第十章 组合变形的强度计算.
组合变形的强度计算
§9.1 组合变形概述前面研究了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。
但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。
例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。
我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。
常见的组合变形有：1.拉伸（压缩）与弯曲的组合；2.弯曲与扭转的组合；3.两个互相垂直平面弯曲的组合（斜弯曲）；4.拉伸（压缩）与扭转的组合。
本章只讨论弯曲与扭转的组合。
处理组合变形问题的基本方法是叠加法，将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。
组合变形强度计算的步骤一般如下：(1) 外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况；(2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置；(3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。
(4) 建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。
§9.2 弯扭组合变形强度计算机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作。
现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。
图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的皮带传递给其它设备。
带紧边拉力为F T1，松边拉力为F T2，不计带轮自重。
图10-1(1) 外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图10-1(b)，其值分别为力F使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶M1和电机端产生M2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合变形。
(2) 内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图，如图10-1(c)、(d)所示。
由图知危险截面为轴上装带轮的位置，其弯矩和扭矩分别为(3) 应力分析由于在危险截面上同时作用有弯矩和扭矩，故该截面上必然同时存在弯曲正应力和扭转切应力，如图10-1(e)，a、b两点正应力和切应力均分别达到最大值，为危险点，该两点正应力和切应力分别为该两点的单元体均属于平面应力状态，图10-1(f)，故需按强度理论建立强度条件。
组合变形杆件的强度计算
(3) 强度计算示例
【例6-25】如图6-48a 所示屋架上的桁条，可简化为两端铰支的简支梁，如图6-48b 所 示。梁的跨度 l = 4 m ，屋面传来的荷载可简化为均布荷载 q = 4 kN/m。 屋面与水平 面的夹角 φ =25 o 。桁条的截面为h = 280 mm、b = 140 mm 的矩形，如图6-48c 所示。 桁条材料的许用应力[σ] = 10 MPa。 试校核其强度。
c 点处有最大拉应力，α 点处有最大压应力，且 σc = [σa] = σmax，由式 (6-34) 可得最大 正应力为
max
M zmax ymax Iz
M ymax zmax Iy
M zmax Wz
M ymax Wy
(6-49)
Iy 。 zmax
(2) 强度条件
(2) 内力计算
虽然在斜弯曲梁的横截面上有弯矩也有剪力，但剪力影响较小，强度通常由弯 矩引起的正应力控制。因此，内力分析时只计算弯矩即可。
在距固定端为x 的任意横截面m‒m 上由Fy 和Fz 引起的弯矩分别为
M z Fy l x F l x cos M cos M y Fz l x F l x sin M sin
Iz
Iy
Iy
根据叠加原理，将两个正应力 '和 ''叠加，即得 K 点处总的弯曲正应力，也即 斜弯曲梁内任意一点正应力的计算公式
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
组合变形的强度计算PPT演示课件
叠加原理 当材料处于线弹性阶段时，杆件上的各种荷载所 引起的内力和基本变形互不影响，即各种内力、应力 和变形、应变是彼此独立的。
可以应用叠加原理，分别计算由各种简单荷载所 产生的应力和变形，然后再进行叠加，即可求得组合 变形杆件上的应力和变形。
●组合变形的分析方法 叠加原理
分解和叠加 分解:将载荷分解成只产生一种基本变形的几组载
M y Fz x Fx sin
计算A(y，z)点的正应力
z
y
A
z
yx
Fz F sin Fz z
x
h
F
Fy y Fy F cos
b
z
F y
l
Mz Fy x Fx cos M y Fz x Fx sin
3.应力计算 (计算A(y，z)点的正应力)
Mz
A
Mz y Iz
Myz Iy
中性轴：
o
z 横截面上正应力为零的点连成的直线
A( y, z)
令 A 0, 则A（y0, z0 )在 中 性 轴 上 ，
F y
A
Mz y0 Iz
M yz0 Iy
0
Mz Fy x Fx cos M y Fz x Fx sin
Mz y0 M yz0 0 —中性轴方程
A
Mz Iz
y
My
A
Myz Iy
A A A
A
