暑假高中数学赛前培训经典例题分析(2)

暑假高中数学赛前培训经典例题分析（2）

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一、准确填空：

1、将1999表示为两个质数之和：1999＝□+□，在□中填入质数，共有种表示方法?

解：由奇偶数的性质可知，1999是奇数，因此1999要能表示成两个质数之知，其中必定有一个是偶数.然而，既是偶数又是质数的自然数只有一个，就是2，没有其他可能.因此，另一个数是1999-2＝1997，而1997又恰好是质数，满足题目要求. 答：1999＝2+1997，只有一种表示方法.

评注：2是惟一的一个既是偶数又是质数的自然数，它在质数中的地位很特别，其他的质数都是奇数.了解这一点是解答本题的关键.

同学们都知道(记住)100以内的质数有哪些，但对于三位数、四位数中的质数可能就不清楚了.例如，1999和1997都是质数，那么如何来判定它们的确是质数呢?判定质数最基本的方法是“筛法”，我们不仔细叙述了.对于1997(或1999)，取a为使得2a≥1997的最小自然数，因为2

44＝1936＜1997＜2

45＝2025，即a=45.

1997如果不是质数，那么它可以分解为两个或两个以上的质因子的乘积，因此其中至少有一个质因子是小于45(不然的话，所有质因子的乘积必定大于1997)，这样一来，只要判断在小于45的质数中有没有是1997的因子的，这只要用试除法即可完成.对2，3，5，11，一眼即可看出，其余的7，13，17，19，23，29，31，37，41，43逐一试除，可知无一能整除1997.

1997为质数，对1999也一样.

1997和1999都是质数，且1999-1997＝2，像这种相差为2的两个质数，称为“孪生质数”.这种数有很多，例如(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，(41，43)，……，(1997，1999)，还可举出更大的一些，如(4967，4969).那么，这种“孪生质数”是否有无穷多个(对)呢?即是否可以无限地数下去呢?我们已经知道，质数是有无穷多个的，没有最大的一个!人们猜测，“孪生质数”也有无穷多个，这就是著名的“孪生质数猜想”，它和“哥德巴赫猜想”齐名，后者即是“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”.孪生素数猜想也是很难的，至今还没有被数学家

证明.这两个猜想之间是有联系的，实际上，它们是“等价的”.

2、澳门是世界上人口密度最大的地区之一，它由一个半岛和两个小岛组成.已知澳门的人口为43万人，其中90%居住在半岛上，半岛的面积为7平方千米，问：半岛上平均每平方千米有 万人?(取两位小数)

解：43×90%÷7＝38.7÷7＝5.53(万).

答：澳门半岛上平均每平方千米有5.53万人.

二、谨慎推理：

3、图7-1是由9个等边三角形拼成的六边形.已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：这个六边形的周长是多少?

解：将图中正三角形编号1，2，…，

9

看出各三角形边长之间的关系，从而可以建立方程来

求解.中间的△9的边长为1.设最大的正三角形△1的

边长为x ，则△2和△3的边长都是x-1，△4和△5的

边长都是x-2，△6、△7、△8的边长都是x-3，而△6

和△8的边长之和等于△1的边长，故得方程：

2×(x -3)=x.

所以 2x-6=x ，解得x=6.

所以这个六边形的周长是

6+2×(6-1)+2×(6-2)+2×(6-3)＝6+10+8+6＝30.

答：所求六边形的周长是30. 评注：这个题还可以改为“如果最小的正三角形的面积是1，求这个六边形的面积”.

用划分成小三角形的方法可以知道：边长为2的正三角形可以划分为4个边长为1的正三角形，边长为3的正三角形可以划分为9个边长为1的正三角形，……边长为n 的正三角形可以划分为2n 个边长为1的正三角形(n =2,3,4,…).因此，正三角形A 的边长是正三角形B 的边长的n 倍，则正三角形A 的面积是正三角形B 的面积的2

n 倍.

由原题的解答可知：△1，△2，△3，△4，△5，△6，△7，△8的边长各是△9的边长的6，5

，

图7-1

5，4，4，3，3，3倍，因此它们的面积分别是△9的面积的2

22222223,3,3,4,4,5,5,6倍，已知△9的面积为1，则九个正三角形的面积之和为： 14627325036133425262222=+++=+⨯+⨯+⨯+.

故该六边形的面积是146.

4、如图7-2所示，一个正六边形的苗圃，用平行于苗圃边缘的直线把它分成许多相等的正三角形，在三角形的顶点上都栽种树苗，已知苗圃的最外边一圈栽有90棵，问：该苗圃中共栽树苗多少棵?

解：苗圃中的树苗可以看成是按正六边形的边界

由外向里一圈一圈地栽种的，每相邻两圈相差6

棵，已知最外圈种有90＝6×15棵，则第2圈有

6×14棵，第3圈有6×13棵，……，第15圈有

6×1＝6棵，最里面(正六边形中心处)有1棵.

因此，苗圃中一共种树苗有

6×15+6×14+6×13+…+6×1+1

＝6×(1+2+3…+13+14+15)+1

＝6×(1+15)×15÷2+1＝6×120+1

＝721(棵)

答：苗圃中共栽树苗721棵.

评注：解此题的关键是要看出：相邻两圈相差6棵，不要忘记，中间还种有1棵.要计算

90+(90-6)+(90-2×6)+(90-3×6)+…+6

时也不应将每圈的棵数(即括号中的数)具体算出再相加，那样太繁，易出错，而是应该像上面解答中那样化为求1+2+3+…+13+14+15

.德国大数学家高斯在8岁时便能迅速求出：1+2+3+4+5…+100的结果为5050

(记为S)的2倍，

所以2S ＝101×100.

所以S ＝101×50＝5050.

这是因为在和1+2+3+…+98+99+100中，每相邻两个数的差都等于1，于是就有了以下性图7-2