2简谐振动的动力学方程
简谐振动动力学方程推导
简谐振动动力学方程推导
简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。
圆周运动的；很明显v无法测量到，所以根据得到。
其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即（F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。
所以得到；
因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得
到：。
然后再将v带入之前的圆周运动T中，即可得到。
将R记为匀速圆周运动的半径，即：简谐运动的振幅；
将ω记为匀速圆周运动的角速度，即：简谐运动的圆频率，
则：；
将φ记为 t=0 时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），即：简谐运动的初相位。
则，在t时刻：
简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ）；
简谐运动的速度v=-ωRsin（ωt+φ）；
简谐运动的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），上述三式即为简谐运动的方程。
简谐运动的表达式动力学表达式
性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势 能相等，位移、回复力、加速度大小相等，方向 相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相 反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.
3.周期性——简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n) 为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1) T2 (n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置 关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，
图2 3.简谐运动的能量
简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能 守恒，振动能量与 振幅 有关， 振幅 越大， 能量越大.
二、简谐运动的两种基本模型
弹簧振子（水 平）
单摆
模型示意图
条件 平衡位置
回复力
忽略弹簧质量、 无摩擦等阻力
细线不可伸长、质量 忽略、无空气等阻力、 摆角很小
弹簧处于原长处
最低点
度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆 球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复
力.当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsinθ= - mg x=-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
l
3.单摆的周期公式 (1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
g
一种测定重力加速度g的方法. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离, 要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
2. 简谐运动的描述 （1）描述简谐运动的物理量 ①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的 有向线段表示振动位移，是矢量. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离， 是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f:做简谐运动的物体完成 一次 全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单 位时间内完成 全振动的次数 ；它们是表示振动 快慢的物理量.二者互为倒数关系.
谐振子
O
2) 由： A
02
2 0
和已知条件：
2
0
x0
b
x0
mg k
0.05
m
b
O' 0
x0
可得：A 0.07 m
x
3)
由
tg 0
0 0
1
和初速度为负值，可知：0 4
4) (t) Acos(t ) 0.07cos(4t 4) (m)
5) E 1 kA2 0.039 (J) 6) 做图略
x0
和速度
0，由：
x0
Acos Asin
0
联立可得：
A
x02
2 0
2
tg1( 0 ) x0
简谐运动实例：
( 1 ) 单摆
准弹性力：
l
1. 细线质量不计 约
ft mg
定 2. <5 以保证sin 由牛顿定律：
m
ft
3. 阻力忽略不计
ft
பைடு நூலகம்
mg
mat
m
l
ml
d2
dt 2
mg
d2g 0
dt2 l
一个作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力 与它对于平衡位置的位移成正比而反向。这样的力称为 恢复力(Restoring Forces)。
2. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
由 f ma m d2 x dt2
及 f kx 得
f
k
m
0x
x
弹簧振子
d2 x m d t 2 kx
d 2x dt2
