视频1--6 函数的四则运算与复合运算
最新人教版高二数学选择性必修第二册第五章 5.2.2导数的四则运算法则5.2.3简单复合函数的导数
所以f′(2)＝a＋b4 ＝47 .②
4a－b＝1， 由①②得
4a＋b＝7，
a＝1， 解得
b＝3.
故f(x)＝x－x3
.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋
3 x2
知，曲线在点P(x0，y0)处的切线
方程为y－y0＝1＋x320
(x－x0)，
即y－x0－x30
＝1＋x320
【拓展延伸】导数运算法则的推广 (1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导数仍然成立．两个函数和 (差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′ ＝f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x). (2)积的导数公式的拓展，若 y＝f1(x)f2(x)…fn(x)，则有 y′＝f1′(x)f2(x)…fn(x)＋ f1(x)f2′(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x).
y′x＝y′u·u′x＝eu·(－ax2＋bx)′ ＝eu·(－2ax＋b)＝(－2ax＋b)·e－ax2＋bx .
(2)①f(x)＋f′(x)＝cos ( 3 x＋φ)－sin ( 3 x＋φ)( 3 x＋φ)′
＝cos (
3 x＋φ)－
3 sin (
3
x＋φ)＝2sin
3x＋φ＋56π .
因为 0＜φ＜π，f(x)＋f′(x)是奇函数，所以 φ＝π6 .
′＝
（1－x）2
cos x－sin x＋x sin x
＝
（1－x）2
.
【补偿训练】
x2＋a2 当函数y＝ x (a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于( )
A．a
《高等数学教学课件》d1-9连续函数的运算
除法运算
总结词
理解连续函数除法运算的性质和规则
VS
详细描述
连续函数除法运算的基本性质包括倒数性 质和除法的可交换性。倒数性质指的是对 于任意两个连续函数f和g，且g不等于0， 有f/g=f*g'/g*g'。除法的可交换性指的是 连续函数的除法满足可交换的规则，即 f/g=g/f。在进行连续函数的除法运算时， 需要注意这些性质和规则，以便正确地进 行计算。
总结词
掌握复合函数的连续性质对于理解函数的极限、可导 性和积分等概念至关重要。
详细描述
连续性是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一 点附近的变化情况。对于复合函数，其连续性取决于 内函数和外函数的连续性以及它们的组合方式。具体 来说，如果内函数和外函数都在某一点连续，并且内 函数在对应的外函数值处也连续，则复合函数在该点 也是连续的。此外，复合函数的连续性还与其导数、 极限和积分等性质密切相关，是高等数学中重要的基 础知识。
对数函数
对数函数$f(x)=log_a x$在 $x>0$的范围内是连续的，但 在$x=0$处不连续。
三角函数、反三角函数的连续性
要点一
三角函数
要点二Βιβλιοθήκη 反三角函数基本的三角函数（如正弦、余弦、正切）在其定义域内都 是连续的。
反三角函数（如反正弦、反余弦、反正切）在其定义域内 也是连续的。
绝对值函数的连续性
闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数具有最大值、最小值，且一定 存在最大值和最小值。
连续函数的运算性质
线性运算性质
若函数f(x)在区间I上连续，常数a、b存在，则af(x)+bf(x)也在区 间I上连续。
极限的运算法则解读
x0
x0
1.
2
注 只要极限运算与四则运算交换顺序后的
算式有意义(包括出现)，就可交换顺序。
注 不能直接用四则运算法则时，可考虑将函数 适当变形，再考虑能否用该法则。
常用的变形方法有：通分，约去非零因子， 用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有 理化，等等。
例3
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
( 0 ) （消零因子法） 0
(先约去x 1后再求极限)
( x 1)( x 1) lim
x1 ( x 3)( x 1)
x1 lim
x1 x 3
1. 2
3n2 n 1
例4
lim
n
2n2
4n
1
( )（无穷小因子分出法)
3 1/ n 1/ n2 lim
3.
n 2 4 / n 1/ n2 2
1) n
1. 2
例9 当a0 0, b0 0, m、n N 时,
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 b1
x m1 x n1
am bn
xm a a x1 a xm
lim(
x x
n
0
b
1
m
b x1 b xn
)
0
1
n
a0 b0
lim
x
m
n
x
a0 / b0 , 0,
,
n m; n m;
e x x e x
7、
4x4 lim
2x2
x
__________.
x0 3x 2 2x
8、
(2x 3)20 (3x
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
5.2.2导数的四则运算法则5.2.3简单复合函数的导数课件高二上学期数学人教A版选择性
变式训练2 1. 求下列函数的导数：
(1) y 2 ; 3x 1
(2) y (1 2x)3;
(3) y log2(2x 1);
x (4) y cos ;
3
(5)
y
sin
3
2
3x
;
(6) y 22x1.
