高三数学培优训练(一)(附答案)
高三数学培优训练(一)
1、设集合}5|||{},29|{≤∈=-≤≤-∈=x Z x x B x Z x x A 且且，则集合B A 的子集的
个数是： A ．11 B ．10 C ．15 D ．16 2、已知：函数)(x f ＝3
x x --，321,,x x x ∈R,且021>+x x ，032>+x x ，013>+x x ，
则)()()(321x f x f x f ++的值
A ．一定大于0 B.一定小于0 C.一定等于0 D.正负都有可能
3、在ΔABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，这个三角形的面积为3，则ΔABC 外接圆的直径是
A ．33 B.
3326 C. 2393 D. 3
39
2 4、已知：)(x f y =的反函数是)(1
x f y -=，将)12(-=x f y 的图像向左平移2个单位，再
关于x 轴对称后所得到的函数的反函数是
A ．2)(31x f y -+-=
- B. 2)(31x f y ---=- C. 2)(31x f y --= D. 2
)(31
x f y --=-
5、奇函数]),2[)((a x x f y -∈=满足11)2(=-f ，则=)(a f ：
A ．11
B ．－11
C ．2
D ．－2 6、一个学生通过某种英语听力测试的概率是1/2，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通
过的的概率大于0.9，那么他测试的次数n 的最小值为：
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7、已知函数)10(,2)1()(2
≤≤+-=x x x x f ，则函数)(x f
的最大值是：
A ．
39
2
B ．274
C ．2758
D ．
2392+ 8、如图，液体从一个圆锥形漏斗漏入一圆柱桶中，开始时漏斗盛
满液体，经过3秒漏完，圆柱桶中液面上升速度是一个常量，则漏
斗中液面的高度h 与下落时间t 的函数关系的图像只可能是：
9、二项式)),2
(
()1(tan ππ
αα∈+n
的展开式中的第六项是63，而第三项的二项式系数
是21，则=α .
10、已知铜的单晶体的外形是简单几何体，单晶体有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单
晶体有24个顶点，每个顶点处有3条棱，那么单晶铜的三角形晶面和八边形晶面的数目分别
为 和 。
11、给定))(2(log *1N n n a n n ∈+=+，定义使321a a a ??……k a 为整数的数)(*
N k k ∈叫
做企盼数，则区间〔1，2004〕内的所有企盼数的和M ＝ 。
12、在某次数学测验中，学号为)4,3,2,1(=i i 的四位同学的考试成绩}90,89,88,87,86{)(∈i f
且满足)4()3()2()1(f f f f <≤<，则四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种（用
数字作答）.
13、记→
a ＝（1,sin 2x ），→
b ＝（2,cos 2x ），且0π<≤x （1）若向量→
a 与→
b 的夹角为锐
角，求实数x 的取值范围。（2）若→a //→b ，且212=+
→
→
b a λ，求实数λ。
14、已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的
图象在y 轴上的截距相等。（1）求a 的值； （2）求函数()()x g x f +的单调递增区间；
（3）若n 为正整数，证明：()()4)5
4
(10
15、已知A 、B 、C 是直线m 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线m 于点A,又过B 、C
作⊙O ′异于l 的两切线，切点分别为D 、E ，设两切线交于点P ，（1）求点P 的轨迹方程
（2）经过点C 的直线l 与点P 的轨迹交于M 、N 两点，且点C 分所成比等于2∶3，
求直线l 的方程.
16、如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2定点=++为圆上一动点，点P 在A 上，
点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=?=的轨迹为曲线E.（I ）求曲线E 的方
程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），
且满足λ=，求λ的取值范围.