§4.2 谐振子(动力学部分) (Harmonic Oscillator)
简谐振动的方程
m
O
x X
k mg / l
令向下有位移x, 则 f mg k (l x) kx
作谐振动
设振动方程为
x A cos(t 0 )
k m g l 9.8 10rad / s 0.098
由初条件得
A x0 (
2
v0
) 2 0.098m
0 是t =0时刻的位相—初位相
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
A
t
t t
t0
o
x
x
x A cos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1）
2） 3）
F kx
d2 x 2 x 2 dt
(平衡位置
x0 )
v0 0 arctg ( ) 0, x0
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
(2)按题意 t=0 时
m
O
x X
x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m
x t 图
x A cos t
x
A
t
v t 图
v A sin t
A cos(t
A
2 )
2
v
t
a t 图
a A 2 cos t
大学物理第10章2
[
C
]
1 2
o
1
t( s)
[例1] 已知某质点作简谐运动 , 振动曲线如图. 试根据 图中数据写出振动表达式. x /m 解:设运动表达式 x A cos ( 0 t ) 由图可见: A = 2m , 当t = 0 时有： x 0 2 cos
或 4 4
1 1 2 2 2 2 E EK EP m A sin (t 0 ) kA cos 2 (t 0 ) 2 2
k m
2
1 2 E kA 2
简谐振动的机械能守恒
能量平均值:
1 T1 1 2 2 2 2 EK m A sin (t 0 ) d t kA T 0 2 4
2 2 1 d d l 2 由转动定律： - mgsinθ J 2 ml 2 3 dt2 dt
O
l M mg sin 2
l
mg
1 2 d2 l g 0 θ很小，则： l 2 3 dt 2
d2 3g 即： 2 0 dt 2l
3g 2l
20 10 2kπ， k 0， 1， 2，
同相叠加，合振幅最大。
A A1 A2
x
O
x1 x2
t
A
A A 2 A1 A2 cos( 20 10 )
2 1 2 2
k 0， 1， 2， 2、两振动反相 20 10 (2k 1)π，
利用旋转矢量法得 10 10 3 x A/2 4 利用旋转矢量法得 20 3 4 0 20 10
3 3
四、几种常见的谐振动
1、单摆 (取逆时针为正方向) 回复力矩为： M mgl sin
简谐振动方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单 摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复 摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x A cos(t 0 )
2024大学物理力学第八章机械振动
动contents •简谐振动•阻尼振动与受迫振动•振动的合成与分解•振动在介质中的传播•多自由度系统的振动•非线性振动与混沌目录01简谐振动简谐振动的定义与特点定义简谐振动是最基本、最简单的振动形式，指物体在跟偏离平衡位置的位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
特点简谐振动的物体所受的回复力F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，且方向始终指向平衡位置；振动过程中，系统的机械能守恒。
动力学方程根据牛顿第二定律，简谐振动的动力学方程可以表示为F=-kx，其中F为回复力，k为比例系数，x为物体偏离平衡位置的位移。
运动学方程简谐振动的运动学方程可以表示为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相。
势能与动能在简谐振动过程中，系统的势能Ep和动能Ek都在不断变化，但它们的总和保持不变，即机械能守恒。
能量转换在振动过程中，势能和动能之间不断相互转换。
当物体向平衡位置运动时，势能减小、动能增加；当物体远离平衡位置时，势能增加、动能减小。
同方向同频率简谐振动的合成当两个同方向、同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动仍然是一个简谐振动，其振幅等于两个分振动振幅的矢量和，其初相等于两个分振动初相的差。
同方向不同频率简谐振动的合成当两个同方向、不同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动一般不再是简谐振动，而是比较复杂的周期性振动。
在某些特定条件下（如两个分振动的频率成简单整数比），合振动可能会呈现出一定的规律性。
相互垂直的简谐振动的合成当两个相互垂直的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动轨迹一般是一条复杂的曲线。
在某些特定条件下（如两个分振动的频率相同、相位差为90度），合振动轨迹可能会呈现出一定的规律性，如圆形、椭圆形等。
02阻尼振动与受迫振动阻尼振动的定义与分类定义阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于系统内部摩擦或外部介质阻力的存在，使振动幅度逐渐减小，能量逐渐耗散的振动。
物理-简谐振动
简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角 位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。
1.简谐振动的特征及其表达式
O
X
F
O
X