(1) 函数y 2 可以看作函数y 2 和u 3x 1的复合函数,
3x 1
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f（x） (3) g（x） ′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0)．
[g（x）]2
特别地，cf (x)
cf ' (x)
2、复合函数的求导公式是： f
(u(x))
f
u
u
x
课后作业
习题5.2（第81页）
1. 求下列函数的导数：
(2) y (3cos x) (2x ) 3(cos x) (2x ) 3sin x 2x ln 2;
(3)
y
(e x
ln
x)
(ex ) ln
x
ex (ln
x)
ex
ln
x
ex
1 x
ex
ln
x
1 x
;
(4) y [( x2 2 x) x ] ( x2 2 x) x ( x2 2 x)( x )
f (x) g(x)
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
由法则2: C f (x) C ' f (x) C f (x) C f (x)
高中高一数学上册《函数的运算》教案、教学设计
2.对于函数的零点、极值和最值问题，学生可能在实际问题中遇到困难，需要引导他们运用已学知识进行建模和求解。
3.学生在反函数的求法上可能存在误区，需要教师在教学中关注学生的思维过程，及时纠正错误。
-创设有趣的数学问题，激发学生的学习兴趣，提高其数学思维能力。
6.课后拓展，提升能力：
-布置开放性问题，引导学生进行课后探究，培养其自主学习和解决问题的能力。
-推荐数学竞赛和拓展阅读材料，满足学有余力学生的需求，提高其数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：以日常生活中常见的函数关系为例，如手机话费计费、购物打折等，引导学生思考这些实际情境中的数量关系如何用函数表示。
-结合图像，让学生直观感受函数运算的结果。
2.函数的零点、极值和最值：
-通过图像，让学生理解零点、极值和最值的定义及意义。
-讲解求解零点、极值和最值的方法，如求导、方程求解等。
-结合实际例题，让学生学会将问题转化为函数模型，并求解。
3.反函数：
-介绍反函数的概念，让学生理解反函数与原函数的关系。
-讲解反函数的求法，如互换x、y求解等。
3.鼓励学生提问，解答学生的疑问，巩固所学知识。
4.布置课后作业，要求学生进行复习和巩固，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本章节《函数的运算》所学知识，培养学生的独立思考和问题解决能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本习题1-6题，要求学生在解答过程中注意运算顺序和法则，培养严谨的计算习惯。
2.练习题包括：
-函数的四则运算题。
复合函数的极限运算法则
由极限运算法则可知：
lim g( x) lim{ f ( x) g( x) f ( x)}
必存在，这与已知矛盾，故假设错误．
1. 在自变量的某个极限过程中，若 lim f ( x)存在， lim g( x)不存在，那么
g(x) B B 及 1 M ,
M
g( x)
所以 1 1
g(x) B
1 M B
BM
因此
从而(3)式成立.
注 对于数列极限 及 x→∞时函数极限的四则
运算法则 , 有相应的结论 . 例如, 对于数列极限,
有以下结论:
若 lim xn A, lim yn B , 则有
解
2x3 3x2 5
lim
x
7
x
3
4
x
2
1
lim (2
x
lim (7
x
3 x 4 x
5
x3 1
x3
) )
2. 7
2
lim x 7
3
x 4
x
5
x3 1
x3
“ 抓大头”
结论：
lim
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
(2) 复合函数极限求法：设中间变量，变量代换.
