视频1--6 函数的四则运算与复合运算
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4 x2 , 例：已知 f ( x ) 0,
2 4 g ( x), 解： f g ( x ) 0,
0, x ≤ 2, g ( x) x 2, 1, 4, g ( x) ≤ 2, g ( x) 2 3,
f ห้องสมุดไป่ตู้ ( x) ( x) ( g ( x) 0) ， x D ． g g ( x)
Note：定义域，例如 f ( x) x x ， g ( x) x x ，则 f ( x) g ( x) 2 x ( x ≥ 0) ．
二、函数的复合运算（复合函数） 定义： 设 f 和 g 是分别定义在 D f 和 Dg 上的两个函数． 若 Zg Df ， 则对任意的 x Dg ， 存在唯一的 g ( x ) Z g D f ，进而存在唯一的 f ( g ( x )) Z f ．这个从 Dg 到 Z f 的对应关系， 称为函数 f 与 g 的复合，记作 f g ，即 f g ( x) f ( g ( x)) ． Note：两个函数能复合的条件是 Z g D f ．例如： y u 与 u 1 x 2 可以得到复合函 数 y 1 x 2 (| x |≤ 1) ； y arcsin u 与 u 2 x 1 则不能做复合运算．
f ( g h) ( f g )( f h) ×； ( g h) f ( g f )(h f ) √
结合律： f g h f ( g h) ( f g ) h √
1/1
视频 1—6
函数的四则运算与复合运算 §1.3 函数的运算
一、函数的四则运算 定义：设函数 f ( x) 和 g ( x ) 的定义域分别为 D1 和 D2 ，且 D D1 D2 非空．定义 （1） 加法 ( f g )( x ) f ( x) g ( x) ， x D ； （2） 数乘 (kf )( x) kf ( x) ， k R ， x D1 ； （3） 乘法 ( fg )( x) f ( x ) g ( x) ， x D ； （4） 除法
x 1, 求 f g ( x) 的表达式． x ≥ 1, x 1, x ≥ 1.
Problem：函数复合的运算律 交换律： f g g f × 分配律： f ( g h) f g f h ×； ( g h) f g f h f √
2 4 g ( x), 解： f g ( x ) 0,
0, x ≤ 2, g ( x) x 2, 1, 4, g ( x) ≤ 2, g ( x) 2 3,
f ห้องสมุดไป่ตู้ ( x) ( x) ( g ( x) 0) ， x D ． g g ( x)
Note：定义域，例如 f ( x) x x ， g ( x) x x ，则 f ( x) g ( x) 2 x ( x ≥ 0) ．
二、函数的复合运算（复合函数） 定义： 设 f 和 g 是分别定义在 D f 和 Dg 上的两个函数． 若 Zg Df ， 则对任意的 x Dg ， 存在唯一的 g ( x ) Z g D f ，进而存在唯一的 f ( g ( x )) Z f ．这个从 Dg 到 Z f 的对应关系， 称为函数 f 与 g 的复合，记作 f g ，即 f g ( x) f ( g ( x)) ． Note：两个函数能复合的条件是 Z g D f ．例如： y u 与 u 1 x 2 可以得到复合函 数 y 1 x 2 (| x |≤ 1) ； y arcsin u 与 u 2 x 1 则不能做复合运算．
f ( g h) ( f g )( f h) ×； ( g h) f ( g f )(h f ) √
结合律： f g h f ( g h) ( f g ) h √
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视频 1—6
函数的四则运算与复合运算 §1.3 函数的运算
一、函数的四则运算 定义：设函数 f ( x) 和 g ( x ) 的定义域分别为 D1 和 D2 ，且 D D1 D2 非空．定义 （1） 加法 ( f g )( x ) f ( x) g ( x) ， x D ； （2） 数乘 (kf )( x) kf ( x) ， k R ， x D1 ； （3） 乘法 ( fg )( x) f ( x ) g ( x) ， x D ； （4） 除法
x 1, 求 f g ( x) 的表达式． x ≥ 1, x 1, x ≥ 1.
Problem：函数复合的运算律 交换律： f g g f × 分配律： f ( g h) f g f h ×； ( g h) f g f h f √