F
O
X
简谐振动的特征及其表达式
弹簧振子： 连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和 一个不发生形变的物体系统。
简谐振动的特征及其表达式
回复力：作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合 外力, 该力与位移成正比且反向。
A x02 (v0 )2
0
arctg
v0
x0
在到 之间，通常 存在0 两个值，可根据
v0 Asi进n 行0 取舍。
2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
A x02 (v0 )2
由初始条件确定
(2)周期和频率
周期：物体作一次完全运动所经历的时间。
简谐振动的动力学特征:
F kx
据牛顿第二定律，得
a F k x mm
令
k 2
m
a
d2 x dt2
2 x
运动学特征
简谐振动的特征及其表达式
位移 x之解可写为： x Acos(t 0 )
或 x Aei(t 0 )
简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正 比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。
x2 A2 cos(t 20 )
二者的相位差为：
(t 20 ) (t 10 ) 20 10
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(t 20 ) (t 10 ) 20 10
讨论:
(a)当 时2,k称两个振动为同相； (b)当 (2k时,称1)两个振动为反相； (c)当 时 0,称第二个振动超前第一个振动 ； (d)当 时0,称第二个振动落后第一个振动 。
2简谐振动的动力学方程
g l
dengyonghe1@
例4.3 复摆
M = − m g l sinθ ≈ − m g l θ
据 M =Iβ =I − mg lθ = I d 2θ d 2θ dt
2
o
d 2θ dt
2
得
θ
c
整理得
mg
mgl mgl + θ =0 记 =ω2 I I d t2 d 2θ d t2 + ω 2θ = 0
I T= = 2π mgl ω 2π
单摆？
I = ml 2
T = 2π
l g
dengyonghe1@
LC电路：如图 电路： 电路 当开关K接向 时达到稳定 当开关 接向b时达到稳定， 接向 时达到稳定， 在电容器内储存了能量. 在电容器内储存了能量 当开关K接向 时 当开关 接向c时，由于电容 接向 器内储存了能量，会对LC回 器内储存了能量，会对 回 路放电，电流为i，即： 路放电，电流为 ，
2
F = ma = −mω x
2
在位移方向的合外力与它对平衡位置的位移成正比且反向。 在位移方向的合外力与它对平衡位置的位移成正比且反向。
即：
F = − kx
2
d x m 2 = −kx dt
常系数二阶微分方程
dengyonghe1@
2
d x k + x=0 2 dt m
d x k k 2 + x=0 令ω = 2 m dt m 可以确定方程的解： 由初始条件x(t = o), v(t = 0)可以确定方程的解：
2 E0 A= k
振幅取决于振动的总能量
dengyonghe1@
单摆： 质量集中于小球上， 单摆： 质量集中于小球上， 不计悬线质量。 不计悬线质量。 取逆时针为 θ 张角正向， 张角正向， 以悬点为轴，受力如图。 以悬点为轴，受力如图。 只受到切方向的合外力： 只受到切方向的合外力：
简谐振动的动力学方程
1 T
t T
Ek dt
t
1 kA2 4
E P
1 T
t T
E dt P
t
1 kA2 4
(3) 机械能
E
Ek
Ep
1 kA2 2
简谐振动系统 机械能守恒
(3) 机械能
E
Ek
Ep
1 kA2 2
弹簧振子总的机械能和振幅的平方成正比， 这一结论对其它的简谐振动系统也是正确的， 从能量的角度看振幅不仅反映振动的幅度， 还反映振动的强度
k max
2
k min
P max
2
P min
1 KA2 2
o
EE
P
K
x
E
E E
K
P
t
E 1 kA2 sin 2 ( t )
K
2
E 1 kA2 cos2 ( t )
P
2
E
1 kA2 , E
0
k max
2
k min
E
1 kA2 , E
0
P max
2
P min
Ek
O
l
m o
t 时刻细绳与竖直方向
夹角为θ
忽略空气阻力，
小球受力如图.
小球所受合外力矩为
M M M
T
G
选择逆时针方向为正
●
l
T
o mg
M mgl sin
M 0 T
M mgl sin G
M mgl sin
由转动定律 d 2
M J dt 2
简谐振动知识点精解
简谐振动·知识点精解1．简谐振动的特征(1)简谐振动的定义在跟对平衡位置的位移成正比而方向相反的回复力作用下的振动，叫简谐振动。
①做简谐振动的回复力是由物体所受的合外力或某个力的分力提供。
②简谐振动物体回复力的表达式为：F=-kx(2)简谐振动的动力学特征F=-kx式中的k为回复力与位移的比例常数(未必是弹簧的劲度系数)，x是相对平衡位置的位移，负号表示回复力的方向始终与位移方向相反。
(3)简谐振动的运动学特征振动的位移随时间接正弦或余弦规律变化。
2．弹簧振子的振动过程具体情况见下表：3．单摆的周期公式(1)单摆做简谐振动①在物理学里，单摆是实际摆的理想化，是指在一根不能伸长，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置。
②单摆做简谐振动的条件：振动过程中的最大编角不超过5°。
③单摆做简谐振动的回复力是重力mg沿圆弧切线的分力F=mgsinα提供(不要误认为是摆球所受的合外力)。
当α很小时(5°以下)，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看作沿这条直线作用，OP就是摆锤偏离平衡位置的位移。
如图7-3所示。
