二次极限与二重极限

二重极限和二次极限

设，当时的极限是同时趋向于时所得到的．此外，我们还要讨论先后相继地趋于时的极限；前者称为二重极限，后者称为二次极限．

若对任一固定的，当时，的极限存在

而在时的极限也存在并等于A，亦即，那末称A为先对、后对的二次极限，记为

同样可定义先对、后对的二次极限

我们必须注意有以下几种情形：’

(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在．例如

由于和在和的函数极限不存在，故在(o，o)点的两个二次极限都不存在，但因为，

故

(2)两个二次极限存在而不相等．例如

由于时恒有·，

故

同理

(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在。例如

当时，二重极限不存在，但两个二次极限都为零．

由此可知二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之问没有什么关系．但可以证明：若某个二次极限和二重极限都存在，则二者一定相等，因之若两个二次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在．又，若两个二次极限存在并且相等，即若

我们说二次极限可以交换求极限的次序．

还应当注意，当时，的二重极限如果是A，则意味着P以任何方式(而不仅仅是任何方向)趋于时，均趋于A，假若P仅从任何方向(而不是任何方式)趋于时，都趋于数A, 的二重极限仍可能不存在．例如函数

便是如此．点以任何方向趋于点时，读者可以验证，均趋于零，但当点户沿曲线趋于时显然趋于1，故当时，的二重极限

不存在．这正如有人所说，“从一元函数转换到多元函豢时，是会出现某些在原则上是新的东西的”．其所以如此，在于高维空间几何性质的复杂性．