黄金分割

生活中的黄金分割
在数学课中，教师自身角色的转变，努力发挥“辅”和“导”的功能，科学、能动地组织学生进行课前准备，课堂交流，能起到出乎意料的作用。

下面就记录九年级第一学期的一堂“黄金分割”的数学课，课前教师布置预习作业，让学生去查录有关黄金分割的资料，课上进行交流发言。

开场：
教师：中世纪的数学家开普勒（1571—1630）对黄金分割作了很高的评价。

他说：几何学有两大宝藏：一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。

下面我们先请一位同学讲述一下，什么是黄金分割？
学生袁某举手答：在已知线段上求作一个点，使该点所分线段的其中一部份是全线段与另一部份的比例中项，这就是黄金分割问题。

如下图
教师：说得很好，黄金分割在数学上是把一条线段分成两部分，其中较长的线段是较短的线段和整个线段的比例中项。

那么黄金分割在生活中有什么作用呢？
学生邵某：“黄金分割”的比值为0.618，它不仅是美学造型方面常用的一个比值，也是一个饮食参数。

日本人的平均寿命多年来稳居世界首位，合理的膳食是一个主要因素。

在他们的膳食中，谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值。

学生陈某：一天合理的生活作息也应该符合黄金分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是“生命在于运动”，还是“生命在于静养”？从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道。

掌握与运用好黄金分割，可使人体节约能耗，延缓衰老，提高生命质量。

教师：太好了，以上两位同学介绍了黄金分割在饮食、生活作息中的运用，相信对同学们有许多帮
学生李某：20世纪中，法国建筑师Le科布西埃发现黄金比具有数列的性质。

他将其与人体尺寸相结合，提出黄金基准尺方案，并视之为现代建筑美的尺度。

法国还产生了冠名为黄金分割画派的立体主义画家集团，专注于形体的比例。

宇宙万物，凡是符合黄金分割的，总是最美的形体。

例如邮票、照片、课本、奖状、国旗、小提琴......又如：以牛马狮虎的前肢为界作一垂直虚线，将躯体分为两部分，其水平长度之比恰符合黄金分割；再如：有经验的报幕员往往站在台侧的三分之一强些的地方，观众看上去感到非常得体，整个舞台那么祥和，因为是站在线段上的最佳点──黄金分割点。

学生王某：体型的标准尺度，以古希腊的艺术珍品「金星女神」为模特儿，具体标准是以肚脐眼为界，向上到头顶的长度是整个身长的0.382倍；向下到脚心的长度是整个身长的0.618倍。

换句话说：把身长按黄金分割而得的数据即是。

身材不理想者可辅之以体育锻炼作弥补。

上身略长者，适度跑步、跳高、跳远、游泳；反之，举重、器械操。

服装也能补拙，前者的上装可按常规做得略短；后者的服装可按常规做得略长。

人体黄金分割因素包括4个方面，即18个“黄金点”，如脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等；15个“黄金矩形”，如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等；6个“黄金指数”，如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等；3个“黄金三角”，如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等。

除此之外，近年国内学者陆续发现有关的“黄金分割”数据，如前牙的长宽比、眉间距与内眦间距之比等，均接近“黄金分割”的比例关系。

专家们认为，这些数据的陆续发现不仅表现人体是世界上最美的物体，而且为美容医学的发展，为临床进行人体美和容貌美的创造和修复提供了科学的依据。

古希腊人以为，美是神的语言。

他们找到了一条数学证据，宣称黄金分割是上帝的尺寸。

几何学天才欧几里德更进一步：他发现大自然美丽的奥妙在于巧妙和谐的数学比例大多接近1比0.618。

伦敦西敏寺、巴黎圣母院，说明建筑物如是，现代演员费雯丽、奥黛丽·赫本等美人儿如是，都在冥冥中遵从黄金分割这一美的规律。

学生张某：在夏季，人们格外留恋春天的感觉，这种体验恐伯每个人都有，也不足为奇。

可是你知道吗?人在春季感到舒畅，那是因为这时的环境温度正好在22至24摄氏度之间，而这种气温与人的正常体温37摄氏度正呈现微妙之处：人的正常体温37摄氏度与0．618的乘积为22．8摄氏度，人在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理活动均处于最佳状态。