设摆长是l，因为sin式中负号表示力F跟位移x的方向相反。
由于m、g、l都有一定的数值，mg/l可以用一个常数k来代替，所以上式可以写成F=-kx可见，在摆角很小情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐振动。
(2)单摆的周期公式①在摆角很小情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆锤的质量和振幅无关。
②单摆周期的表达式③上式只适于小摆角(＜5°)的情况。
根据周期公式算出的T值与实际测定值间的误差，随摆角增大而增大。
摆角为7°时，误差为0.1％；15°时，0.5％；23°时，1％。
单摆的最大摆角应小于5°。
④单摆的周期在振幅较小时，与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是伽利略首先发现的。
力学第二版习题答案第九章
第九章基本知识小结⒈物体在线性回复力F = - kx ，或线性回复力矩τ= - c φ作用下的运动就是简谐振动，其动力学方程为 ,02022=+x dt x d ω（x 表示线位移或角位移）；弹簧振子：ω02=k/m ，单摆：ω02=g/l ，扭摆：ω02=C/I.⒉简谐振动的运动学方程为 x = Acos(ω0t+α)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的，ω0=2π/T=2πv ；振幅A 和初相α由初始条件决定。
⒊在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子，22021221A m kA E E p k ω==+。
⒋两个简谐振动的合成⒌阻尼振动的动力学方程为 022022=++x dt dx dtx d ωβ。
其运动学方程分三种情况：⑴在弱阻尼状态（β＜ω0），振动的方向变化有周期性，220'),'cos(βωωαωβ-=+=-t Ae x t ，对数减缩 = βT ’.⑵在过阻尼状态（β＞ω0），无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。
⑶临界阻尼状态（β=ω0），无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置⒍受迫振动动力学方程 t f x dt dx dt x d ωωβcos202022=++； 其稳定解为 )cos(0ϕω+=t A x ，ω是驱动力的频率，A 0和φ也不是由初始条件决定,222220004)(/ωβωω+-=f A 2202ωωβωϕ--=tg 当2202βωω-=时，发生位移共振。
9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。
已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I 。
问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。
解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽略一切阻力，则刚体所受力矩τ= - mghsin φ因为是微小摆动，sin φ≈φ,∴τ= - mgh φ，即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位置附近运动，因而是简谐振动。
简谐运动的动力学方程
简谐运动的动力学方程
由牛顿第二定律
m d 2x kx dt2
或
d2x k x 0
dt2 m
令
2 k
m
得
d2x2 x 0
dt2
—简谐运动动力学方程
微分方程的解为 x Acos(t)
(1)单摆
如图, 细线的上端固定, 另一 端悬挂一可看作质点, 质量为 m 的重物, 细线的质量和伸长可忽 略不计. 这一振动系统叫做单摆. 重物叫做摆球, 细线叫做摆线.
若把摆球从平衡位置略为拉 开后放手, 摆球就在竖直平面内 来回摆动.
解: 规定: 右方顺时针 > 0 左方逆时针 < 0
在忽略空气阻力的情况下, 合外力沿 切线方向的分力(即重力分力) 为
它拉开一个微小角度 θ后释放. 若忽
略阻力和摩擦力, 则物体将绕轴 O作微 小的自由摆动. 这样的装置叫做复摆.
简谐运动的动力学方程
简谐运动的动力学方程
解: 复摆在力矩 M的作用下的作用下的作用下的作用下,,由
定定轴律转动定M律由m定g轴l转J动定d律2由定轴转动定律由定轴转动
dt2
动力学方程为 d2 mgl
Fτ mgsin
切向运动方程为
mgsin maτ ml
d2
dt2
即
d2 g sin 0
dt2 l
为非简谐运动.
简谐运动的动力学方程
Fτ
当θ很小时 < 50 0.0873rad sin
为简谐运动 d22
dt2
0
单摆的角频率和周期分别为
大学物理知识点总结(振动及波动)
②已知初速度的大小、正负以及初位置的正负。 1 [例2]已知某质点初速度 v 0 A且y0 0 。 2 v A sin( t ) v0 A si n 1 A 2 5 5 or y0 0 6 6 6
③已知初位置的大小、正负以及初速度的大小。 [例3]已知某质点振动的初位置 y0 0.3 A且 v0 0.95A 。 v0 由tg 的可能值. y0
由旋转矢量法知：
0
4
A
4
y
[例3] 位于 A,B两点的两个波源,振幅相等,频率都是100赫兹， 相位差为π ,其A,B相距30米，波速为400米/秒，求: A,B 连线 之间因干涉而静止各点的位置。 解：取A点为坐标原点，A、B联线为x轴，取A点的振动方程 :
y A A cos( t )
A 2.振动曲线法
y
2
-A 3、旋转矢量法：
4
M
t ( s)
A
t
t
o
t0 A p x
简谐运动的合成 1.同方向、同频率的简谐运动的合成：
A2
2
1
A
x1 A1 cost 1
x2 A2 cost 2
仍然是同频率的简谐振动
由y0的正负确定 的值.
