第五章 特征值和特征向量 PPT课件

三 相似矩阵
1. 概念与性质
定义1 设 A, B 都是 n阶方阵，若有可逆矩阵P ,
使
P1AP B
则称 A是B 的相似矩阵，或说矩阵A 与B 相似. 对 A进行运算 P1AP称为对A进行相似变换. 可逆矩阵 P 称为把 A变成 B的相似变换矩阵.
设 A, B,C 为 n 阶方阵，则相似矩阵有下列
这说明，正交变换不改变向量的长度.
二 特征值和特征向量
1. 概念
定义1 设A是 n阶方阵，如果数λ和n维非零
列向量x使关系式Ax= λx (1)成立， 则称λ是方阵A的特征值；
非零列向量x称为A的对应于特征值λ的特征 向量.
（1）式也可写为 (A E)x 0 (2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组， 它有非零解的充要条件是系数行列式
解齐次线性方程组 ( A E)x 0
可分别求得 A的对应特征向量
0 0 1
p1
2
,
p2
1
,
p3
0
1
1
1
于是所求可逆矩阵
0 0 1
1
,
3
4
1
1
0
正交规范化.
解 先将 1 ,2 ,3进行正交化，取
2
1 1 1
,
1
2
2
1,2 1, 1
1
3 2 1
1
1
4 6
1
1
Βιβλιοθήκη Baidu
5 3
1
1
,
3
3
1,3 1, 1
1
2 ,3 2 , 2
2
0
22 .
再将它们单位化，取
2
1
e1
1 1
1 6
1
20 2n 3n
特别地，当 n 4 时，污染损耗为 x4 241 ,
工业产值为y4 239，损耗已超过了产值，
经济将出现负增长.
因 p2 中含负分量
由上面的分析可以看出：
尽管 A的特征向量 p2没有实际意义
但任一具有实际意义的向量0 都可以表示为
p1 , p2 的线性组合 从而在分析过程中，p2 仍具有重要作用.
定理2 若 n维向量1,2 ,L ,r 是一组
两两正交的非零向量组，则
1,2 ,L ,r 线性无关.
例1 已知 1
1
1 1 ,2 1
,
1
2
求非零向量3 ,使 1,2 ,3 成为正交向量组.
x1
解
设
3
x2
,
则1T3
0,
T
23
0
x3
即
1T
T 2
x1 x2 x3
0,
1 1
1 1 ;
2
2
1,2 1, 1
1;
r
r
1,r 1, 1
1
2,r 2 , 2
2
L
可以证明：
r 1 , r r1, r1
r 1
1, 2,L , r 两两正交，且对任何k 1 k r
向量组 1, 2,L k 与 1,2,L k 等价.
2 3 1
例2
将1 1
,
2
xk
8 3
1 xk1 3
yk 1
yk
2 3
xk 1
7 3
yk 1
(k 1, 2,L )
xk和 yk为第k 个周期后的污染损耗和工业产值.
即
xk yk
1 3
8 2
1 xk1
7
yk
1
或 k Ak1(k 1, 2,L ) .
由此模型及当前的水平0 ，可以预测若干
发展周期后的水平：
（1） [x, y] [ y, x] ;
（2） [x, y] [x, y] ;
（3） [x y, z] [x, z] [ y, z] ; （4） [x, x] 0 , 等号当且仅当x 0 时成立.
定义2 令
x [x, x] x12 x22 L xn2
称为n维向量 x的长度（或范数）.
由此得 [x, y] 1当 x y 0时
xy
定义3 当 x 0, y 0 时，
arc cos [x, y]
xy
称为 n维向量 x与y的夹角. 定义4 当[x, y] 0时，
称向量 x与 y 正交（或垂直）.
零向量与任何向量都正交
定义5 若一个向量组中任意两个向量都正交， 则称此向量组为正交向量组. 若一个正交向量组中每一个向量都是单位向 量，则称此向量组为正交规范向量组或标准 正交向量组.
