一元二次方程培优专题讲义

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数学培优专题讲义：一元二次方程

一.知识的拓广延伸及相关史料

1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得

2670x x ++=，再直接用开平方法；

2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。

这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，2670x x ++=只要变形为

即可，或原方程

22(3)0x +-=经配方化为，再求解时，

2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。

2．我国古代的一元二次方程

提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。

下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.”

这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.

上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.

3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。

本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。

（1）转化思想

我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的

过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：

①未知转化为已知，这是解方程的基本思路:

②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的:

③特殊转化为一般，一般转化为特殊。

例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形2670x x ++=式的一元二次方程的方法，进而20ax bx c ++=得出一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。

掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”.

练习:

;

222

1

1.510

a x x a a -+=+

是方程的一根,求的值

2421032.

a x a ⋅--=--是方程x 的一根,求a 的值

2

2

42310

1

x x x x x --=-+、若，求的值。

（2）类比思想

本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识.

如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤.

2

类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。

掌握了类比和转化这两大数学思想，举一反三，还可解决许多方程的相关问题。我们来看下面两个例子。

例1．解分式方程

21421242x x x x

++=+--例2．解方程组7

12

x y xy +=⎧⎨

=⎩4．配方法的妙用

所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式。配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用，是一种很重要、很基本的数学方法。

例1． 分解因式21203456

x x -+例2．例3．解方程42

1510240

x x x -++=例4．求的最小值

2242415x y y x +--+5．怎样巧用韦达定理解“看错数”问题小红和小明一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，因而得方程的两个根是8和2；小红在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－9和－1.你知道原来的方程是什么吗?

6． 二次三项式的因式分解

我们把形如的多项式叫做的2

(0)ax bx c a ++≠x 二次三项式。在了解了形如的二次2

()x p q x pq +++三项式分解因式的方法的基础上，现在介绍利用求出一元二次方程的根的方法，将一般的二次三项式分

解因式。

222121212()()(x x )().b c

ax bx c a x x a x x x x x x a x x a a

⎡⎤++=++=-++=--⎣⎦这就是说，在分解二次三项式

的因式时，可先求出方程2(0)ax bx c a ++≠的两个根，然后再写成

20ax bx c ++=1,2x x 212(x x )().

ax bx c a x x ++=--例:在实数范围内分解因式:

（1） （2）221x x --231

x x --