高三培优训练(一)参考解答
1——8： DBDA BBDC
9、
3
2π 10、8,6 11、22211
- 12、15 13、(1)),8
7()85,22(arctan )22arctan
,0[πππ (2) －2或1
高三数学培优专练
高三培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数1y x x =+-的最小值为________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且10 2f ??= ???，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ? ??? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ? ??? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 ６．中心对称 例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+ D ．()3f x +是奇函数 ７．周期性的应用 例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算 一、选择题 培优点一 函数的图象与性质 对点增分集训
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数学（理） 培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10 培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40
培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型93
2019届高三好教育精准培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数y x =+________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ??= ? ??，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ???? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ???? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 培优点一 函数的图象与性质
2019届高三数学一轮复习培优讲义含课时作业：第1章第1讲集合的概念与运算
第1章集合与常用逻辑用语 第1讲集合的概念与运算 板块一知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1集合与元素 1．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． 2．元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法． 4．常见数集的记法 考点2集合间的基本关系 A B或 B A
??A ?B(B≠?) 考点3集合的基本运算 A∪B＝A∩B＝?A＝ [必会结论] 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A. [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．() (2)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A?B，则实数m＝1 或 m＝1 2.() (3)M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝?，则ρ所满足的条 件是ρ≥1.() (4)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y ∈B}中有4个元素．() (5)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．()
答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)× 2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x ＞3}，则A∩B＝() A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 答案 A 解析∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A. 3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0 2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(八) 考试内容：一轮复习 一、单选题 1．（b ）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且面积为S .若 cos cos sin b C c B a A +=，()2 2214 S b a c = +-，则角B 等于（ ） A ． 2 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 2．（b ）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若 (cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -??=-??，则ABC △的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 3．（b ）已知锐角ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2 c a a b =+， 则()2cos cos A C A -的取值范围是（） A ．2?? ? ??? B ．1,22? ?? C ．,22? ?? D ．1,12?? ??? 4．（b ）在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c =2sin tan A C a c =，若sin()sin 2sin 2A B C B -+=，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5．（b ）在ABC △中，1 8 sinAsinBsinC =，且ABC ?面积为1，则下列结论不正确的是（ ） A ． 8a b a b -< B ．()8ab a b +> C ．( )22 16a b c +< D ．6a b c ++> 二、填空题 6．（b ）在ABC ?中，4 B π = ，BC 边上的高等于 1 3 BC ，则sin A =__________． 7．（b ）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 2,sin ,a b B C +==sin 2 C =______________. 8．（b ）如图，在三角形ABC ?中，D 为BC 边上一点，AD AB ⊥ 且BD 2CD =， 培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题， 观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训 2012级高三数学培优资料（教师版） 泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数 ] 31[-.