1
2 1 2
例1 已知 1
是
A
5
a
3
1
1 b 2
的一个特征向量，试确定参数 a, b
及特征向量 所对应的特征值 .
解 由特征值和特征向量的定义可知，
A
即 2 1 2 1 1
5 1
a b
3
2
11
11
,
于是 1
2
a
,
b 1
所以 1 , 2 a , b 1 .
第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化
矩阵的特征值 矩阵的特征向量 矩阵可对角化的条件
一 预备知识
1. 向量的内积 在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点 积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系
内积定义 ： x·y x y cos 夹角 ： arccos x·y
xy
向量的长度： x x·x
即所求解为 a 3,b 0, 1.
2. 特征值和特征向量的求法
求 n阶方阵 A的特征值与特征向量的步骤：
（1）求出 n 阶方阵 A的特征多项式 A E ; （2）求出特征方程 A E 0 的全部根i ，
即是A的特征值；
（3）把每个特征值i代入线性方程组（2）， 求出基础解系，就是 A对应于i 的特征向量，
它表明，经过n个发展周期后，工业产值已达
到一个相当高的水平 2n1 ，但其中一半被 污染损耗 2n 所抵消，造成资源的严重浪费.
如果当前的水平 0
11
19
，则不能直接
应用上述方法分析.
此时由于0 10 p1 p2 ,
于是 n An0 10An p1 An p2
10 2n p1 3n p2 10 2n 3n
1 A0,2 A1 A20, L ,k Ak0.
下面利用矩阵特征值和特征向量的有关性质，
来计算A的幂. 为此，先计算 A的特征值.
A 的特征多项式为
8 AE 3
2 3
1
3 2 5 6 7
3
所以，A的特征值为 1 2, 2 3 .
1) 对于特征值 1 2 ，解齐次线性方程组
基础解系的线性组合（零向量除外）就是 A
对应于i 的全部特征向量．
例2
求矩阵
A
3 5
4 2
的特征值和特征向量．
解 A的特征多项式为
3 4 ( 7)( 2),
5 2
所以A的特征值为1 2, 2 7. 当1 2 时，对应的特征向量应满足
5 5
4 4
x1 x2
0 0
3. 特征值和特征向量的性质
定理1 设A是 n阶方阵， 则 A与AT有相同的特征值.
定理2 设 是方阵 A的特征值，k, m N,则 （1） k是Ak 的特征值；
（2）f () a0 a1 L amm 是
f ( A) a0E a1A L am Am的特征值.
定理3 设 n阶方阵A (aij )的 n个特征值为
如果 1, 2,L , m 各不相等，则
p1, p2,L , pm 线性无关.
例3 三阶方阵 A 的三个特征值分别为
1 1, 2 1, 3 2
求 A* 3A 2E .
解 A可逆，所以 A* A A1 .
而 A 123 2 , 故
A* 3A 2E 2A1 3A 2E A
（1） A 1 或 1 ; （2） AT , A1, AB 也是正交矩阵.
正交矩阵举例：
（1） n阶单位矩阵En；
（2）
cos
sin
sin
cos
.
定义7 若P为正交矩阵，则线性变换y Px
称为正交变换.
设 y Px为正交变换，则有
y yT y xTPTPx xTx x .
内积的坐标表示式 ：
(x1, x2, x3) ( y1, y2, y3) x1y1 x2 y2 x3 y3
x1 y1
定义1
设有n 维向量
x
x2
M
,
y
y2
M
,
xn
yn
令 [x, y] x1y1 x2 y2 L xn yn ,
称为向量 x与 y 的内积.
内积性质（其中x, y, z 为n维向量，为实数）:
其中 x 2 3x 2 .
x
所以 A的特征值为
1 3, 1 1, 2 3 ,
于是 A A* 3A 2E 133 9 .
例4 是 A 的特征根，A 可逆时，
1 是 A1的特征根.
4. 应用（发展与环保问题）
为了定量分析工业发展与环境污染的关系，
某地区提出如下增长模型：
解 （1）因 A与 B相似，故
AE BE
2 0 0 1 0 0 即 2 x 2 0 2 0 ,
3 1 1 0 0 y
( 2)[2 (x 1) x 2] ( 1)( 2)( y)
将 1 代入有 x 0 ；
将 2 代入有 y 2 .
