金融工程课件(3)

该远期合约空头的远期价值为
− f = −10.02 美元
15

根据F的定义，我们可从上式求得： F=(S-I)er（T－t） 这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。其
表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现
货价格与已知现金收益现值差额的终值。
第四节 支付已知收益率资产远期合约的定价
25e 0.040.5 27e 0.10.5 1.18美元
所以该远期合约多头的价值为－1.18美元。其远期价 F Se( r q )(T t ) 格为：
25e0.060.5 25.67美元
2018/10/9 20
案例

2007 年9 月20 日，美元3 个月期无风险年利率为3.77% ，S&P500 指数预期红利收益率为1.66% 。当S&P500 指 数为1518.75 点时，2007 年12 月到期的S&P500 指数期 货SPZ7 相应的理论价格应为多少？
（3.7）
这就是支付已知收益率资产的现货-远期平价公式。 式（3.7）表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已 知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。
18 2018/10/9
两种理解：

支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于
e q (T t )

单位证券的现值与交割价现值之差。
1 X）S 1 Y erl T t , S 1 Y erb T t （
完全市场可以看成是 X 0, Y 0, rl rb r 的特殊情况。
26
2018/10/9
第六节 远期（期货）价格与现货价格的关系
期货价格和现货价格之间相互关系可从两个角度去 考察。一是期货价格和现在的现货价格的关系；一是期货 价格与预期的未来现货价格的关系。
17
2018/10/9
因此在t时刻两个组合的价值也应相等，即：
f Ke r (T t ) Se q (T t )
f Seq (T t ) Ke r (T t ) （3.6）
根据远期价格的定义，我们可根据式（3.6）算出支付已知收益率资产的 远期价格：
F Se( r q )(T t )
持有成本＝保存成本＋无风险利息成本－标的资 产在合约期限内提供的收益
23
2018/10/9
举例来说，不支付红利的股票没有保存成本和收益，所以持有成 本就是利息成本 r ；股票指数的资产红利率为q，其持有成本就 为 r-q；货币的收益率为rf ，所以其持有成本是 r-rf；对黄金和 白银等投资性商品而言，若其存储成本与现货价格的比例为u，则 其持有成本就为r＋u；依此类推。 所以，如果我们用c表示持有成本，远期价格就为:
2018/10/9 12
现货-远期平价定理

远期价格（ F ）就是使合约价值（ f ）为零的交割价格（ K
），即当f=0时，K=F。则 F=Ser（T－t）。

无收益资产的现货- 远期平价定理（Spot-Forward Parity Theorem ） ， 或 称 现 货 期 货 平 价 定 理 （ Spot-Futures Parity Theorem）。对于无收益资产而言，远期价格等于 其标的资产现货价格的终值。
F Sec (T t )
相应地：
（3.8）
（3.9） f F Sec (T t ) f Se(cr )(T t ) Ke r (T t )
24
2018/10/9
二、非完美市场条件下的远期定价
1. 存在交易成本的时候，假定每一笔交易的费率为Y，那么不存在套利
机会的远期价格就不再是确定的值，而是一个区间：
为了给支付已知收益率资产的远期定价，我们可以构建 如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke r (T t ) 的现金； 组合B：e q (T t ) 单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其 中q 为该资产按连续复利计算的已知收益率。 组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 组合B由于获得的红利收入全部都再投资于该证券，拥有的证 券数量随着红利的不断发放而增加，所以在时刻T，正好拥有 一单位标的证券。
金融工程
Financial Engineering
第三章 远期与期货定价
第一节 远期价格与期货价格
一、远期价值、远期价格与期货价格

远期价值是指远期合约本身的价值。 关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形。

——在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的 预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交割价格应使远 期价值在签署合约时等于零。 ——在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期 价值将随着标的资产价格的变化而变化。
r (T t ) r (T t ) S 1 Y e , S 1 Y e
2. 借贷存在利差的时候，如果用rb表示借入利率，用rl表示借出利率，
对非银行的机构和个人，一般是rb>rl 。这时远期和期货的价格区间为：
rl (T t ) rb (T t ) Se , Se


组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现 金； 组合B：一单位标的资产。
组 合 A
远期 合约
现金
组 合 B
标的资产
2018/10/9 10
在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投资期为
（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为： Ke-r（T－t）er（T－t）=K
样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投
资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。 这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。
2018/10/9 9
K：远期合约中的交割价格。 S：标的资产在时间t时的价格。 f：远 期合约多头在t时刻的价值。为了给无收益资产的远期合约定价，我们 构建如下两个组合：

为零，远期价格也就不一定等于交割价格。
2018/10/9 3

类似地，在期货合约中，我们定义期货价格（Futures Prices）为使得期货合约价值为零的理论交割价格。
但值得注意的是，对于期货合约来说，一般较少谈及“ 期货合约价值”这个概念。基于期货的交易机制，投资 者持有期货合约，其价值的变动来源于实际期货报价的 变化。由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因 此期货合约价值在每日收盘后都归零。

