等比数列求和公式及性质

n 1 设 an 2 n n 2 n （提示：
，其中n为等差数列， ，利用错位相减法求和.）
1 1 n 为等比数列，公比为 2 2
你能登上 月球吗?
能?!
只要你把你手上 的纸对折38次我就 能沿着它登上月球。
哇…
列式： M=1+2+4+8+…+2 （页）
37
课堂小结：
S5
(2)a1 2.4, q 1.5, n 5;
3 (1 26 ) S6 189. 1 2
1 ( 4) a1 2.7, q , n 6. 3
1 1 2

2
.
6 1 2.7 1 3 91 . S6 40 1 1 3
2
4 128 4
128
作业：P30.A组8（写在课本） 9.10（写在作业本）
1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到 第10项的和为 6 4 6 10 4 a5 1 q 2 1 2 1 2 1 2 S S10 S4 或S 1 2 1 2 1 q 1 2
若q=1, ∴ Sn=
作 减 法
a -a qn
n
Sn na1
1
若：q≠1
a1 (1 q ) Sn 1 q
{
a (1-q )
n
n· a1
1-q
(q=1)
(q=1)
(一) 用等比定理推导 因为 所以
当 q = 1 时 Sn = n a1
6
(二）公式推导
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
已知a1, q, n时
通项公式:
已知a1, q, an时
an=a1• q
n-1
等比数列的前n项和例题
例5（1） 求等比数列 的和. 1 解: a1 1, q , n 10 2
1 1 1 1， , , , 的前10项 2 4 8
1 1 1 2 S10 1 1 2
因此，数列{an}是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列
热气球在n分时间里上升的总高度
a1 (1 q n ) 4 n S n a1 a2 an 125 1 ( ) 125 1 q 5 答 这个热气球上升的高度 不可能超过 125m.
推导公式
求：Sn 解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + q n=a1q a1q (1-q)Sn=
1 1
已知： 等比数列 { n}，
a
a q， n
1，
s
2
a1q3 a1qn1 a1qn
例 做边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内做内 接正三角形，然后再做新三角形的内切圆.如此下去求 前n个内切圆的面积和.
解 设第n个正三角形的内切圆的半径为rn 从第二个三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个 正三角形边长的1/2，每一个正三角形内切圆的半径也是 前一个正三角形内切圆半径的1/2，故
an am
求q
则am an ap aq
（3）若数列 {an } 是等比数列，则 Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k , 也是等比数列 （4）等比数列{an}的任意等距离的项 构成的数列仍为等比数列
q q

k
等比数列判定方法： an 1 （1）定义法： 常数

an
（2）递推公式法：
an an 1 an 1
2
（3）看通项法：
an kq
n
（4）看前n项和法：
Sn k kq
n
例 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以 后的每一分钟里，它上升的高度,都是它在前一分钟 上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？
解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意， 得 an+1=4/5an
练习:
（ 1 ）如果一个等比数列前 5 项的和等 于 10 ，前 10 项的和等于 50 ，那么它前 15项的和等于多少？
an ( 2) 已知Sn是等比数列 的
前n项和, 且Sn 48, S 2 n 60. 求S3n的值.
思考：
1 2 3 4 n Sn n . 求和： 2 4 8 16 2
北师大版高中数学必修5第 一章《数列》
等差数列 定义 通项公式
等差（等比） 中项 下标和公式
等比数列
an q an 1
Baidu Nhomakorabea
an－an-1=d(n≥2) an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
A=
ab 2
(n≥2)
an=a1· qn-1(q≠0) an=am· qn-m
G= ab
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq
1 1 3 3 a tan30 a a 2 2 3 6 1 r 2 r1 2 r1 rn 1 rn 1 2 3 1 a，公比为 的等比数列 6 2 3 1 n 1 an ( ) 6 2
数列a n 是首项为 所以
1 n个内切圆面积组成一个 首项为 r1 ，公比为 的等 4 2 n 1 比数列 1 1 1 2 S N r 1 4 4 4 1
( a1 an ) n Sn= 2 n( n 1) S n na1 d 2
若m+n=p+q, 则aman=apaq
Sn
？
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
1023 . 512
10

