大学高等数学知识点

(3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)
3. 不等式证明( f (x) 0 )
(1)区别: *单变量与双变量?
* x [a,b] 与 x [a, ), x (, ) ?
(2)类型: * f ' 0, f (a) 0 ;
* f ' 0, f (b) 0
* f " 0, f (a), f (b) 0 ; * f "(x) 0, f '(x0) 0, f (x0) 0
xn ex
0,
lim lnn x 0 , x x
lim x lnn x 0 ,
x0
ex
0 ,
x x
四. 必备公式:
1. 等价无穷小: 当 u(x) 0 时,
sin u(x) u(x) ; eu(x) 1 u(x) ;
tan u(x) u(x) ; ln(1 u(x)) u(x) ;
(3)单边挤: an1 f (an )
* a2 a1 ? * an M ? * f '(x) 0 ?
2. 导数定义(洛必达?):
lim
x0
f x
f
'( x0)
3. 积分和:
lim 1 [ f ( 1) f ( 2) f ( n)]
1
f (x)dx ,
n n n
n
n
0
4. 中值定理: lim [ f (x a) f (x)] a lim f '()
(1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.
4.
参式导(数一,二):
x x(t)
y
y (t )
,
求:
dy dx
,
d2y dx 2
5. 高阶导 f (n) (x) 公式:
(eax )(n) aneax ;
(sin ax)(n) an sin(ax n) ; 2
1. 结论: F (b) F (a) F '() f () 0
2. 辅助函数构造实例:
(1) f ( ) F (x)
x
f (t)dt
a
(2) f '( )g( ) f ( )g '( ) 0 F (x) f (x)g(x)
(3) f '( )g( ) f ( )g '( ) 0 F (x) f (x) g(x)
1. 判别(驻点 f '(x0 ) 0 ):
(1) f '(x) 0 f (x) ; f '(x) 0 f (x) ;
(2)分段函数的单调性
(3) f '(x) 0 零点唯一; f "(x) 0 驻点唯一(必为极值,最值).
2. 极值点:
(1)表格(
f
'(x) 变号); (由 lim x x0
f (n) (0) n!
四. 各类应用:
1. 斜率与切线(法线); (区别: y f (x) 上点 M 0 和过点 M 0 的切线) 2. 物理: (相对)变化率 速度;
3. 曲率(数一二):
f "(x)
(曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)
( 1 f '2(x))3
4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导)
h0
h
(注:
f
(
x)
F (x)
a
,
x x0 , x x0
求: f '(x0 ),
f '(x) 及 f '(x) 的连续性)
2. 初等导(公式加法则):
(1) u f [g (x)] , 求: u '(x0 ) (图形题);
(2) F (x)
x
f (t)dt , 求: F '(x)
x
x
x
5. 级数和(数一三):
(1)
n1
an
收敛
lim
n
an
0
,
(如
lim
n
2n n! nn )
(2) lnim(a1 a2
an)
an
n1
,
(3){an} 与 (an an1) 同敛散 n1
七. 常见应用:
1. 无穷小比较(等价,阶): * f (x) kxn, (x 0) ?
(1) f (0) f '(0) f (n1)(0) 0, f (n)(0) a f (x) a xn (xn) a xn
二. 求导准备:
1. 基本初等函数求导公式; (注: ( f (x) ) ' )
2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数 dx 1 dy y '
三. 各类求导(方法步骤):
1. 定义导:
(1) f '(a) 与 f '(x) xa ;
(2)分段函数左右导;
(3) lim f (x h) f (x h)
(2)奇偶性与周期性(应用).
3. 反函数与直接函数: y f (x) x f 1( y) y f 1(x)
二. 极限性质:
1. 类型:
*
lim
n
an
;
* lim f (x) (含 x ); x
* lim x x0
f (x) (含 x
x0 )
2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):
3. 未定型:
f
'(x) x
0, lim x x0
f
'(x) x
0, lim x x0
f ''(x) x2
0
x0
的特点)
(2)二阶导( f '(x0 ) 0 ) 注(1) f 与 f ', f " 的匹配( f ' 图形中包含的信息);
5
(2)实例: 由 f '(x) (x) f (x) g(x) 确定点“ x x0 ”的特点.
0,
,
1 ,
,
0 ,
0 0,
0
0
4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性
三. 常用结论:
1
nn 1,
1
a n (a 0) 1 ,
1
(an bn cn ) n max(a, b, c) ,
an a 0 0
n!
