技大学金融工程研究所,山东青岛266590【正文语种】中文【中图分类】F830.9随着金融衍生品市场不断发展，复合期权作为一种新型期权成为期权定价研究领域内的热点问题之一.它是指以金融期权合约本身作为标的物的金融期权交易，通常以利率工具或外汇为基础.投资者常在波幅较高的时期内购买复合期权，以减轻因标准期权价格上升而带来的损失.因此，考虑不同模型下的复合期权定价问题具有十分重要的意义.近年来，复合期权的定价问题逐渐被众多学者关注.李翠香研究了随机利率下，股票价格遵循跳-扩散过程的复合期权定价问题，利用鞅方法得到欧式复合期权定价解析公式[1]；杨淑彩等借助保险精算法研究了常利率下股票价格遵循O-U过程的复合期权定价问题并得到其定价公式[2]；徐聪聪等利用保险精算和等价鞅测度下对复合期权进行定价，得到两种不同方法下的欧式复合期权定价公式[3]，进一步推广了Geske的结论.在现实的金融市场中，利率在较短时间内往往表现出一定随机性，从长远看，利率的变化有向其均衡水平靠拢的趋势，资产的价格也常在上升一定高度后有下降的趋势，这种均值回复行为在金融市场是十分普遍的.因此，本文建立在金融市场完备无套利的基础上，考虑了利率和股票价格的随机性及均值回复特征，分别用Hull-White模型和指数O-U过程来对利率和股票价格变化规律进行刻画.利用计价单位转换的方法进行测度变换进而研究Hull-White利率[4]模型下，股票价格遵循指数O-U过程的复合期权定价问题，并得到了其定价公式，拓展了已有文献的结论.1 模型建立1.1 资产价格模型假定标的资产股票价格遵循指数O-U过程，即满足：dS(t)=S(t)μ(t)-αlnS(t)+σ1(t)S(t)dW(t)， S(0)=S0，(1)其中，μ(t)、σ1(t)分别为股票的期望收益率和波动率，二者皆为时间t的确定性函数；α为常数，W(t)为定义在完备概率空间(Ω，F，Ftt≥0，P)上的一维标准Brown运动，Ftt≥0连续、单调递增；记1.2 利率模型在风险中性概率测度Q下，假定利率服从Hull-White模型，即利率r(t)满足如下随机微分方程：dr(t)=θ(t)-ar(t)dt+σ2(t)dW2(t)，(2)其中，θ(t)、σ2(t)为时间t的确定性函数，分别表示利率的长期均衡水平和波动率，当θ(t)为常数时，上式即为Vasicek模型；a为常数， W2(t)为定义在概率测度Q 下的一维标准Brown运动，且与W1(t)的相关系数为ρ.故存在与W1(t)独立的Brown运动W*(t)，使得：(3)2 模型求解引理1[6] 假设股票价格过程满足指数O-U过程(1)，令若则存在唯一等价的测度Q，满足：(4)使得在Q下为鞅，令W1(t)=W(t)+θ(s)ds，则由Girsanov定理知，在Q下W1(t)为Brown运动，且由Ito公式知：S(t)=(5)引理2 若随机利率服从Hull-White模型，即满足(2)式，则有(6)r(s)ds=ζ(s，T)r(0)+θ(s)ζ(s，T)ds+σ2(s)ζ(s，T)dW2(s)，(7)其中，ζ(s，T)=e-a(u-s)ds.证明根据(2)式可得：d(eatr(t))=eat(θ(t)dt+σ2(s)dW2(t))，上式两边积分，进一步整理得：对等式两边进行积分有：r(s)ds=r(0)e-asds+令m(s，T)=e-a(u-s)ds，则r(s)ds=m(s,T)r(0)+θ(s)m(s,T)ds+σ2(s)m(s，T)dW2(s).引理3[7] 若股票价格S(t)遵循指数O-U过程即满足(1)式，则有：(8)证明零息票债券在t时刻的价格为P(t，T),其中T为零息票债券的到期日，且P(T，T)=1.由鞅理论知，当利率满足(2)式时，P(t，T)=exp-m(s，T)r(0)-且满足随机微分方程dP(t，T)=P(t，T)r(t)dt-σ2(s)m(s，T)dW2(t).由Ito公式得P(t，T)=P(0，T)expr(s)ds-由(5)式有=故引理4[8] 设则对任意实数a、b、c、d、k有(9)E[eXIX≥k1，Y≥k2]=(10)其中,N(·)为标准正态分布的分布函数，复合期权是一种期权的期权，给予持有者在某一约定日期(t=T1)以约定价格买入(卖出)一份在日后t=T2(T2>T1)到期实施敲定价格为K的看涨(看跌)的权利.因此复合期权有两个执行价格和两个到期日.由于受到两个到期日的影响，一个是复合期权的到期日，另一个是标的期权到期日[9].复合期权有4种类型：1) 在t=T1时刻购买看涨期权的期权，记为CC；2) 在t=T1时刻购买看跌期权的期权，记为CP；3) 在t=T1时刻出售看涨期权的期权，记为PC；4) 在t=T1时刻出售看跌期权的期权，记为PP.定理1 在随机利率下股票价格服从O-U过程，4种不同欧式复合期权在t时刻的鞅定价为：CC*(t，S(t)，P(t，T))=S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(a，b，ρ)-(11)CP*(t，S(t)，P(t，T))=S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(a，-b，-ρ)-P(t，T2)KM(a'，-b'，-ρ)+(12)PC*(t，S(t)，P(t，T))=P(t，T2)KM(-a'，b'，-ρ)-S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(-a，b，-ρ)+(13)PP*(t，S(t)，P(t，T))=P(t，T2)KM(-a'，-b'，ρ)-S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(-a，-b，ρ)-(14)其中：证明任一在T时刻的支付为H(T)的资产在时刻t∈0，T的价格为(15)其中，EQ·|Ft指风险中性概率测度Q下的基于Ft的条件期望，为折现过程[10].Geman等提出一种计价单位转换的方法，即如果不支付股息的资产的价格X(t)是一个在任意时刻t∈0，T几乎必然为正的适应随机过程，则存在一个在(Ω，F)上的新的概率测度QX，且任何资产价格与X(t)的比值是一个QX-鞅，X(t)可以看作计价单位.QX满足其中，为概率测度QX对Q的Radon-Nikodym导数[11].