a1 (1 q n ) Sn 1 q
（2）已知等比数列{an}中，a1=2,q=3,求S3
2 （ 1- 3 ） 解（2）S 3 26 1- 3
3
例6 五洲电扇厂去年实现利税300万元， 计划在5年中每年比上年利税增长10%， 问从今年起第5年的利税是多少？这5年 的总利税是多少？（结果精确到万元）
16 答：这个数列的第1项与第2项分别为 与8 3
练习、求和
(1)a a a a
2 3
n 1
a
n
1 1 1 2 n (2).( x ) ( x 2 ) ( x n ) y y y ( x 0, x 1, y 1)
分析： 解：（1）该数列为等比数列，记为{an}，其中a1=a,q=a 当q=1时,Sn=na a (1 a n ) 当q≠1时,Sn= 1 a
设前n个内切圆的面积之和为Sn，则：
练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18，求它的第1项与第2项
解：设这个等比数列的第1项是 a1 ，公比是
16 a1 2 a1q 12 3 3 a1q 18 q 3 2
q
，那么
消 元
16 3 a2 a1q 8 3 2
设小林30天得到的钱数T30
T30 (1 30) 30 1 2 3 30 465(万元 ) 2
设小明30天得到的钱数S 30
S30 1 2 2 2 2 （分）
2 3 29
引入新课
同学们考虑如何求出这个和？
2 3 29
S30 1 2 2 2 2 . 2 3 29 2S30 2(1 2 2 2 2 ).
等比数列的前n项和练习2-3
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解： a1 1, q 2, 10 4 1 ( 1 2 ) 1 (1 2 ) 1023 . S4 15. S10 1 2 1 2
从第5项到第10项的和: S S 102315 1008 . 10 4 3 3 3 , , , 从第3项到第7项的和. 3. 求等比数列 2 4 8 7 3 1 1 3 1 2 解： a1 , q , S 2 381. 7 2 2 1 128 1 2 3 3 381 9 153 从第3项到第7项的和: S7 .
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn =
a1 ( 1 – q n ) 1–q
7
(q 1)
等比数列前n项求和公式
na1 , (q 1), na1 , (q 1) n S 于是 n a1 a1q S n a1 an q 1 q , (q 1). 1 q , (q 1).
1.等比数列前 公式的应用； 2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注 意公比q
n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及
3.反思推导求和公式的方法——错位相减法，
可以求形如 xn yn 的数列的和，其中 xn 为
yn 为等比数列. 等差数列 ，
2
n 1 2 1 3 4 a 1 6 1 4 n 4 a a2 1 1 1 n 1 3 12 9 4 4 2
2 3 29 30
这种求和 的方法,就 是错位相 (1) 减法!
30 S30 1 2 S 2 1 1073741823 分
30 30
即2S30 2 2 2 2 2 . S30 2S30 1 230
(2)
≈1073.741万元
等比数列前n项求和公式
2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的 前n项和。
1 1 1 2 n 3、求和：( x ) ( x 2 ) ( x n ) y y y
15
北师大版高中数学必修5第 一章《数列》
an 1 常数 an 1.定义： {an }为等比数列 ________
n 1 a a q 2.通项公式：an _______ n 1
am q 推广：an _________
nm
a1 (1 q ) (q 1) 3.前n项和公式 : Sn 1 q na (q 1) 1
n
4.重要结论：
若{an }是等比数列
an kq
n
（1） an am q
q
nm
n m
（2） 若m n p q,
5 5
等比数列的前n项和练习1 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 S n
(1)a1 3, q 2, n 6;
2.4 [1 (1.5)5 ] 33 S5 . 1 (1.5) 4 1 5 1 (3) a1 8, q , n 5; 8 1 2 2 31
等比数列的前n项和例题
解 每年的利税组成一个首项a1 300，公比 q 1 10%的等比数列.
从今年起,第5年的利税为:
5 a6 a1q5 300 (1 10%) 300 1.15 483(万元)
这5年的总利润为:
a2(q 1) 1.1 1 S 300 1.1 2015(万元) q 1 1.1 1