魔术轮胎公式

用魔术公式建立轮胎模型

用魔术公式建立轮胎模型根据资料，通过给定的参数以及对一些比例因子的设定，用魔术公式建立如下轮胎模型。

1.纯纵滑情况：%% Longitudinal Force (pure longitudinal slip)%% k is input value, means slip ratio%% Fx0 is output value, means longitudinal forcek=linspace(-1,1,300);dfz=(Fz-Fz0)/Fz0;C_x=P_Cx1; %取lam(Cx)=1 shape factoru_x=(P_Dx1+P_Dx2*dfz)*0.9; %取lam(ux*)=0.9 composite friction scaling fatorD_x=u_x*Fz; %zeta(1-8)都取1S_Hx=(P_Hx1+P_Hx2*dfz); %取lam(Hx)=1 horizontal shiftk_x=k+S_Hx;E_x=(P_Ex1+P_Ex2*dfz+P_Ex3*dfz^2)*(1-P_Ex4*sign(k_x)); %取lam(Ex)=1 curvature factorK_xk=Fz*(P_Kx1+P_Kx2*dfz)*exp(P_Kx3*dfz); %取lam(Kxk)=1 break slip stiffnessB_x=K_xk/(C_x*D_x+0.1); %取epsilon=0.1S_vx=Fz*(P_Vx1+P_Vx2*dfz)*(V0/(0.1+V0)); %lam(Vx),lam(ux),zeta1=1,epsil on=0.1Fx0=D_x*sin(C_x*atan(B_x*k_x-E_x.*(B_x*k_x-atan(B_x*k_x))))+S_vx;figure(1);plot(k,Fx0,'linewidth',1.5);gridxlabel('纵向滑移率');ylabel('纵向力/（N）');title('纵向力--滑移率(纯纵滑)');2.纯侧滑情况：%% Lateral Force and Torque (pure side slip)%% a is input value, means slip angle%% Fy0 is output value, means side force%% Mz0 is output value, means aligning torquea=linspace(-15,15,300); %侧偏角取-15-15 度ta=tan(a*pi/180);sr=sin(r); %r是外倾角，sr 表示r*C_y=P_Cy1; %取lam(Cy)=1u_y=(P_Dy1+P_Dy2*dfz)/(1+P_Dy3*sr^2); %取lam(uy*)=1D_y=u_y*Fz; %zeta(1-8)都取1K_ya=P_Ky1*Fz0*sin(P_Ky4*atan(Fz/((P_Ky2+P_Ky5*sr^2)*Fz0)))/(1+P_Ky3*sr^2); %取lam（Kya）=1 zeta(3)=1B_y=K_ya/(C_y*D_y); %取epsilony=0；K_yr0=Fz*(P_Ky6+P_Ky7*dfz); %取lam（Kyr)=1S_Vyr=Fz*(P_Vy3+P_Vy4*dfz)*sr;%lam(kyr)=1, camber force stiffness 后面的修正系数全部取1S_Hy=(P_Hy1+P_Hy2*dfz)+(K_yr0*sr-S_Vyr)/(K_ya+0.1); %zeta(0,4)都取1 epsilon(k)=0.1 S_Vy=Fz*(P_Vy1+P_Vy2*dfz)+S_Vyr; %lam(Vy,uy)=1,zeta(2)=1ay=ta+S_Hy; %tan(sa)表示横向侧偏角a*E_y=(P_Ey1+P_Ey2*dfz)*(1+P_Ey5*sr^2-(P_Ey3+P_Ey4*sr)*sign(ay)); %lam(ey)=1Fy0=D_y*sin(C_y*atan(B_y*ay-E_y.*(B_y*ay-atan(B_y*ay))))+S_Vy;figure(2);plot(a,Fy0,'linewidth',1.5);gridxlabel('侧偏角');ylabel('侧向力/（N）');title('侧向力-侧偏角(纯侧滑)');C_r=1;C_t=q_Cz1;B_t=(q_Bz1+q_Bz2*dfz+q_Bz3*dfz^2)*(1+q_Bz5*abs(sr)+q_Bz6*sr^2);S_Ht=q_Hz1+q_Hz2*dfz+(q_Hz3+q_Hz4*dfz)*sr;a_t=ta+S_Ht;B_r=(q_Bz9+q_Bz10*B_y*C_y);E_t=(q_Ez1+q_Ez2*dfz+q_Ez3*dfz^2)*(1+(q_Ez4+q_Ez5*sr)*(2/pi)*atan(B_t*C_t*a_t));S_Hf=S_Hy+S_Vy/K_ya;ar=ta+S_Hf;D_t0=Fz*(R0/Fz0)*(q_Dz1+q_Dz2*dfz); %取lambda(t)=1D_t=D_t0*(1+q_Dz3*abs(sr)+q_Dz4*sr^2);t0=D_t*cos(C_t*atan(B_t*a_t-E_t.*(B_t*a_t-atan(B_t*a_t))));D_r=Fz*R0*(q_Dz6+q_Dz7*dfz)+(q_Dz8+q_Dz9*dfz)*sr+(q_Dz10+q_Dz11*dfz)*sr*abs(sr);M_zr0=D_r*cos(C_r*atan(B_r*ar)); M_z0=M_zr0-t0.*Fy0;figure(3);plot(a,M_z0,'linewidth',1.5);grid on;xlabel('侧偏角');ylabel('回正力矩/（N）');title('回正力矩-侧偏角(纯侧滑)')3.组合滑移情况：%% Longitudinal Force (combined slip)%% aS is input value, means slip angle%% Fx is output value, means longitudinal forceS_Hxa=r_Hx1;E_xa=r_Ex1+r_Ex2*dfz;C_xa=r_Cx1;B_xa=(r_Bx1+r_Bx3*sr^2)*cos(atan(r_Bx2*k)); %lam(xa)=1,influence on Fx 矩阵aS=ta+S_Hxa; %矩阵G_xa0=cos(C_xa*atan(B_xa*S_Hxa-E_xa*(B_xa*S_Hxa-atan(B_xa*S_Hxa))));G_xa=cos(C_xa*atan(B_xa.*aS-E_xa*(B_xa.*aS-atan(B_xa.*aS))))./G_xa0;Fx=G_xa.*Fx0;figure(4);plot(a,Fx,'linewidth',1.5);grid on;xlabel('侧偏角');ylabel('纵向力/（N）');title('纵向力-侧偏角(混合滑移)');%% Lateral Force (combined slip)%% kS is input value, means slip ratio%% Fy is output value, means longitudinal forceC_yk=r_Cy1;E_yk=r_Ey1+r_Ey2*dfz;B_yk=(r_By1+r_By4*sr^2)*cos(atan(r_By2*(k-r_By3))); %lam(yk)=1D_Vyk=u_y*Fz*(r_Vy1+r_Vy2*dfz+r_Vy3*sr)*cos(atan(r_Vy4*ta)); %zeta(2)=1S_Vyk=D_Vyk.*sin(r_Vy5*atan(r_Vy6*k)); %取lam（Vyk）=1 S_Hyk=r_Hy1+r_Hy2*dfz;kS=k+S_Hyk;G_yk0=cos(C_yk*atan(B_yk*S_Hyk-E_yk*(B_yk*S_Hyk-atan(B_yk*S_Hyk))));G_yk=cos(C_yk*atan(B_yk.*kS-E_yk*(B_yk.*kS-atan(B_yk.*kS))))/G_yk0;Fy=G_yk.*Fy0+S_Vyk;figure(5);plot(k,Fy,'linewidth',1.5);grid on;xlabel('纵向滑移率');ylabel('侧向力/（N）');title('侧向力-纵向滑移率(混合滑移)');%% Aligning Torque (combined slip)%% ateq is input value, means slip angle%% Mz is output value, means Aligning Torqueateq=(sqrt(a_t.^2+(K_xk/K_ya)^2*(k.^2))).*sign(a_t);areq=(sqrt(ar.^2+(K_xk/K_ya)^2*(k.^2))).*sign(ar);M_zr=D_r*(C_r*atan(B_r*areq));s=R0*(S_sz1+S_sz2*(Fy/Fz0)+(S_sz3+S_sz4*dfz)*sr); %取lambda(s)=1 F_yy=Fy-S_Vyk;t=D_t*cos(C_t*atan(B_t*ateq-E_t.*(B_t*ateq-atan(B_t*ateq))));M_zz=-t.*F_yy;Mz=M_zz+M_zr+s.*Fx;figure(6);plot(a,Mz,'linewidth',1.5);grid on;xlabel('侧偏角');ylabel('回正力矩/（N）');title('回正力矩-侧偏角(混合滑移)');。

Magic Formula轮胎模型

y x Fx Fx 0 , Fy Fy 0 tan 2 2 x y , x , y 1 1
MF模型简介
在Matlab/Simulink中建立的轮胎动力学模型：
工作计划
继续完成仿真工作，完善轮胎模型的参数辨识；学习整车模型的建立；结合FPGA学习卡尔曼算法和非线性观测器。
MF模型简介
Magic Formula 模型：
用特殊正弦函数建立的轮胎纵向力、侧向力和自回正力矩模型。用一个通过拟合实验数据而得到的三角函数公式来与轮胎实验数据相吻合, 完全能够表达不同驱动情况时的轮胎特性。只用一套公式就完整地表达了纯工况下轮胎的力学特性,故称为魔术公式。可对轮胎模型的特性进行良好描述,不但可以用函数表述轮胎的转向力、回复力矩和驱动/制动力,也可以直接利用轮胎实验数据。
MF模型简介
MF公式：
Y=y+Sv y=Dsin{Carctan[Bx-E(Bx-arctanBx)]} x=X+Sh 式中, Y表示侧向力或纵向力,X表示侧偏角α 或滑移率k。 B为刚度因子,C为形状因子,D为峰值因子,E为曲率因子Sv为垂直偏移,Sh为水平偏移。除C外,该公式中的参数都是垂直载荷Fz 和侧偏角α 的函数。若计算回正力矩 Mz=-t*Fy+Mzr t(αt)=Dtcos[Ctarctan{Btαt-Et(Btαt-arctan(Btαt))}]cos(α) αt = α + Sht Mz表示回正力矩，t为气胎拖矩，Mzr为残余回正力矩。
3
简化与建立合理的轮胎动力学模型对轮胎新产品的开发和汽车整车性能的分析有重要作用。
模型分类
轮胎动力学模型分类
理论模型
经验模型