Mz Iz
y
Myz Iy
z
z
组合变形的强度计算
组合变形的强度计算 组合变形的概念拉伸与弯曲的组合一.组合变形的概念1.组合变形:在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形PRzxyPP2、组合变形的研究方法——叠加原理叠加原理应用的基本步骤：①外力分析：将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形.②内力分析：分析每种载荷的内力，确定危险截面.③应力分析：分别计算构件在每种基本变形情况下的危险将各基本变形情况下的应力叠加，确定最④强度计算:二.弯曲与拉伸(的组合杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸（压缩）的组合偏心拉伸:弯曲与拉伸的组合变形链环受力立柱受力拉伸与弯曲组合的应力分析ϕϕsin p p cos p p y x ==A P x ='σy I M x l P M zy =''-=σ)(作用下：z T W M A N max max +=σzC W M A N max max -=σ危险截面处的弯矩抗弯截面模量y I M A N z +=''+'=σσσ根据叠加原理，可得x 横截面上的总应力为[]T z max max T W M A N σσ≤+=[]c zmax max C W M A N σσ≤-=强度条件为例:悬臂吊车,横梁由25 a 号工字钢制成，l =4m ，电葫芦重Q 1=4kN ，起重量Q2=20kN , α=30º, [σ]=100MPa，试校核强度。
取横梁AB为研究对象，受力如图b所示。
梁上载荷为P =Q1+Q2= 24kN，斜杆的拉力S 可分解为X B和Y B（1）外力计算横梁在横向力P和Y A、Y B作用下产生弯曲；同时在X A和X B作用下产生轴向压缩。
6组合变形的强度计算
当构件在载荷作用下同时产生两种或两种以上的基本变形时，称为组合变形。图示车 刀的变形为弯曲与压缩的组合变形，齿轮轴的变形为弯曲与扭转的组合变形。
二 组合变形问题的分析方法
➢ 外力分析 ➢ 内力分析 ➢ 应力分析 ➢ 建立强度条件 ➢ 强度计算
二 弯拉（压）组合、弯扭组合的强度条件
eF
M FN
F
例1
max
FN A
M Wz
FN
d 2 /
4
M
d 3 /
32
15103
1252 /
4
6 106 1253 / 32
32.5(MPa)
计算表明，立柱的强度足够。
四 弯扭组合的强度计算举例
例10-2 电动机通过联轴器带动齿轮轴， 如图a所示。已知两轴承间的距离 l=200mm，齿轮啮合力在圆周方向的分 力Ft=5kN，径向分力Fr=2kN。齿轮分 度圆直径D=200mm，轴的直径d=50mm， 轴材料的许用应力[ ]=55MPa。试按第 三强度理论校核此轴的强度。 解：（1）外力分析。将齿轮上的啮合 力向轴心简化，得到作用于轴心的两个 横向力及一个力偶Me，如图b所示。力 Fr使轴在铅垂面内产生弯曲变形，力Ft 使轴在水平面内产生弯曲变形，而力偶 Me则使轴上的CB段产生扭转变形，所 以此轴的变形为弯扭组合变形。
例2
（2）画扭矩图及弯矩图。从扭矩图
可以看出，CD段各截面上扭矩相同，
大小为
M
x
Me
Ft
d 2
5 0.2 0.5(kN m) 2
而从弯矩图来看，无论是铅垂面还是 水平面内，最大弯矩均出现在截面C， 其最大值分别为
M zC
Fr l 4
第十章 应力状态,强度理论与组合变形1
2 2
s
2 3
2(s1s 2
s 2s 3
s 3s1 )]
(10 11)
用主应力表示的体积改变比能为：
uV
= 1 2
6E
(s1 s 2
s 3 )2
用主应力表示的形状改变比能为：
usd
=
u
uv
=
1
6E
s 1
s2 2
s 2
s3
2
s 3
s
1
2
(10-13)
14
强度理论
问题：
复杂应力状态下 的强度？
屈服判据 s1-s3= sys Tresca条件, 1864, 法
实验验证： 很好地预测了塑性材料屈服。
设计：
强度条件： s1-s3[s]=sys/n
19
10.2.2 延性材料的屈服强度理论
四、形状改变比能理论（第四强度理论）
？ ？ 思考： Tresca条件与s2无关
滑移改变形状 能量
假说： 延性材料屈服取决于其形状改变比能 ud。
1 2
(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 [s ] = s ys / n
21
强度理论汇总：
强度条件的一般形式： 工作应力许用应力
相当应力
破 s1 理论 坏
e1 理论
sr [s]
sr1 = s1 常用
脆性破坏 [s]=sb/n 塑性屈服 [s]=sys /n
5
注意到txy=tyx，解得：
sa=sxcos2a+s ysin2a-2t xy sinacosa t a=(s x-s y)sinacosa+txy(cos2a -sin2a)
材料力学第六版答案第10章
第十章 组合变形的强度计算10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲弯心（）（）弯心弯心（）（）斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲“×”为危险点位置。
10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成ϕ＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14⨯=E 。
试确定①截面上中性轴的位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。
