《数据分析与统计软件》期末试题(1)

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开课系室理学院应用数学系
考试日期
注意事项：
1．本试卷正文共6页。

2．反面及附页可作草稿纸。

3．答题时请在试卷正面指定位置答题，注意书写清楚，保持卷面清洁。

4. 试卷本请勿撕开，不能铅笔答题，否则作废。

一、填空题（本题满分21分,每空3分）
1、设X 为p 维总体，()(1,2,,)i X i n = 是X 的样本，
样本均值为()1
1n
i i X X n ==∑，则()Cov X 的常用无偏
估为：_________________________________。

2、设Y 是取0，1两个值的随机变量，它受变量12,X X 的影响，则Y 与变量
12,X X 的LOGISTIC 回归模型为_______________________________。

3、设变量123(,,)T
X X X 的协方差阵为4222932325⎡⎤
⎢⎥∑=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，则它的相关阵为________________________；偏相关系数13(2)ρ⋅为________________。

4、今对5人进行测试，测得2个指标：脉搏1X ，引体向上次数2X ，数据
如下表，则两者的样本Spearman 相关系数为：__________________；两者的样本Kendall τ相关系数为：__________________ 。

5、在R 中，对一列0，1二值观测数据向量x 进行随机性检验的函数调用
格式为：____________________________。

二、（本题满分18分，分为2个小题，分别为8分和10分） 1、填写出下列经修订的R 软件输出的单因子方差分析 表中所缺的数值。

2、设(,),1,2,,i i x y i n = 是来自一元线性回归模型012
~(0,)
Y x N ββε
εσ=++⎧⎨⎩的样本，而 0β和 1
β分别是0β和1β的最小二乘估计。

求证：最小二乘回归方程
01y x ββ=+经过点()
,x y ，其中11
11,n n i i i i x x y y n n ====∑∑。

设三维总体X 的相关阵为：
11(01)1r r r r r r r ρ⎡⎤
⎢⎥=<≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（1） 求出总体X 的标准化变量的第一主成分；r 多大时才能使总体X 的第
一主成分的贡献率达90%以上？
（2） 将上述结果推广到(3)p p >维总体情形。

收集了从事数学研究的24位数学家的年工资额Y 与他们的研究成果的质量指标1X 、工作年限2X 、以及获得资助的指标3X 的数据（data3.1.txt ），利用R 软件建立年工资额Y 关于其他变量的多元线性回归模型，结果如下：
> x<-read.table("D:/data3.1.txt",header=T) > lm.reg<-lm(y~1+x1+x2+x3,data=x) > summary(lm.reg) Call:
lm(formula = y ~ 1 + x1 + x2 + x3, data = x) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max -3.2724 -0.8039 0.0032 1.1557 3.2311 Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 17.62493 1.99893 8.817 2.51e-08 *** x1 1.12812 0.32595 3.461 0.002468 ** x2 0.32327 0.03632 8.902 2.15e-08 *** x3 1.30343 0.29354 4.440 0.000251 *** ---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.731 on 20 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.913, Adjusted R-squared: 0.9 F-statistic: 69.98 on 3 and 20 DF, p-value: 8.802e-11
试写出：（1）残差的三均值；
（2）变量3X 的系数显著性检验的p 值；
（3）回归方程是否显著？为什么？如果显著，请写出回归方程； （4）如果给某位数学家的3个自变量的一组值010203(,,)x x x 为
(5.1,20,7.2)，请给出该数学家的年工资额0Y 的点预测值。

抽取了某地52名中学生的数学（1X ）、物（2X ）、 化学（3X ）、语文（4X ）、历史（5X ）和英语（6X ）成 绩（data5.1.xls ），利用R 软件进行因子分析，结果如下：
> x<-read.csv("D:/data5.1.csv",header=T)
> fa<-factanal(x,2,scores="Bartlett",rotation="varimax") > fa Call:
factanal(x = x, factors = 2, scores = "Bartlett", rotation = "varimax") Uniquenesses:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 0.228 0.459 0.333 0.148 0.210 0.150 Loadings:
Factor1 Factor2 x1 -0.309 0.823 x2 -0.309 0.668 x3 0.811 x4 0.848 -0.363 x5 0.862 -0.216 x6 0.899 -0.206
Factor1 Factor2 SS loadings 2.471 2.001 Proportion Var 0.412 0.333 Cumulative Var 0.412 0.745
试写出：（1）因子模型*X Af ε=+中的A 及()Cov ε； （2）样本相关阵R 的前两个特征根；
（3）前两个公因子的方差贡献率及累积方差贡献率；
（4）与公因子1f 最相关的三个原变量，与公因子2f 最相关的三个原变量。

某康复俱乐部对20名中年人测量了三个生理指标：体重（1X ）、腰围（2X ）、脉搏（3X ）和三个训练指标：引体向上（1Y ）、起坐次数（2Y ）、跳跃次数（3Y ）数据（data6.1.xls ），利用R 软件进行典型相关分析，结果如下：
> x<-read.csv("D:/data6.1.csv",header=T) > x<-scale(x)
> cancor(x[,1:3],x[,4:6]) $cor
[1] 0.79560815 0.20055604 0.07257029 $xcoef
[,1] [,2] [,3]
x1 -0.17788841 -0.43230348 0.04381432 x2 0.36232695 0.27085764 -0.11608883 x3 -0.01356309 -0.05301954 -0.24106633 $ycoef
[,1] [,2] [,3]
y1 -0.08018009 -0.08615561 0.29745900 y2 -0.24180670 0.02833066 -0.28373986 y3 0.16435956 0.24367781 0.09608099 $xcenter
x1 x2 x3 2.289835e-16 4.315992e-16 -1.778959e-16 $ycenter
y1 y2 y3 1.471046e-16 -1.776357e-16 4.996004e-17 试写出：（1）三个样本典型相关系数；
（2）第一对典型相关变量。