Tyre_and_Vehicle_Dynamics研读笔记-魔术公式

并且，此垂直移动（残余力矩(residual aligning moment)）随着侧偏增大会逐渐消失，详细可见后续及下图：
认为外倾侧偏力刚度与垂直载荷呈正比，外倾回正力矩刚度与纵向滑移刚度CF s 、接地印迹宽度 2b，等效轮胎半径re 有关，而源自向滑移刚度也是与垂直载荷呈正比，有：
最终有单方向工况的相似原理公式：
Tyre and Vehicle Dynamics
Chapter 4 4.2
参考条件(reference condition)包括：额定垂直载荷Fz0 (rated nominal load) 外倾角为 0，γ = 0 单方向工况，纵向滑移率为 0，s = 0或侧偏角为 0，α = 0 给定路面μ0 (given road surface) 相似原理的基础就是，即使轮胎在其他非参考条件下，单方向工况的曲线形状大体相同。这也就是说，通过水平和垂直方向的乘子 (vertical and horizontal multiplication) 和平移 (shifting)，就可以得到与参考工况一样的特性。下面是无量纲侧偏力-无量纲侧向滑移率曲线和无量纲回正力矩 -无量纲侧向滑移率曲线，图中实线是按照魔术公式计算的曲线。
4.2.1 单方向滑移状态
当垂直载荷不是额定载荷时：
这样能使侧偏力在侧偏角为 0 处的斜率保持不变：
由于垂直载荷改变，侧偏刚度实际是改变的，所以要调整侧偏角为 0 时的斜率，有：
对回正力矩有类似的处理：
还有以下公式：
再考虑路面条件也不是参考条件时，有：
考虑车轮外倾角（正）的影响时，会使侧偏力曲线有一个向左的水平平移：
即侧偏角为 0 时，即： α=0 α = SHy
∗

魔术公式教学文案

魔术公式Pacejka的“魔术公式”是近期在汽车操纵动力学研究中比较流行的公式，它是用特殊正弦函数建立的轮胎的纵向力、横向力和自回正力矩模型。

因只用一套公式就完整地表达了纯工况下轮胎的力特性，故成为“魔术公式”。

“魔术公式”表达如下：sin(arctan((arctan())))vhY y Sy D C Bx E Bx Bxx X S=+=--=+其中，Y表示侧向力、纵向力或回正力矩，X表示侧偏角α或滑移率s。

现以侧向力为例说明公式中各系数的意义。

式中D--峰值因子，表示曲线的最大值B C D⋅⋅--侧偏角趋于零时轮胎的侧偏刚度，曲线中表示原点的斜率E--曲线形态因子，决定曲线最大值附近的形状C--决定曲线的形状，即曲线是像侧向力、纵向力还是回正力矩hS--水平方向漂移vS--垂直方向漂移除C外，“魔术公式”中的参数都是垂直载荷和侧倾角γ的函数。

以下为轮胎纵向动力学特性在MATLAB中的具体实现212x z zD a F a F=+1.65x C =2678x z z E a F a F a =++5234()///z a F x z z x x B a F a F e C D =+52342122678sin(arctan((arctan())))()///1.65zx x x x x x xa Fx z z x xxx z zx z zF D C B E B BB a F a F eC DCD a F a FE aF a F aκκκ=--=+==+=++sin(arctan((arctan())))(arctan((arctan()))) cos(arctan((arctan())))x xx x x x xz zx x x x x x x x x x xzdF dDC B E B BdF dFd B E B BD C BE B B CdFκκκκκκκκκ=--+----2(arctan((arctan())))(arctan()) 1((arctan())) 1((arctan()))x x x xzx x x xx x xx x x x z z zd B E B BdFdB dE d B BB B EB E B B dF dF dFκκκκκκκκκκκ--=----+--222(arctan())()11()1()x x x x x xz z x z x zd B B dB dB B dBdF dF B dF B dFκκκκκκκκ-=-=++555522343422234345(()///)()///(()///)(()///)zzz za Fa Fx z z x x z zx xz z za F a Fxz z x x z z x xzdB d a F a F e C D d a F a Fe C DdF dF dFdDa F a F e C D a F a F e C D adF++==-+-+sin(arctan((arctan())))x x x x x x xF D C B E B Bκκκ=--22cos(arctan((arctan())))(())1()1((arctan())xx x x x x x x x x xx xx x x xBD C BE B B C B E BdF Bd B E B Bκκκκκκκκ----+=+--车辆防抱死制动系统的控制技术研究东大，侯光钰，张为公 2.3.1 H.B.Pacejka 的魔术公式Pacejka 的“魔术公式”是汽车操纵动力学研究中应用比较广泛的轮胎力学模型，它用特殊的正弦函数建立轮胎的纵向力、横向力和回正力矩的函数表达式。