注意！由已知的初条件确定初相位时，不能仅由一个初始 条件确定初相位。 2、已知某质点的振动曲线求初相位： 若已知某质点的振动曲线，则由曲线可看出，t = 0 时刻质点振动的初位置的大小和正负及初速度的正负。 关键：确定振动初速度的正负。
y
o
1
2
t
[例4] 一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。 求： 1）该质元的振动初相。 2）该质元在态A、B 时的振动相位分别是多少？ 解：1）由图知初始条件为：
大学物理《普通物理学简明教程》振动、波动和光学习题精解
振动、波动和光学习题精解第10章 机械振动10.1 要求1 了解 简谐振动的能量；2 理解 旋转矢量法、同方向和同频率简谐振动的合成的规律；3 掌握 简谐振动的各物理量（ϕω,,A ）及各量间的关系、简谐振动的基本特征、建立简谐振动的微分方程、根据初始条件写出一维简谐振动方程、同方向和同频率简谐振动的合成。
10.2 内容摘要1 简谐振动运动学方程)cos(ϕω+=t A x特征量：振幅A ：决定振动的范围和能量；角频率ω：决定振动重复的快慢，频率ωπνπων21,2===T 周期； 初相ϕ：决定起始的时刻的位置和速度。
2 振动的位相 （ϕω+t ）简谐振动在t 时刻的位相；3 简谐振动动力学方程0222=+x dt x d ω 弹性力：kx F -=，Km T m K πω2,==； 4、简谐振动的能量 2222121)(21kA kx dt dx m E E E k p =+=+= 5、受迫振动：是在驱动力作用下的振动。
稳态的受迫振动的频率等于驱动力的频率。
当驱动力的频率等于系统的频率时，发生共振现象，振幅最大。
6、同方向、同频率简谐振动的合成 )cos(111ϕω+=t A x ， )cos(222ϕω+=t A x)cos(21ϕω+=+=t A x x x其中， A =)cos(212212221ϕϕ-++A A A A ， 22112211cos cos sin sin arctan ϕϕϕϕϕA A A A ++= 相位差12ϕϕϕ-=∆起了相当重要的作用（1） 两个谐振的频率相同时，合运动的振幅决定于它们的相位差：同向时 （ 3,2,1,0,2=±=∆k k πϕ），合振动最大，为两者振幅之和； 反向时 合振动最小[ 3,2,1,0,)12(=+±=∆k k πφ]，为两者振幅之差；（2） 两个谐振的频率不相同时，合运动会产生拍现象，拍的频率为两个谐振的频率之差。
简谐振动的动力学方程为
物理模拟试题一、填空题1. 质点位置随时间变化的数学表达式称为质点的（ 速度 ）。
2. 质点的运动学方程为r 9)t (=i 3t 31+j ，任意时刻的速度v =（t^2 j ）。
3. 牛顿第二定律的原始表达式为（ F=d(mv )/dt ）。
4. 作用在质点上的合力在一段时间内的（ 积分 ）等于质点动量的改变量。
5. 作功多少与路径无关的力通常被称为（ 保守力 ）。
6. 地球绕太阳运动，在近地点时地球公转的速率比远地点大，则地球太阳系统的引力势能是 （ 远 ）地点比（ 近 ）地点大。
（填远或近）7. 在干燥的印刷车间，由于纸张间的（ 静电作用 ），使纸张粘在一起，很难分开，从而影响印刷效率。
8. 喷墨打印机的工作原理是利用带点墨滴在（静电场）受力产生偏转，从而达到控制墨滴位置的目的。
9. 电容器可以储存电荷，也可以储存（ 能量 ）。
10. （安培力）力是洛仑兹力的宏观表现。
11. 磁记录是利用铁磁材料的（铁磁性 ）特性和电磁感应规律记录信息的。
12. 对于均匀线形磁介质，B 与H 的关系为（ B = μH ）。
13. 楞次定律本质上讲是（能量的转化和守恒定律 ）在电磁感应现象中的具体表现。
14. 变化的磁场在其周围空间产生的电场，称为（涡旋电场 ）。
15. 变压器是利用（ 电磁感应 ）原理制成的。
16. 简谐振动的动力学方程为（x=Acos(2*π*t/T+φ)）。
17. 决定简谐振动状态的物理量称为（ 相位 ）。
18. 在SI 中，频率的单位是（赫兹）。
19. 介质中质点的振动方向与波的传播方向相垂直的波称为（横波）。
20. 介质中质点的振动方向与波的传播方向相平行的波称为（纵波）。
21. （ 波长 ）反映了波的空间周期性。
22. 光在被反射过程中，如果反射光在离开反射点时 振动方向恰好与入射光到达入射点时的振动方向相反，这种现象称为（半波损失 ）。
23. 干涉条纹不仅记录了光波的振幅，而且记录了光波的（相位），即干涉条纹记录了光波的全部信息。
动力学中的简谐振动与力的大小关系