以零息票债券的价格P(t，T)作为计价单位，可得到新的概率测度根据定义及(7)式和(9)式，其对Q的Radon-Nikodym导数满足exp-σ2(s)ζ(s，T)dW2(s)-exp-ρσ2(s)ζ(s，T)dW1(s)-(16)由Girsanov定理知且在下，1(t)=W1(t)+ρσ2(s)ζ(s，T)ds;为Brown运动，从而执行条件ST1>S*等价于：整理为：令则有则ST1>S*⟺X1+Y1>k1，其中，S*是方程的根.执行条件ST2>K等价于：整理为：令则有则ST2>K⟺X2+Y2>k2.由无套利定价的鞅方法可知，基于欧式看涨期权的复合期权价格为：CC*(t，S(t)，P(t，T))=由引理4分别计算S(t)exp(ρ2σX2Y2)M(a，b，ρ),类似于(11)式，可证式(12)，(13)，(14).3 结束语利率是决定所有衍生产品价格的一个重要因素，也是影响金融市场变化的最基本因子.因此本文考虑了利率的随机性对股票价格的影响，引入Hull-White利率和股票价格服从指数O-U过程的市场模型，利用鞅理论和Girsanov定理的相关理论，得到4种欧式复合期权的定价公式，进一步丰富和拓展了B-S期权定价模型.参考文献：【相关文献】[1] 李翠香. 基于随机利率下跳-扩散过程的复合期权的定价[J].黑龙江大学自然科学学报， 2012，29(4):431-436.LI C X. 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衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理
衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理下面是从一个论坛上转帖的，希望能对正在学习风险中性变换中Girsanov变换的同学有些帮助~~（其实我自己都云里雾里的）你不要把girsanov变换看得那么神秘。
我估计不少人现在对这个变换也是仅得其形未得其实：让他们做题死套都能得高分，但没有几个明白其中原理。
所以我一再强调，即使对于数学，也要理解其物理含义。
没有弄明白物理含义的数学，就等价于没有学懂。
girsanov变换，本质上就是：前提：给定一个随机变量，其对应一个分布函数A。
变换：现在让此随机变量增加一个漂移（注意，增加漂移后的随机变量不再是原来那个随机变量，这应很好理解）。
计算：计算出新随机变量的分布函数B。
从分布函数A计算出分布函数B的过程，就是girsanov变换——因为girsanov 给出了以漂移量为参数，直接从分布函数A计算出分布函数B的通式。
就这么简单。
大家学过起码的概率论的同学，应该还记得怎么把任何一个正态分布转化为标准正态分布，然后查标准正态表，计算出原正态分布下的各种数值的做法吧？那就是girsanov变换，减掉一般正态分布的漂移量，使其期望值为零——呵呵弄个骇人的名字，就是鞅。
然后对方差处理为1。
简单说，就是把复杂难以计算的分布，转化为标准分布，根据标准分布计算出的数据，返回去再计算原分布下的数据。
这么一个东西，显然是没有任何神奇在里面的。
准确地说，girsanov变换，应叫做：“随机运动平移的概率分布计算通式”。
呵呵这个名字一起，同学们的神秘感就会消失了吧？所以很多学问，与其说太深奥，不如说其名字起得太悬乎，大家花在名字理解上的时间，比去推导还要多。
那么，期权定价的girsanov变换，导致的风险中性概率又是如何来的呢？凭借我上面的解释，girsanov不能有那么神奇的力量，居然能脱离科学关系分析，纯粹通过数学变换，计算出科学关系来——这简直就是神。
其实，期权定价的此变换之前，首先就确定一个科学内容的前提：均衡价格下，任何资产任何时候，以无风险利率贴现到当前的值之期望值相等。
金融衍生品的定价与交易策略研究
金融衍生品的定价与交易策略研究近年来，金融衍生品作为一种风险管理工具广受关注。
衍生品的定价及交易策略对市场参与者来说至关重要。
在金融市场上，衍生品的定价和交易策略研究一直是热门话题。
因此本文将从何为金融衍生品定价，影响金融衍生品定价因素，及金融衍生品交易策略等方面进行较为全面的讨论。
一、何为金融衍生品定价金融衍生品定价是指根据资产价格的变动情况，利用各种利率、期权、指数、基础资产等信息来估计衍生品合约的公平价值。
相比于其他金融市场，衍生品市场的定价较为复杂。
衍生品交易中最常用的定价方法是模型法，其中最为常用的定价模型是Black-Scholes模型。
Black-Scholes模型除了可以用于期权定价，还可以用于股票指数期货和期权的定价及其他交易产品的定价。
Black-Scholes模型的核心是在为期权或期货找到一个对于该资产的合适的波动率(volatility)。
然后，利用当前股票价格、行权价、剩余期限、无风险利率以及波动率等参数，来计算出期权的公允价格。
Black-Scholes模型的存在，大大方便了人们对期权、期货等金融衍生品的交易与定价。
二、影响金融衍生品定价的因素影响金融衍生品定价的因素主要有以下几个方面：1、基础资产价格的波动率由于伪随机波动幅度的增大，资产波动率作为一个刻画资产价格波动情况的指标，会影响金融衍生品的定价。
在资产价格变动的过程中，若资产价格波动率增加，则该合同的公平价格也会随之增加。
反之，如果资产价格波动率减小，则该合同的公平价格也会随之减小。
因此，掌握基础资产价格的波动率，可以帮助交易者更准确地估计金融衍生品的公平价格。
2、利率的变化利率也是影响金融衍生品定价的重要因素。
在以利率为基础的金融衍生品合同中，如果利率上升，这意味着买方要承担更大的成本，也会导致该金融衍生品的价格下降。
反之，如果利率下降，则期权价格上升。