思考题
1. 在自变量的某个极限过程中，若 lim f ( x存) 在， lim g( x)不存在，那么
(1) lim[ f ( x) g( x)] 是否一定不存在？为什么? (2) lim f ( x) g( x) 是否一定不存在？ (3) 又加条件： lim f ( x) A 0,
函数加减乘除运算公式
函数加减乘除运算公式一、函数加法运算公式在数学中，函数加法是指两个或多个函数进行相加。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则函数加法的运算公式为：（f+g）(x)=f(x)+g(x)例如，如果f(x)=2x+3，g(x)=3x-4，那么函数加法的运算结果为：（f+g）(x)=(2x+3)+(3x-4)=2x+3x+3-4=5x-1二、函数减法运算公式函数减法是指两个函数相减的运算方式。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则函数减法的运算公式为：（f-g）(x)=f(x)-g(x)例如，如果f(x)=2x+3，g(x)=3x-4，那么函数减法的运算结果为：（f-g）(x)=(2x+3)-(3x-4)=2x+3-3x+4=-x+7三、函数乘法运算公式函数乘法是指两个函数相乘的运算方式。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则函数乘法的运算公式为：（f*g）(x)=f(x)*g(x)例如，如果f(x)=2x+3，g(x)=3x-4，那么函数乘法的运算结果为：（f*g）(x)=(2x+3)*(3x-4)=2x*3x+2x*(-4)+3*3x+3*(-4)=6x^2-8x+9x-12=6x^2+x-12四、函数除法运算公式函数除法是指两个函数相除的运算方式。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则函数除法的运算公式为：（f/g）(x)=f(x)/g(x)然而，函数除法在数学中并不常见。
因为两个函数相除的结果并不一定是一个函数，有时甚至无法得到解析表达式。
因此，函数除法在实际应用中较少使用。
综上所述，函数加减乘除运算是数学中常见的运算方式，用于计算数值的加、减、乘、除等基本运算。
这些运算公式帮助我们分析和计算函数之间的关系，从而更好地理解和应用数学知识。
新教材高中数学第五章导数的四则运算法则简单复合函数的导数ppt课件新人教A版选择性必修第二册
4.(2020·广州高二检测)设函数f(x)的导数为f′(x),且满足f(x)=f′(1)x32x,则f(1)=________. 【解析】根据题意,f(x)=f′(1)x3-2x,则f′(x)=3f′(1)x2-2xln 2,当x=1时, 有f′(1)=3f′(1)-2ln 2,解得f′(1)=ln 2,则f(x)=ln 2×x3-2x,故f(1)= ln 2-2. 答案:ln 2-2
c 9,
【内化·悟】 运用导数解有关切线问题应特别注意什么? 提示:(Байду номын сангаас)导数的双重性;(2)切点坐标的双重性.
【类题·通】 关于求导法则的综合应用
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的 条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键, 务必做到准确. 易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.
x
2.函数f(x)=ex+xsin x-7x在x=0处的导数等于 ( )
A.-6
B.6
C.-4
D.-5
【解析】选A.f′(x)=(ex)′+(xsin x)′-(7x)′=ex+sin x+xcos x-7,
所以f′(0)=e0-7=-6.
3.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知 曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________. 【解析】设P(x0,y0)(x0<0),由题意知y′｜x=x0 3 x-012 0=2, 即 x0=2 4,得x0=-2,所以y0=15,故点P的坐标为(-2,15). 答案:(-2,15)
导数的运算(四则运算,复合运算)
高等数学应用教程 2.2.1 函数四则运算的求导法则
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
高等数学应用教程 2.2.1 函数四则运算的求导法则
例4
设
f (x) cos x 1 sin x
2
高等数学应用教程 2.2.1 函数四则运算的求导法则
注意：我们目前已知的求导公式是： 1、 (c)' 0
2、 sin' x cos x cos' x sin x
3、 (x )' x1
4、 (ax )' ax ln a
5、
(log a
x)'
1 x ln a
特别： (ex )' ex 特别： (ln x)' 1
求
f ' (2 )
解：
f
'
(x)
(cos
x)'
(1
sin x) (1 sin
cos x)2
x(1
sin
x)'
sin
x(1
sin x) (1 sin
cos x)2
高等数学课件1-6极限的运算法则
1 2
1 4
2
...
2
1 2
n
)
2、 lim
( x h) x h
h 0
3、 lim (
x1
1 1 x
3 1 x
3
)
$1-6极限运算法则
21
4、 lim
1 x 3 2
3
x 8
x
x x x)
5、 lim (
x
x
x x
6、 lim
2 4
x1
lim
x 2x 3
2
x1
4x 1
0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系,得
lim 4x 1 x 2x 3
2 x1
.
$1-6极限运算法则
7
例3 求 lim
x 1
2
x1
x 2x 3
2
.