所以泰勒 公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0' f x 0(x -x )+()0f''x 2!02(x -x )+???+ ()()0 n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x = ()(1)(1)! n f n ξ++10)(+-n x x 称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x +()02!f''2x +???+()()0! n f n n x +0()n x . 利用泰勒公式证明不等式：若函数)(x f 在含有0x 的某区间有定义,并且有 直到)1(-n 阶的各阶导数,又在点0x 处有n 阶的导数)(0) (x f n ,则有公式 )()(! )()(!2)()(!1)()()()(00)(2 00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 在上述公式中若0)(≤x R n (或0)(≥x R n ),则可得 省始兴县风度数学 课外培优练习 2．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2 1A B ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1，B ，M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N. （Ⅰ）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1； （Ⅱ）求二面角B —A 1N —B 1的正切值. 1．解法一：PO ⊥平面ABCD ， PO BD ∴⊥ 又,2,2PB PD BO PO ⊥==， 由平面几何知识得：1,3,6OD PD PB == = （Ⅰ）过D 做//DE BC 交于AB 于E ，连结PE ，则PDE ∠或其补角为异面直线PD 与BC 所成的角， 四边形ABCD 是等腰梯形，1,2,OC OD OB OA OA OB ∴====⊥ 5,22,2BC AB CD ∴=== 又//AB DC ∴四边形EBCD 是平行四边形。 5,2ED BC BE CD ∴==== E ∴是AB 的中点，且2AE = 又6PA PB ==，PEA ∴?为直角三角形，22622PE PA AE ∴= -=-= 在PED ?中，由余弦定理得 222215cos 215235 PD DE PE PDE PD DE +-∠===??? 故异面直线PD 与BC 所成的角的余弦值为215 （Ⅱ）连结OE ，由（Ⅰ）及三垂线定理知，PEO ∠为二面角 P AB C --的平面角 2sin 2 PO PEO PE ∴∠==，045PEO ∴∠= ∴二面角P AB C --的大小为045 （Ⅲ）连结,,MD MB MO ， PC ⊥平面,BMD OM ?平面BMD ，PC OM ⊥ 又在Rt POC ?中， 3,1,2PC PD OC PO ====， 233,33PM MC ∴==，2PM MC ∴= 故2λ=时，PC ⊥平面BMD 解法二： PO ⊥平面ABCD PO BD ∴⊥ 厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13） 知识要点梳理 本节公式中，,2a b c s ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆 半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系 设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π， 2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ， a － b < c ，b －c < a ，c －a < b ． 3．边与角关系： 正弦定理； R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ， b 2 = a 2+ c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ． 它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a B A =sin sin ， bc a c b A 2cos 2 22-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ， b ＝a ·cos C ＋ c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ． 4 ）面积公式：11sin 224a abc S ah ab C rs R ?===== （二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形 由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而 2 22C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2 sin 2cos C B A +=． 2.常用的恒等式： （1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2 A cos 2 B cos 2 C ； （2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2 A sin 2 B sin 2 C ； （3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2 A sin 2 B cos 2 C ； （4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2 A cos 2 B sin 2 C ． 3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有： a 2＋ b 2＞ c 2 ? 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ? 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ? 三角形ABC 是直角三角形 (三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。 数列单元易错题分析 赵玉苗整理 1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？ 2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？ ① 基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想； ②利用等差（等比）数列性质）. [问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前n S n 项的和为，()求1n S 的最小值；()n n a a a T +++= 212求 3、解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗？ 4、在“已知n S ，求n a ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗？(1=n 时，应有11S a =) 5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题） [问题]：已知:.,32,111n n n n a a a a 求+==- 6、你知道n n q ∞ →lim 存在的条件吗？