解：66.915cos 10cos =⨯==οϕP P y KN59.215sin 10sin =⨯==οϕP P z KN4310122015=⨯=z J 4cm 3310cm W z =335625121520cm J y =⨯=3750cm W y =25.74366.94max =⨯==l P M y z KN-M 94.14359.24m ax =⨯==l P M z y KN-MMPaW M W M yy z z 84.9107501094.110101025.763633maxmax max=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ 中性轴：οο47.2515tan 562510tan tan tan 411=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ϕαy z J J 2849333105434.0101010104831066.948--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z y y EJ l P f m28933310259.010562510104831059.248--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm方向⊥中性轴：ο47.25=α10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P 1＝800 N ，P 2＝1600 N 。
工程力学 第二版 (范钦珊 唐静静 著) 高等教育出版社 课后答案 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
网
FP a2
ww w
5
.k hd
b
m
上表面
∴
σa 4 = σb 3
习题 10－7 图
和 ε 2 。证明偏心距 e与 ε1 、 ε 2 之间满足下列关系：
FP
网
ww w
e=
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
课
后 答
案
FP
M = FP e
习题 10－8 图
解：1，2 两处均为单向应力状态，其正应力分别为： 1 处：
第10章
组合变形与变形杆件的强度计算
10－1 根据杆件横截面正应力分析过程， 中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析 下列答案中哪一个是正确的。 （A）My = 0 或 Mz = 0， FN ≠ 0 ； （B）My = Mz = 0， FN ≠ 0 ； （C）My = 0，Mz = 0， FN ≠ 0 ； （D） M y ≠ 0 或 M z ≠ 0 ， FN = 0 。 正确答案是 D 。 解：只要轴力 FN x ≠ 0 ， 则截面形心处其拉压正应力一定不为零， 而其弯曲正应力一定为零， 这样使其合正应力一定不为零，所以其中性轴一定不通过截面形心，所以答案选（D） 。 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心； （D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。 解：中性轴上正应力必须为零。由上题结论中性轴不一定过截面形心；另外当轴力引起的 拉（压）应力的绝对值大于弯矩引起的最大压（拉）应力的绝对值时，中性轴均不在截面内， 所以答案选（D） 。 并且垂 10－3 图示悬臂梁中， 集中力 FP1 和 FP2 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内， 直于梁的轴线，如图所示。已知 FP1＝1.6 kN，FP2＝800 N，l＝1 m，许用应力 σ ＝160 MPa。 试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸： 1．截面为矩形，h＝2b； 2．截面为圆形。
工程力学组合受力与变形时的强度计算
FN A
M W
3103
d 2
8 103
d 3
81.1
MPa
81.9
4
32
位置？
例题：图示钢板受集中力P=128KN作用，当板在
一侧切去深4cm的缺口时，求缺口截面的最大正应 力？若在板两侧各切去深4cm的缺口时，缺口截面 的最大正应力为多少?(不考虑应力集中) 10
P
360
求： 1．链环直段部分横截面上 的最大拉应力和最大压应力； 2. 中性轴与截面形心之间 的距离。
解：根据平衡，截面上将
作用有内力分量FNx 和Mz
Fx 0 M C 0
得到 FNx＝800 N
Mz＝ 12 N·m
x FNx
FNx A
4FNx πd 2
π
4 800 122 106
简支梁在中点受力的情
形下，最大弯矩
Mmax=FPl / 4。得到两个 平面弯曲情形下的最大
d
弯矩：
c
M max
FPz
FPx l FPsin l
4
4
M max
(FPy )
FPy l 4
FP
cos l 4
在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上边缘的角点 a、b 承受最大压应力；下边缘的角点c、d 承受最 大拉应力。
Pz P cos
以y为中性轴弯曲 M y Pz (l x)
P cos(l x) M cos
M z Py (l x)
P sin(l x) M sin
M z y M y sin M y z M z cos
第十章 组合变形
max
FN A
M max Wz
FN bh
6F2l bh2
6 103 0.12 0.15
6 4103 0.12 0.152
解： （1）分析梁的变形:
F1