因此，利率的变化对于金融衍生品的合理定价有着重要影响。
衍生证券教程-理论和计算
前言本书出自作者在圣路易斯华盛顿大学和维也纳高等研究院给金融专业的硕士研究生和MBA研究生的授课笔记。
以前，期权和期货课程被认为是金融学的高级选修课，而现在几乎成为了所有金融专业的必修课，并且很多非金融专业的学生也来选修这些课程。
在投资学、国际金融、风险管理、投资银行、固定收益等课程中，也会遇到衍生证券的内容。
衍生证券在教学内容中的蔓延，反映出其在公司财务和投资管理中日益增加的重要性。
MBA 课程和本科课程的有关内容，大多将重点放在如何利用衍生证券进行对冲和投机上（这样做也是合适的），对许多学生来说这些内容已经足够，但对于衍生证券的销售者来说，除了解买方的需求之外，还面临定价和对冲的问题。
对衍生证券的购买者来说，掌握定价的有关知识能够在激烈竞争的证券销售市场上受益。
本书的重点是“定价和对冲”，通过学习定价和对冲的基本知识，学生对各种合约本身会有更深刻的理解。
当然，我也希望本书对实际工作者和金融工程专业的研究生具有使用价值，甚至对金融专业的博士生也有帮助。
本书关注的是无摩擦市场上衍生证券的定价和对冲，所谓“无摩擦”是指忽略交易成本（佣金、买卖价差以及交易对价格的影响）、保证金（担保）要求和任何形式的卖空限制。
无摩擦市场的定价和对冲理论来自Black、Scholes[6]和Merton[51]的工作。
这种理论以市场不存在套利机会为基础，已经发展得十分完善，成为有摩擦市场（即现实市场）上定价和对冲的基础。
不过，如果市场摩擦的影响十分显著，在很多重要的方面实际操作和理论会存在差别。
例如，如果交易者的交易对市场产生影响，或者交易者面临担保要求，无摩擦市场的套利机会就不再成为套利机会。
本书不讨论市场摩擦十分明显时如何用无摩擦市场的基础理论来指导实际操作。
本书省略掉的另一个内容是跳过程——本书只讨论二叉树模型和布朗运动模型。
本书主要用于衍生证券的高级课程，内容具有自足性，在第一章给出金融学的基本概念。
不过，本书不包括标准入门读物的内容（例如证券交易所的作用、盈亏图、套利策略等）。
数学与金融衍生品定价
数学与金融衍生品定价在金融市场中，衍生品定价是一项关键任务。
衍生品是一种金融工具，其价值来源于基础资产的变化。
了解和掌握数学定价模型对于正确评估和定价衍生品非常重要。
本文将介绍数学在金融衍生品定价中的应用和相关模型。
一、期权定价模型期权作为一种重要的衍生品，其价格是由多种因素决定的，包括标的资产价格、行权价格、到期时间、无风险利率、波动率等。
经典的期权定价模型有布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型和它的变体。
布莱克-斯科尔斯模型是一种基于假设的定价模型，假设标的资产价格服从几何布朗运动，并且市场不存在无风险套利机会。
通过偏微分方程的求解，可以得到期权的理论价格，从而进行定价和风险管理。
二、波动率模型波动率是期权定价中的一个重要参数，反映了市场对标的资产价格的未来波动性的预期。
准确估计波动率是衍生品定价的关键。
常用的波动率模型有历史波动率模型和隐含波动率模型。
历史波动率模型基于过去的价格数据计算波动率，满足市场历史数据的特点。
隐含波动率模型基于期权市场的定价数据计算波动率，反映了市场对未来波动率的预期。
三、衍生品的风险管理在金融市场中，衍生品的定价和风险管理是密切相关的。
通过正确的定价，可以对衍生品进行合理的风险管理。
通过动态对冲策略，投资者可以在期权合约到期之前对风险进行有效管理。
动态对冲策略基于布莱克-斯科尔斯模型，通过持有标的资产和衍生品的组合来实现对冲。
根据标的资产价格的变化，动态调整对冲组合的仓位，以达到降低风险的目的。
四、数学在其他金融衍生品中的应用除了期权之外，数学在其他金融衍生品的定价中也发挥着重要作用。
例如，期货合约是一种衍生品，其价格与标的资产的现货价格之间存在着一种合理的关系。
数学模型可以帮助我们理解期货合约的价格形成机制，并进行定价和风险管理。
另外，利率衍生品和信用衍生品也是金融市场中常见的衍生品。
通过数学定价模型，我们可以对这些衍生品的价格进行合理估计，并采取相应的风险管理措施。
基于随机跳违约强度的可转换债券的定价
基于随机跳违约强度的可转换债券的定价潘坚;肖庆宪【摘要】在约化模型框架下,研究具有随机跳违约强度的可转换债券定价问题.应用风险中性定价原理建立随机跳跃幅度服从双指数跳扩散过程,股票价格服从时变扩散模型,随机利率服从Hull-White模型且两两相关的定价模型.利用鞅方法得到了此定价模型的解析解,拓展了相关文献的结论.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(050)002【总页数】9页(P159-167)【关键词】跳违约强度;Hull-White利率模型;约化模型;鞅方法;可转换债券定价【作者】潘坚;肖庆宪【作者单位】上海理工大学管理学院,上海200093;赣南师范学院数学与计算机科学学院,江西赣州341000;上海理工大学管理学院,上海200093【正文语种】中文【中图分类】O211.63;F830.9作为重要的金融工具之一,可转换债券是一种具有期权特性的公司债券,它赋予投资者可选择将债券持有至到期日,获得本金和利息,也可以在约定的时间将债券转换成公司股票的权利.鉴于此,可转换债券在金融市场受到投资者的追捧.但是,和所有投资工具一样,可转换债券也会使投资者遭到损失.如果发行公司倒闭,那么债券的持有人就会损失投资于债券的资金,可转换债券尤其可能发生这种情况,这是因为可转换债券的地位通常低于公司的其它债券.此外,可转换债券的期限较长,利率的影响变得较为突出,因此,除了违约支付的风险外,可转换债券还存在利率风险.基于违约风险和利率风险的可转换债券的定价,是近几年国内外学者关注的热点.目前,具有违约风险和利率风险的可转债定价模型有两类:一类是基于期权定价理论的结构化模型[1],另一类是基于强度理论的约化模型[1].