教师：同学们，他们讲得好吗？
“一石激起千层浪”教室里气氛活跃，同学们个个神情专注，兴奋而认真。

学生巴某：老师，让我来说说我国古代的九宫格吧。

九宫格的源头可是我们中国人发明的一种构图模式，但巧的是它与黄金分割有着惊人的理论联系！人们把长方形的上下左右用黄金分割来做出4条线，我们惊奇的发现这就是我国古人所说的九宫格。

人们发现在九宫格的4条线交汇的4个点是人们的视觉
最敏感的地方，在国外的摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”。

顾名思义，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”。

教师：同学们，今天同学们都准备得很充分，讲得也很好，给我们包括老师许多启示，同学们的表现也出乎意料，现在我们把以上同学的发言进行归纳：黄金分割在生活中的作用：
一、黄金分割（0.618）在养生保健中有重要作用。

从辩证观点看，运动和休息、动和静也是一个0.618的比例关系，大致为四分动六分静，饮食、吃饭六、七成饱，摄入的饮食以六分粗粮，四分精食为适宜；
二、环境中的作用，什么温度最适宜；
三、人体中的美，事物中的形体美建筑物的美，一般都符合黄金分割；
四、无论是国内、国外，古代还是现在，人们都发现生活中美的东西很多都符合黄金分割。

以上教学案例是我在九年级数学课堂教学中的一个尝试，这堂课给了我许多意外的惊喜。

数学来源于生活实际，通过课堂可以培养学生的创新精神，也使我认识到：
(1)教的转变：教师可以从知识的传授者转变为学生学习的引导者、组织者、合作者和共同研究者，只有充分培养自主学习的能力，才能使课堂焕发生命力。

(2)学的转变：在课堂里，学生是主角，但必须作好充分的准备，应该从被动的接受知识转变成主
动的探索寻找知识。

(3)教学目标的转变：一堂数学课的教学目标不仅仅是知识的落实，更重要的是让学生的思维能力
得到提升，能自主解决问题，发现问题，认识到数学是生活中的数学。

总之，这一堂“黄金分割”的数学课，给了我许多启示和思考，也为我以后的教育教学提出了更高的要求。

植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。

尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序(称为叶序)，却是极有规律的。

你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角。

如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度数。

植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。

叶子的排布，多么精巧！
叶子间的137.5°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360°，
360°-137.5°=222.5°
137.5° :222.5° 222≈0.618。

瞧，这就是“密码”!叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618。

有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。

19世纪中叶，德国心理学家费希纳曾经做过一次别出心裁的试验。

他召开一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形，并要求参观者投票选择各自认为最美的矩形。

结果以下四种矩形入选：
矩形长×宽宽与长之比
1 8×5 5∶8=0.625
2 13×8 8∶13=0.615
3 21×13 13∶21=0.619
4 34×21 21∶34=0.618
有趣的是，所得的四个矩形的长与宽，它们的比都接近于0.618。

今人惊讶的是，人体自身也和0.618密切相关。

对人体解剖很有研究的意大利画家达·芬奇发现，人的肚脐位于身长的0.618处。

科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服。

难道这些都是偶然的巧合吗? 不!它是客观世界反映出来的规律之一。

数学家们发现：
把一条线段AB用点C分割成AC、CB两部分若要使
AB∶AC=AC∶CE，
即__
√5 -1
则当AB=1时，AC=------- ≈0.618 。

2
由于这样得出的0.618有许多极为宝贵的性质，因此，人们珍惜地称它为黄金数，称点C为黄金分割点，称这种分割为黄金分割。

黄金数0.618，如今已越来越多地被人们所认识，并被人们所利用。

古希腊帕提依神庙由于高和宽的比是0.618，成了举世闻名的完美建筑。

建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、壮丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽。

连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。

高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。

画家们发现，按0.618∶1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。

难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。

音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。

......
只要留心，到处都可发现黄金数这位美的“使者”的足迹。

运用于科学实验和工农业生产的优选法中的0.618法，还能给我们带来巨大的经济效益呢!黄金数0.618，真是一件造福人类的绚丽瑰宝!
希腊古城雅典有一座用大理石砌成的神妙，神庙大殿中央的女神像是用象牙和黄金雕成的。

女神的体态轻柔优美，引人入胜。

经专家研究发现，她的身体从脚跟到肚脐间的距离与整个身高的比值，恰好是0.618。

不仅雅典娜女神身材如此美好，其他许多希腊女神的身体比例也是如此。

人们所熟悉的米洛斯“维纳斯”，太阳神阿波罗的形象，海姑娘――阿曼等一些名垂千古的雕像，都可以找到0.618的比值。

1483年左右，达芬奇画的一副未完成的油画，包围着圣杰罗姆躯体的黑线，就是一个黄金分割的矩形，当时达芬奇似乎有意利用这一黄金分割的比值。

“检阅”是法国印象派画家舍勒特的一副油画，它的画杠结构比例也正是0.618的比值。

英国在画家斐拉克曼的名著《希腊的神话和传说》一书中，工绘有96幅美人图。

每一幅画上的美人都妩媚无比婀娜多姿。

如果仔细量一下她们的比例也都也雅典娜相似。

中国最古老的古琴，处处透着黄金分割的神奇，琴背两池，左龙右凤。

控制琴弦发音的枢纽有三：轸，凫掌，凤嗉。

琴有五弦，音有八度，琴节为徽。

“以琴长全体三分损一，又三分益一，而转相增减”，全弦共有十三徽。

把这些排列到一起，二池，三纽，五弦，八音，十三徽。

多么奇妙的排列，恰是费波那奇数，而两个相邻费波那奇数比率则越来越接近黄金分割率，是有意还是巧合?看来，中国古人对黄金分割的领悟与运用，与西方确有异曲同工之妙。

建筑：早在公元前五世纪，希腊建筑家就知道0.618的比值是协调，平衡的结构。

文明中国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。

但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。

古时候的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金数的比来建立，他们认为这样的长方形看来是较美观。

黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。

在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩。

古代的伟大建筑我们已经初步领略，现在让我们见识一下现代黄金数的奥秘。

毕达哥拉斯有一句名言：凡是美的东西都有共同的特性，那就是部分与部分与整体之间的协调一致。

我们做过调查，如果市场上有的电视频目主要有两种，一种是宽/长为3∶4的，另一种是9∶16的。

这两个比值都很接近0.618，也就是因为黄金矩形是最美的。

黄金数还运用于化学制药中。

如现在合成药物，不知道它在0~100℃之间的那一个温度制得合成率最高，药效最好。

很显然，一个个温度去试是不实际的。

如果运用黄金数就简单多了。

数学方面由于是黄金数的始祖，所以有许多这方面的知识。

其实生物上也有许多关于黄金数的知识。

我们研究发现人体的黄金数有一些定律。

黄金分割律这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。

这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。

0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。

为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。

据研究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。

人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。

于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为0.618）。

黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；
(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖
割点；(10)鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；(14) 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。

面部黄金分割律面部三庭五眼黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。

黄金指数：(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；(2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。

0.618，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约。

（二）比例关系是用数字来表示人体美，并根据一定的基准进行比较。

用同一人体的某一部位作为基准，来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法（见中图）。

分为三组：系数法，常指头高身长指数，如画人体有坐五、立七，即身高在坐位时为头高的五倍、立位时为7或7.5倍；百分数法，将身长视为100%，身体各部位在其中的比例；两分法：即把人体分成大小两部分，大的部分从脚到脐，小的部分为脐到头顶。

标准的面型，其长宽比例协调，符合三停五眼（见右图）。

三停是指脸型的长度，从头部发际到下颏的距离分为三等分，即从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分为一等分，各称一停共三停；五眼是指脸型的宽度，双耳间正面投影的长度为五只眼裂的长度，除眼裂外、内此间距为一眼裂长度、两侧外眦角到耳部各有一眼裂长度，其是五眼长度称五眼。

（三）角度关系从不同的角度观察，所反映的人体形态也各不相同。

Belt和Campen等人提出的侧角学说，就是通过角度来体现人体形体美的。

其中Campen的学说是以鼻下点与耳孔点的直线连线为基准，来测量侧面观察时额头的倾斜角度的方法，这样可以把复杂的立体感的头部，用简单的轮廓线进行描述－被称为侧面定性分析方法。

用连接鼻尖点和颏下点的直线来观察唇的突出度，评价面下部的美丑。

鼻尖、下唇红前缘、颏下点在同一条直线上，称为Ricketts美学平面，是一种美的标志。

我们研究发现植物和动物一样，也蕴涵着黄金数。

黄金数用希腊字母Φ表示。