基于pac2002魔术公式的轮胎动力学特性分析

第３４卷㊀第６期２０１９年１２月北京信息科技大学学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢｅｉｊｉｎｇＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶｏｌ.３４㊀Ｎｏ.６Ｄｅｃ.２０１９文章编号:１６７４－６８６４(２０１９)０６－００７６－０６ＤＯＩ:１０１６５０８/ｊ.ｃｎｋｉ.１１－５８６６/ｎ.２０１９０６０１４基于ＰＡＣ２００２魔术公式的轮胎动力学特性分析尚㊀强ꎬ王国权(北京信息科技大学机电工程学院ꎬ北京１００１９２)摘㊀㊀㊀要:为了满足汽车动力学整车仿真的研究需要ꎬ基于Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋꎬ用ＰＡＣ２００２魔术公式建立某轮胎动力学的仿真模型ꎬ对车辆稳态行驶时在轮胎纯驱动(制动)㊁纯转弯㊁驱动(制动)和转弯联合等工况下ꎬ分别进行纵向滑移率㊁侧偏角㊁垂直载荷等指标对纵向力㊁侧向力和回正力矩的仿真分析ꎮ仿真结果表明ꎬ基于ＰＡＣ２００２魔术公式的轮胎动力学模型能够比较准确地模拟出轮胎的动力学特性ꎮ关㊀键㊀词:ＰＡＣ２００２魔术公式ꎻ轮胎模型ꎻ纵向滑移率ꎻ侧偏角中图分类号:Ｕ４６１ꎻＵ４６３㊀㊀㊀文献标志码:ＡＴｉｒｅｄｙｎａｍｉｃｓａｎａｌｙｓｉｓｂａｓｅｄｏｎＰＡＣ２００２Ｍａｇｉｃ￣ＦｏｒｍｕｌａＳＨＡＮＧＱｉａｎｇꎬＷＡＮＧＧｕｏｑｕａｎ(ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｎｅｅｒｉｎｇＳｃｈｏｏｌꎬＢｅｉｊｉｎｇＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＢｅｉｊｉｎｇ１００１９２ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:ＩｎｏｒｄｅｒｔｏｍｅｅｔｔｈｅｎｅｅｄｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｖｅｈｉｃｌｅｄｙｎａｍｉｃｓꎬｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＭａｔｌａｂ/ＳｉｍｕｌｉｎｋｓｏｆｔｗａｒｅꎬａｔｉｒｅｄｙｎａｍｉｃｓｍｏｄｅｌｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅＰＡＣ２００２Ｍａｇｉｃ￣Ｆｏｒｍｕｌａｔｉｒｅｍｏｄｅｌ.Ｔｈｅｎｔｈｅｍｏｄｅｌｉｓｓｏｌｖｅｄｕｎｄｅｒｔｈｅｓｔｅａｄｙ￣ｓｔａｔｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｓｕｃｈａｓｖｅｈｉｃｌｅｐｕｒｅｂｒａｋｉｎｇꎬｄｒｉｖｉｎｇꎬｐｕｒｅｃｏｒｎｅｒｉｎｇꎬｂｒａｋｉｎｇꎬｄｒｉｖｉｎｇａｎｄｃｏｒｎｅｒｉｎｇ.Ｔｈｅｔｉｒｅｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌｆｏｒｃｅꎬｔｈｅｌａｔｅｒａｌｆｏｒｃｅꎬａｎｄｔｈｅａｌｉｇｎｉｎｇｍｏｍｅｎｔａｒｅｃａｃｕｌａｔｅｄｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｌｉｐｒａｔｉｏꎬｓｌｉｐａｎｇｌｅａｎｄｔｈｅｖｅｒｔｉｃａｌｌｏａｄ.ＩｔｉｓｓｈｏｗｎｔｈａｔｔｈｅｔｉｒｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｂａｓｅｄｏｎＰＡＣ２００２ｆｏｒｍｕｌａｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｓｉｍｕｌａｔｅｓｉｔｓｄｙｎａｍｉｃｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ＰＡＣ２００２ｍａｇｉｃ￣ｆｏｒｍｕｌａꎻｔｉｒｅｍｏｄｅｌꎻｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌｓｌｉｐｒａｔｉｏꎻｓｌｉｐａｎｇｌｅ收稿日期:２０１８￣０６￣１６第一作者简介:尚㊀强ꎬ男ꎬ硕士研究生ꎻ通讯作者:王国权ꎬ男ꎬ博士ꎬ教授ꎮ０㊀引言轮胎动力学的研究先后经历了起始阶段㊁发展阶段和相对成熟阶段ꎮ汽车轮胎动力学的研究起源于对飞机轮胎的研究ꎮ２０世纪２０年代末至３０年代初ꎬ美国空军建成了起落架系统卓越中心(ＬＧＳＣＥ)ꎬ开发了航空轮胎六分力测试设备ꎮ此后ꎬ美国㊁德国㊁荷兰相继开发了Ｆｉａｌａ㊁ＵＡ及ＭａｇｉｃＦｏｒｍｕｌａ(ＭＦ)等轮胎模型ꎬ在模型精度提高的同时ꎬ适用范围也从单一工况扩展至侧偏㊁纵滑等四维输入的复合工况[１]ꎮ轮胎模型从稳态到非稳态㊁从线性到非线性模型已经相当丰富ꎮ我国学者对轮胎动力学的研究始于２０世纪６０年代ꎬ起因是国产红旗轿车出现了高速稳定性的问题ꎮ１９８４年长春汽车研究所开发了ＱＹ７３２９轮胎试验台ꎬ改变了我国无法进行轮胎动力学测试的状况[２]ꎮ从此我国轮胎动力学的研究开始快速推进ꎮ郭孔辉院士在理论分析和试验研究基础上所提出的幂指数统一轮胎模型是代表性的成果ꎬ可用于轮胎的稳态侧偏㊁纵滑以及纵滑侧偏联合工况ꎬ并且可预测轮胎的稳定特性ꎮ该模型通过获得有效的滑移率ꎬ也可进行非稳态工况下的轮胎纵向力㊁侧偏力和回正力矩的计算[３]ꎮ国外ꎬ荷兰Ｄｅｌｆｔ工业大学提出了ＳＷＩＦＴ轮胎模型ꎬ它由刚性圈理论和魔术公式[４]综合而成ꎬ在考虑侧向力和回正力矩时ꎬ采用魔术公式ꎻ在考虑纵向力和垂直力时ꎬ采用刚性圈理论ꎮＳＷＩＦＴ轮胎模型采用了胎体建模与接地区域分离的建模方法ꎬ可精确地描述小波长㊁大滑移时的轮胎特性ꎬ因而可计算从瞬态到稳态连续变化的轮胎动力学行为ꎮ此第６期尚㊀强等:基于ＰＡＣ２００２魔术公式的轮胎动力学特性分析㊀外ꎬ该模型也考虑到了在不同路面条件下行驶的情况ꎬ通过对模型的进一步细化ꎬ还可用来描述车轮外倾以及转弯纵滑联合工况下的轮胎特性[３]ꎮ目前ꎬ应用最广泛的是由Ｈ.ＢＰａｃｅｊｋａ教授提出的轮胎经验模型魔术公式轮胎模型ꎬ它是通过对大量的轮胎动力特性的实验数据进行回归分析ꎬ以三角函数组合的形式来拟合实验数据ꎬ得出的一套形式相同但可同时表达纵向力㊁侧向力和回正力矩的轮胎模型[４]ꎮＰａｃｅｊｋａ８９轮胎模型ꎬ由Ｈ.ＢＰａｃｅｊｋａ㊁Ｅ.Ｂａｋｋｅｒ和Ｌ.Ｌｉｄｎｅｒ教授在发表的论文中所提出[５]ꎻＰａｃｅｊｋａ９４轮胎模型由Ｈ.ＢＰａｃｅｊｋａ教授在１９９３年第一届国际车辆动力学分析轮胎模型座谈会上提出[６]ꎮ而ＰＡＣ２００２模型则由ＭＳＣＳｏｆｔｗａｒｅ公司根据Ｐａｃｅｊｋａ８９轮胎模型和Ｐａｃｅｊｋａ９４轮胎模型结合车辆动力学联合开发出来ꎬ该模型包含了已发布的Ｐａｃｅｊｋａ８９㊁Ｐａｃｅｊｋａ９４轮胎模型和车辆动力学的最新进展ꎮ相对于两个Ｐａｃｅｊｋａ轮胎模型ꎬＰＡＣ２００２轮胎模型在参数表达式上有较大的变化ꎬ拟合精度有了更进一步的提高[７￣８]ꎮ本文以某品牌乘用车轮胎为研究对象ꎬ使用Ｍａｔｌａｂ/Ｓｉｍｕｌｉｎｋ软件建立了不同工况下轮胎的ＰＡＣ２００２轮胎模型ꎬ仿真绘制了轮胎的纵向滑移率㊁侧偏角㊁外倾角和垂直载荷对纵向力㊁侧向力以及回正力矩的关系曲线图ꎬ进而分析曲线的变化趋势ꎬ为汽车极限安全行驶性能评估提供了理论依据ꎮ１㊀轮胎模型的建立ＰＡＣ２００２轮胎模型是以魔术公式和车辆动力学为基础联合开发出来的ꎬ它用一套形式相同的数学公式描述稳态条件下轮胎与道路之间的相互作用力ꎮ无论对侧向力㊁纵向力和回正力矩ꎬ其拟合精度都相对比较高ꎬ公式统一性强ꎬ编程简单ꎬ需要拟合的参数较少ꎬ且各个参数都有明确的物理意义ꎮＰＡＣ２００２轮胎模型采用ＳＡＥ标准轮胎运动坐标系ꎬ轮胎力的计算输入和输出变量关系如图１所示ꎮ用魔术公式轮胎模型对轮胎建模时将轮胎的稳态工况分为以下３类ꎮ纯驱动(制动)工况:制动或驱动轮胎纵向滑动而不转弯ꎮ图１㊀魔术公式轮胎模型的输入和输出变量纯转弯工况:使用自由滚动轮胎半径转弯ꎮ㊀㊀纯驱动(制动)和纯转弯组合工况:同时转弯和纵向滑动ꎮ魔术公式如下:Ｙｘ()＝ＤｓｉｎＣｔａｎ－１Ｂｘ{[－ＥＢｘ－(ｔａｎ－１Ｂｘ())}](１)式中:Ｙｘ()为轮胎的侧向力㊁纵向力或者回正力矩ꎻｘ为轮胎的侧偏角或者纵向滑移率ꎻＤ为确定曲线特征的峰值ꎬ称为峰值因子ꎻＣ为决定正弦使用的部分ꎬ主要影响正弦的形状曲线ꎬ称为形状因子ꎻＢ为拉伸曲线因子ꎬ称为刚度系数ꎻＥ为修改曲线峰值周围的特征ꎬ称为曲率因子ꎮ在ＰＡＣ２００２轮胎模型中ꎬ滑移率的定义[７￣８]示意图如图２所示ꎮ图２㊀轮胎运动速度示意图横向滑移速度Ｖｓｙ＝Ｖｙꎬ式中Ｖｙ为轮胎与地面接触点相对于路面的横向速度ꎮ滚动速度Ｖｒ＝Ω Ｒｅꎬ式中Ω为车轮转速ꎻＲｅ为有效滚动半径ꎮ接触点的纵向滑移速度Ｖｓｘ＝Ｖｘ－Ｖｒꎬ式中Ｖｘ为接触点相对于路面的纵向速度ꎮ纵向滑移率κ＝－ＶｓｘＶｘꎮ侧偏角α＝ｔａｎ－１ＶｓｙＶｘꎮ１１㊀稳态纯驱动(制动)工况轮胎纯直线行驶的车轮运动ꎬ纵向力为Ｆｘ０＝ＤｘｓｉｎＤｘｔａｎ－１Ｂｘκｘ{[－ＥｘＢｘκｘ(－ｔａｎ－１Ｂｘκｘ())}]＋Ｓｖｘ(２)κｘ＝κ＋ＳＨｘγｘ＝γ λγｘ７７㊀北京信息科技大学学报第３４卷其中Ｃｘ＝ｐＣｘ１ λＣｘＤｘ＝μｘＦｚ ζ１μｘ＝ｐＤｘ１＋ｐＤｘ２ｄｆｚ() １－ｐＤｘ３γ２()λμｘＥｘ＝ｐＥｘ１＋ｐＥｘ２ｄｆｚ＋ｐＥｘ３ｄｆ２ｚ()ˑ１－ｐＥｘ４ｓｇｎκｘ(){}λＥｘ㊀㊀纵向滑动刚度Ｋｘ＝ＦｚｐＫｘ１＋ｐＫｘ２ｄｆｚ() ｅｘｐｐＫｘ３ｄｆｚ()λＫｘＫｘ＝ＢｘＣｘＤｘ＝∂Ｆｘ０∂κｘｔａｎ－１κｘ()＝０Ｂｘ＝Ｋｘ/ＣｘＤｘ()ＳＨｘ＝ｐＨｘ１＋ｐＨｘ２ｄｆｚ()λＨｘＳＶｘ＝ＦｚｐＶｘ１＋ｐＶｘ２ｄｆｚ()λＶｘλμｘζ１１２㊀稳态纯转弯工况侧向力为Ｆｙ０＝Ｆｙ０αꎬγꎬＦＺ()＝ＤｙｓｉｎＣｙ[ｔａｎ－１Ｂｙαｙ{－ＥｙＢｙαｙ－ｔａｎ－１Ｂｙαｙ()()}]＋ＳＶｙ(３)回正力矩为ＭＺ０＝ＭＺ０αꎬγꎬＦＺ()＝￣ｔＦｙ０＋Ｍｚｒ气动路径为ｔαｔ()＝ＤｔｃｏｓＣｔｔａｎ－１Ｂｔαｔ－Ｅｔ{[Ｂｔαｔ－(ｔａｎ－１Ｂｔαｔ())}]ｃｏｓα残余力矩为Ｍαｔ()＝ＤｒｃｏｓＣｔｔａｎ－１Ｂｒαｒ()[]ｃｏｓα１３㊀稳态驱动(制动)和转弯联合工况纵向力为ＦｘαꎬγꎬκꎬＦＺ()＝Ｆｘ０ＧｘααꎬκꎬＦｚ()(４)加权函数为Ｇｘα＝ｃｏｓＣｘα[ｔａｎ－１Ｂｘααｓ{－ＥｘαＢｘααｓ(－ｔａｎ－１Ｂｘααｓ())}]/Ｇｘα０Ｇｘα０＝ｃｏｓＣｘα[ｔａｎ－１ＢｘαＳＨｘα{－ＥｘαˑＢｘαＳＨｘα(－ｔａｎ－１ＢｘαＳＨｘα())}]侧向力为㊀㊀Ｆｙ＝ＦｙαꎬγꎬκꎬＦＺ()＝Ｆｙ０ＧｙκαꎬκꎬγꎬＦｚ()＋Ｓｖｙｋ(５)加权函数为Ｇｙκ＝ｃｏｓＣｙκｔａｎ－１Ｂｙκκｓ－Ｅｙκ{[Ｂｙκκｓ(－ｔａｎ－１Ｂｙκκｓ())}]/Ｇｙκ０Ｇｙκ０＝ｃｏｓＣｙκｔａｎ－１ＢｙκＳＨｙκ－Ｅｙκ{[ˑＢｙκＳＨｙκ－ｔａｎ－１ＢｙκＳＨｙκ())}](回正力矩为Ｍ＝ＭαꎬγꎬκꎬＦＺ()＝￣ｔＦꎬｙ＋Ｍｚｒ＋ｓＦｘ(６)Ｆꎬｙꎬγ＝０＝Ｆｙ－ＳＶｙｋＭｚｒ＝Ｍｚｒαγꎬｅｑ()＝Ｄｒｃｏｓｔａｎ－１Ｂｒαｒꎬｅｑ()[]ｃｏｓα２㊀仿真分析２１㊀稳态纯驱动(制动)工况汽车在驱动(制动)直线行驶条件下ꎬ不可避免地会出现轮胎与地面的接触点相对于路面的纵向速度和接触点处的线速度不一致的情况ꎬ用车轮的滑动率(驱动工况时称为滑转率ꎬ被驱动或者制动时称为滑移率)表示车轮相对于纯滚动或者纯滑动状态的偏离程度[１２]ꎮ滑动率是影响轮胎产生纵向力的一个重要因素ꎮ而在ＰＡＣ２００２轮胎模型中ꎬ统一用纵向滑移率来表示滑动率(匀速行驶时滑移率为０ꎬ加速行驶时滑移率为正值ꎬ减速行驶时滑移率为负值)ꎮ表１是纯驱动(制动)工况的测试条件ꎮ图３为在表１的测试条件下ꎬ轮胎纵向力和滑移率的关系曲线ꎮ表中ＦＺ０为初载荷ꎬＶ为速度ꎬκ为滑移率ꎬγ为外倾角ꎬＦＺ为加载载荷ꎬＰ为胎压ꎬα为侧偏角ꎮ表１㊀纯驱动(制动)工况的测试条件编号Ｆｚ０/ＮＶ/(ｋｍｈ－１)κ/％γ/(ʎ)ＦＮ/ＮＰ/ｋＰａ１２３４４０００６５－４０~４００１２８２３２０５５１２８７０５２２２０图３㊀轮胎纵向力和纵向滑移率的关系从图３可以看出ꎬ当驱动力矩传递到汽车轮胎时ꎬ在轮胎与路面的接触印迹处会产生切向力ꎬ即车轮驱动力ꎮ在地面切向力的作用下ꎬ轮胎胎面与地面接触处前端受到压缩ꎬ使轮胎后续有效滚动半径增加ꎬ此时轮胎接触点处的滚动速度大于纵向速度ꎬ滑移率为正ꎮ当滑移率在０~７％范围时ꎬ轮胎的滑移主要由胎面的弹性形变引起ꎬ这时车轮力矩与地面切向力随着滑移率近似呈线性关系增加ꎮ当驱动力矩和地面切向力进一步增加从而导致轮胎和地面接触处部分胎面在地面上滑移时ꎬ滑移率进入７％~８７第６期尚㊀强等:基于ＰＡＣ２００２魔术公式的轮胎动力学特性分析㊀１０％范围ꎮ地面切向力和滑移率呈非线性递增关系ꎬ当滑移率接近１０％时地面切向力达到最大值ꎮ滑移率超过１０％并且进一步增加时ꎬ轮胎与地面接触区域进入不稳定工况ꎬ地面切向力从峰值缓慢下降ꎬ直到进入纯滑移状态(即滑移率为１００％)时的饱和地面切向力ꎮ当制动力作用于轮胎时ꎬ会出现类似的曲线变化关系ꎮ２２㊀纯转弯工况汽车在行驶过程中ꎬ由于路面的侧向倾斜㊁侧向风或者转弯行驶时的离心力作用ꎬ在轮胎和地面的接触处会出现侧偏力ꎮ轮胎是具有弹性特性的结构部件ꎬ当车轮有侧向弹性时ꎬ车轮的行驶方向会偏离轮胎的车轮平面ꎮ侧偏角就是体现轮胎接触印迹中心线和车轮平面错开的程度ꎮ表２是纯转弯工况下的测试条件ꎮ表２㊀纯转弯工况下的测试条件编号Ｆｚ０/ＮＶ/(ｋｍｈ－１)α/(ʎ)γ/(ʎ)ＦＮ/ＮＰ/ｋＰａ１２３４４０００６５－１５~１５５１２８２３２０５５１２８７０５２２２０图４为在表２纯转弯工况的测试条件下仿真得到的轮胎侧向力和侧偏角的关系曲线ꎮ从图４可以看出ꎬ当侧偏角在０ʎ~４ʎ时ꎬ侧偏力随着侧偏角的增加而近似线性增加ꎮ这是由于轮胎是弹性部件ꎬ在弹性范围内ꎬ弹性变形与侧向力呈线性关系ꎮ当侧偏角在４ʎ~６ʎ时ꎬ侧偏力随着侧偏角的增加而缓慢呈非线性增加直到达到峰值侧偏力ꎬ即侧偏角以较大的速率增加时ꎬ侧偏力则以相对较小的速率增加ꎬ曲线的斜率逐渐减小ꎬ这时轮胎在接地面处已经发生部分侧滑ꎮ当侧偏角超过６ʎ以后ꎬ侧偏力逐渐减小ꎬ最终趋向定值ꎬ这时整个轮胎发生侧滑ꎮ另外ꎬ轮胎的侧偏力越大ꎬ轮胎能够产生的侧向加速度就越大ꎬ汽车的极限转弯性能就越好ꎮ汽车在路面上行驶时ꎬ轮胎上的垂直载荷常常会有所变化和转移ꎮ汽车在转弯时ꎬ外侧轮胎上的垂直载荷会增大ꎬ而内侧轮胎上的垂直载荷会有所减小ꎮ同理ꎬ在汽车直线加速或者减速时ꎬ前㊁后轮胎所负载的垂直载荷也会有所变化和转移ꎮ加速行驶时ꎬ前轴轮胎的垂直载荷减小ꎬ后轴轮胎的垂直载荷增大ꎬ减速行驶时ꎬ垂直载荷恰恰相反ꎮ图５为在表２纯转弯工况的测试条件下仿真得到的侧偏刚度与垂直载荷的关系曲线ꎮ图４㊀轮胎侧向力和侧偏角的关系图５㊀侧偏刚度和垂直载荷的关系从图５可以看出ꎬ侧偏刚度随着垂直载荷的增大而增大ꎮ当垂直载荷约为１１ｋＮ时ꎬ侧偏刚度达到最大值ꎬ约为２１００Ｎ/(ʎ)ꎬ但是ꎬ垂直载荷过大时ꎬ则会影响轮胎和地面的接触处的压力分布ꎬ并促使压力变得极其不均匀ꎬ从而使轮胎的侧偏刚度反而有所减小ꎮ然而ꎬ轮胎应该具有较高的侧偏刚度(指绝对值)ꎬ这样才能保证汽车具有良好的操作稳定性ꎮ在轮胎发生侧偏时ꎬ地面会产生作用于轮胎绕ＯＺ轴的力矩ꎬ这个力矩称为回正力矩ꎬ大小为轮胎侧向力与轮胎气胎拖距的乘积ꎮ回正力矩是由接地面内分布的微元侧向反力产生的ꎬ圆周行驶时ꎬ回正力矩是使车轮恢复直线行驶位置的主要恢复力矩之一ꎬ它被用来描述实际轮胎侧向力相对于接地中心的非对称性ꎮ车轮滚动时ꎬ印迹长轴线不仅与车轮平面错开一定距离ꎬ而且还转动了一定的角度ꎬ因而印迹前端离车轮平面近ꎬ侧向变形小ꎻ印迹后端离车轮平面远ꎬ侧向变形大ꎮ图６为在表２纯转弯工况的测试条件下仿真得到的回正力矩和侧偏角的关系曲线ꎮ从图６可以看出ꎬ侧偏角在０~３ʎ时ꎬ回正力矩随侧偏角的增大而近似线性迅速增大ꎮ在侧偏角为３ʎ时ꎬ回正力矩达到最大值ꎮ侧偏角继续增大ꎬ回正９７㊀北京信息科技大学学报第３４卷图６㊀回正力矩和侧偏角的关系曲线力矩开始逐渐下降ꎮ当侧偏角为１０ʎ时ꎬ回正力矩减小到零ꎮ侧偏角继续增大ꎬ回正力矩开始成为负值ꎮ这是因为接地面后部发生侧向滑动的速度过大ꎬ摩擦因数较小从而导致的ꎮ此外ꎬ回正力矩也随着垂直载荷的增加而增加ꎮ２３㊀稳态驱动(制动)和转弯联合工况在驱动(制动)和转弯联合工况下ꎬ轮胎的纵向力㊁侧向力和垂向载荷三者之间是彼此相互影响的ꎮ汽车在路面上转弯驱动和转弯制动时ꎬ必须考虑上述纯转弯㊁纯驱动(制动)这两种轮胎特性的关联情况ꎮ在汽车转弯驱动或转弯制动两种联合工况下ꎬ轮胎会同时产生侧向力和纵向力ꎮ下面分析上述联合工况下ꎬ滑移率㊁侧偏角对侧偏力㊁纵向力㊁侧向力系数(轮胎侧向力与轮胎垂直力之比)以及制动力系数(地面制动力与垂直载荷之比)的影响ꎮ图７为在表３驱动(制动)和转弯联合工况测试条件下得到的制动力系数㊁侧向力系数与滑移率的关系曲线ꎮ表３㊀驱动(制动)和转弯联合工况下的测试条件编号Ｆｚ/ＮＶ/(ｋｍｈ－１)κ/％γ/(ʎ)α/(ʎ)Ｐ/ｋＰａ１２３４５７０５２６５０~１００５１２４６８２２０从图７可以看出ꎬ同一侧偏角条件下ꎬ滑移率越低ꎬ侧向力系数越大ꎬ即轮胎保持转向㊁防止侧滑的能力越大ꎬ汽车的稳定性越好ꎮ同时ꎬ制动力系数随着滑动率的增加先近似线性增加ꎬ后缓慢增加ꎬ达到峰值后ꎬ又逐渐减小ꎮ所以ꎬ在汽车转弯制动时ꎬ若能保证滑移率在较低值(如图７中侧偏角为８ʎꎬ滑移率为１３％时)ꎬ汽车的轮胎便能获得较大的制动力系数和侧向力系数ꎮ这样ꎬ车辆的制动性能最好ꎬ图７㊀制动力系数㊁侧向力系数与滑移率的关系曲线稳定性能也很好ꎬ两者相对比较均衡ꎮ具有一般制动系的汽车是无法同时满足这一点的ꎬ而制动防抱死系统却能比较完美地平衡制动力系数和侧向力系数ꎬ可以明显改善汽车在制动时的制动效能与方向稳定性ꎮ另外ꎬ应尽量避免制动时轮胎滑移率接近１００％ꎬ或者加速时滑移率接近１００％ꎬ此时ꎬ轮胎附着力几乎全部都分配给了轮胎制动力ꎬ轮胎侧向力近似为零ꎬ转弯失效ꎮ这就是制动防抱死系统和驱动力控制系统的重要理论依据之一[１２]ꎮ图８是在表３驱动(制动)和转弯联合工况的图８㊀纵向力与侧向力之间的关系曲线测试条件下得到的纵向力与侧向力之间的关系曲线图ꎮ从图８可以看出ꎬ在侧偏角一定时ꎬ随着驱动力增加ꎬ侧偏力逐渐减小ꎬ这是由于轮胎侧向弹性有所改变造成的ꎮ当驱动力比较大且接近一定值(如图８中侧偏角为４ʎꎬ驱动力为６０００Ｎ)时ꎬ侧偏力快速下降ꎬ这时轮胎与地面的摩擦接近附着极限ꎬ纵向驱动力已占用绝大部分的地面附着力ꎬ而侧向力所占附着力比例很小ꎮ当有制动力时ꎬ侧偏力也有相似的变化特征ꎮ另外ꎬ纵向力和侧向力关系的包络线近似为一椭圆ꎬ称为附着椭圆ꎬ它在一定程度上确定了在一定的轮胎附着条件下纵向力与侧偏力合力所０８第６期尚㊀强等:基于ＰＡＣ２００２魔术公式的轮胎动力学特性分析㊀能达到的极限值ꎮ轮胎在接地印迹范围内所产生的纵向力和侧向力的合力是一定的ꎬ因此ꎬ汽车在转弯时ꎬ通过控制油门踏板和制动踏板合力分配侧向力和制动的比例关系ꎬ使汽车尽量快速通过弯道ꎮ３　结束语本文基于ＰＡＣ２００２魔术公式轮胎模型ꎬ利用Ｍａｔａｌａｂ/Ｓｉｍｎｌｉｎｋ仿真分析了在３种工况下ꎬ轮胎纵向力㊁侧向力㊁回正力矩与滑移率ꎬ侧偏角和垂直载荷的曲线关系ꎬ做出附着椭圆曲线ꎮ得到了以下结果:１)该型轮胎当侧偏角超过６ʎ以后ꎬ侧偏力逐渐减小ꎬ因此在转向系统设计和驾驶过程中应限制轮胎的侧偏角在６ʎ左右ꎮ２)轮胎垂直载荷达到１１ｋＮ时ꎬ轮胎的侧偏刚度达到峰值２１００Ｎ/(ʎ)ꎬ因此该轮胎应使用在总垂直载荷小于１１ｋＮ的汽车上ꎮ３)汽车转弯制动(驱动)时ꎬ滑移率超过１７％以后ꎬ侧向力系数快速减小ꎬ路面不能提供足够的侧向力ꎬ在确定防抱死制动系统参数时必须给予注意ꎮ进一步的工作将是建立整车多自由度仿真模型ꎬ在特定的速度范围内ꎬ着重分析汽车极限工况时的轮胎纵向力和侧向力ꎬ为汽车设计和性能评估提供理论基础ꎮ参考文献:[１]㊀ＰａｃｅｊｋａＨＢꎬＢｅｓｓｅｌｉｎｋＩ.Ｔｉｒｅａｎｄｖｅｈｉｃｌｅｄｙｎａｍｉｃｓ(ｔｈｉｒｄ￣ｅｄｉｔｉｏｎ)[Ｍ].Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ:ＥｌｓｅｖｉｅｒＬｔｄꎬ２０１２:５－１２.[２]㊀郭孔辉ꎬ卢荡ꎬ吴海东.轮胎动力学协同发展策略研究[Ｊ].中国工程科学.２０１８(０１):９１－９６.[３]㊀喻凡ꎬ林逸.汽车系统动力学[Ｍ].北京:机械工业出版社ꎬ２００８:３８－７０.[４]㊀王和毅ꎬ谷正气.汽车轮胎模型研究现状及其发展分析[Ｊ].橡胶工业ꎬ２００５ꎬ５２(１):５８－６３.[５]㊀ＰａｃｅｊｋａＨＢꎬＳｈａｒｐＲＳ.Ｓｈｅａｒｆｏｒｃｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｂｙｐｎｅｕｍａｔｉｃｔｙｒｅｓｉｎｓｔｅａｄｙｓｔａｔｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ:ａｒｅｖｉｅｗｏｆｍｏｄｅｌｌｉｎｇａｓｐｅｃｔｓ[Ｊ].ＶｅｈｉｃｌｅＳｙｓｔｅｍＤｙｎａｍｉｃｓꎬ１９９１ꎬ２０(３/４):１２１２１７６.[６]㊀李军.ＡＤＡＭＳ实用教程[Ｍ].北京:北京理工大学出版社ꎬ２００２:１２８－１４２.[７]㊀任光胜.用ＭａｇｉｃＦｏｒｍｕｌａ对轮胎特性曲线的拟合与优化[Ｊ].重庆大学学报:自然科学版ꎬ２００１(３):２２－２４.[８]㊀张剑威.汽车轮胎力学模型研究[Ｄ].武汉:武汉理工大学ꎬ２００６.[９]㊀余志生.汽车理论[Ｍ].北京:机械工业出版社ꎬ２００９:９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使用魔术公式的轮胎模型

