魔术轮胎公式

2.3.3“魔术公式”轮胎模型

“魔术公式”轮胎模型用三角函数的组合公式拟合实验轮胎数据，用一套形式相同的公式就能完整的表达纵向力、侧向力、回正力矩以及纵向力、侧向力联合作用的工况。该模型统一性强，能描述轮胎所有稳态力学特性，编程方便；可从实际轮胎实验获得，且需拟合的参数少，有实际的物理意义；简单实用，模拟精度高，并能最大限度地反映出车辆的实际运作状况。故本文采用“魔术公式”轮胎模型一起建立整车系统动力学模型[14]。

“魔术公式”的一般表达式为：

S

Y=Dsin(Carctan(Bφ))+

v

(2.17)

φ=（1-E)(X+h S）+(E/B）arctan(B(X+h S))

(2.18)

其中，D—峰值因子，表示曲线的最大值；

B—刚度因子，B=BCD/(CD)；

E—曲线曲率因子，决定曲线最大值附近的形状；

C—曲线形状因子，决定曲线的形状特性，即曲线是表示侧向力、纵向力还是回正力矩；

S—水平方向漂移；

h

S—垂直方向漂移；

v

而Y表示侧向力、纵向力或回正力矩，X表示侧偏角α或滑移率λ。

F和侧倾角γ的函除曲线的形状因子C外，其余每一个参数都是垂直载荷

z

数用参数拟合的方法得到，一般选代数多项式进行拟合。曲线零点的水平漂移和垂直漂移用来描述由于轮胎制造误差而造成的轮胎圆锥效应和帘布层转向效应。一般地，曲线零点的水平方向漂移和垂直方向漂移与轮胎侧倾角有关，本文将不考虑轮胎力特性曲线的水平方向漂移和垂直方向漂移，主要从纯滑移及纯侧偏两方面考虑：

①纯滑移条件下纵向力公式为：

F(λ)=x D sin(x C arctan(x Bλ-x E(x Bλ-arctan(x Bλ))))

x0

(2.19)

式中，x C =1.65；

x D =z z F a F a 221+；

x B =)exp()5425z z z F a F a F a -+（/(x C x D )；x E =8726a F a F a z z ++；

λ—车轮滑移率；

x0F (λ)—由纯滑移条件下计算出的纵向力的值。

②纯侧偏条件下，侧向力计算公式为：

y0F (α)=y D sin (y C arctan (y B α-y E (y B α-arctan （y B α）)))

(2.20)

式中，y C =1.30；

y D =z z F b F b 221+；

y B =)arctan(sin(543z F b b b /y C y D ；y E =8726b F b F b z z ++；

α—车轮侧偏角；

y0F (α)—由纯侧偏条件下计算出的横向力的值。

对于纯滑移和纯侧偏条件下轮胎模型的各个拟合参数如表2.1所示：

表2.1Magic Formula 模型中的各拟合参数（z F /kN）

x

C 1

a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

a x

F 1.65

-22.1

1144

49.6

226

0.069

-0.006

0.056

0.486

y

C 1

b 2

b 3

b 4

b 5

b 6

b 7

b 8

b y

F 1.30

-21.3

1011

1078

1.82

0.208

0.000

-0.354

0.707

利用前面的轮胎模型公式和轮胎模型的拟合参数，运用Matlab 编程之后可以得到轮胎的制动特性图和侧偏特性图。图2.5是“魔术公式”轮胎模型的纯滑移纵向特性图，四条曲线分别表示不同垂直载荷下轮胎的制动力x F 与纵向滑移率λ的关系。由图可知，垂直载荷较大时，同一滑移率下的制动力较大，而随着滑移从零开始增大时，制动力不断增加，当滑移率达到一定值后，制动力

不再随滑移率的增加而增加，而是逐渐减小并趋于平稳。

图2.5纯制动条件下的制动力特性

图2.6为“魔术公式”轮胎模型的侧偏特性图，四条曲线分别表示不同垂

F与侧偏角 的关系。由图可知，当侧偏角较小时，轮直载荷下轮胎的侧向力

y

胎的侧向力和侧偏角之间呈线性关系；当侧偏角较大时，曲线的曲率逐渐减小，这时轮胎在接地面处已经发生部分侧滑。最后，侧向力达到附着极限时，整个轮胎发生侧滑。同时，在轮胎的使用载荷范围内，轮胎的最大侧向力随着垂直载荷的增加而增加。

图2.6轮胎侧偏特性图