知识讲解+圆周运动的向心力及其应用电子教案

知识讲解+圆周运动的向心力及其应用
圆周运动的向心力及其应用
【要点梳理】
要点一、物体做匀速圆周运动的条件
物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力的作用下做匀速圆周运动。

说明：从物体受到的合外力、初速度以及它们的方向关系上探讨物体的运动情况，是理解运动和力关系的基本方法。

要点二、关于向心力及其来源
1、向心力
（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力. （2）向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。

（3）向心力的大小：
2
2
v
F ma m mr
r
ω===
向向
向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；
对于确定的物体，在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；
线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。

如果是匀速圆周运动则有：
22
222
2
4
4
v
F ma m mr mr mr f
r T
π
ωπ=====
向向
（4）向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。

（5）关于向心力的说明：
①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力；
②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小；
③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。

2、向心力的来源
（1）向心力不是一种特殊的力。

重力(万有引力)、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。

（2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源 (如表所示)：
要点三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别
1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动
（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合外力完全充当向心力的角色。

例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。

（2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。

例如用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉力F 拉和重力mg 的作用，其合力分解为两个分量：向心力和切向力。

不难看出：F F mg cos θ=-拉向 θsin mg F =切
向心力改变着速度的方向，产生向心加速度；切向力与线速度的方向相同或者相反，改变着线速度的大小使得物体做变速圆周运动。

2、从圆周运动的规律看匀速圆周运动和变速圆周运动 （1）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律
无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小总是：22ωr r
v m F a ===向
向（公式中的每一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。

）
换一种说法就是：
在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立，即22
ωmr r
v m ma F ===向向 例如上面的例子，用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，在图中所示的位置用牛顿第二定律可得：
2
2mv F F mg cos ma m r r θω=-===拉向向
切切ma mg F ==θsin
（2）只适用于匀速圆周运动的计算公式：
2
222
2
222
4m 4m F 44f r T
r f r T
r a ππ
ππ====向向 因为在匀速圆周运动的过程中各个量大小的平均值和瞬时值是相等的；如果将上式用在变速圆周运动中，计算的结果仅是一个意义不大的粗略的平均值。

要点四、圆周运动的实例 1、水平面上的圆周运动
（1）圆锥摆运动：小球在细线的拉力和重力作用下的在水平面上的匀速圆周运动，如图所示：
①向心力来源：物体重力和线的拉力的合力，沿着水平方向指向圆心。

②力学方程：2
22
2sin 4sin sin tan T l m l m l v m ma mg θπθωθθ==== ③问题讨论：
a.物体加速度与夹角θ的关系：θtan g a =，向心加速度越大时，夹角θ越大。

b.角速度与夹角θ的关系：θ
ωcos l g
=
，可见角速度越大时，夹角θ越大。

mg
（2）在水平圆盘上随圆盘一起转动物体
①向心力的来源：
如图，在竖直方向上重力和支持力平衡，物体做圆周运动的向心力由物体所受的静摩擦力提供。

②静摩擦力的方向：
当物体做匀速圆周运动时，这个静摩擦力沿着半径指向圆心；
当做变速圆周运动时，静摩擦力还有一个切线方向的分量存在，用来改变线速度的大小。

③静摩擦力的变化：
当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大，当物体所需要的向心力大于最大静摩擦力时，物体将相对于圆盘滑动，变为滑动摩擦力。

2、竖直平面内的圆周运动
（1）汽车过拱形桥
在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。

对于匀速圆周运动处理起来一般比较方便。

对于变速圆周运动，定量的计算通常是在圆周的最高点和最低点处用牛顿第二定律。

例如：汽车通过半圆的拱形桥，因为桥面对汽车提供的只能是支持力。

①汽车在点位置Ⅰ最高时，对车由牛顿第二定律得：
R
v m F mg N 2
=-
为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即0N F > 从而解得车的速度应满足关系v gR <
（如果gR v =，在不计空气阻力的情况下，车将做平抛运动）
②汽车在位置Ⅱ时有22
N N v v mg F m mg sin F m R R
θ''-=⇒⋅-=径 又0N F > 解得v gR 'sin <θ （2）汽车通过圆弧型的凹处路面
如图在最低点处，对车运用牛顿第二定律得：
r
mv mg F N 2
=-
桥面对车的支持力r
mv mg F N 2
+=
可见，随着车的速度增大，路面对车的支持力变大。

要点五、圆周运动中的超重与失重 1、超重与失重的判断标准
（1）运动物体的加速度方向向上或者有向上的分量时，物体处于超重状态，物体对水平支持面的压力大于自身的重力。

（2）运动物体的加速度方向向下或者有向下的分量时，物体处于失重状态，物体对水平支持面的压力小于自身的重力。

2、圆周运动中的超重与失重现象
（1）失重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最高点附近时，向心加速度竖直向下，物体对支持物的压力小于自身重力。

例如在拱形桥顶运动的汽车，由上面计算有R
v m mg F N 2
-=，它对于桥面的压力小于重
力。

（2）超重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最低点附近时，向心加速度竖直向上，物体对支持物的压力大于自身重力。

例如汽车通过圆弧型的凹处路面在最低点处， 桥面对车的支持力r
mv mg F N 2
+=大于
自身重力。

要点五、关于离心现象
1、外力提供的向心力与做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响
（1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互作用。

（2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为r 的圆周上以速度v 运动时，必须要这么大的一个力，才能满足速度方向改变的要求。

