高三数学培优训练(一)(附答案)

高三数学培优训练(一)

1、设集合}5|||{},29|{≤∈=-≤≤-∈=x Z x x B x Z x x A 且且，则集合B A 的子集的

个数是： A ．11 B ．10 C ．15 D ．16 2、已知：函数)(x f ＝3

x x --，321,,x x x ∈R,且021>+x x ，032>+x x ，013>+x x ，

则)()()(321x f x f x f ++的值

A ．一定大于0 B.一定小于0 C.一定等于0 D.正负都有可能

3、在ΔABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，这个三角形的面积为3，则ΔABC 外接圆的直径是

A ．33 B.

3326 C. 2393 D. 3

39

2 4、已知：)(x f y =的反函数是)(1

x f y -=，将)12(-=x f y 的图像向左平移2个单位，再

关于x 轴对称后所得到的函数的反函数是

A ．2)(31x f y -+-=

- B. 2)(31x f y ---=- C. 2)(31x f y --= D. 2

)(31

x f y --=-

5、奇函数]),2[)((a x x f y -∈=满足11)2(=-f ，则=)(a f ：

A ．11

B ．－11

C ．2

D ．－2 6、一个学生通过某种英语听力测试的概率是1/2，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通

过的的概率大于0.9，那么他测试的次数n 的最小值为：

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

7、已知函数)10(,2)1()(2

≤≤+-=x x x x f ，则函数)(x f

的最大值是：

A ．

39

2

B ．274

C ．2758

D ．

2392+ 8、如图，液体从一个圆锥形漏斗漏入一圆柱桶中，开始时漏斗盛

满液体，经过3秒漏完，圆柱桶中液面上升速度是一个常量，则漏

斗中液面的高度h 与下落时间t 的函数关系的图像只可能是：

9、二项式)),2

(

()1(tan ππ

αα∈+n

的展开式中的第六项是63，而第三项的二项式系数

是21，则=α .

10、已知铜的单晶体的外形是简单几何体，单晶体有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单

晶体有24个顶点，每个顶点处有3条棱，那么单晶铜的三角形晶面和八边形晶面的数目分别

为 和 。

11、给定))(2(log *1N n n a n n ∈+=+，定义使321a a a ⋅⋅……k a 为整数的数)(*

N k k ∈叫

做企盼数，则区间〔1，2004〕内的所有企盼数的和M ＝ 。

12、在某次数学测验中，学号为)4,3,2,1(=i i 的四位同学的考试成绩}90,89,88,87,86{)(∈i f

且满足)4()3()2()1(f f f f <≤<，则四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种（用

数字作答）.

13、记→

a ＝（1,sin 2x ），→

b ＝（2,cos 2x ），且0π<≤x （1）若向量→

a 与→

b 的夹角为锐

角，求实数x 的取值范围。（2）若→a //→b ，且212=+

→

→

b a λ，求实数λ。

14、已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的

图象在y 轴上的截距相等。（1）求a 的值； （2）求函数()()x g x f +的单调递增区间；

（3）若n 为正整数，证明：()()4)5

4

(10<⋅n g n f .

15、已知A 、B 、C 是直线m 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线m 于点A,又过B 、C

作⊙O ′异于l 的两切线，切点分别为D 、E ，设两切线交于点P ，（1）求点P 的轨迹方程

（2）经过点C 的直线l 与点P 的轨迹交于M 、N 两点，且点C 分所成比等于2∶3，

求直线l 的方程.

16、如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2

2定点=++为圆上一动点，点P 在A 上，

点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.（I ）求曲线E 的方

程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），

且满足λ=，求λ的取值范围.

高三培优训练(一)参考解答

1——8： DBDA BBDC

9、

3

2π 10、8,6 11、22211

- 12、15 13、(1)),8

7()85,22(arctan )22arctan

,0[πππ (2) －2或1

14、(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a

(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f ………5分

当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增； 当1

++=+x x x g x f ，它在[)1

,2

1-

上单调递增。

(3)设()

()n g n f n c )(10

54⋅=，对于数列

{}n c ，

解不等式11<+n

n c c

，由0>

n c ，上式化为1)5

4

(1032<⋅+n ，

解得7.32

3

8.0lg 21≈->

n 。因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤， 而 >>>654c c c 所以()()()()4)5

4(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f 。

15、（1）|,||||,||||,|||CA CE BA BD PD PE ===

|

|618|

|||||||||||||||||||BC CA AB CE BD PE CE DB PD PC PB =>=+=+=-++=+∴

P ∴点轨迹是B ，C 为焦点，长轴长等于18的椭圆.

以B ，C 两点所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系.

则可设椭圆的方程是)0(12222>>=+b a b

y a x .72,3,92

=∴==b c a

P ∴点的轨迹方程是).0(172

812

2≠=+

y y x （2）设3

2)0,3(),,(),,(2211所成的比为分C y x N y x M ，

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧

++=++=

∴21212121323

2532

1320321323y y x x y y x x

1)3

2

(721)325(811,1728122222121=-+-∴=+y x y x ① 又172

812222=+y x

② 由①、②消去1)811(94)325(8112

22

22=-+-x x y 得 解得)8,3(,8,322±-±=-=N y x 即

∴由C 、N 可得直线的方程是：0123401234=--=-+y x y x 或

16．解：（1）.0,2=⋅= ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.

又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN

∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.

且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===

∴b c a

∴曲线E 的方程为.12

22

=+y x （2）当直线GH 斜率存在时，

设直线GH 方程为,12

,222

=++=y x kx y 代入椭圆方程