第五章 动态电磁场与电磁波(2)

•

••••••••-•+•-=⨯•∇12121212j J E H H E E H E )()(μεω

两式相减且在无限大空间积分，并应用散度定理，得

⎰⎰+•••••

••

••-•=

•⨯-⨯∞

2

1d )(d )(2

1

1

2

122

1

V V S V J

E J E S H E H

E

在上式推导中，应用了在非V 1和V 2的体积中•

1J =•

2J = 0的条件。上式的面积分为零，且均为线天线，上式改为

⎰⎰•

••••=•2

1

l 21l 1

2

d I d I

l E l E

由于假定线天线为理想导体，这意味着在线天线表面上无电场强度的切向分量。上式线积分仅在线天线信号馈入点成立，如图所示，应为

22211112h E h E •

•

•

•

•=•I I

式中•12E 表示线天线2在线天线1处产生的电场强度，•

21E 表示线天线1在线天线 2处产生的电场强度。若令这两线天线电流和几何尺寸完全相同，则上式为

•

•

=2112E E

如果将线天线1作为发射天线，线天线2作为接收天线。则在线天线2馈入点感应的电场强度应正比于线天线1的方向图因子，即

()φθ,021f E E =

现在将线天线1作为接收天线，线天线2作为发射天线，则在线天线1馈入点感应的电场强度为

()φθ,02112f E E E ==

上式表明，当线天线1在以线天线2为中心的球面上移动时，在线天线1馈入点感应的电场强度正比于将它作为发射天线的方向图因子。这就证明了天线用作接收时的方向图因子与用作发射时的方向图因子是相同的。

6．电磁波频谱

天线向空间发射电磁波信号，并占用一定的频谱宽度。因此，频谱成为一种特殊资源。为了防止电磁波信号相互干扰，必须将电磁波的频谱进行合理分配，并进行有效的管理。我国由全国无线电管理委员会负责频谱分配、协调和管理。下图是电磁波频谱分

图 两个线天线

配图，图中不仅给出了频率、波长范围，还简明地描述了相应的应用领域。

5．5 理想介质中的均匀平面电磁波

平面电磁波：电偶极子产生的辐射电磁场是球面电磁波，其等相位面是球面。当观察点远离电偶极子，且讨论范围限于观察点附近区域时，可以将球面近似为平面，且该平面上电场强度和磁场强度的振幅可近似看作为常量。这样，即称电场强度、磁场强度和传播方向满足右手螺旋关系、等相位面为平面的电磁波为平面电磁波；并进而称电场强度和磁场强度振幅为常量的平面电磁波为均匀平面电磁波。

TEM 波：无论是平面电磁波还是均匀平面电磁波，电场强度和磁场强度均垂直于传播方向，即在传播方向上无电磁场分量，称这种电磁波为横电磁波，也称为TEM 波。

1．波动方程及其解

在无源理想介质空间中，麦克斯韦方程组为

1021

10- 9

10 0

10-12

101810151012109

106

103

100

10-6

10-3

103

106

t ∂∂=

⨯∇D

H t ∂∂-=⨯∇B E 0=•∇B 0=•∇D

对于电场强度，有 22t

∂∂-=⨯∇⨯∇E

E με

由矢量恒等式()E E E 2∇-•∇∇=⨯∇⨯∇，上式变为

0222

=∂∂-∇t

E

E με

同理，对磁场强度可导出 02

22

=∂∂-∇t H

H με 以上两式即为齐次波动方程。可见，在无源理想介质空间，电场强度和磁场强度的变化规律均满足齐次波动方程。对于时谐电磁场，上述两式的复数形式为

02

2

=+∇•

•

E E k 022=+∇•

•

H H k

以上两式又被称为齐次亥姆霍兹方程。

假设均匀平面电磁波沿z 轴方向传播，其波振面平行于xoy 平面，且电场强度和磁场强度在该波振面上为常量，电场强度矢量与x 轴平行，即

()t z E x x ,e E =

代入齐次波动方程，得

02

222=∂∂-∂∂t

E z E x

x με 由直接代入法可以证明，上式的解为

()()][t z E t z E x x x υυ++-=-

+

e E

对应的磁场强度为

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---=∂∂-=⨯∇-=+

+⎰⎰ηυηυμμ)()(t z E t z E dt z E 1dt 1

x x y x

y e e E H

2．均匀平面电磁波的物理意义

在无源理想介质空间，波动方程的解由两项组成。

第一项分别为电场强度E x ＋(z -υt )和磁场强度H y ＋(z -υt )=E x ＋(z -υt )/η，这是沿z 轴正方向传播的电磁波，又称为正向行波或入射波，如图(a)所示。它的传播速度为υ，电场强度、磁场强度和传播方向相互垂直且满足右手螺旋关系，电场强度与磁场强度之比为介质的波阻抗。

第二项分别为电场强度E x －(z+υt )和磁场强度H y －(z+υt )=－E x －(z+υt )/η。考察E x －(z+υt )的一个定值点的运动情况，也就是z+υt =const ，对其微分，得运动速度为

υ-=t

z

d d 上式表明，电场强度E x －(z+υt )和磁场强度H y －(z+υt )=－E x －(z+υt )/η分别是沿z 轴反方向传播的电磁波，称为反向行波或反射波，如图(b)所示。

图(a) 正向行波 图(b) 反向行波

上述分析表明，均匀平面电磁波是由正向行波和反向行波叠加组成的。 3．波矢量

在时谐电磁场中，设电场强度复数形式为

()z E x x •

•

=e E

代入齐次亥姆霍兹方程，得

0E k dz E d x 2

2x 2

=+••

其解为

()kz x kz

x x e E e

E z E 0

j j •

--•

+•

+= 式中•+0

x E 和•

-0x E 为两个复常数，上式对应的时域表达形式为

()()()-•

-

+•

+

++++-=φωφωkz t E kz t E t z E x x x cos ||2cos ||2,0