（与P60例2同类）
.
解 x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零
例5 求 lim 解x
2x 3x 5
3 2
x
7x 4x 1
3 2
.
（与P61例6同类）
.
时 , 分子 , 分母的极限都是无穷大
3
(
型)
先用 x 去除分子分母
, 分出无穷小
, 再求极限 .
lim
2x 3x 5
3 2
2 lim
x
3 x 4 x
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
类似有数列极限的四则运算法则（P59Th 6)
新运算法则1-5
都是 多项式函数. 多项式函数.
x → x0
lim f ( x ) =
x → x0 x → x0
P ( x0 ) = = f ( x 0 ). lim Q( ( x )
是初等函数， x 定理2 定理 设f ( x)是初等函数，且 0是f ( x)定义区间内
的点, 的点, 则lim f ( x) = f ( x0 ).
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
例7 求
∞ 解 x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
先用 x 2 去除分子分母 , 再求极限 .
3 9 + 2 =0. = lim x x x →∞ 2 1 5+ − 2 x x 5x2 + 2x − 1 例8 求 lim x →∞ 3x + 9
4x − 1 . 例4 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
x→x0
解 ∵ lim( x 2 + 2 x − 3) = 0, 商的法则不能用 x →1
x2 + 2x − 3 0 又 ∵ lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0, ∴ lim = = 0. x →1 x →1 4x − 1 3
x→2 x→2 x→2
(limx )3 − lim 1
有理整函数（多项式函数） 有理整函数（多项式函数）求极限 例3
其中 n是非负整数，a0 ≠ 0 ,
试证 证:
lim f (x) =
x→x0
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
有理分式函数求极限 其中
P( x ) , 且Q( x0 ) ≠ 0 , 则有 设 f ( x) = Q( x )
复合函数1-6
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
将下列函数分解为基本初等函数的复合：
y eu ,u x2.
y u , u cot v , v x . 2
3.y lncos(e2x ) y lnu,u cosv,v ew, w 2x.
第五节 复合函数
第一章
一、函数的四则运算 二、复合函数 三、初等函数
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一、函数的四则运算
基本初等函数可以经过＋－×÷四则运算 得到新的函数.
例如, 设f (x) x, g(x) ln x,则
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1) 线性函数
y ax b
2) 多项式函数
否则称为非初等函数 .例如, Nhomakorabeay
x, x
,
x 0 可表为 y x0
x2 , 故为初等函数.
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非初等函数举例: 符号函数
取整函数 当 y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
2 1o 1 2 3 4 x
y
1
o
x
1
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内容小结
1. 基本初等函数 ２. 复合函数 3. 初等函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
两个以上函数也可构成复合函数. 例如, y tan 1 可视为由
x2 1
y tan u, u 1 , v w, w x2 1
v
复合而成的复合函数.
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例. 求函数y lg( x )的定义域.
解: 函数由y u,u lg v,v x2 3复合而成.
6高数1-5 1-4极限的四则运算法则
1 1 1 1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1
1,
1
1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
方法点击:关键找到辅助的两个数列.使得夹逼准则条件成立.
高等数学
Higher mathematics
1
1
lim (
x2
2x x2
4
x
1
) 2
?
lim
x2
x2 x2 4
lim 1 1 x2 x 2 4
高等数学
Higher mathematics
7.