1
1 (x 0) , x
lim xx 1 ,
x0
lim
x
5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)
6. 洛必达法则
(1)先”处理”,后法则( 0 最后方法); (注意对比: lim x ln x 与 lim x ln x )
0
x1 1 x x0 1 x
2
(2)幂指型处理:
u(x)v(x) ev(x)lnu(x) (如:
1
1
1 1 1
2. 无穷小与有界量乘积 ( M ) (注: sin 1 1, x ) x
3. 1 处理(其它如: 00 , 0 )
4. 左右极限(包括 x ):
(1) 1 (x 0) ;
1
(2) ex (x ) ; e x (x 0) ;
(3)分段函数: x , [x] , max f (x)
x
x0
x
x0 x
(2)左右导:
f
'
(
x0
),
f
'
(
x0
)
;
(3)可导与连续; (在 x 0 处, x 连续不可导; x x 可导)
2. 微分与导数: f f (x x) f (x) f '(x)x o(x) df f '(x)dx
(1)可微 可导;
(2)比较 f , df 与 "0" 的大小比较(图示);
八. 拉格朗日中值定理
1. 结论: f (b) f (a) f '()(b a) ; ((a) (b) , '( ) 0 )
6
2. 估计: f f '( )x
九. 泰勒公式(连接 f , f ', f " 之间的桥梁)
1. 结论:
(4) f '( ) ( ) f ( ) 0 F (x) e(x)dx f (x) ; 3. f (n) ( ) 0 f (x) 有 n 1个零点 f (n1) (x) 有 2 个零点 4. 特例: 证明 f (n) ( ) a 的常规方法:令 F (x) f (x) Pn(x) 有 n 1个零点( Pn (x) 待定) 5. 注: 含 1, 2 时,分家!(柯西定理) 6. 附(达布定理): f (x) 在[a, b] 可导, c [ f '(a), f '(b)] , [a,b] ,使: f '( ) c
b
b
(注: ( f (x, t)dt) ', ( f (x, t)dt) ', ( f (t)dt) ' )
a
a
a
a
(3)
y
f1
(
x)
,
f2(x)
x x
x0 x0
,求
f
'
(
x0
),
f
'
(
x0
)
及
f
'(x0 )
(待定系数)
4
3. 隐式( f (x, y) 0 )导:
dy dx
,
d2y dx 2
八. [a, b] 上连续函数性质
3
1. 连通性: f ([a,b]) [m, M ] (注: 0 1, “平均”值: f (a) (1 ) f (b) f (x0) )
2. 介值定理: (附: 达布定理)
(1)零点存在定理: f (a) f (b) 0 f (x0 ) 0 (根的个数);
(uv)(n) u(n)v C1nu(n 1)v ' Cn2u(n 2)v "
( a
1 )(n) bx
(a
bnn! bx)n1
;
(cos ax)(n) an cos(ax n) 2
注:
f (n) (0) 与泰勒展式:
f (x) a0 a1x a2x 2 anx n an
(5)隐式(方程): F (x, y) 0
ห้องสมุดไป่ตู้ x x(t)
(6)参式(数一,二):
y
y (t )
(7)变限积分函数:
F(x)
x
f (x,t)dt
a
(8)级数和函数(数一,三): S (x) anxn, x n0
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); ( f (x) 单调 x0 , (x x0 )( f (x) f (x0 )) 定号)
大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
极限与连续
一. 数列函数: 1. 类型:
(1)数列: * an f (n) ; * an1 f (an )
(2)初等函数:
(3)分段函数:
*
F (x)
f1(x) , f2 (x)
x x
x0 x0
;
*
F (x)
f
(x) ,
a
x x
x0 x0
;*
(4)复合(含 f )函数: y f (u), u (x)
(2) f (x) 0 ( x f (x)dx) ' 0 . a
第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)
一. 基本概念:
1. 差商与导数:
f
'(x)
lim
x0
f
(x x) x
f
(x)
;
f
'(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0) x x0
(1) f '(0) lim f (x) f (0) (注: lim f (x) A( f 连续) f (0) 0, f '(0) A )
(4) cos x 1 1 x2 1 x4 o(x5) ; 2! 4!
(5) (1 x) 1 x ( 1) x 2 o(x 2) . 2!
五. 常规方法:
前提: (1)准确判断 0 , ,1 , M (其它如: , 0 , 00, 0 ); 0
1. 抓大弃小 ( ) ,
(2)变量代换(如: 1 t ) x
1 cos u(x) 1 u 2(x) ; 2
(1 u(x)) 1 u(x) ;
arcsin u(x) u(x) ;
arctan u(x) u(x)
2. 泰勒公式:
(1) ex 1 x 1 x 2 o(x 2) ; 2!
(2) ln(1 x) x 1 x2 o(x2) ; 2
(3) sin x x 1 x3 o(x4) ; 3!
(3)注意: 单调性 端点值 极值 凹凸性. (如: f (x) M f max (x) M ) 4. 函数的零点个数: 单调 介值
六. 凹凸与拐点(必求导!):
1. y " 表格; ( f "(x0 ) 0 )
2. 应用: (1)泰勒估计; (2) f ' 单调; (3)凹凸.
七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)
e x1 e x e x (e x1 x 1) )
(3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小
8. 极限函数: f (x) lim F (x, n) ( 分段函数) n
六. 非常手段 1. 收敛准则:
(1) an
f
(n)
lim
x
f
(x)
(2)双边夹: * bn an cn ? , * bn , cn a ?
n!
n!
(2) x f (t)dt x kt ndt
0
0
2. 渐近线(含斜):
(1) a lim f (x) ,b lim[ f (x) ax] f (x) ax b
x x
x
(2) f (x) ax b ,( 1 0 ) x
3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, f '(x) 连续性)