（)11≤<-q ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？ 你知道无穷数列}{n a 的前n 项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？ 7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法) *8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳 假设”吗？ 1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论. 2、.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论. 例题选讲 1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题： 例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n 3－2； 【错解】由公式a n =s n －s n －1得：（1）a n =10n －2; （2）1 23n n a -=? 【分析】应该先求出a 1，再利用公式a n =s n －s n －1()2n ≥求解. 2018届高三文科数学培优资料（一） 圆锥曲线的方程与性质 一、知识整合 二、真题感悟： 1． (全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直 径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C 解析 由题意知：F ????p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2 ，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2 ，设以MF 为直径的圆的圆心为????52，y M 2，所以圆的方程为????x －522＋????y －y M 22＝25 4 ，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ????5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C. 2． (全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2 ，则C 的渐近线方程为 ( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝±x 答案 C 解析 由e ＝c a ＝5 2知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k . 所以b a ＝12 . 即渐近线方程为y ＝±1 2x .故选C. 3． (山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23 －y 2 ＝1的右焦点的连线交C 1于 第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316 B.38 C.233 D.433 答案 D 解析 抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点F 为??? ?0，p 2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±3 3 x . 由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ????33 p ，p 6. 由F 、F ′、M 三点共线得p ＝43 3 . 4． (福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3 (x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ________． 答案 3－1 解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )， 知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2， 所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ， 所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a ＝3－1. 5． (浙江)设F 为抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两 点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________． 答案 ±1 解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组 ????? y ＝k (x ＋1) y 2 ＝4x . 136周末培优 【典例】某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校2015—2016学年高二年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表． （1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关； （2）规定80分以上者为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”． 参考公式： 2 2 () ()()()() n ad bc K a b c d a c b d - = ++++ ． 【练习】1．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表： 使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 20 10 30 附表： 20()P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算210K =，则下列选项正确的是 A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 2．某学校为调查该校学生每周使用手机上网的时间，随机收集了若干位学生每周使用手机上网的时间的样 本数据（单位：小时），将样本数据分组为[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]，绘制了如下图所示的频率分布直方图，已知[0,2)内的学生有5人． （1）求样本容量n ，并估计该校学生每周平均使用手机上网的时间； （2）将使用手机上网的时间在[4,12]内定义为“长时间看手机”；使用手机上网的时间在[0,4)内定义为“不长时间看手机”．已知在样本中有25位学生不近视，其中“不长时间看手机”的有15位学生．请将下面的22?列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为该校学生长时间看手机与近视有关． 近视 不近视 合计 长时间看手机 赣榆县清华园学校高三培优班考前测验试题2 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．命题“若一个数是负数，则它的平方数正数”的逆命题是 ． 2．设全集U ＝{1，3，5，7}，集合M ＝{1，a －5}，M ?U ，U M e＝{5，7}，则实数a ＝ ． 3．某工厂生产了某种产品3000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则乙生产线生产了 件产品． 4．若()f x ＝sin()4a x π+＋3sin()4x π-是偶函数，则实数a ＝ ． 