型 ——无穷小因子分出法
例9 . 求
=0
解:
时,分母
分子
则 原式
33x lxilxmlxiimm5 5
高等数学
Higher mathematics
6. ( 型 ) 通分——约零因子
3
1
例8求
lim(
x1
x
3
1
x
) 1
解:
原式
lim
x1
3
(x2 (x3
x 1)
1)
(x 2)(x 1)
lim x1
(x3 1)
(x 2)
lim
x1
x2
x
——不能求和就用夹逼准则
例10
求
lim(1
n
1 2
)(1
三角函数的运算与方程
三角函数的运算与方程三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将重点讨论三角函数的运算与方程，分别介绍三角函数的四则运算、复合函数以及解三角方程的方法。
一、三角函数的四则运算1. 正弦函数的四则运算正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，其运算规则如下：（1）正弦函数的加法公式对于任意实数x和y，有sin(x + y) = sinx*cosy + cosx*siny。
（2）正弦函数的减法公式对于任意实数x和y，有sin(x - y) = sinx*cosy - cosx*siny。
（3）正弦函数的乘法公式对于任意实数x和y，有sin(x*y) = sinx*cosy + cosx*siny。
（4）正弦函数的除法公式对于任意实数x和y（y≠0），有sin(x/y) = (sinx*cosy + cosx*siny) / (cosx*cosy - sinx*siny)。
2. 余弦函数的四则运算余弦函数是三角函数中另一个基本函数，其运算规则如下：（1）余弦函数的加法公式对于任意实数x和y，有cos(x + y) = cosx*cosy - sinx*siny。
（2）余弦函数的减法公式对于任意实数x和y，有cos(x - y) = cosx*cosy + sinx*siny。
（3）余弦函数的乘法公式对于任意实数x和y，有cos(x*y) = cosx*cosy - sinx*siny。
（4）余弦函数的除法公式对于任意实数x和y（y≠0），有cos(x/y) = (cosx*cosy - sinx*siny) / (cosx*siny + sinx*cosy)。
3. 正切函数的四则运算正切函数是三角函数中的第三个基本函数，其运算规则如下：（1）正切函数的加法公式对于任意实数x和y（tanx*tany≠-1），有tan(x + y) = (tanx + tany) / (1 - tanx*tany)。
高等数学的教学课件1-5极限的运算法则
x2 lim
x1 x 2 x 1
(消去零因子法)
1
例10 求 lim x[ x2 2x 3 ( x 1)] ( 0 型 ) x
解 x 时, 两个因子的极限分别是 0、.
通过分子有理化，先将极限式变成分式， 然后再求极限。
原式 lim x[( x2 2x 3)2 ( x 1)2 ] x [ x2 2x 3 ( x 1)]
lim
lim
x 1 x1
x1
( x 1)
lim( xn1 xn2 1) x1
(消去零因子法)
n (典型极限，当n是任何实数时均成立)
例5
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
( 型 未定式)
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.
先用x 3去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
则有： lim x x0
f (x)
f ( x0 )
2.极限求法;
b.消去零因子法; c.无穷小因子分出法; d.利用无穷小运算性质; e.利用左右极限求分段函数极限.
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
二、求极限方法举例
一个结论：
如果f (x)是基本初等函数, x0为定义区间内点，
则：lim x x0
f (x)
f ( x0 )
f (x) x x0
综合上述定理，就可以求一些简单的极限.
例1
求
lim
x2
x
2
导数四则运算反函数与复合函数的求导规则
其中f ( x) x3 + x + 1, a 1
解
g(a) g( y)
ya1
f
1 ( x)
x0
1 3x2 +1
x0
1
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三、复合函数的求导法则
先讨论y sin 2x的求导问题。
y sin 2x 2sin x cos x
dy (sin 2 x) 2(sin x cos x) dx 2[(sin x)cos x + sin x(cos x)]
4
( x)ln x sin x + x(ln x)sin x + x ln x(sin x)
ln x sin x + sin x + x ln x cos x
+ cos
4
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求导法则
(uv)uv (uv)uv+uv
(u) uvuv
v
v2
例4 求 y x 1的导数 . x+1
解
(cscx)( 1 sin
) x
cosx sin2 x
cscxc
ot
x
用类似方法还可求得
(tan x)sec2x (sec x)sec x tan x
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练习
1.
求
y
tan x x3
的导数
.