使用魔术公式的轮胎模型使用魔术公式的轮胎模型主要有Pacejka ’89、Pacejka ’94、MF-Tyre 、MF-Swift 四种。

Pacejka ’89和’94轮胎模型Pacejka ’89 和’94轮胎模型是以魔术公式主要提出者H. B. Pacejka 教授命名的，根据其发布的年限命名。

目前有两种直接被ADAMS 引用。

魔术公式是用三角函数的组合公式拟合轮胎试验数据，用一套形式相同的公式就可以完整地表达轮胎的纵向力F x 、侧向力F y 、回正力矩M z 、翻转力矩M x 、阻力矩M y 以及纵向力、侧向力的联合作用工况，故称为“魔术公式”。

魔术公式的一般表达式为：()()(){}[]Bx Bx E Bx C D x Y arctan arctan sin --=式中Y(x)可以是侧向力，也可以是回正力矩或者纵向力，自变量x 可以在不同的情况下分别表示轮胎的侧偏角或纵向滑移率，式中的系数B 、C 、D 依次由轮胎的垂直载荷和外倾角来确定。

Pacejka ’89轮胎模型认为轮胎在垂直、侧向方向上是线性的、阻尼为常量，这在侧向加速度常见范围≤0.4g ，侧偏角≤5°的情景下对常规轮胎具有很高的拟合精度。

此外，由于魔术公式基于试验数据，除在试验范围的高精度外，甚至在极限值以外一定程度仍可使用，可以对有限工况进行外推且具有较好的置信度。

魔术公式正在成为工业标准，即轮胎制造商向整车厂提供魔术公式系数表示的轮胎数据，而不再是表格或图形。

基于魔术公式的轮胎模型还有较好的健壮性，如果没有某一轮胎的试验数据，而使用同类轮胎数据替代仍可取得很好的效果。

图基于魔术公式的轮胎模型的输入和输出变量Pacejka ’89轮胎力与力矩的计算轮胎纵向力计算公式为：()()()()()V X S BX BX E BX C D F +--=111arctan arctan sin其中X 1为纵向力组合自变量：X 1=(κ+S h )，κ为纵向滑移率（负值出现在制动态，-100表示车轮抱死）C ——曲线形状因子，纵向力计算时取B 0值：C = B 0D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F B F B D 221+= BCD ——纵向力零点处的纵向刚度：()ZF B Z Z e F B F B BCD 5423-⨯+=B – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：109B F B S Z h += S v ——曲线的垂直方向漂移：S v =0E ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：8726BF B F B E Z Z ++=图轮胎属性文件中的纵向力计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎纵向力示例轮胎侧向力计算公式为：()()()()()V Y S BX BX E BX C D F +--=111arctan arctan sin此时的X 1为侧向力计算组合自变量：X 1=(α+S h )，α为侧偏角 C ——曲线形状因子，侧向力计算时取A 0值：C = A 0 D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F A F A D 221+= BCD ——侧向力零点处的侧向刚度：()γ5431arctan2sin A A F A BCD Z-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= B – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：γ8109A A F A S Z h ++=曲线形状因子巅因子计算系数 BCD 计算系数曲线水平漂移计算系数曲线曲率因子计算系数S v ——曲线的垂直方向漂移：131211A F A F A S Z Z V ++=γE ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：76AF A E Z +=图轮胎属性文件中的侧向力计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎纵向力示例轮胎回正力矩计算公式为：()()()()()V Z S BX BX E BX C D M +--=111arctan arctan sin此时的X 1为回正力矩计算组合自变量：X 1=(α+S h )，α为侧偏角 C ——曲线形状因子，回正力矩计算时取C 0值：C = C 0 D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F C F C D 221+=BCD ——回正力矩零点处的扭转刚度：()()ZF C Z Z e C F C F C BCD 564231-⨯-⨯+=γB – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：131211C F C C S Z h ++=γ曲线形状因子巅因子计算系数 BCD 计算系数曲线水平漂移计算系数曲线曲率因子计算系数曲线垂直漂移计算系数S v ——曲线的垂直方向漂移：()171615214C F C F C F C S Z Z Z V +++=γE ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：()()γ1098271C C F C F C E Z Z -⨯++=图轮胎属性文件中的回正力矩计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎回正力矩示例侧偏刚度（Lateral Stiffness ）侧偏刚度在Pacejka ’89和’94轮胎模型中假定是一个常量，在轮胎属性文件的参数PARAMETER 数据段中通过LATERAL_STIFFNESS 语句设定。