基于结构化模型研究可转换债券的定价始于Ingersoll[2],他把Black-Scholes的期权定价思想引入到可转换债券定价中,考虑了以公司价值为基础变量的单因素结构化模型; Brennan和Schwartz[3]对Ingersoll的单因素结构化模型进行了扩展,把利率的不确定性引入模型当中,建立了以利率和公司价值为基础变量的双因素模型.目前,以公司价值为基础变量研究可转换债券定价都是以这两个模型为基础.与结构化模型不一样的是,在约化模型中,违约被看成是一个完全不可预测的事件,违约过程用Poisson过程来描述,即第一次发生跳时公司违约.近年来,有不少学者基于约化模型研究可转换债券的定价.Takahashi等[4]在违约强度是股价反比例函数情形下研究了可转换债券的定价;Ayache等[5]在常数违约强度下,把可转换债券的价值作为一个整体研究对象,研究了带违约风险的可转换债券定价模型,此定价模型是一个耦合的偏微分方程组,没有解析解,用有限差分法考虑了数值解;Bielecki等[6]运用鞅测度方法研究了常数违约强度下博弈期权的定价和套期保值,并将其应用到可转换债券的定价和对冲中;Bielecki等[7]在文献[6]的基础上进一步研究了由标的资产股票、可转换债券和有关信用违约互换组成的基本金融市场框架下可转换债券的定价,在此框架下将可转换债券的价格转化为相应变分不等式的粘性解并给出了近似计算的收敛性证明.国内,Huang Jianbo,liu Jian和Rao Yulei[8]利用二叉树方法考虑了常数违约强度下具有利率风险和信用风险的可转换债券的定价;王伟和赵奇杰[9]考虑了常利率情形下带有违约风险的可转换债券的定价,假定市场中可转换债券的随机违约强度服从Vasicek模型,利用鞅方法得到了该模型的解析定价公式.在上述模型中,为了简化计算,违约强度假定为常数或连续的扩散随机过程.实际上,发行公司在可转换债券续存期间可能会受到国家宏观经济调控等外部政策的影响,使公司利润大幅降低,财务风险加大,导致公司出现危机或破产.在约化模型中,这些不可预见的事件可能会导致违约强度发生剧烈的变化,苏小囡和王文胜[10]在随机跳违约强度下研究了欧式期权的定价,随机跳的幅度假定服从正态分布.本文的主要工作和创新点是:基于约化模型研究具有随机跳违约强度的可转换债券定价问题,假设违约强度服从更符合实际的双指数跳扩散过程[11],并假定市场中无风险利率服从一个与标的股票相关的Hull-White模型.利用鞅方法得到可转换债券的解析定价公式,推广了相关文献的结果.最后,借助Matlab软件讨论了跳违约强度对可转换债券价值的影响.结果表明:双指数跳扩散过程下可转换债券的价值走势是下凸的,这表明跳违约强度会影响可转换债券的价值,可转换债券在债券存续期间存在一个临界点,在临界点处公司可能发生违约.下面给出建立模型所需的一些基本假设.1) 考虑一个随机的金融市场,不确定性由完备的概率空间(Ω,F,Q,(Ft)0≤t≤T)来表示,Q为风险中性鞅测度,{Ft}t≥0为公司信息流,满足自然假设,即右连续、单调递增.2) 股票的价格St服从如下时变扩散模型:3) 随机利率rt采用可以根据初始期限结构进行校准的Hull-White模型:4) 定义违约强度λt是具有跳违约强度的随机微分方程[10-11]:dλt=a3[b3(t)-λt]dt+σ3dW3(t)+5) cov[dWi(t),dWj(t)]=ρij(dt), |ρij|<1,i,j=1,2,3,且i≠j,常数ρij表示两个随机源的相关系数.此外,Nt,y与W1(t),W2(t),W3(t)相互独立.6) 在实际的可转换债券市场中,可转换债券的种类繁多.根据林海和郑振龙的研究结果[12],可转换债券在国内债券市场上一般不会被提前执行.因此,假定可转换债券的转换只发生在到期日T,即在T时刻债券持有者有权利选择是持有股票还是持有债券.如果在到期日,用债券转换股票后的价值超过债券的价值,那么债券持有者可选择转换.相反,如果在到期日,用债券转换股票后的价值不超过债券的价值,债券持有者则不选择转换.令φ(T)表示可转换债券在到期日的收益,则有7) 市场不存在套利机会、无交易费和税收,但债券存在违约风险,即当可转换债券的发行方发生违约时,在T时刻可转换债券的持有者仅收到先前承诺支付的一部分,即hφ(T),0≤h≤1,其中,h是回收率且为常数;如果可转换债券的发行方不发生违约,则债券的持有者在T时刻接受先前承诺的支付φ(T).为建立随机利率模型下具有跳违约风险的可转换债券的定价模型,引入带滤流的概率空间(Ω,G,(Gt)0≤t≤T,Q),总的域流是Gt=Ft∨Ht,其中,Ft=σ(Su,0≤u≤t)∨σ(ru,0≤u≤t)∨σ(λu,0≤u≤t)反映市场上除了公司违约信息之外的信息,而Ht=σ(I{τ≤u},0≤u≤t)反映公司的违约信息.由Jarrow和Yu有关条件概率的知识[13],可以得到:V(S,r,λ,t)=下面利用条件数学期望的平滑性[14-15]以及Bielecki和Rutkowski的结论[1]消去(6)中的违约时间τ,于是有下面利用鞅方法的测度变换计算I1和I2.引理ds是标准正态分布的累积分布函数.证明由于利率是随机的,引入远期鞅测度QT,即定义关于QT的Radon-Nikodym 导数:是QT的标准布朗运动.I11+I12.下面计算,由Ito公式,(1)和(8),可以得到记X(t,T)=EQT(ST),于是由(11)可以得到.为了计算引进新的Radon-Nikodym导数:根据Girsanov定理,可以得到同样由标准正态分布的性质:在概率测度下,logST满足正态分布,其均值和方差分别为:引理,证明为了从I2中分离随机项,引入鞅测度Qλ,即定义如下Radon-Nikodym导数: 由Ito公式,(3)和(8),可以得到φ由(18)和(19)可以得到是3个标准的布朗运动且j.