解
y
(
tan x3
x
)
(tan
x) x3 tan x6
x( x 3 )
进行初等函数变换
进行初等函数变换初等函数变换是数学中的一种重要概念，它指的是对给定函数进行一系列操作，从而得到新的函数。
通过初等函数变换，我们可以更好地理解和分析函数的性质和行为。
本文将介绍初等函数变换的基本概念和常见方法，并通过实例进行说明，帮助读者更好地掌握这一内容。
一、初等函数变换的定义初等函数变换是指对给定函数进行一系列基本操作，得到新的函数。
这些基本操作包括四则运算、复合运算、函数的逆运算以及特殊函数的变换等。
通过这些操作，我们可以改变函数的形式和性质，从而更好地理解和分析函数。
二、初等函数变换的基本方法1. 四则运算变换四则运算是最基本的数学运算，将其应用到函数中可以改变函数的形式和性质。
例如，对于函数f(x)和g(x)，我们可以进行加法、减法、乘法和除法等四则运算，得到新的函数h(x)=f(x)+g(x)、h(x)=f(x)-g(x)、h(x)=f(x)g(x)和h(x)=f(x)/g(x)等。
2. 复合运算变换复合运算是将一个函数作为另一个函数的输入，得到新的复合函数。
例如，对于函数f(x)和g(x)，我们可以将g(x)作为f(x)的输入，得到新的函数h(x)=f(g(x))。
3. 函数的逆运算变换函数的逆运算是指对一个函数进行反转操作，得到其逆函数。
例如，对于函数f(x)，如果存在函数g(x)，使得g(f(x))=x，那么g(x)就是f(x)的逆函数。
4. 特殊函数的变换有些函数具有特殊的性质，通过对这些函数进行变换，可以得到新的函数。
例如，对于指数函数f(x)=a^x，我们可以进行对数变换得到新的函数g(x)=log_a(x)，其中a为常数。
三、初等函数变换的实例应用下面通过几个实例来说明初等函数变换的具体应用：1. 实例一：进行函数的平移变换对于函数f(x)=x^2，我们可以进行平移变换，得到新的函数g(x)=(x-1)^2。
这个变换可以改变函数的图像在坐标平面上的位置，如果我们将f(x)的图像向右平移一个单位，就得到了g(x)的图像。
函数的四则运算与复合运算
函数的四则运算与复合运算
函数的四则运算指的是函数之间进行加、减、乘、除等基本数学运算的过程，这些运算可以帮助我们更好地理解函数之间的关系。
例如，如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们之间的加法运算可以写成(f+g)(x)=f(x)+g(x)，减法运算可以写成(f-g)(x)=f(x)-g(x)，乘法运算可以写成(f×g)(x)=f(x)×g(x)，除法运算可以写成
(f/g)(x)=f(x)/g(x)。
这些运算可以使我们更加方便地处理函数之间的计算。
除了四则运算以外，函数还可以进行复合运算。
所谓复合运算，就是将一个函数作为另一个函数的输入变量来进行运算。
例如，如果有一个函数f(x)，再有一个函数g(x)，那么它们之间的复合运算可以写成(fg)(x)=f(g(x))，也就是说，将g(x)作为f(x)的输入变量进行计算。
通过复合运算，我们可以更好地理解函数之间的嵌套关系，进而更好地理解复杂函数的行为。
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x 1, 求 f g ( x) 的表达式． x ≥ 1, x 1, x ≥ 1.
Problem：函数复合的运算律 交换律： f g g f × 分配律： f ( g h) f g f h ×； ( g h) f g f h f √
4 x2 , 例：已知 f ( x ) 0,
2 4 g ( x), 解： f g ( x ) 0,
0, x ≤ 2, g ( x) x 2, 1, 4, g ( x) ≤ 2, g ( x) 2 3,
f f ( x) ( x) ( g ( x) 0) ， x D ． g g ( x)
Note：定义域，例如 f ( x) x x ， g ( x) x x ，则 f ( x) g ( x) 2 x (定义： 设 f 和 g 是分别定义在 D f 和 Dg 上的两个函数． 若 Zg Df ， 则对任意的 x Dg ， 存在唯一的 g ( x ) Z g D f ，进而存在唯一的 f ( g ( x )) Z f ．这个从 Dg 到 Z f 的对应关系， 称为函数 f 与 g 的复合，记作 f g ，即 f g ( x) f ( g ( x)) ． Note：两个函数能复合的条件是 Z g D f ．例如： y u 与 u 1 x 2 可以得到复合函 数 y 1 x 2 (| x |≤ 1) ； y arcsin u 与 u 2 x 1 则不能做复合运算．
视频 1—6
函数的四则运算与复合运算 §1.3 函数的运算
一、函数的四则运算 定义：设函数 f ( x) 和 g ( x ) 的定义域分别为 D1 和 D2 ，且 D D1 D2 非空．定义 （1） 加法 ( f g )( x ) f ( x) g ( x) ， x D ； （2） 数乘 (kf )( x) kf ( x) ， k R ， x D1 ； （3） 乘法 ( fg )( x) f ( x ) g ( x) ， x D ； （4） 除法
f ( g h) ( f g )( f h) ×； ( g h) f ( g f )(h f ) √
结合律： f g h f ( g h) ( f g ) h √
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