非线性控制系统 近似输入输出线性化

b(x)

a(x)
若非线性系统(1)的鲁棒相对阶为γ，那么光滑函数 i ( x ) 在原点邻域 U内是线性无关的。根据伏柔贝尼斯定理，可以选取一组函数 i ( x ) 使得：
L g i ( x ) 0, ( i 1, ..., n )
且和 i ( x ) 一起构成一组基函数。因此系统(1)可变换为以下形式：
四、鲁棒相对阶
非线性系统(1)在x=0处有鲁棒相对阶γ，是指如果存在光滑函数 i ( x ) (i=1,…,γ)，使得
h( x) ( x) ( x, u ) 1 0 L f g u i ( x ) i 1 ( x ) i ( x , u ), i 1, ..., 1 L f gu ( x ) b ( x ) a ( x )u ( x , u )
1 2 1 ( x , u )

1
1
( x, u )
b ( , ) a ( , ) u
q ( , ) y 1 0 ( x, u )
式中 q ( , ) 是 L f 在坐标( , ) 下的表达式，在反馈控制律
f (x) g (x)
y x1
h(x)
对输出y进行求导，直到输入u出现：
y x1 , y x2 , B x1 x 4 B G s in x 3 , y
2
y
(3)
B x 2 x 4 B G x 4 c o s x 3 2 B x1 x 4 u .
1 x 2 2 B G s in x 3 B x1 x 4 3 B G x 4 c o s x 3 4 B G x 4 s in x 3 ( B G c o s x 3 ) u
2 2

b(x)

a(x)
1 x 2 2 B G s in x 3 B x1 x 4
1
i 1, ..., 1
注：1. i1 ( x )
O ( x ) , i ( x ) O ( x )
2 2
2. i ( x ) 的选取比较灵活，只要保证 i1 ( x ) O ( x ) 2 即可。
在球与连杆系统中，通过忽略高阶项来设计近似线性化系统。 假设 1 1 ( x ) h ( x )
现实中确实存在不具有相对阶的系统，如球与连杆(The Ball and Beam)系统。
x1 r r x 2 x x 3 x 4 y h(x) r
状态方程和输出方程为：
x2 0 x1 2 x2 0 B ( x1 x 4 G s in 4 0 x 1
近似输入输出线性化
一、线性化问题
非线性系统：
x f ( x, u ) y h(x)
理想线性化
x Ax Bu y Cx
两种折中的方法:
状态方程线性化
x Ax Bu, 输入输出线性化
y h(x)
x f ( x , ), A B u , y C
二、近似线性化问题
近似线性化是控制界早已熟知的系统设计方法，其中最常 见、最原始的是取系统的一阶近似。这种方法虽然简便易 行，但仅适用于工作点范围不大的情况。 现代的近似线性化方法基本思想是通过坐标变换将强非线 性系统变换成弱非线性系统，或是通过反馈以保持线性系 统的部分特点。它是精确线性化问题的推广。
其中函数 i ( x , u ) O ( x , u ) 2 , ( i 1, ..., ), a ( x ) O (1) 对仿射系统， i ( x , u ) 满足以下形式：
0 ( x , u ) 0 ( x ) 1 2 i ( x , u ) i ( x ) i ( x ) u ,
2
3 B G x 4 c o s x 3 B x 2 x 2 B x1 x 4 u
2
4
4 B (1 B ) x 4 s in x 3 B x1 x 4 ( B G c o s x 3 2 B x 2 x 4 ) u
2 2 4

或者写为
L f g u 1 ( x ) 2 ( x ) 1 ( x , u )
2
式中： 1 ( x , u ) O ( x , u ) 是含二阶及更高阶的非线性部分。继续该过程：
y
(i)
L f g u i ( x ) i 1 ( x ) i ( x , u )
2
y 1 ( x )
对其求导，得： y 1 ( x ) L f 1 ( x ) L g 1 ( x ) u 2 ( x ) 1 ( x , u )
若 L g 1 ( x ) 是O(x)或是更高阶，那么在选择 2 ( x ) 时将其忽略：
y 2 ( x)
) 因此可以寻找一组关于状态x的函数 i ( x（i=1,…,γ）来近似系统的输出 及各阶导数。因控制的目的是跟踪系统输出，因此第一个函数 1 ( x ) 必须逼近 输出函数，即
1
y h ( x ) 1 ( x ) 0 ( x , u )
式中:
0 ( x, u ) 0 ( x) O ( x, u )
y
(i )
i 1 ( x )
直到在某一步有 L g ( x ) O (1) ，即在第γ步成立：
y
( )
L f gu ( x ) b ( x ) a ( x )u ( x , u )
式中 a(x)=O(1)，即在原点邻域内非零，这使得原系统在忽略高阶 项后，相对阶有定义（我们知此时近似系统的相对阶为γ），从而系统 可以近似输入输出线性化。特别地，当γ=n时，就实现了系统所有状态 的近似线性化。
近似线性化的两种思路：
1.状态方程近似线性化：
伪线性化方法、扩展线性化方法、近似变换与近似线性化等
2.输入输出近似线性化
三、近似输入输出线性化
非正则情形：
非线性系统对某些点x0∈U，其相对阶没有定义，即对某整数γ 有 1 1 L g L f h ( x 0 ) 0 。但对充分靠近x0的点x却有 L g L f h ( x ) 0 ，也即x0 正好是 L g Lf 1 h ( x ) 0 的零点。因此在该点不能直接利用输入输出方法 实现精确线性化。
u 1 a ( , ) [ b ( , ) v ]
作用下，系统(1)就近似实现了输入输出线性化。
参考文献
A New Approach to Dynamic Feedback Linearization Control of An Induction Motor A Tool Box for Approximate Linearization of Nonlinear Systems Approximate Input-Output Linearization of Nonlinearization Using the Observability Normal Form Approximate Normal Forms of Nonlinear Systems Pseudo-Linear Approximations for ARX Ciphers with Application to Threefish Equivalent Linearization Techniques Nonlinear Control via Approximate Input-Output Linearization-the Ball and Beam Example On the Pseudo-Linearization and Quasi-Linearization Principles ……
2 b(x) a(x)
虽然系统本身不具有相对阶，但其近似系统却可能具有。因此该 方法的本质是寻找一个近似于原系统并具有相对阶的系统，然后用近 似系统的控制策略控制原系统。
对单输入单输出仿射非线性控制系统：
x f ( x ) g ( x )u y h(x)
（1）
输入输出线性化过程为重复对输出y进行求导，直到输入u首次出现在等式右边：
( )
y
L f h ( x ) L g L f h ( x )u

1
若 L g L f h ( x ) 在x0点为零，即相对阶无定义，但在离x0点任意近的某些点不 1 1 为零。也就是说，在x0点有 L g L f h ( x 0 ) 0 但不恒为零，即 L g L f h ( x 0 ) O ( x )