5．从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出 一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两 次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率 是 ． 6．如右图，函数y ＝()f x 的图象在点P 处的切线方程，y ＝－x ＋5，在(3)f －/(3)f ＝ ． 7．定义某种新运算?：S ＝a ?b 的运算原理如图所示，则5?4－3?6 ＝ ． 8．如图，四边形ABCD 中，若AC BD ＝1，则AB DC AC BD ? (+)(+)＝ ． 9．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为 ． 10．若A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则4A ＋ 1B C +的最小值为 ． 11．双曲线2222x y a b -＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是1F ，2F ， 过1F 作倾斜角30?的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则 双曲线的离心率e ＝ ． 12．在平面直角坐标系中，点集A ＝{( x ，y ) |2x ＋2y ≤1}，B ＝{( x ，y ) | x ≤4，y ≥0，3x －4y ≥0}，则点集Q ＝{( x ，y ) |x ＝1x ＋2x ，y ＝1y ＋2y ，(1x ，1y )∈A ，(2x ，2y )∈B }所表示的区域的面积为 ． 13．已知函数()f x ＝3x ＋2(1)a x -＋3x ＋b 的图象与x 轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a 的取值范围是 ． 14．定义函数()f x ＝[[]]x x ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 如： [1.5]＝1，[ 1.3]-＝－2．当x ∈[0，)n (n ∈*N )时，设函数()f x 的值域为 A ，记集合A 中的元素个数为n a ，则式子90n a n +的最小值为 ． 二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S = ． ⑴求cos A 的值； 高三数学(文科)培优辅导(一) 三角函数专题之一 09.2.20 例1. 求函数x x x y cos 1sin 2sin -= 的最小值. 练习: 1. 求函数x x y cos 2)3 cos(2++=π 的最大值. 2. 已知?? ? ??-∈0,2πθ,,51cos sin =+θθ求 θθtan 1tan 1-+的值. 例2. 若022sin 2cos 2<--+m x m x 对R x ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 练习: 1. 若,cos 2sin αα=求α αcos sin 1 的值. 2. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在x 轴正半轴上,终边经过点 )2,1(-P ,求)4 2cos(2π α- 的值. 3. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数,,若)(x f 的最小正周期是π, 且当?? ? ???∈2,0πx 时,x x f sin )(=,求)35(πf 的值. 高三数学(文科)培优辅导(二) 三角函数专题之二 09.2.26 例1. 已知53)4sin(=+π α, 求α α αtan 1sin 22sin 2--的值. 练习: 1. 已知41log )sin(8=-απ,且),0,2 (π α-∈则)tan( πα+的值为( ) A. 25- B. 25 C. 25 ± D . 5 2- 2. 已知ααcos ,sin 是方程022=--m x x 的两根,则=m _____________; 3. 已知1tan 2sin )(++=x b x a x f ,且5)3(=-f ,则=+)3(πf _________; 4. 函数)23 sin(32)2316cos()2316cos( )(x x k x k x f ++--+++=π ππ ),(Z k R x ∈∈的值域是____________;最小正周期是____________. 高三数学第一轮总复习讲义（培优版） 供理科生使用 第一讲等差数列及其性质与前n项和 第二讲等比数列及其性质与前n项和 第三讲数列的通项公式与前n项和的求法 第四讲数列的综合问题 第一讲 等差数列及其性质与前n 项和 【教学目标】 1、 掌握等差数列的概念及通项公式； 2、 理解并能应用等差数列的性质； 3、 熟练掌握各种方法求等差数列的通项公式及前n 项和以及应用等差数列解决实际问题。 【重点难点】 1、应用等差数列的性质解题； 2、等差数列前n 项和公式理解、推导及应用; 3、理解等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，会利用等差数列求和公式来研究n S 最值; 【命题趋势】 1、题型以选择题和解答题为主; 2、选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用; 3、解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n 项和与函数、不等式的综合问题。 【教学过程】 一、知识要点 1. 等差数列的判定方法： （1）d a a n n =-+1（常数）{}n a ?是等差数列； （2）)(2 2 1*++∈+= N n a a a n n n {}n a ?是等差数列； （3）b k b kn a n ,(+=是常数）{}n a ?是等差数列； （4）B A Bn An s n ,(2+=是常数，)1≥n {}n a ?是等差数列. 2. 等差数列的性质. 由等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=可以推出许多性质,如: ①{}n a d ,0时>递增; {}n a d ,0时<递减; {}n a d ,0时=为常数列. ②),()(* ∈-+=N n m d m n a a m n . ③ ),(*∈=--N n m d n m a a n m ; ④若,s r q p +=+则,s r q p a a a a +=+特别地,k n k n n a a a +-+=2, 若{}n a 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的和相等,且等于首末两项的和; 高一“培优补差”工作计划 一、指导计划 提高优生的自主和自觉学习能力，进一步巩固并提高中等生的学习成绩，帮助差生取得适当进步，让差生在教师的辅导和优生的帮助下，逐步提高学习成绩，并培养较好的学习习惯，形成基本能力。培养优秀计划要落到实处，发掘并培养一批尖子，挖掘他们的潜能，从培养能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实的基础和缜密的思维，并能协助老师进行辅导后进生活动，提高整个班级的素养和成绩。 二、工作目标： 在这个学期的培优补差活动中，坚持“抓两头、带中间、整体推进”的方针，培优对象能按照计划提高学生数学思维、数学思想方法的应用以及合作能力，学习成绩好的同学，能积极主动协助老师实施补差工作，帮助后进生取得进步。补差对象能按照老师的要求做好，成绩有一定的提高。特别是做题、考试这一基本的能力。并在课堂教学中不断引导学生熟悉并应用各种基本的数学思想方法，使学生形成缜密的逻辑思维，并喜欢上数学学习。 