因此,根据Bayes法则,I2在鞅测度Qλ下为:下面计算,由Ito公式,(1)和(8),可以得到:此外,由标准正态分布的性质:在概率测度Qλ下,logST满足正态分布,其均值和方差分别为:E[logST]=logSt-logB(t,T)-,为了计算,引进新的Radon-Nikodym导数:根据Girsanov定理,可以得到由标准正态分布的性质:在概率测度QS下,logST满足正态分布,其均值和方差分别为:E[logST]=logSt-logB(t,T)+,由引理1和引理2,可以得到如下定理1,定理1Hull-White利率模型下具有随机跳违约风险的可转换债券在t时刻的值为: φ1(t,T)N(d3)+由定理1,可以得到常利率下具有违约风险的可转换债券在t时刻的值,只需在定理中令a2=0,b2=0,σ2=0,ρ12=ρ23=0,于是有推论1常利率下具有跳违约风险的可转换债券在t时刻的值为:,在推论1中如果令η=0,可以得到常利率下不具有跳违约风险的可转换债券在t时刻的值,即推论2常利率下不具有跳违约风险的可转换债券在t时刻的值为:推论2中的参数见推论1.为了评价模型的性能,下面将利用数值化的方法来凸显跳违约强度(双指数跳扩散过程)和随机利率对可转换债券价值的影响.基本参数如下表1.下面利用Matlab软件编程分别计算了不同跳强度,不同跳跃幅度(包括向上和向下)和不同跳跃概率下的可转换债券的价值,如表2～表4所示.从表2～表4可以看出: 1)双指数跳扩散过程下可转换债券的期限结构都是先减后增,这表明在可转换债券的续存期限内存在拐点,可转换债券在对应的拐点上可能违约; 2)跳强度η=0表示违约过程是连续过程,即违约风险没有跳风险,此时的定价公式(28)是Hull-White利率模型下不具有跳违约风险的可转换债券的定价公式.随着跳强度η的增大,基本参数下同期可转换债券的价值变的更高,其金融意义是跳强度的增大意味着可转换债券极有可能发生违约; 3)同期可转换债券的价值随着向上(或下)跳跃幅度(跳跃概率)的增大而增加(或减少),其金融意义也是显然的,即向上跳跃幅度(跳跃概率)的增大,表明可转换债券发行方发生违约的可能性在增加,是对投资者愿意承担风险的一种补偿,反之则相反.下面同时考虑随机利率和跳风险对可转换债券价值的影响,利用Matlab软件,得到了3种情形下可转换债券的期限结构关系图.从图1可以看到: 1)双指数跳扩散过程下可转换债券的价值走势是下凸的,这意味着随着时间的推移,可转换债券存在拐点,在拐点处可能发生违约; 2)常利率情形下不具有跳违约风险的可转换债券价值的期限结构随时间的临近到期而增大,这是因为随着可转换债券的到期,由于票面利率的原因,持有债券的投资者能得到更多的利息.此外,由于可转换债券兼具了期权的性质,可转换债券所隐含的期权的价值也在逐渐增加; 3)具有随机跳违约风险和利率风险下可转换债券的价值高于常数利率且不具有跳风险情形下可转换债券的价值,主要是跳风险提升了可转换债券的价值,也是对投资者承担跳风险和利率风险的一种补偿.利率风险和违约风险是可转换债券定价中不可忽视的风险,但在现有的可转换债券定价模型中很少一起涉及,特别是涉及跳违约风险,大都是涉及转换条款.在宏观经济中,利率应该是随机的,利率的升高会导致公司融资成本的提高进而影响公司的经营,导致公司违约率的上升.本文在约化模型框架下考虑了具有随机跳违约风险和利率风险的可转换债券的定价,综合利用风险中性定价原理和测度变换方法得到了可转换债券的解析定价公式,推广了相关文献的结果.基于合理的可转换债券定价,公司可转换债券的发行,投资者投资组合的优化和风险规避才更为切实可行.因此,本文的研究结果对可转换债券的定价具有重要的参考价值.。
第五章_二项树定价模型(金融衍生品定价理论讲义)
第五章二项树定价模型这一章我们讨论期权和期货的二项树定价模型，这一模型为理解衍生证券的定价和套期保值提供了简单但有力的饿方法。
至今为止，有三种不同的期权定价模型。
第一种模型是Black和Scholes（1973）建立的。
在市场无摩擦、存在可连续交易的假设下，由持有股票的多头头寸，和持有以此股票为标的物的欧式看涨期权的空头头寸，形成一个无风险的套期保值证券组合。
这种思路是解决期权定价问题的关键。
第二种模型是从Harrison和Kreps（1979）开始的。
在市场无摩擦和完备的假设下，市场无套利等价于存在唯一的等价鞅测度，市场上的任何证券的折现价格在这个测度之下为一个鞅。
第三种是比较直观的模型。
这种模型采用二项分布，是由Cox，Ross和Rubinstern（1979），Rendleman和Bartter （1979）独立得到的。
前两种模型需要随机微分方程和鞅等复杂的数学工具。
除了容易理解外，第三种模型——二项树定价模型。
不仅为欧式看涨期权提供闭形式的解，而且在用数字计算方法解决更复杂的美式期权定价问题时，这种方法也能提供解。
所以，我们先在这一章里介绍第三种模型——二项树定价模型。
该模型由Sharpe（1978）提出， Cox, Ross and Rubinstein（1979）对它进行了拓展。
尽管最初提出二项树定价模型的目的是为了避开随机分析来解释Black-Scholes-Merton模型，但现在该模型已成为对复杂衍生证券进行定价的标准数值计算程序。
关于后两种模型，我们在以后的章节中讨论。
在应用二项树定价模型时，最重要的是合成构造（synthetic construction）或者套期保值(hedging) 的概念。
为了给看涨期权定价，利用股票和债券去复制期权的值。
这个证券组合称为合成看涨期权。
由无套利原理，这个证券组合的成本等于期权的价格。
合成构造的程序不仅给出了期权的定价方式，也给出了套期保值的方法。
金融衍生品外文翻译--金融衍生品定价的精算风险措施
中文3715字外文翻译Actuarial risk measures for financialderivative pricing金融衍生品定价的精算风险措施翻译学院Actuarial risk measures for financial derivative pricing目录1. 引言 (1)2. 随机排序和Esscher转换 (2)3. Esscher-Girsanov转换 (4)4. 金融衍生品定价的Esscher-Girsanov 转换 (6)Actuarial risk measures for financial derivative pricing1. 引言无论是直接或间接由一个公理来描述，风险措施的精算定价通常都是合理的。