轮胎魔术公式

轮胎魔术公式
轮胎魔术公式是指根据车辆轮胎的尺寸，计算出轮胎的直径、周长、速度等信息，以便选择适合的轮胎。

具体计算公式如下：轮胎直径（mm）= 轮胎宽度（mm）× 扁平比率（%）× 2 ÷ 25.4 + 轮轮缘直径（英寸）
轮胎周长（mm）= 轮胎直径（mm）× π
轮胎速度（km/h）= 轮胎周长（mm）× 转速（每分钟）× 60 ÷ 1000
其中，扁平比率指轮胎壁高度与轮胎宽度的比值（例如，扁平比率为45%，表示轮胎壁高度为轮胎宽度的45%）。

π指圆周率，约为3.14。

轮轮缘直径是指轮胎安装时所用的轮轮缘的外直径（单位为英寸）。

以上公式为轮胎魔术公式的基础，可以根据不同情况进行微调。

在购买轮胎时，建议向专业人士咨询，选择符合车辆和驾驶习惯的轮胎。

ADAMS轮胎模型简介

详细介绍轮胎模型，主要是自己做课题时，用到的整理汇总出来的，轮胎这部分的资料比较少的，记录下来帮助大家一起学习一起进步；主要分以下两部分介绍一、轮胎模型简介轮胎是汽车重要的部件，它的结构参数和力学特性决定着汽车的主要行驶性能。

轮胎所受的垂直力、纵向力、侧向力和回正力矩对汽车的平顺性、操纵稳定性和安全性起重要作用。

轮胎模型对车辆动力学仿真技术的发展及仿真计算结果有很大影响，轮胎模型的精度必须与车辆模型精度相匹配。

因此，选用轮胎模型是至关重要的。

由于轮胎具有结构的复杂性和力学性能的非线性，选择符合实际又便于使用的轮胎模型是建立虚拟样车模型的关键。

一、轮胎模型简介轮胎建模的方法分为三种：1）经验—半经验模型针对具体轮胎的某一具体特性。

目前广泛应用的有Magic Formula公式和吉林大学郭孔辉院士利用指数函数建立的描述轮胎六分力特性的统一轮胎半经验模型UniTire，其主要用于车辆的操纵动力学的研究。

2）物理模型根据轮胎的力学特性，用物理结构去代替轮胎结构，用物理结构变形看作是轮胎的变形。

比较复杂的物理模型有梁、弦模型。

特点是具有解析表达式，能探讨轮胎特性的形成机理。

缺点是精确度较经验—半经验模型差，且梁、弦模型的计算较繁复。

3）有限元模型基于对轮胎结构的详细描述 ,包括几何和材料特性，精确的建模能较准确的计算出轮胎的稳态和动态响应。

但是其与地面的接触模型很复杂，占用计算机资源太大，在现阶段应用于不平路面的车辆动力学仿真还不现实，处于研究阶段。

主要用于轮胎的设计与制造二、ADAMS/TIRE轮胎不是刚体也不是柔体，而是一组数学函数。

由于轮胎结构材料和力学性能的复杂性和非线性以及适用工况的多样性，目前还没有一个轮胎模型可适用于所有工况的仿真，每个轮胎模型都有优缺点和适用的范围。

必须根据需要选择合适的轮胎模型。

ADAMS/TIRE分为两大类：一）.用于操稳分析的轮胎模型魔术公式是用三角函数的组合公式拟合轮胎试验数据，用一套形式相同的公式完整地表达轮胎的纵向力、侧向力、回正力矩、翻转力矩、阻力矩以及纵向力、侧向力的联合作用工况，主要包括以下的前四种模型。

基于试验数据的魔术轮胎模型参数估计

基于试验数据的魔术轮胎模型参数估计田洪刚;芮强;王红岩【摘要】为了准确估计魔术轮胎模型参数并构建可信的轮胎动力学模型,基于某型轮胎的纵向力及侧向力试验数据,以测试数据和模型拟合数据残差加权平方和最小为目标函数,采用麦夸尔特法(Levenberg-Marquardt)与全局优化法相结合的混合优化算法,分别对8个轮胎纵向力及10个轮胎侧向力模型参数进行估计.拟合优度统计检验结果表明魔术轮胎模型回归效果非常显著,拟合精度较高.纵向力及侧向力模型拟合曲线与试验测点拟合较好,纵向刚度及侧偏刚度测试结果与计算结果的最大相对误差分别只有8.48％和9.96％,具有很好的一致性,验证了参数估计的准确性.【期刊名称】《机械工程师》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】4页(P19-22)【关键词】魔术轮胎模型;参数估计;麦夸尔特法;拟合优度检验【作者】田洪刚;芮强;王红岩【作者单位】装甲兵工程学院机械工程系,北京100072;装甲兵工程学院训练部,北京100072;装甲兵工程学院机械工程系,北京100072;装甲兵工程学院机械工程系,北京100072【正文语种】中文【中图分类】U463除了空气作用力和重力外，几乎其它所有影响车辆运动的力和力矩都通过滚动的轮胎与地面相互作用而产生。

建立精确的轮胎模型来模拟车辆行驶状态下轮胎与地面的相互作用关系，对于准确研究车辆系统的动力学特性有很大的影响。

轮胎模型的精度必须与车辆模型的精度相匹配。

常用的轮胎模型主要分为经验—半经验模型、物理模型、有限元模型等三类，由于轮胎具有结构的复杂性和力学性能的非线性，选择符合实际又便于使用的轮胎模型至关重要［1-2］。

由Pacejka提出的魔术公式作为一种典型的经验—半经验模型，以其简洁统一的表达方式和较高的拟合精度，在车辆动力学研究领域得到了最为广泛的应用［3-4］。

目前使用魔术公式的轮胎模型主要有Pacejka 89、Pacejka 94、MF-Tyre、MF-Swift等4种类型。

魔术公式——精选推荐

Pacejka 的“魔术公式”是近期在汽车操纵动力学研究中比较流行的公式，它是用特殊正弦函数建立的轮胎的纵向力、横向力和自回正力矩模型。

因只用一套公式就完整地表达了纯工况下轮胎的力特性，故成为“魔术公式”。

“魔术公式”表达如下：sin(arctan((arctan())))vhY y Sy D C Bx E Bx Bx x X S =+=--=+其中，Y 表示侧向力、纵向力或回正力矩，X 表示侧偏角a 或滑移率s 。

现以侧向力为例说明公式中各系数的意义。

式中D --峰值因子，表示曲线的最大值B C D ××--侧偏角趋于零时轮胎的侧偏刚度，曲线中表示原点的斜率E --曲线形态因子，决定曲线最大值附近的形状C --决定曲线的形状，即曲线是像侧向力、纵向力还是回正力矩h S --水平方向漂移v S --垂直方向漂移除C 外，“魔术公式”中的参数都是垂直载荷和侧倾角g 的函数。

以下为轮胎纵向动力学特性在MA TLAB中的具体实现212x z zD a F a F =+1.65x C=2678x zz E a F a F a =++5234()///za F x z z x x B a F a F e C D =+52342122678sin(arctan((arctan())))()///1.65zx x x x x x x a F x z z x xx xz zxzz F D C B E B B B a F a F e C D C D a F a F E a F a F a k k k =--=+==+=++sin(arctan((arctan())))(arctan((arctan())))cos(arctan((arctan())))x xx x x x x z zx x x x xxxxxxxzdF dD C B E B B dF dF d B E B B D C B E B B CdF k k k k k k k k k =--+----2(arctan((arctan())))(arctan())1((arctan()))1((arctan()))x x x x z x x x x x x xx x x x z z z d B E B B dF dB dE d B B B B E B E B B dFdF dF k k k k k k k k k k k --=----+--222(arctan())()11()1()xx xxxx zz x z x z d B B dB dB B dB dF dF B dF B dFk k k k k k k k -=-=++ 555522343422234345(()///)()///(()///)(()///)zzzza F a F xzzx x z z xxz zza F a F x z z x x z z x x zdBd a F a F eC D d a F a F eC D dF dF dF dD a F a F eC D a F a F eC D a dF ++==-+-+sin(arctan((arctan())))x x x x x x x F D C B E B B k k k =--22cos(arctan((arctan())))(())1()1((arctan())x xxxxxxxxxxxxx x x x B D C BE BB C B E B dF B d B E B B kkkk kk k k ----+=+--车辆防抱死制动系统的控制技术研究车辆防抱死制动系统的控制技术研究东大，侯光钰，张为公东大，侯光钰，张为公2.3.1 H.B.Pacejka 的魔术公式的魔术公式Pacejka 的“魔术公式”是汽车操纵动力学研究中应用比较广泛的轮胎力学模型，它用特殊的正弦函数建立轮胎的纵向力、横向力和回正力矩的函数表达式。