（3）供需关系对物体运动的影响：
外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；
外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动
外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心运动 2、离心现象及其运用
（1）被利用的离心现象：
洗衣机甩干衣服：水珠和衣服之间的附着力不足以提供水珠高速转动时需要的向心力，而做离心运动从而脱离衣服，使得衣服变干。

离心沉淀器：悬浊液在试管中高速转动时，密度大于液体密度的小颗粒做离心运动，密度小于液体密度的小颗粒做向心运动，从而使得液体很快被分离。

离心水泵：水在叶轮转动的作用下做离心运动，从而使得水从低处运动到高处，等等。

（2）需要防止的离心现象：
高速转动的砂轮会因为离心运动而破碎，造成事故；
火车或者汽车会因为转弯时的速度过大而出现侧滑、倾翻，造成人员伤亡等。

【典型例题】
类型一、水平面上的圆周运动
例1、原长为L的轻弹簧一端固定一小铁块，另一端连接在竖直轴OO′上，小铁块放在水平圆盘上，若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放在圆盘上，使小铁块能保持静止的弹簧的最大长度为5L/4，现将弹簧长度拉长到6L/5后，把小铁块放在圆盘上，在这种情况下，圆盘绕中心轴OO′以一定角速度匀速转动，如图所示．已知小铁块的质量为m，为使小铁块不在圆盘上滑动，圆盘转动的角速度ω最大不得超过多少?
【答案】
max 3/(8) k m
ω=
【解析】以小铁块为研究对象，圆盘静止时：设铁块受到的最大静摩擦力为
max
f，由平衡条
件得
max /4
f kL
=．
圆盘转动的角速度ω最大时，铁块受到的摩擦力max f 与弹簧的拉力kx 的合力提供向心力，由
牛顿第二定律得2
max max (6/5)kx f m L ω+=．
又因为x ＝L/5．
解以上三式得角速度的最大值max 3/(8)k m ω=． 类型二、实际生活中的圆周运动
例2、质量不计的轻质弹性杆P 插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m 的小球，今使小球在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为( )
A ．2m R ω
B ．242m g R ω-
C ．242m g R ω+
D ．不能确定 【答案】C
【解析】对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力mg ，另一个是杆对小球的作用力F ，两个力的合力产生向心力．由平行四边形定则可得：242F m g R ω=+，再根据牛顿第三定律，可知杆受到球对其作用力的大小为242F m g R ω=+．故选项C 正确． 举一反三
【变式】铁路弯道的内外侧铁轨往往不在同一水平面上，质量为M 的火车，以恒定的速率在水平面内沿一段半径为r 的圆弧道转弯，受力如图所示，已知内外铁轨的倾角为α。

（1）车的速率v 0为多大时，使车轮对铁轨的侧压力正好为零?
（2）如果火车的实际速率v≠v 0，分析铁轨对车轮的施力情况。

【答案】火车挤压内轨当火车挤压外轨当;v v ;v v grtan v 000<>=α
类型三、动力学综合问题
例3、如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O ，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m ＝1 kg 的小球A ，另一端连接质量为M ＝4 kg 的重物B ．求：
(1)当A 球沿半径为R ＝0.1 m 的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω＝10rad /s 时，B 对地面的压力为多少?
(2)要使B 物体对地面恰好无压力，A 球的角速度应为多大?(g 取10/s 2)
【解析】本题考查了有关匀速圆周运动中向心力来源的问题，只有准确对物体进行受力分析，才能正确找到向心力，并利用向心力公式的适当表示方法解题．
(1)对小球A 来说，小球受到的重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则 2210.110N=10N T F mR ω==⨯⨯
对物体B 来说，物体受到三个力的作用：重力Mg 、绳子的拉力T F 、地面的支持力N F ，由力的平衡条件可得
F T +F N ＝Mg ，
所以F N ＝Mg －F T ．
将F T ＝10 N 代入上式，可得：F N ＝4×10 N －10 N ＝30 N ．
由牛顿第三定律可知，B 对地面的压力为30 N ，方向竖直向下．
(2)当B 对地面恰好无压力时，有：Mg ＝T F '，拉力T F '提供小球A 所需向心力，则： 2T F mR ω''=，则410rad /s=20rad /s 10.1
Mg mR ω⨯'==⨯．
即当B 对地面恰好无压力时，A 球的角速度应为20 rad /s ．
举一反三
【变式】建筑工地上常使用打夯机夯实地基，如图是其结构原理图。

长为l 的连杆（质量可忽略）固定在轮盘A 上，轮盘A 和连杆固定在一起可一起绕轴O 旋转，连杆另一端固定一质量为m 的铁块，电动机通过皮带轮带动轮盘A 和连杆，可在竖直平面内做圆周运动。

当旋转的角速度达到一定数值，可使质量为M （不包括铁块的质量m ）的打夯机离开地面，然后砸向地面，从而起到夯实地基的作用。

试分析连杆转动的最小角速度。

【答案】ml
g )m M (+=ω 【解析】当铁块运动到最高点时，受重力mg 和杆的拉力F 1作用，这两个力的合力提供铁块
此时做圆周运动所需的向心力。

当铁块的角速度逐渐增大时，所需的向心力增大，将导致拉力F 1的增大。

根据牛顿第三
定律可知，此时铁块对打夯机向上的拉力21F F =，所以当21F F Mg =>时，打夯机将脱离地面。

设为使打夯机脱离开地面连杆转动的最小角速度为ω，由牛顿第二定律：
对M 有 02F Mg -=
对m 有 21F mg ml ω+=
因 21F F = 由以上几式解得 ：ml
g )m M (+=ω。