动力学中的简谐振动与力的大小关系在物理学中，简谐振动是指一个系统在一个平衡位置附近以固定频率振动的运动方式。
它是一种非常重要的模型，广泛应用于力学、电磁学和量子力学等领域。
本文将探讨简谐振动与力的大小关系。
简谐振动的基本原理简谐振动的基本原理是一个物体在一个平衡位置附近沿着一个直线轴向振动。
当物体偏离平衡位置，根据胡克定律，作用在物体上的恢复力与物体的偏离位置成正比。
这个恢复力的大小可以用以下公式表示：F = -kx其中，F是恢复力的大小，k是弹性系数或刚度常数，x是物体偏离平衡位置的距离。
简谐振动的运动方程根据牛顿第二定律，可以得到简谐振动的运动方程：m(d²x/dt²) = -kx其中，m是物体的质量，x是物体的位移，t是时间。
通过这个运动方程，我们可以推导出简谐振动的解。
简谐振动的频率与周期在进行简谐振动分析时，我们通常关注振动的频率和周期。
根据运动方程的解，我们可以得到简谐振动的周期T和频率f之间的关系：T = 1/f简谐振动与力的大小关系根据简谐振动的运动方程可知，在简谐振动过程中，恢复力和物体的偏离位置成正比。
换句话说，恢复力越大，物体偏离平衡位置的距离也越大。
恢复力对于简谐振动的作用类似于一个弹簧，当我们拉伸或压缩弹簧时，弹簧的恢复力随着拉伸或压缩程度的增加而增加。
同样地，当物体偏离平衡位置的距离增加时，恢复力也会增加。
简谐振动中力的大小与振动的幅度有关。
振动的幅度越大，物体偏离平衡位置的距离也越大，所受的恢复力也越大。
反之，如果振动的幅度较小，则力的大小也相应减小。
此外，简谐振动的频率与力的大小之间并没有直接的关系。
根据简谐振动的运动方程可知，恢复力的大小由弹性系数k决定，而频率由物体的质量m和弹性系数k共同决定。
因此，力的大小并不直接影响简谐振动的频率，而是通过决定物体的振幅来间接影响振动过程。
总结在动力学中的简谐振动与力的大小关系中，恢复力与物体的偏离位置成正比。
振动学基础(复习)
第十五章振动学基础§15-1简谐振动【基本内容】一、简谐振动的动力学描述1、谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。
kxf-=, k为比例系数。
2、简谐振动的微分方程222=+xdtxdωmk=ω3、简谐振动的判据判据一kxf-=动力学判据判据二运动学判据判据三)cos(φω+=tAx运动方程4、简谐振动实例单摆小角度摆动、复摆、扭摆二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式——运动方程谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。
)cos(φω+=tAx)cos()sin(2φωωφωω+-=+-=tAatAv2、简谐振动的三个特征量角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定。
角频率：mk=ω周期：ωπ2=T频率：T1=ν振幅A ——表示振动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅A 和初相ϕ由初始条件决定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-)(0012202x v tg v x A ωϕω 度ω（1（2（3（4123、谐振动的机械能：2222121ωmA kA E E E p K ==+=弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，其周期为谐振周期的一半；当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。
【典型例题】【例15-1】半径为R 的木球静止浮于水面上时，其体积的一半浸于水中，求： （1）木球振动的微分方程；22222)31(dtxd m g R x x R =--ρπ平衡位置时：ρπ33421R m ⋅=，故 0)31(232222=-+Rx x R g dt x d 此即木球的运动微分方程。
当R x <<时，0322→R x02322=+x R gdtx d 木球作简谐振动g R T R g 3222,23πωπω===【例15-2】 弹簧下挂g m 1000=的法码时，弹簧伸长cm 8。
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ε
b c a k _ i + u cε L
_ +
L
duc dq = −C i= dt dt