Magic_Formula轮胎模型

Fx
x
Fx0 , Fy
y
Fy 0
2 x
2 y
,
x
1
,
y
tan 1
MF模型简介
在Matlab/Simulink中建立的轮胎动力学模型：
工作计划
继续完成仿真工作，完善轮胎模型的参数辨识；学习整车模型的建立；结合FPGA学习卡尔曼算法和非线性观测器。
谢谢！
MF模型简介
Magic Formula 模型：
用特殊正弦函数建立的轮胎纵向力、侧向力和自回正力矩模型。
用一个通过拟合实验数据而得到的三角函数公式来与轮胎实验数据相吻合, 完全能够表达不同驱动情况时的轮胎特性。
只用一套公式就完整地表达了纯工况下轮胎的力学特性,故称为魔术公式。
可对轮胎模型的特性进行良好描述,不但可以用函数表述轮胎的转向力、回复力矩和驱动/制动力,也可以直接利用轮胎实验数据。
MF模型简介
MF公式：
Y=y+Sv y=Dsin{Carctan[Bx-E(Bx-arctanBx)]} x=X+Sh
式中, Y表示侧向力或纵向力,X表示侧偏角α或滑移率k。 B为刚度因子,C为形状因子,D为峰值因子,E为曲率因子Sv为垂直偏移,Sh为水平偏移。除C外,该公式中的参数都是垂直载荷Fz
和侧偏角α的函数。若计算回正力矩 Mz=-t*Fy+Mzr t(αt)=Dtcos[Ctarctan{Btαt-Et(Btαt-arctan(Btαt))}]cos(α) αt = α + Sht Mz表示回正力矩，t为气胎拖矩，Mzr为残余回正力矩。
MF模型简介
输入量：侧偏角α 纵向滑移率κ 侧倾角γ 垂直载荷Fz
1.纯制动/驱动条件 2.纯转向条件 3.联合工况（制动/驱动转向）

Magic_Formula轮胎模型

和侧偏角α的函数。若计算回正力矩 Mz=-t*Fy+Mzr t(αt)=Dtcos[Ctarctan{Btαt-Et(Btαt-arctan(Btαt))}]cos(α) αt = α + Sht Mz表示回正力矩，t为气胎拖矩，Mzr为残余回正力矩。
MF模型简介
输入量：侧偏角α 纵向滑移率κ 侧倾角γ 垂直载荷Fz
输出量：纵向力Fx 侧向力Fy 翻转力矩Mx 滚动阻力矩My 回正力矩Mz
对于给定的B、C、D 和E，曲线相对于原点表现为非对称形状。为了使曲线相对于原点产生一个偏移量，引入水平偏移和垂直偏移。其中D 为峰值因子；C为形状因子；BCD 代表原点处的斜率；在D和C一定的情况下，B决定了原点处的斜率，所以B叫做刚度因子；E为曲率因子。
MF模型简介
轮胎滑移速度分析：
纵向速度 Vx 侧向速度 Vy 纵向滑移速度 Vsx = Vx – ΩRe 侧向滑移速度 Vsy = Vy 滑移速度 Vs为Vx 与Vy的合量其中纵向滑移率κ
侧偏角 α
MF模型简介
轮胎滑移力与速度分析：
MF模型简介
MF模型简介
下面简要的介绍下不同工况下MF公式的应用：
1.纯制动/驱动条件 2.纯转向条件 3.联合工况（制动/驱动转向）
MF模型简介
1.纯制动/驱动条件下的纵向滑移情况：只考虑纵向力及速度，轮胎在转动前进的同时也存在纵向滑移，二者之比为纵向滑移率。则纵向力可由纵向滑移率与垂直载荷求得。
Fx0 D1 sin{C1 arctan[B1 E1(B1 arctan B1 )]}
轮胎模型及Magic Formula模型简介
指导老师：解小华教授学生：秦贵军
报告内容
1 轮胎模型研究背景

ADAMS轮胎模型简介

详细介绍轮胎模型，主要是自己做课题时，用到的整理汇总出来的，轮胎这部分的资料比较少的，记录下来帮助大家一起学习一起进步；主要分以下两部分介绍一、轮胎模型简介轮胎是汽车重要的部件，它的结构参数和力学特性决定着汽车的主要行驶性能。

轮胎所受的垂直力、纵向力、侧向力和回正力矩对汽车的平顺性、操纵稳定性和安全性起重要作用。

轮胎模型对车辆动力学仿真技术的发展及仿真计算结果有很大影响，轮胎模型的精度必须与车辆模型精度相匹配。

因此，选用轮胎模型是至关重要的。

由于轮胎具有结构的复杂性和力学性能的非线性，选择符合实际又便于使用的轮胎模型是建立虚拟样车模型的关键。

一、轮胎模型简介轮胎建模的方法分为三种：1）经验—半经验模型针对具体轮胎的某一具体特性。

目前广泛应用的有 Magic Formula公式和吉林大学郭孔辉院士利用指数函数建立的描述轮胎六分力特性的统一轮胎半经验模型UniTire ，其主要用于车辆的操纵动力学的研究。

2）物理模型根据轮胎的力学特性，用物理结构去代替轮胎结构，用物理结构变形看作是轮胎的变形。

比较复杂的物理模型有梁、弦模型。

特点是具有解析表达式，能探讨轮胎特性的形成机理。

缺点是精确度较经验—半经验模型差，且梁、弦模型的计算较繁复。

3）有限元模型基于对轮胎结构的详细描述 , 包括几何和材料特性，精确的建模能较准确的计算出轮胎的稳态和动态响应。

但是其与地面的接触模型很复杂，占用计算机资源太大，在现阶段应用于不平路面的车辆动力学仿真还不现实，处于研究阶段。

主要用于轮胎的设计与制造二、 ADAMS/TIRE轮胎不是刚体也不是柔体，而是一组数学函数。

由于轮胎结构材料和力学性能的复杂性和非线性以及适用工况的多样性，目前还没有一个轮胎模型可适用于所有工况的仿真，每个轮胎模型都有优缺点和适用的范围。

必须根据需要选择合适的轮胎模型。

ADAMS/TIRE分为两大类：一） .用于操稳分析的轮胎模型魔术公式是用三角函数的组合公式拟合轮胎试验数据，用一套形式相同的公式完整地表达轮胎的纵向力、侧向力、回正力矩、翻转力矩、阻力矩以及纵向力、侧向力的联合作用工况，主要包括以下的前四种模型。

H-B模型公式

H-B模型公式H.B.Pacejke轮胎模型（魔术公式）是一个基于试验数据的经验轮胎模型，可以通过对试验数据拟和而得到。

这种试验通过专用的试验台架或试验车进行。

这些试验设备能够排除次要因素模拟出特定的轮胎行驶条件，准确地再现轮胎的各种工作情况。

用于试验过程中检测各类数据的仪器具有很高的精度和灵敏度，并配有功能强大的数据处理系统，从而保证了试验数据准确可靠。

魔术公式轮胎模型对轮胎力学特性的表达式单一，拟合精度高，适用于产品设计、汽车动态模拟以及实验对比等要求精确描述轮胎力学特性的领域，是目前汽车操纵动力学研究中最为流行的经验公式之一。

魔术公式是由荷兰Delft理工大学H.B.Pacejke教授等人提出并发展起来的，它是用三角函数的组合公式建立的轮胎的纵向力、侧向力和回正力矩的数学模型，因只用一套公式就完整地表达了纯工况下轮胎的力特性，故称为“魔术公式”。

魔术公式的一般表达式为：Fy=D⋅sin⁡(C⋅arctan⁡(B⋅x−E(B⋅x−arctan⁡(B⋅x))))+Sv(1){{F}_{y}}=D\cdot\sin(C\cdot\arctan(B\cdotx-E(B\cdotx-\arctan( B\cdotx))))+{{S}_{v}}\tag{1}y=D⋅sin(C⋅arctan(B⋅x−E(B⋅x−arctan(B⋅x))))+SY=y+ΔSv(2)Y=y+\Delta{{S}_{v}}\tag{2}Y=y+ΔS(2)x=X+ΔSh(3)x=X+\Delta{{S}_{h}}\tag{3}x=X+ΔS(3)式中：Y表示侧向力、纵向力或回正力矩，X表示侧偏角α\alphaα或滑移率S。

通过实验可以得到公式中峰值因子、形状因子、曲率因子和刚度因子等参数。

这些参数带入（1）～（3）式后，可得到纵向力、侧向力、回正力矩的不同计算公式。

轮胎纵向力的计算公式：Fx=D⋅sin⁡(C⋅arctan⁡(B⋅x−E(B⋅x−arctan⁡(B⋅x))))+Sv(4){{F}_{x}}=D\cdot\sin(C\cdot\arctan(B\cdotx-E(B\cdotx-\arctan( B\cdotx))))+{{S}_{v}}\tag{4}x=D⋅sin(C⋅arctan(B⋅x−E(B⋅x−arctan(B⋅x))))+S。

使用魔术公式的轮胎模型

使用魔术公式的轮胎模型使用魔术公式的轮胎模型主要有Pacejka ’89、Pacejka ’94、MF-Tyre 、MF-Swift 四种。

Pacejka ’89和’94轮胎模型Pacejka ’89 和’94轮胎模型是以魔术公式主要提出者H. B. Pacejka 教授命名的，根据其发布的年限命名。

目前有两种直接被ADAMS 引用。

魔术公式是用三角函数的组合公式拟合轮胎试验数据，用一套形式相同的公式就可以完整地表达轮胎的纵向力F x 、侧向力F y 、回正力矩M z 、翻转力矩M x 、阻力矩M y 以及纵向力、侧向力的联合作用工况，故称为“魔术公式”。

魔术公式的一般表达式为：()()(){}[]Bx Bx E Bx C D x Y arctan arctan sin --=式中Y(x)可以是侧向力，也可以是回正力矩或者纵向力，自变量x 可以在不同的情况下分别表示轮胎的侧偏角或纵向滑移率，式中的系数B 、C 、D 依次由轮胎的垂直载荷和外倾角来确定。

Pacejka ’89轮胎模型认为轮胎在垂直、侧向方向上是线性的、阻尼为常量，这在侧向加速度常见范围≤0.4g ，侧偏角≤5°的情景下对常规轮胎具有很高的拟合精度。