金融衍生产品定价通常依赖于无套利原则。
本文建立了一个新的关系。
本文的关系基于历史悠久的Esscher转换。
Esscher转换是十分有用的保险和金融产品的定价的工具。
Buhlmann (1980)，在溢价原则的基础上指出Esscher 变换是在一个一般均衡派生模型中，决策者必须服从负指数效用函数;Iwaki （2001）以多段设置延伸了该模型。
Gerber和Goovaerts（1981）建立了递增法的溢价原则其涉及到了Esscher的混合变换。
在金融环境，Gerber和Shiu（1994，1996）使用Esscher变换构造等价鞅措施为了L´evy过程（带独立和固定增量）。
受此启发，Buhlmann（1996）更多在一般条件下使用Esscher变换来构造等价鞅测度类半鞅。
在本文中，建立风险评估机制的方法是由一个公理化特性用来描述一个可以生成无套利金融衍生品价格近似值的价格机制。
特别地，本文提出一个价格的表示定理。
价格表示衍生涉及概率测度变换，它是密切相关的Esscher变换，我们称之为 Esscher-Girsanov变换。
我们证明了在金融市场，其中，由主资产价格被表示关于布朗运动的随机微分方程，近似值无套利金融衍生品价格一致随着价格的代表性得出。
金融衍生品定价
金融的一个特点，就是数学很多，而在数学繁杂的表象下，真正的经济含义却被淹没了。
当然，经济学的很多领域也是如此。
这里试图用最简洁的语言对其定价原理进行阐述，但愿我能讲清楚。
首先阐述两条性质：1、完全相关的两个资产，其均衡价格必定相同（MM定理）；2、处于均衡价格的任意两个资产，其收益率-方差组合，位于人们风险偏好的等效用线上。
我想以上两句话应很容易理解。
下面进入正式阐述。
衍生品定价，很多人都以为关键在于对冲，构造成无风险组合（在merton那里是三资产构造成零价值组合）。
然后，很多人以为非均衡的价格，被对冲掉，因此，衍生品定价与股票价格是否均衡无关。
从而，出现了衍生品定价风险中性与股票价格是否均衡无关，然后乱推广的问题。
乱推广本身，又导致了同学们的疑惑。
其实，衍生品定价之核心，在于MM定理。
它是说，只要两个资产的现金流分布完全一样，则这两个资产的均衡价格必定相同。
我们完全可以把衍生品看作普通的甲证券，把基础股票看作另一支乙证券。
我们找到甲证券与乙证券的相关关系，根据MM定理，则在相关部分，甲证券的价格就是乙证券的价格。
但是，如果我们不关心乙证券的价格是否均衡，而机械地通过MM定理，把乙证券价格放到甲证券上，则甲证券被计算出来的价格，自然也不能保证是均衡价格。
所以，通过MM定理，以一支证券的价格，来计算另一支相关证券的价格时，如果前一支证券的价格是非均衡的，则后一支证券的价格就也非均衡；如果前一支证券的价格是均衡的，则后一支证券的价格也为均衡。
衍生品定价中，股票就相当于前一支证券，它是定价标准。
衍生品就是后一支证券，它通过相关性拷贝前一支证券价格。
那么，对冲无套利又是怎么回事？是否在对冲中，非均衡价格被对冲掉了？完全不是。
即使退一万步，假设非均衡价格的股票，居然还是与衍生品相关（事实上这是不可能的），那么股票与衍生品共同构成无风险组合，这可以成立。
但是，我们计算的不是无风险组合的价值，无风险组合的价值只不过是我们计算衍生品价格的跳板。
嬥梈煡惗昳掕樍寻媶
金融衍生品定价研究章节1：引言随着金融市场不断发展，金融衍生品也越来越受到人们的关注。
金融衍生品的定价为金融市场的参与者提供了重要的参考价值。
然而，衍生品的复杂性和不同品种的特点，使得其定价问题并不容易解决。
因此，本文将从理论和实践两方面对金融衍生品的定价进行研究。
章节2：金融衍生品的概念和分类金融衍生品是指其价值基于其他金融资产或指标的金融工具。
常见的金融衍生品有期货、期权、互换、远期合约等。
根据衍生品的基础资产和结算方式的不同，可以将其分为商品衍生品、股票衍生品、证券衍生品和汇率衍生品等多种类型。
章节3：金融衍生品的定价模型在金融衍生品的定价过程中，主要使用的是期权定价模型。
期权定价模型主要包括Black-Scholes模型、Binomial模型和Monte Carlo模拟等多种方法。
其中，Black-Scholes模型是最为常用的一种方法。
Black-Scholes模型假定了股票价格服从对数正态分布，利用股价、期权的行权价格、无风险利率、期权到期时间和股票波动率等几个影响因素进行计算，从而得到了期权的合理价格。
章节4：金融衍生品的定价实践金融衍生品的定价实践主要依赖于投资银行和金融机构。
投资银行和金融机构根据衍生品的市场行情、风险偏好、资金成本等因素，利用期权定价模型对衍生品进行定价，并提供交易服务。
同时，投资者也可以通过互联网交易平台等方式进行金融衍生品的交易和投资。
章节5：金融衍生品的风险控制金融衍生品具有高风险和高收益的特点，因此在投资过程中需要加强风险控制。
投资者可以通过做空、购买保险等多种方式来对冲其风险。
此外，监管部门也需要加强对金融衍生品交易的监管和风险控制，从而保障金融市场的稳定和安全。
章节6：结论综上所述，金融衍生品的定价是金融市场的重要问题。
虽然衍生品的定价受到复杂性和不确定性的影响，但是通过合理运用期权定价模型等方法，可以有效地对衍生品进行定价。
同时，投资者需要加强风险控制，而监管部门也需要加强监管和风险控制，以确保金融市场的稳定和安全。
金融衍生品的定价研究
金融衍生品的定价研究金融衍生品是一种金融资产，其价值来源于其他金融资产的价格变动。
它们的估值方式与传统金融资产有所不同，需要借助数学模型和统计学方法进行计算。
本文将探讨金融衍生品定价的基本理论和实践应用。
一、基本理论金融衍生品定价的基本理论是风险中立估值法。