BC段：在F2 作用下只在水平 对称平面内发生平面弯曲;
AB 段：在F2、F1 作用下发生斜弯曲 组合变形。
（2）危险截面是固端截面 M zmax F1l1 2 103 1N.m=2kN.m
Mymax F2l2 1103 2N.m=2kN.m
20
Wz
FN bh
F2a
1 6
bh2
6103 0.12 0.15
6 2.4103 0.12 0.152
5MPa
同理：B 点的正应力
B
FN A
M Wz
FN bh
6M bh2
5.7MPa
26
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
[例10 – 3] 矩形截面杆受力如图所示,F1 的作用线与杆的轴线重合,F2 作用在杆的 对称平面内。已知F1 = 6 kN,F2 = 2 kN,a = 1 .2 m,l = 2 m,b= 120 mm, h = 150 mm。 试求:(1)n - n 截面上A 点和B 点的正应力;(2)杆中的最大压应力。
中性轴仍与加载（合成载荷）轴垂直，但挠度曲线不再为加载面内的平面曲线。
12
第二节 斜弯曲
一、正应力计算 斜弯曲时,梁的横截面上一般是同时存在正应力和切应力, 切应力忽略不计！ [例题] 计算矩形截面悬臂梁K点的正应力。
材料力学 第十章组合变形(1,2,3)
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z
z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P
CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m
FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力
第十五讲： 第十章组合变形-强度理论
FN F M F 350 75103
425F 103 N.m
50 150
A 15000 2 mm z0 75mm z1 125mm
（2）立柱横截面的内力 FN F M 425103 F N.m
t . max
Mz 0 FN Iy A
一、
斜 弯 曲
平面弯曲
斜弯曲
t ,max M y max M z max c ,max Wy Wz
D1点： t ,max [ t ] D2点： c,max [ c ]
强度条件：
挠度：
f f y2 f z2
fz
fz Iz tan tan fy Iy
2
3
2
3
结论： 代表单元体任意斜 截面上应力的点， 必定在三个应力圆 圆周上或圆内。
五、 广义胡克定律
1. 基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
y x
x E x
横向变形
x
y x
2）纯剪切胡克定律
x
E
G
广义胡克定律
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
* z
（切应力强度条件）
max [ ]
max
max [ ] 满足 max [ ]
是否强度就没有问题了？
max
强度理论的概念
强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推 理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出
引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，
在一定范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
第10章组合受力与变形的强度计算
Mwmax M B
M
2 z
M
2 y
Mz
z
M
y
T
C
1120N
B
T B
5400N
x
6520N D A
TAx
（√A）平面弯曲； （B）斜弯曲；
（C）纯弯曲； （D）弯扭结合。
CL11TU20
例：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中 力P，该杆的变形设有四种答案：
（A）平面弯曲变形； （√B）斜弯曲变形；
（C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
CL11TU21
例：具有切槽的正方形木杆， 受力如图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应 力σt 和最大压应力σc；
6
Pb M z P b
Wz c d 2 6
N P A cd
My Pa Wy d c 2
6
Mz Pb Wz c d 2
6
任意横截面上的内力：
N P , M y Pa , Mz Pb
N A
My Iy
z
Mz Iz
y
P cd
Pa z d c3
Pb y cd3
12 12
c t
N A
My Wy
图示传动轴，传递功率P=7.5Kw,轴的转速n=100r/min。 A、B为带轮。轮A带处于水平位置；轮B带处于铅垂位置。 F‘p1= Fp1、 F’p2= Fp2为带拉力。已知Fp1> Fp2， Fp2=1500N, 两轮直径均为D=600mm,轴材料的许用应力[σ]=80Mpa。 试按第三强度理论设计轴的直径。
解：一、简化外力：
外加扭矩:T 9549 N 9549 7.5 716.2Nm
n
10-组合受力与变形时的强度计算
fy
y
f Z P cos l I P cos l Z tan fy 3EI y 3EI Z Iy
IZ 即： b tan tan Iy
第十章 组合变形与强度计算
P cos l 3 fy 3EI Z 3EI Z PZ l 3 P cos l 3 fZ 3EI y 3EI y
先确定中性轴的位置；
