三角函数对偶式求值

类似例一、已知cosα﹣cosβ=，sinα﹣sinβ=，则cos（α﹣β）=．

分析：对已知条件cosα﹣cosβ=，sinα﹣sinβ=两边平方再相加即可得到答案．

解答：解：∵（cosα﹣cosβ）2=，（sinα﹣sinβ）2=．两式相加，得2﹣2cos（α﹣β）=．

∴cos（α﹣β）=．故答案为：点评：本题主要考查两角和与差的余弦公式．

例二、已知，，则tanαtanβ=．

分析：利用两角和与差的余弦函数展开，求出cosαcosβ=，sinαsinβ=，然后求出tanαtanβ的值．解答：解：∵cos（=，

∴cosαcosβ+sinαsinβ=，①∵cos（α+β）=，∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=，②

从①②两式中解得：cosαcosβ=，sinαsinβ=，两式相除得

∴tanαtanβ=．故答案为：．点评：本题主要考查两角和与差的余弦函数、同角公式等，应用公式要抓住公式结构特征，掌握运算、化简的方法和技能．

好题、若，则sinβcosα的取值范围是[﹣]．

分析：由sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+sinβcosα，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣sinβcosα，sin（α+β）sin（α﹣β）∈[﹣1，1]，知﹣1+sinβcosα≤1，由此能导出sinβcosα．

解答：解：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+sinβcosα

sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣sinβcosαsin（α+β）sin（α﹣β）∈[﹣1，1]

﹣1+sinβcosα≤1﹣≤sinβcosα，﹣1﹣sinβcosα≤1

﹣sinβcosα，sinβcosα，所以sinβcosα．故答案为：[﹣]．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换．

好题、已知sinαcosβ=，则cosαsinβ的取值范围是[﹣，]．

分析：可设所求cosαsinβ=x，与已知的等式sinαcosβ=相乘，利用二倍角的正弦函数公式的逆运算化简为sin2α•sin2β=2x后，根据三角函数的值域的范围得到关于x的不等式，求出解集即可得到cosαsinβ的范围解答：解：设x=cosα•sinβ，sinα•cosβ•cosα•sinβ=x，即sin2α•sin2β=2x．

练习（1）已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.

解:∵sinα-sinβ=-sinγ,①cosα-cosβ=cosγ,②

①2+②2得cos(α-β)=, ∵si nβ-sinα=sinγ＞0,∴sinβ＞sinα.∴α＜β.∴-＜α-β＜0. ∴α-β=-.

类似练习1已知α、β、γ∈(0,),sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,求β-α的值.

解：由已知,得sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ.平方相加得(sinβ-sinα)2+(cosα-cosβ)2=1.

∴-2cos(β-α)=-1. ∴cos(β-α)=. ∴β-α=±. ∵sinγ=sinβ-sinα＞0, ∴β＞α.∴β-α=.

类似练习1、已知α，β，γ∈（0，），且sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，则α﹣β的值等于（）

分析：把已知的两等式分别移项，使关于γ的三角函数移项到等式右边，根据α，β，γ的范围得到β大于α，然后把化简后的两等式两边分别平方后，相加并利用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简后，得到cos（α﹣β）的值，根据α与β的范围及β大于α，得到α﹣β小于0，利用特殊角的三角函数值即可求出α﹣β的值．

解答：解：sinβ﹣sinα=sinγ＞0，cosα﹣cosβ=cosγ＞0，则（sinβ﹣sinα）2+（cosα﹣cosβ）2=1，且β＞α，

即cos（α﹣β）=（0＜α＜β＜），则α﹣β=﹣．

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应根据已知条件判断出β＞α，进而得到α﹣β的值为负数．

类似练习1、已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β﹣α的值．

分析：由已知首先消去γ的正余函数，再利用和差化积公式进一步化简，求出β﹣α．

解答：解：由已知，得sinγ=sinβ﹣sinα，cosγ=cosα﹣cosβ．

平方相加得（sinβ﹣sinα）2+（cosα﹣cosβ）2=1．∴﹣2cos（β﹣α）=﹣1．

∴cos（β﹣α）=．∴β﹣α=±．∵sinγ=sinβ﹣sinα＞0，∴β＞α．∴β﹣α=．点评：本题极易求出β﹣α=±，如不注意隐含条件sinγ＞0，则产生增根．因此求值问题要注意分析隐含条件．

好题；（2004•湖北）已知6sin2α+sinαcosα﹣2cos2α=0，，求的值．

分析：先对6sin2α+sinαcosα﹣2cos2α=0进行因式分解得到sinα、cosα的关系，再根据α的范围求出tanα的值，将用两角和与差的正弦公式展开后再利用二倍角公式整理，将tanα的值代入和得到最后答案．解答：解：由已知得：（3sinα+2cosα）（2sinα﹣cosα）=0⇔3sinα+2cosα=0或2sinα﹣cosα=0

由已知条件可知cosα≠0，所以α≠，即．于是tanα＜0，∴tanα=﹣．

=

==

将tanα=﹣代入上式得

=﹣．即为所求．

点评：本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能．

练习（2）、若sinαcosβ=，求cosαsinβ的取值范围．

分析：本题考查的知识点是三角函数的定义，及倍角公式，由sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=+cosαsinβ，sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）=﹣cosαsinβ，结合正弦函数的值域为[﹣1，1]，解不等式组即可得到cosαsinβ的取值范围．

解答：解：∵sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=+cosαsinβ，∴﹣1≤+cosαsinβ≤1

即﹣≤cosαsinβ≤∵sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）=﹣cosαsinβ，

∴﹣1≤﹣cosαsinβ≤1即﹣≤cosαsinβ≤∴﹣≤cosαsinβ≤

∴cosαsinβ的取值范围为[﹣，]．

点评：观察题目中已知与未知的量，并根据它们的关系选择计算sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=+cosαsinβ，sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）=﹣cosαsinβ，是解决本题的关键，要求大家熟练掌握三角函数的相关公式．