这种方法假设投资者在购买和卖出衍生品时是风险中立的，即他们不会因为投资风险而要求更高的回报，而且他们的期望回报等于无风险利率。
在这种假设下，衍生品的定价公式可以表示为:C = E ( max(S - K, 0) ) * exp(-rT)其中C是看涨期权的价格，S是标的资产价格，K是行权价格，r是无风险利率，T是到期时间，exp是指数函数，E( )代表期望值。
当S>K时，期权具有内在价值，价值为S-K，当S<=K时，期权没有内在价值，价值为零。
这个定价公式被称为Black-Scholes公式。
它是衍生品定价的基础，在许多金融市场和交易平台中广泛使用。
然而，这个公式的假设并不完全符合市场实际情况，因此在实践中需要加以改进和修正。
二、实践应用在实践中，金融衍生品的定价涉及多种因素，包括标的资产价格、到期时间、无风险利率、波动率、行权价格和交易成本等。
这些因素的变动会影响衍生品的价格和交易效果，需要在定价时加以考虑。
例如，假设某种股票的价格为100元，期权的行权价格为110元，到期时间为3个月，无风险利率为5%，波动率为20%，则基于Black-Scholes公式，这种看涨期权的价格约为2.3元。
如果股票价格上涨到120元，则期权的价格将上涨到13.2元。
这种情况下，持有期权的投资者可以以较低的价格行使期权，获得额外的收益。
然而，在实际交易中，还需要考虑交易成本、市场流动性、风险控制等因素。
这些因素可能导致衍生品的价格与定价公式计算结果存在差异。
因此，在实践中，需要运用各种统计学和数学方法对价格波动和交易效果进行研究和分析，以保证衍生品的定价准确性和交易效果。
20120515172116衍生品市场序列--利率互换培训班--第十期--2,利率互换产品的交易原理及定价方法
如果1.6B的损失来源于50bp利差变化，可估算LTCM的DV01为3200万美元。
第12页
内容提纲
一、利率互换是什么交易
二、利率互换的计价方法
三、利率互换曲线的构造方法（Bootstrapping）
四、利率互换的风险分析
五、计价模型在利率互换交易中应用的案例
第13页
二、利率互换的计价方法
利率互换（利率衍生产品）是价格波动非常大的商品，
4.5%
工商银行
CNYSH_3M
中国人寿
第3页
利 率 互 换 的 交 易 条 款
第4页
固定端支付序列表
第5页
浮动端（SHIBOR利率）支付序列表
第6页
利率互换交易，浮动利率是不确定的：
利息收支会波动，导致财务账目上的有盈亏。 市值大小也会波动，对资产负债表造成冲击。
三个月SHIBOR利率的历史走势和未来预测
2010-10-22
2010-10-29 2010-11-05 2010-11-12 2010-11-15
1.9300
2.0376 1.8329 1.6780
7
7 7 3 94
1.00037014
1.00039077 1.00035152 1.00013792
1.00471146
1.00510407 1.00545738 1.00559605
7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 2007.1
2008.1
2009.1
2010.1
2011.1
2012.1
2013.1
2014.1
2015.1
2016.1
2017.1
第7页
金融衍生品定价模型
金融衍生品定价模型金融衍生品在现代金融市场中扮演着至关重要的角色，它们为投资者提供了多样化的投资策略和风险管理工具。
然而，要准确评估这些金融工具的价值并非易事，这就需要依靠金融衍生品定价模型。
金融衍生品的定价模型基于一系列的理论和假设。
其中最基础的概念是无套利原则。
简单来说，如果存在两种投资组合在未来产生相同的现金流，但当前的价格不同，那么投资者就可以通过低买高卖来获取无风险利润，这种情况在有效的市场中是不应该长期存在的。
让我们先来了解一下常见的金融衍生品，比如期货、期权。
期货是一种标准化的合约，约定在未来某个特定时间以特定价格买入或卖出某种资产。
期权则赋予了持有者在未来特定时间内以特定价格买入或卖出资产的权利，但并非义务。
在金融衍生品定价中，一个重要的模型是布莱克斯科尔斯（BlackScholes）模型。
这个模型主要用于欧式期权的定价。
它假设标的资产的价格遵循几何布朗运动，即价格的变化是随机且连续的。
同时，还假设市场是无摩擦的，没有交易成本和税收，并且利率是恒定的。
布莱克斯科尔斯模型的核心公式包含了标的资产的当前价格、执行价格、到期时间、无风险利率和标的资产价格的波动率等因素。
通过这些参数，可以计算出期权的理论价格。
然而，布莱克斯科尔斯模型也有其局限性。
例如，它对于美式期权的定价并不准确，因为美式期权可以在到期前的任何时间执行。
此外，模型假设条件在现实市场中往往难以完全满足，比如市场存在交易成本、资产价格的跳跃等。
为了应对这些不足，人们又发展出了其他的定价模型和方法。
二叉树模型就是其中之一。
它通过将时间分割成多个小的区间，模拟标的资产价格在每个区间内的两种可能变化，逐步计算出期权的价格。
还有蒙特卡罗模拟方法，这是一种基于随机数生成的模拟技术。
通过模拟标的资产价格的大量随机路径，计算每条路径下期权的收益，然后取平均值来估计期权的价格。
除了期权，期货的定价相对较为简单。
期货的价格主要取决于现货价格、持有成本（包括利息、仓储成本等）以及到期时间等因素。
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衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理
下面是从一个论坛上转帖的，希望能对正在学习风险中性变换中Girsanov变换的同学有些帮助~~（其实我自己都云里雾里的）
你不要把girsanov变换看得那么神秘。
我估计不少人现在对这个变换也是仅得其形未得其
实：让他们做题死套都能得高分，但没有几个明白其中原理。
所以我一再强调，即使对于
数学，也要理解其物理含义。
没有弄明白物理含义的数学，就等价于没有学懂。