2018/10/9 2

远期价格是指使远期合约签订时价值为零的交割价格。 远期价格是理论上的交割价格。 关于远期价格的讨论也要分远期合约签订时和签订 后两种情形。

一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交割价格等于远期价 格。如果实际交割价格不等于这个理论上的远期价格，该远期合 约价值对于多空双方来说就都不为零 ，实际上隐含了套利空间。 在远期合约签订之后，交割价格已经确定，远期合约价值不一定
的现价为960 美元。请问对于该远期合约的多头和空头来说
，远期价值分别是多少？
14

根据题意，有 S = 960; K = 970; r = 4.17%; T − t = 0:5

则根据式（ 3.1 ），该远期合约多头的远期价值f 为： 0.5 f S Ker (T t ) 960 970× e4.17%× ≈10.02美元
F Ser (T t )
如果实际价格高于或低于上述理论价格F，市场上就存在套利机会。 注意，这里所谓的完美市场，就是我们在本章第一节中所讨论的基本 假设成立的市场。
22 2018/10/9
我们可以用持有成本（Cost-of-Carry）的概念来 概括远期价格与现货价格的关系。持有成本的基 本构成如下：

2018/10/9 7
思考题
假设黄金现货价格为1000美元，市场普遍认为1年后黄

金现货价格会涨到2000美元，请问：1年期黄金期货目
前的价格应为1000美元左右还是2000美元左右？
8
构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则就 可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资 组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这

期货价格和现货价格的关系可以用基差（ Basis ）来描述 。所谓基差，是指现货价格与期货价格之差，即：
基差=现货价格—期货价格
在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的 资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。根据无
套利原则：终值相等，则其现值一定相等，这两种组合在t时刻的
价值必须相等。
11
2018/10/9
即： f+ Ke-r（T－t）=S f=S－Ke-r（T－t） 该公式表明，无收益资产远 期合约多头的价值等于标的 资产现货价格与交割价格现 值的差额。或者说,一单位无 收益资产远期合约多头可由 一单位标的资产多头和 Ke-r（T－t）单位无风险负债组 成。

为了证明无收益资产的现货-远期平价定理 ，我们用反证 法证明等式不成立时的情形是不均衡的。
2018/10/9 13
案例
2007
年8 月31 日，美元6 个月期的无风险年利率为4.17%
。市场上正在交易一份标的证券为一年期零息债、剩余期限 为6 个月的远期合约多头，其交割价格为970 美元，该债券
25
2018/10/9
3. 存在卖空限制的时候，因为卖空会给经纪人带来很大风险，所以几乎
所有的经纪人都会扣留卖空客户的部分所得作为保证金。假设这一比例为
X，那么均衡的远期和期货价格区间应该是：
（ r T t ) r (T t ) （ 1 X ） Se , Se
如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该是：

由于S&P500 指数期货总在到期月的第三个星期五到期， 故此剩余期限为3个月，SPZ7 理论价格应为
0.25 F Se( r q )(T t ) 1518 .75e(3.77%1.66%)%× 1526 .78
21
第五节 远期与期货的一般结论
一、完美市场条件下的持有成本模型
从直觉上理解，假设标的资产无收益，投资者A计划出售一单位标的 资产，以下两种方法应该是等价的： 1.在当前t时刻卖出一份远期价格为F的远期合约，合约到T时刻交割 必定能获得F； 2.在当前t时刻立刻出售获得S，并以无风险利率r贷出，这样在T时刻 可以获得确定性收入 Se r (T t )。 由于t时刻两种投资的价值都为S，T时刻的两种确定性收入应相等：
一单位支付已知Biblioteka 利率资产的远期合约多头可由e q (T t )
单位标的资产和 Ke
r (T t )
单位无风险负债构成。
19
假设A股票现在的市场价格是25美元，年平均红利率 为4％，无风险利率为10％，若该股票6个月的远期合 约的交割价格为27美元，求该远期合约的价值及远期 价格。 f Se q (T t ) Ke r (T t )

2018/10/9 4
二、远期价格与期货价格的关系

当无风险利率恒定且所有到期日都相同时，交割日相同的远 期价格和期货价格应相等。 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格 。

这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随之升高，期货 合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利率 将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时，期货合约的多头 将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利率的利率从市场上 融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头将不会因利率的变动 而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远期多头更具吸引力，期 货价格自然就大于远期价格。

当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于期货 价格。
2018/10/9 5
卖空（ Short Selling ）

出售你不拥有的资产 经纪人为你向其他投资者借入该资产并卖出 未来需买回归还 此期间需支付原持有者应获得的股利等收入
6
第二节 无收益资产远期合约的定价

无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如贴现 债券。 本章所用的定价方法为无套利定价法。