再作中性轴的平行线， 与横截面边界相切，切点 便是危险点。
D1、D2为危险点。
D2 y 中性轴 D1(y1,z1)
z
α
max
第十章
M y max M z max y1 z1 Iz Iy
组合变形与强度计算
中性轴位置的确定
cos sin M y I Iy z
第十章 组合变形与强度计算
10.1 斜弯曲 二、斜弯曲的研究方法 1.分解 将外力沿横截面的两个形心主轴分解，得到 两个正交的平面弯曲。 2.叠加 分别研究两个平面弯曲； 然后叠加计算结果。
第十章
组合变形与强度计算
10.1 斜弯曲
三、斜弯曲的强度计算
例：分析图示悬臂梁斜弯曲时的强度计算。
z x z F φ y
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
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第十章
组合变形与强度计算
一、基本变形回顾
F F
轴向拉压
Me
Me
扭转
F
○ ○ ○
平面弯曲
二、组合变形
同时产生两种或两种以上基本变形。
第十章 组合变形与强度计算
A FAx FAy
F Fx P
Fy B
压弯组合变形
第十章
组合变形与强度计算
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y
F1
80ºF2 z 建立图示杆件的强度条件
A 150 F1
A 150
解：①外力向形心
x
简化并分解
B 200
Mx B 200
C 100 D y
z
F2z
Mx
x
P2y
CD
100
y
弯扭组合变形
MMZy ((NNmm))
MMzy ((NNmm))
Mn (（NNmm)）
Mn
MM ((NNmm)) MMmmaaxx
1
2 2
2
3 2
3
1 2
23 2
M
2
0.75
M
2 n
M
2 y
M
2 z
0.75 M
2 n
Wz
Wz
xd4
M
2 y
M
2 z
0.75
合问题的求解步骤：
①外力分析：外力向形心简化并分解。
②内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危 险面。
③应力分析：建立强度条件。
B1
Mn Wn
M
x
1 3
2
( )2 2
2
xB2 ⑥建立强度条件
xd3 1 3 2 4 2
M
2 m
a
x
Wz 2
4
M
2 n
WP2
xd3 1 3 2 4 2
M
2 m
ax
Wz 2
4
M
2 n
Wn2
M
2 y
M
2 z
M
2 n
Wz
xd3
M
2 y
M
2 z
M
2 n
Wz
xd4
1 2
M
x
B 200
z
F2z
M Cx D
P2xy
100 y
MMZy ((NNmm))
71.25
MMzy ((NNmm))
40
7.05
Mn (（NNmm)）
120 Mn
MM ((NNmm)) 7M1.m3ax
40.6 5.5
②内力分析：危
xX
险面内力为：
M max71.3Nm Xx
M n 120 Nm ③应力分析：
第十章 组合变形的强度计算
§10-1 组合变形的概述 §10-2 拉伸(压缩)与弯曲组合变形的强度计算 §10–3 弯曲与扭转组合变形的强度计算
§10–1 组合变形的概述 一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略 之，这类构件的变形称为组合变形。
生的变形。
F
R
x
F
F y
z My
x z Mz
Fy My
二、应力分析：
x z Mz F y
F
MZ
My
My
xP
F A
x
M
z
M I
z z
y
x
F A
Mzy Iz
Myz Iy
x
M
y
M I
y y
z
例10-1 图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试分别求出
两柱内的绝对值最大正应力。
解：两柱均为压应力
xx xd3
M
2 max
M
2 n
Wz
xX
3.312407.10.3332(11200.824 )
97.5MPa
安全
F
F
d
F
1m ax
F A1
M Wz1
200
300
200
图（1）
图（2）
350000 0.20.3
350506 0.20.32
11 .7 MPa
F
2max
F A
M
350000 8.75MPa
0.2 0.2
§10–3 弯曲与扭转组合变形的强度计算
F1
80ºF2 z
x
A 150
B 200 C 100 D
xd3
M
2 y
M
2 z
M
2 n
Wz
xd4
M
2 y
M
2 z
0.75
M
2 n
Wz
例10-2图示空心圆杆，内 径d=24mm，外径 D=30mm，F1=600N，
[]=100MPa，试用第
三强度理论校核此杆的 强度。
解：①外力分析：
弯扭组合变形
F1
80 F2 z º
A 150 F1
A 150
x
B 200 C 100 D y
②每个外力分量对应 xX 的内力方程和内力图
Xx M y (x) ; M z (x) ; M n (x) ③叠加弯矩，并画图
M (x)
M
2 y
(
x)M
2 z
(
x)
xx
④确定危险面
xX
⑤画危险面应力分布图，找危险点
Mz
M
B1
x
Mn B2My
xB1
B1
xB1
B1
xB1
B1
xB1
M max WZ
F R
F z
x
M
y
F
F
hg
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
①外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。
§10–2 拉伸(压缩)与弯曲组合变形的强度计算
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产