三、工作内容： （一）优等生：拓展高考知识，拓宽知识面，促进其能力持续发展。鼓励参与班级管理，自发组成各种兴趣小组，指导其他同学学习。鼓 励多作数学笔记及错题集，并和同学分享学习方法。 （二）学困生:补差的工作内容是教会学生敢于做题，会做题，安排比较基础的内容让他们掌握，鼓励他们大胆问问题，虚心向别人请教。多关心学困生的学习，老师对他们做到有耐心、有信心，同时也要多给他们布置任务，比如初中没学习懂的东西或者在新课学习中遗留下来的问题，要督促他们用更多的时间来完成这部分内容。除老师的版主外，还应调动起优等生辅助他们学习，让他们一起合作学习的效果更加明显。 （三）中等生：鼓励他们向优等生靠齐，多对学习方法和他们做一些交流。对该部分同学布置问题时应循序渐进，有易到难。在讲解题时，多他们灌输学学思想方法和解题技巧。 四、主要措施： l．课外辅导，利用课余时间。 2．采用一优生带一差生的一帮一行动。 3．请优生介绍学习经验，差生加以学习。 4．课堂上创造机会，用优生学习思维、方法来影响差生。 5．对差生实施多做多练措施。优生适当增加题目难度，并安排课外作品阅读，不断提高做题和写作能力。 6．采用激励机制，对差生的每一点进步都给予肯定，并鼓励其继续进取，在优生中树立榜样，给机会表现，调动他们的学习积极性和成功感。 培优点六 三角函数 1．求三角函数值 例1：已知π3π044βα<< << ，π3 cos 45 α??-= ???，3π5sin 413β??+= ???，求()sin αβ+的值． 【答案】 5665 【解析】∵3πππ442 αββα??+= +--- ???， ()3ππ3πsin sin πcos π44244αββαβα???? ????∴+=+---=-+-- ? ? ? ????????? 3ππ3ππ=cos cos sin sin 4444βαβα?? ????????-+-++- ? ? ? ? ?????????? ? ∵π3π044βα<< <<，ππ024α∴-<-<，3π3π π44 β<+<， π4sin 45α?? ∴-=- ???，3π12cos 413β??+=- ???， ()1234556sin 13551365αβ??∴+=--?-?= ??? ． 2．三角函数的值域与最值 例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??? ???=-+-+ ? ? ???? ???， （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间ππ,122?? -???? 的值域． 【答案】（1）πT =，对称轴方程：()ππ 32k x k = +∈Z ；（2）?????? ． 【解析】（1）()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??? ???=-+-+ ? ? ???? ??? 1cos 2222x x x x x x ?=+?????? 221cos22sin cos 2x x x x =++- 0) + R 0 2012 级高三数学培优资料（教师版） 泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个 n 次多项式 p n (x ) ,去逼近一个已知的函数 f ( x ) ，而且这种 逼近有很好的性质： p n (x ) 与 f ( x ) 在 x 点具有相同的直到阶 n 的导数[1-3] .所以泰 勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数 f ( x ) 在点 x 0 处的某邻域内具有 n +1阶导数，则对该邻域内 异于 x 0 的任意点 x ，在 x 0 与 x 之间至少存在一点，使得： f ( x ) = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) (x - x 0) + f'' ( x 0 ) (x - x 0)2 +??? + f (n ) ( x 0 ) (x - x n ( x ) ， f (n +1) ( ) 2! n +1 n! n 其中 R n ( x ) = (n +1)! ( x - x 0 ) 称为余项，上式称为 n 阶泰勒公式； 若 x 0 = 0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即 f ( x ) = f (0) + f ' (0) x + f'' (0) 2! x 2 +??? + f (n ) (0) n ! x n + 0(x n ) . 利用泰勒公式证明不等式：若函数 f (x ) 在含有 x 0 的某区间有定义,并且有 直到(n -1) 阶的各阶导数,又在点 x 处有 n 阶的导数 f (n ) (x ) ,则有公式 f '(x ) f ' (x ) f (n ) (x ) f (x ) = f (x ) + 0 (x - x ) + 0 (x - x )2 + + 0 (x - x )(n ) + R (x ) 0 1! 0 2! 0 n ! 0 n 在上述公式中若 R n (x ) ≤ 0 (或 R n (x ) ≥ 0 ),则可得 f '(x ) f ' (x ) f (n ) (x ) f (x ) ≥ f (x ) + 0 (x - x ) + 0 (x - x )2 + + 0 (x - x )(n ) 0 1! f '(x ) 0 2! 0 f ' (x ) n ! 0 f (n ) (x ) 或 f (x ) ≤ f (x 0 ) + 0 (x - x 1! 0 ) + 0 (x - x 2! 0 )2 + + 0 (x - x n ! 0 )(n ) 高三数学培优训练(一) 1、设集合}5|||{},29|{≤∈=-≤≤-∈=x Z x x B x Z x x A 且且，则集合B A 的子集的 个数是： A ．11 B ．10 C ．15 D ．16 2、已知：函数)(x f ＝3 x x --，321,,x x x ∈R,且021>+x x ，032>+x x ，013>+x x ， 则)()()(321x f x f x f ++的值 A ．一定大于0 B.一定小于0 C.一定等于0 D.正负都有可能 3、在ΔABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，这个三角形的面积为3，则ΔABC 外接圆的直径是 A ．33 B. 3326 C. 2393 D. 3 39 2 4、已知：)(x f y =的反函数是)(1 x f y -=，将)12(-=x f y 的图像向左平移2个单位，再 关于x 轴对称后所得到的函数的反函数是 A ．2)(31x f y -+-= - B. 2)(31x f y ---=- C. 2)(31x f y --= D. 2 )(31 x f y --=- 5、奇函数]),2[)((a x x f y -∈=满足11)2(=-f ，则=)(a f ： A ．11 B ．－11 C ．2 D ．－2 6、一个学生通过某种英语听力测试的概率是1/2，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通 过的的概率大于0.9，那么他测试的次数n 的最小值为： A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7、已知函数)10(,2)1()(2 ≤≤+-=x x x x f ，则函数)(x f 的最大值是： A ． 39 2 B ．274 C ．2758 D ． 2392+ 8、如图，液体从一个圆锥形漏斗漏入一圆柱桶中，开始时漏斗盛 满液体，经过3秒漏完，圆柱桶中液面上升速度是一个常量，则漏 斗中液面的高度h 与下落时间t 的函数关系的图像只可能是：【试卷】2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(八)及答案
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