专题：数列的极限与函数的导数

３，无穷等比数列的公比 ，当| | １时，各项的和 及重要应用。例如（2004年上海,4）设等比数列 （ ）的公比 ,且 = ,则
【分析】 数列 是首项为 ，公比是 的等比数列,∴ = = ,解得 =２。
4，当且仅当 时， , 时 可有定义也可无定义。例如下列命题正确的是……………………………………………()
）。（Ⅰ)用 和 表示 ；（Ⅱ）当 时，
求 的值；（Ⅲ）在(Ⅱ）的条件下，求 的取值范围。
【例５】过点(2，0)，求与曲线 相切的直线方程。
【例６】(200４全国卷二,2２)已知函数 , 。
（Ⅰ）求函数 的最大值;
（Ⅱ)设 ，证明 。
【例７】（2０04广东卷,２1）设函数 = ,其中常数 为整数。
(Ⅰ)当 为何值时, ;
12、 ，则 ；
13、已知 是 的一个三次多项式，若 = =１，
则 ＝
１4、如图, 是一块半径为1的半圆形纸板，在 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得图形 ，然后剪去更小的半圆(其直径为前一被剪掉半圆的半径)得图形 , ,……, ，……,记纸板 的面积为 ,则 =
（Ⅱ)定理：若函数 在［ ］上连续,且 与 异号,则至少存在一点 使 。试用上述定理证明：当整数 时,方程 ＝０，在［ ］内有两个实根。
【例８】溶液自深１8 ，顶直径12 的圆锥形漏斗中漏入一直径为10 的圆柱形容器中,开始时漏斗中盛满水,已知当溶液在漏斗中之深为12 时,其水平下落的速度为1 ∕ ，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少?
（ )0 １ －1；
６、设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是…………………………………………………………………( ）
(Ａ) (B) (C) (D）
7、函数 有极值的充要条件是……………………………（ )
（ ) ( ）
８、(200４江苏卷,10)函数 在区间［－３,0］上的最大值、最小值分别是………………………………………………………………………………( ）
（６）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。
【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对 、 、 、 型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如(200４年辽宁，14） =
【分析】这是 型,需因式分解将分母中的零因子消去，故
专题:数列的极限与函数的导数
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专题十：数列的极限与函数的导数
瓶窑中学 童国才
【考点审视】
极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点,新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时,都属容易题;“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题,主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值,考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从200４年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础,做到以不变应万变：
【经典题例】
【例１】求下列数列的极限：
（1） ；(2） （ )；
(3） ;
(４）已知 ,数列{ }满足 ,若｛ }的极限存在且大于零，求 的值。
【例2】求下列函数的极限:
（1) (2）
(3) (4)
【例3】求下列函数的导函数：
（１） = ;(2) = ;
(３） ＝ ;（4）已知 = ,求 。
【例4】设 ( )， ( +
= = 。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数,对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则,必须分母的极限不为零时才适用。例如：
（2０04年广东，4) …+ )的值为…()
( )-１( )０（ ） （ )1
【分-1,故选 。
【分析】 ，
∴ 在( ， )处的导数不存在。
７，导数的求法要熟练、准确，须明确（1)先化简，再求导，(２）复合函数灵活处理，（３)有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入,注重掌握以下几方面的问题:曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。
（1)从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限:
1) 是常数),２) ,3) .
(2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围,会求某些数列和函数的极限。
(3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。
(4）了解导数的概念,掌握函数在一点处的导数定义,理解导函数的概念。
（5）熟记八个基本导数公式,掌握求导的四则运算法则,理解复合函数的求导法则,会求简单函数的导数。
（ )若 ,则 ， 若 ，则 , 若 ,则 ,(D)若 ，则 。
【分析】 ( )中 无定义，（ ）中 无定义,而（D) ， ，故 是正确的。
5，函数 在 处连续是指 ,注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。
6,导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如 在( , )处的导数存在吗?为什么?
【热身冲刺】
一、选择题：
１、下列数列极限为1的是…………………………………………………………（ ） ; ；
； 。
2、已知 ，则常数 的值为…………………………………( )
（ ) ;
３、 ］的值是………………………………………………( ）
不存在；
４、若 在点 处连续,则 （ )
5、若 为偶函数，且 存在，则 ……………………（ )
(A）1,－1 （B）１,-17 (C)３，-17 （D）９,-1９
9、 、 分别是定义 上的奇函数和偶函数。当 时， ,且 ,则不等式 的解集是( ）
( )（-3,0) (３， )
( ）
10、三次函数 = 在[1,2]内恒为正值的充要条件为…………（ ）
( ） ；
二、填空题:
11、曲线 与 在交点处的切线夹角是（以弧度数作答)；