（2） A的特征值为－1，2，－2，
向量的长度具有下述性质：
（1）非负性： x 0 ;
（2）齐次性： x x ;
（3）三角不等式： x y x y .
当 x 1 时，称 x为单位向量.
任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
Cauchy-Schwarz 不等式：
[x, y]2 [x, x][ y, y] 或 [x, y] x y
A 2E x 0 可得 A 的属于 1 2
的一个特征向量
p1
1
2
.
2) 对于特征值 2 3，解齐次线性方程组
A 3E x 0 可得 A 的属于2 3
的一个特征向量
p2
1
1
.
如果当前的水平0 恰好等于p1，则k n时，
n
An0
An
p1
1n
p1
2n
1
2
即 xn 2n , yn 2n1 .
基本性质： （1）反身性 ；（2）对称性 ；（3）传递性.
定理1 若 A 与 B 相似，则 （1）A 与B 有相同的特征多项式和特征值； （2） A B ; （3） R(A) R(B) ; （4） Am与 Bm也相似，其中 m为正整数.
2. 矩阵可对角化的条件
把方阵 A 对角化方法，即求相似变换矩阵P 使 P1AP 为对角阵.
定理2 n 阶方阵 A相似于n 阶对角矩阵的 充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 推论 如果 n 阶方阵 A有 n 个互不相等特征值，
则 A与对角矩阵相似.
例1 已知矩阵
2 0 0
1 0 0
A
2
x
2
与
B
0
2
0
相似.
3 1 1
0 0 y
（1）求 x与 y ； （2）求一个可逆矩阵 P，使 P1AP B ; （3）求 A100 .
,
4
容易求得方程组的一个基础解系为
p1
5
.
于是，A 的对应1 2 的全部特征向量为
c1 p1（c1 0 为常数）
当
2
7
时，由
4
5
4
5
x1 x2
0 0
,
1 解得基础解系 p2 1 .
于是，A的对应 2 7 的全部特征向量为
c2 p2（ c2 0 为常数）
,
1
e2
2 2
1 3
1
1
0
e3
3 3
1 2
1 1
.
则 e1, e2 , e3 即为所求.
3. 正交矩阵
定义6 如果 n阶方阵A 满足
AAT AT A E （即A1 AT ）
那么称A 为正交矩阵. 定理3 A为正交矩阵的充分必要条件是
A的行（列）向量组为正交规范向量组.
定理4 设A，B都是n阶正交方阵，则
A E 0 (3)
即 a11
a12
L
a21 a22 L
M
M
a1n a2n 0 M
an1
an2 L ann
方程组(2)的系数矩阵A - λE 称为A的特征矩阵; |A - λ E| 是λ的n次多项式,记作f(λ) ， 称为A的特征多项式; 式（3）称为A的特征方程.
显然，A的特征值就是A的特征方程的解， 在复数范围内，n阶方阵A有n个特征值 （重根按重数计算）.
1 1
1 2
x1 x2 x3
0 0
,
由 1 1
1 1
1 2
~
1
0
1 0
1 3
~
1
0
1 0
0 1
,
得
x1
x3
x2 0
,
从而有基础解系
1
1
,
0
1
取
3 1
0
即为所求.
2. Schmidt正交化方法
Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量
1,2 ,L ,r 作如下的线性交换，化为一组 与之等价的正交向量组 1, 2 ,L , r 的方法：
1, 2,L , n 则
n
n
n
（1） i aii ，其中 aii 是 A的主对
i 1
i 1
i 1
角元之和，称为矩阵A的迹，记作 tr( A) ;
n
（2） i 1
i
A.
推论 n阶方阵 A可逆的充分必要条件是它的
任一特征值不等于零.
定理4 设1, 2,L , m是方阵 A的 m个特征值，
p1, p2,L , pm 依次是与之对应的特征向量.