C
di ε L = −l dt
uc + ε L = o
dengyonghe1@
代入得： 代入得：
d duc uc + LC ( )=0 dt dt
d uc uc + LC 2 = 0 dt d uc 1 + uc = 0 2 dt LC
sin θ ≈ θ
dθ g + θ =0 2 dt l
2
F mg
dengyonghe1@
dθ g + θ =0 2 dt l 2 dθ
2
令
2
g ω = l
2
∴
dt
2
+ω θ = 0
简谐运动
圆频率
ω=
2π
g l
l = 2π 周期 T = ω g
与质量无关
1 1 频率 f = = T 2π
第二节 简谐振动的动力 学方程
dengyonghe1@
作一维简谐运动的物体m，运动的加速度： 作一维简谐运动的物体 ，运动的加速度：
受到的合外力：
2
F = ma = −mω x
2
在位移方向的合外力与它对平衡位置的位移成正比且反向。 在位移方向的合外力与它对平衡位置的位移成正比且反向。
θ
l
T
F = Fτ = − mg sin θ
“ – ”表示力矩与 θ 张角方向相反。 表示力矩与 张角方向相反。
F mg
dengyonghe1@
F = −mg sin θ
dθ F = maτ = ml 2 dt
2
dθ g + sin θ = 0 2 dt l
2
θ
l
T
当 θ < 5° 时
频率： 频率：
2 2
ε
为简谐振动 周期： T = 周期：
b c a k _ i + u cε L
_ +
L
C
ω=
1 LC
2π
ω
= 2π LC
dengyonghe1@
∴ uc = U m cos(ωt + ϕ )
U m， ϕ由初始条件确定
duc i = −C dt
= −U mω sin(ωt + ϕ )
F = −kx
or
a = −k x
'
x = A cos(ωt + ϕ )
代入初始条件： 代入初始条件：
x0 = x(t = 0) = A cos ϕ v0 = v(t = 0) = −ωA sin ϕ
1 2 1 2 E0 = kxo + mv0 2 2 2 v0 v0 2 1 2 1 2 2 ∴ϕ = tan −1 (− ); A2 = x0 + 2 = [ kx0 + mv0 ] ωx0 ω k 2 2
即：
F = − kx
2
d x m 2 = −kx dt
常系数二阶微分方程
dengyonghe1@
2
d x k + x=0 2 dt m
d x k k 2 + x=0 令ω = 2 m dt m 可以确定方程的解： 由初始条件x(t = o), v(t = 0)可以确定方程的解：
2
x = A cos(ωt + ϕ )
简谐运动的定义： 简谐运动的定义：
k ω= m T = 2π
ω
称为系统的 固有频率、 固有频率、周期
质点在受到相对平衡位置的位移成正比且反向的 合外力作用下的运动为简谐运动。 合外力作用下的运动为简谐运动。 动力学方程： 动力学方程：
F = −kx
or
a = −k x
'
dengyonghe1@
2 E0 A= k
振幅取决于振动的总能量
dengyonghe1@
单摆： 质量集中于小球上， 单摆： 质量集中于小球上， 不计悬线质量。 不计悬线质量。 取逆时针为 θ 张角正向， 张角正向， 以悬点为轴，受力如图。 以悬点为轴，受力如图。 只受到切方向的合外力： 只受到切方向的合外力：
π
ε
b c a k _ i + u cε L
_ +
L
C
= I m cos(ωt + ϕ + ) 2
I m = ωU m
电流i为简谐变化 电流 为简谐变化
dengyonghe1@
例题： 例题：P153~154, 例4.1, 例4.2
dengyonghe1@
g l
dengyonghe1@
例4.3 复摆
M = − m g l sinθ ≈ − m g l θ
据 M =Iβ =I − mg lθ = I d 2θ d 2θ dt
2
o
d 2θ dt
2
得
θ
c
整理得
mg
mgl mgl + θ =0 记 =ω2 I I d t2 d 2θ d t2 + ω 2θ = 0
I T= = 2π mgl ω 2π
单摆？
I = ml 2
T = 2π
l g
dengyonghe1@
LC电路：如图 电路： 电路 当开关K接向 时达到稳定 当开关 接向b时达到稳定， 接向 时达到稳定， 在电容器内储存了能量. 在电容器内储存了能量 当开关K接向 时 当开关 接向c时，由于电容 接向 器内储存了能量，会对LC回 器内储存了能量，会对 回 路放电，电流为i，即： 路放电，电流为 ，