此外，由于魔术公式基于试验数据，除在试验范围的高精度外，甚至在极限值以外一定程度仍可使用，可以对有限工况进行外推且具有较好的置信度。

魔术公式正在成为工业标准，即轮胎制造商向整车厂提供魔术公式系数表示的轮胎数据，而不再是表格或图形。

基于魔术公式的轮胎模型还有较好的健壮性，如果没有某一轮胎的试验数据，而使用同类轮胎数据替代仍可取得很好的效果。

图基于魔术公式的轮胎模型的输入和输出变量Pacejka ’89轮胎力与力矩的计算轮胎纵向力计算公式为：()()()()()V X S BX BX E BX C D F +--=111arctan arctan sin其中X 1为纵向力组合自变量：X 1=(κ+S h )，κ为纵向滑移率（负值出现在制动态，-100表示车轮抱死）C ——曲线形状因子，纵向力计算时取B 0值：C = B 0D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F B F B D 221+= BCD ——纵向力零点处的纵向刚度：()ZF B Z Z eF B F B BCD 5423-⨯+=B – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：109B F B S Z h += S v ——曲线的垂直方向漂移：S v =0E ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：8726BF B F B E Z Z ++=图轮胎属性文件中的纵向力计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎纵向力示例轮胎侧向力计算公式为：()()()()()V Y S BX BX E BX C D F +--=111arctan arctan sin此时的X 1为侧向力计算组合自变量：X 1=(α+S h )，α为侧偏角 C ——曲线形状因子，侧向力计算时取A 0值：C = A 0 D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F A F A D 221+=BCD ——侧向力零点处的侧向刚度：()γ5431arctan 2sin A A F A BCD Z -⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛= B – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：γ8109A A F A S Z h ++=曲线形状因子巅因子计算系数 BCD 计算系数曲线水平漂移计算系数曲线曲率因子计算系数S v ——曲线的垂直方向漂移：131211A F A F A S Z Z V ++=γE ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：76AF A E Z +=图轮胎属性文件中的侧向力计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎纵向力示例轮胎回正力矩计算公式为：()()()()()V Z S BX BX E BX C D M +--=111arctan arctan sin此时的X 1为回正力矩计算组合自变量：X 1=(α+S h )，α为侧偏角 C ——曲线形状因子，回正力矩计算时取C 0值：C = C 0 D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F C F C D 221+=BCD ——回正力矩零点处的扭转刚度：()()ZF C Z Z e C F C F C BCD 564231-⨯-⨯+=γB – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：131211C F C C S Z h ++=γ曲线形状因子巅因子计算系数 BCD 计算系数曲线水平漂移计算系数曲线曲率因子计算系数曲线垂直漂移计算系数S v ——曲线的垂直方向漂移：()171615214C F C F C F C S Z Z Z V +++=γE ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：()()γ1098271C C F C F C E Z Z -⨯++=图轮胎属性文件中的回正力矩计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎回正力矩示例侧偏刚度（Lateral Stiffness ）侧偏刚度在Pacejka ’89和’94轮胎模型中假定是一个常量，在轮胎属性文件的参数PARAMETER 数据段中通过LATERAL_STIFFNESS 语句设定。

使用魔术公式的轮胎模型

使用魔术公式的轮胎模型使用魔术公式的轮胎模型主要有Pacejka ’89、Pacejka ’94、MF-Tyre 、MF-Swift 四种。

Pacejka ’89和’94轮胎模型Pacejka ’89 和’94轮胎模型是以魔术公式主要提出者H. B. Pacejka 教授命名的，根据其发布的年限命名。

目前有两种直接被ADAMS 引用。

魔术公式是用三角函数的组合公式拟合轮胎试验数据，用一套形式相同的公式就可以完整地表达轮胎的纵向力F x 、侧向力F y 、回正力矩M z 、翻转力矩M x 、阻力矩M y 以及纵向力、侧向力的联合作用工况，故称为“魔术公式”。

魔术公式的一般表达式为：()()(){}[]Bx Bx E Bx C D x Y arctan arctan sin --=式中Y(x)可以是侧向力，也可以是回正力矩或者纵向力，自变量x 可以在不同的情况下分别表示轮胎的侧偏角或纵向滑移率，式中的系数B 、C 、D 依次由轮胎的垂直载荷和外倾角来确定。

Pacejka ’89轮胎模型认为轮胎在垂直、侧向方向上是线性的、阻尼为常量，这在侧向加速度常见范围≤0.4g ，侧偏角≤5°的情景下对常规轮胎具有很高的拟合精度。

此外，由于魔术公式基于试验数据，除在试验范围的高精度外，甚至在极限值以外一定程度仍可使用，可以对有限工况进行外推且具有较好的置信度。

魔术公式正在成为工业标准，即轮胎制造商向整车厂提供魔术公式系数表示的轮胎数据，而不再是表格或图形。

基于魔术公式的轮胎模型还有较好的健壮性，如果没有某一轮胎的试验数据，而使用同类轮胎数据替代仍可取得很好的效果。

图基于魔术公式的轮胎模型的输入和输出变量Pacejka ’89轮胎力与力矩的计算轮胎纵向力计算公式为：()()()()()V X S BX BX E BX C D F +--=111arctan arctan sin其中X 1为纵向力组合自变量：X 1=(κ+S h )，κ为纵向滑移率（负值出现在制动态，-100表示车轮抱死）C ——曲线形状因子，纵向力计算时取B 0值：C = B 0D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F B F B D 221+= BCD ——纵向力零点处的纵向刚度：()ZF B Z Z e F B F B BCD 5423-⨯+=B – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：109B F B S Z h += S v ——曲线的垂直方向漂移：S v =0E ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：8726BF B F B E Z Z ++=图轮胎属性文件中的纵向力计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎纵向力示例轮胎侧向力计算公式为：()()()()()V Y S BX BX E BX C D F +--=111arctan arctan sin此时的X 1为侧向力计算组合自变量：X 1=(α+S h )，α为侧偏角 C ——曲线形状因子，侧向力计算时取A 0值：C = A 0 D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F A F A D 221+= BCD ——侧向力零点处的侧向刚度：()γ5431arctan2sin A A F A BCD Z-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= B – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：γ8109A A F A S Z h ++=曲线形状因子巅因子计算系数 BCD 计算系数曲线水平漂移计算系数曲线曲率因子计算系数S v ——曲线的垂直方向漂移：131211A F A F A S Z Z V ++=γE ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：76AF A E Z +=图轮胎属性文件中的侧向力计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎纵向力示例轮胎回正力矩计算公式为：()()()()()V Z S BX BX E BX C D M +--=111arctan arctan sin此时的X 1为回正力矩计算组合自变量：X 1=(α+S h )，α为侧偏角 C ——曲线形状因子，回正力矩计算时取C 0值：C = C 0 D ——巅因子，表示曲线的最大值：Z Z F C F C D 221+=BCD ——回正力矩零点处的扭转刚度：()()ZF C Z Z e C F C F C BCD 564231-⨯-⨯+=γB – 刚度因子：B=BCD/(C ×D)S h ——曲线的水平方向漂移：131211C F C C S Z h ++=γ曲线形状因子巅因子计算系数 BCD 计算系数曲线水平漂移计算系数曲线曲率因子计算系数曲线垂直漂移计算系数S v ——曲线的垂直方向漂移：()171615214C F C F C F C S Z Z Z V +++=γE ——曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状：()()γ1098271C C F C F C E Z Z -⨯++=图轮胎属性文件中的回正力矩计算系数数据块图 Pacejka ’89轮胎回正力矩示例侧偏刚度（Lateral Stiffness ）侧偏刚度在Pacejka ’89和’94轮胎模型中假定是一个常量，在轮胎属性文件的参数PARAMETER 数据段中通过LATERAL_STIFFNESS 语句设定。

2.3.3“魔术公式”轮胎模型“魔术公式”轮胎模型用三角函数的组合公式拟合实验轮胎数据，用一套形式相同的公式就能完整的表达纵向力、侧向力、回正力矩以及纵向力、侧向力联合作用的工况。

该模型统一性强，能描述轮胎所有稳态力学特性，编程方便；可从实际轮胎实验获得，且需拟合的参数少，有实际的物理意义；简单实用，模拟精度高，并能最大限度地反映出车辆的实际运作状况。

故本文采用“魔术公式”轮胎模型一起建立整车系统动力学模型[14]。

“魔术公式”的一般表达式为：SY=Dsin(Carctan(Bφ))+v(2.17)φ=（1-E)(X+h S）+(E/B）arctan(B(X+h S))(2.18)其中，D—峰值因子，表示曲线的最大值；B—刚度因子，B=BCD/(CD)；E—曲线曲率因子，决定曲线最大值附近的形状；C—曲线形状因子，决定曲线的形状特性，即曲线是表示侧向力、纵向力还是回正力矩；S—水平方向漂移；hS—垂直方向漂移；v而Y表示侧向力、纵向力或回正力矩，X表示侧偏角α或滑移率λ。

F和侧倾角γ的函除曲线的形状因子C外，其余每一个参数都是垂直载荷z数用参数拟合的方法得到，一般选代数多项式进行拟合。

曲线零点的水平漂移和垂直漂移用来描述由于轮胎制造误差而造成的轮胎圆锥效应和帘布层转向效应。

一般地，曲线零点的水平方向漂移和垂直方向漂移与轮胎侧倾角有关，本文将不考虑轮胎力特性曲线的水平方向漂移和垂直方向漂移，主要从纯滑移及纯侧偏两方面考虑：①纯滑移条件下纵向力公式为：F(λ)=x D sin(x C arctan(x Bλ-x E(x Bλ-arctan(x Bλ))))x0(2.19)式中，x C =1.65；x D =z z F a F a 221+；x B =)exp()5425z z z F a F a F a -+（/(x C x D )；x E =8726a F a F a z z ++；λ—车轮滑移率；x0F (λ)—由纯滑移条件下计算出的纵向力的值。