girsanov变换，本质上就是：
前提：给定一个随机变量，其对应一个分布函数A。
变换：现在让此随机变量增加一个漂移（注意，增加漂移后的随机变量不再是原来那个随
机变量，这应很好理解）。
计算：计算出新随机变量的分布函数B。
从分布函数A计算出分布函数B的过程，就是girsanov变换——因为girsanov 给出了以漂移
量为参数，直接从分布函数A计算出分布函数B的通式。
就这么简单。
大家学过起码的概率论的同学，应该还记得怎么把任何一个正态分布转化为
标准正态分布，然后查标准正态表，计算出原正态分布下的各种数值的做法吧？那就是gi
rsanov变换，减掉一般正态分布的漂移量，使其期望值为零——呵呵弄个骇人的名字，就
是鞅。
然后对方差处理为1。
简单说，就是把复杂难以计算的分布，转化为标准分布，根据标准分布计算出的数据，返
回去再计算原分布下的数据。
这么一个东西，显然是没有任何神奇在里面的。
准确地说，girsanov变换，应叫做：“随机运动平移的概率分布计算通式”。
呵呵这个名
字一起，同学们的神秘感就会消失了吧？所以很多学问，与其说太深奥，不如说其名字起
得太悬乎，大家花在名字理解上的时间，比去推导还要多。
那么，期权定价的girsanov变换，导致的风险中性概率又是如何来的呢？凭借我上面的解
释，girsanov不能有那么神奇的力量，居然能脱离科学关系分析，纯粹通过数学变换，计
算出科学关系来——这简直就是神。
其实，期权定价的此变换之前，首先就确定一个科学内容的前提：均衡价格下，任何资产
任何时候，以无风险利率贴现到当前的值之期望值相等。
呵呵以学术性的术语说，就是：任何资产任何时候，以无风险利率贴现到当前的值是鞅。
只不过大家对前一种表述都能明白；后一种表述，就都不明白罢了。
按道理说，资产价格的实际漂移率显然不是无风险利率，而是此资产的风险收益率。
那么
通过girsanov变换，是可以消掉此资产的风险收益率漂移项，把资产价格的随机运动转化
为标准维纳运动，根据标准维纳运动计算出的数据，返回去计算平移前风险分布下的数据。
——这个办法理论上可以，但问题是算了半天，证券风险还是原来的风险，那对算期权半
点用处没有。
所以这个办法搞不定。
但诸位可以对girsanov变换的作用有进一步认识了。
所以，期权定价就要动用均衡价格下的风险－收益率等效用原理了。
即，均衡价格下，任
何资产任何时候，以无风险收益率贴现的现值之期望相等——当然，此时无风险收益率对
应的风险为何，期权定价理论是没有说的了。
但期权理论隐含承认：只要可以无风险收益率贴现，则风险—偏好因素再不需要考虑——
这个结论也是预先假定的科学结论，而不是通过什么测度变换来证明的。
事实上，我以为，这个科学关系的认定，是首先根据ＢＳ公式，发现有这么一个无风险利
率代换及概率模样东西，然后霸王硬上弓对照提出科学关系——即西方经济学常干的，先
稀里糊涂计算出结论，然后把结论认作前提，返过去计算出种种关系。
这样，第二步：将资产未来价格的无风险贴现，通过微分展开，获得一个含漂移的随机运
动。
（这个大家很好理解吧？明明资产的风险收益率高于无风险收益率，你却偏偏用无风
险收益率贴现，则随着时间变化，当前的贴现值当然要增长）。
第三步：可是科学关系要求：无风险折现的现值没有漂移。
好了，girsanov用上了。
即用
girsanov，把漂移值去掉（即为鞅），获得的新概率分布，不就可以保证科学关系成立了
么？
这个获得的新概率分布，就是所谓的风险中性概率。
特别地，大家看到，这里girsanov测度变换，不是对资产自身随机运动的变换。
考虑无风
险贴现之科学关系时，把无风险收益率和资产自身随机运动通过贴现组合在一起，形成的
新随机运动，新随机运动中，必定出现风险收益率与无风险利率之差距而导致的漂移。
gi
rsanov变换，则是消掉新随机运动中的漂移。
同样，这个概率模样的东西，也不是真正的概率。
它只是科学关系的均衡价格之效用等价
限制下，计算出来的概率模样的东西。
虽然它不是概率，但其数学形式与概率完全一样，
所以概率变换的内容仍然适用。
再次要说的是，它也根本不是资产价格随机运动的平移，即不是资产价格实际分布函数通
过girsanov变换来的。
以学术语言说：新概率，不是资产价格实际概率测度的girsanov变
换。
它是资产价格随机运动，减去同样贴现值的无风险资产价格运动之差（其差为带漂移的随
机运动），通过girsanov变换而得到。
这种变换，已经不再是通过变换后的函数，计算变换前的函数值，而是，直接把变换后的
函数，作为满足科学关系的函数。
其变换后的函数，能够不通过变换前函数，就用于计算的条件，就是科学前提之许可：它
可以这么做。
换言之，如果没有科学理论的支持，则，任何计算，其girsanov变换，只是使得计算更简
单，但必须最后要回到变换前的函数，根据变换前后的变量关系，计算出原函数的各种数
据。
因此，从期权定价的girsanov变换过程及其物理意义，我们可以看到，科学上的均衡价格
和均衡价格下收益－风险等效用原理，才是其前提。
它是在这个前提下进行变换，而不是
说通过纯粹数学的变换居然能证明出前提。
也可以看出，风险中性概率，就是一个确定比例，根本不是真正意义上不确定的概率。
最简单的例子，如果没有科学上要求贴现值期望不随时间变化（资产价格为非均衡时，此
条件是不能满足的，必定有漂移值），则后面一系列推导都无法进行。
必须去掉非均衡价
格中的套利部分，才能进行其后的计算。
你说“我不得不怀疑，你的对衍生产品定价理论的认识还停留在70年代。
”
对此我的回答是：我的书中，反复强调大家要弄明白最基础的理论。
不要因为一个理论的
古老，就不去理解它——最前沿的理论，都是建立在这些基础理论之上。
你没有理解基础
理论，就不可能真正明白前沿理论。
最后再送一句话：数学永远只是语言，是符号系统。
科学是现实物质关系。
数学只能描述
科学，但不能创造科学。
如果一个科学结论缺乏相应的科学前提，则无论多么高明的数学
变换，也不能使这个科学结论成立。
记住这个结论，能省你很多力气。